三角形中内接矩形
探究三角形内接矩形的最大面积
探究三角形内接矩形的最大面积在几何学中，三角形内接矩形的最大面积的研究一直是几何学家们一直关注的一个问题，早在古希腊时期就已经开始研究了。
在古希腊，几何学家们特别关注三角形内接矩形的最大面积这一研究，他们发现三角形内接矩形的最大面积是三角形的面积的三分之一，这个结论即是所谓的“克劳底法则”，也就是“克劳底定理”。
劳底定理认为，在任意三角形中，三角形的最大内接矩形的面积是三角形的面积的三分之一，其实这个定理也可以由几何的角度去证明。
我们用简单的步骤来证明这一定理：首先，我们把三角形A、B、C三个顶点连接起来，画出三角形ABC（图1）。
接下来，我们将这个三角形ABC进行象限分割，将其分为六个相等的小三角形（图2）。
紧接着，我们将三角形A、B、C的外接圆的半径均分，把A点的半径均分之后的圆心投射到BC边上，这里就得到了点D，将BC边上的D点连接为ABC三角形的内接矩形的一个顶点（图3）。
因此，由于三角形ABC的六个部分三角形的面积相等，所以三角形ABC内接矩形的面积也就是六分之一，即是三角形ABC的面积的三分之一，这就是克劳底定理（图4）。
另外，我们还可以用数学的方法来证明克劳底定理，我们把三角形A、B、C的边长分别用a、b、c表示，把三角形ABC内接矩形的面积用S表示，那么根据克劳底定理，有：S = 1/3 a b c这就是克劳底定理的数学表达式，也就是三角形ABC的最大内接矩形的面积是三角形ABC的面积的三分之一。
从上面的几何和数学的角度去证明克劳底定理，我们可以看到，三角形内接矩形的最大面积的研究，在古希腊时期已经开始，经过数千年的发展，几何学家们最终得出了克劳底定理，因此，克劳底定理在几何学中有着重要的地位，为研究三角形内接矩形的最大面积这一问题提供了重要的参考。
总结一下，三角形内接矩形的最大面积一直是几何学家们关注的一个重要的研究问题。
古希腊时期已经开始研究三角形内接矩形的最大面积，最终得出了克劳底定理，即三角形的最大内接矩形的面积是三角形的面积的三分之一。
三角形内接矩形型基本图形完整版课件
基本图形
一、探索发现
基本图形
问题1：你会给这样的矩形起一个怎样的名字？
A
P
P
N
A N
B
Q
MC
B
Q
M
C
三角形的内接矩形
三角形的内接正方形
1.矩形在三角形的内部； 特征：
2.四个顶点都在三角形的边上.
一、探索发现
基本图形
问题2：请你画一画三种三角形的内接正方形.
C
A A
B
A
A
C
B A
B
C
B
C
B
C
A
B
C
二、应用体验
析型
用型
问题3：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工 成的正方形零件的边长为多少mm？
A
思路探寻 （1）图中相等的线段有哪些？
解法展示 （2）如何建立这些线段的关系？PN//BC
n次，求PnNn的长．（直接写出结果）
思路探寻 在满足（1）的条件下你能总结线段PN与BC的关系吗？ P2
N2
若按问题（2）继续内接，规律一样吗？ 解法展示 解
P
N
Q2 E M2
B
Q
D
M
C
你能与“三角形中位线的
性质”联系起来吗？
四、感悟提升
A
P
N
B
Q
M
CB
矩形（包括正方形） 四个顶点都在
在三角形内部
（1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作
三角形内接矩形的关系式及其应用
三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。
三角形中内接矩形课件
内接多边形的面积等于其所在三角形的面积减去三个由切线段和三 角形边组成的三角形的面积。
内接多边形的外角和
内接多边形的外角和等于360度。
内接多边形的应用
几何作图
利用内接多边形可以方便 地作出与三角形三边相切 的圆或其他图形。
面积计算
通过内接多边形可以计算 出三角形的面积，进而计 算出其他图形的面积。
三角形中内接矩形 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 三角形中内接矩形的性质 • 三角形中内接矩形的应用 • 三角形中内接矩形的证明方法 • 三角形中内接矩形的拓展知识
01
引言
课程背景
01
三角形中内接矩形是数学中一个 经典问题，涉及几何、面积和比 例等知识点。
02
在中学数学课程中，学生需要掌 握如何利用内接矩形解决实际问 题，提高数学应用能力。
课程目标
掌握三角形中内接矩形的概念 和性质，理解内接矩形的面积 与原三角形面积的关系。
学习如何利用内接矩形解决实 际问题，提高数学应用能力和 逻辑思维能力。
通过实际操作和案例分析，培 养学生的探究精神和团队协作 能力。
02
三角形中内接矩形的性质
矩形的一边与三角形的底边平行
总结词
矩形的一边与三角形的底边平行是三角形中内接矩形的一个 重要性质。
详细描述
由于矩形的一边与三角形的底边平行，因此，矩形的长边或短边将等于三角形的高。而矩形的另一条边将等于三 角形底边的一半。因此，矩形的面积是三角形面积的1/2。
矩形的周长与三角形的周长关系
总结词
矩形的周长是三角形周长的1/2，这是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的长边或短边与三角形的底边平行，因此，矩形的周长是三角形周长的 1/2。这是因为矩形的两条长边或短边的总和等于三角形底边的长度，而矩形的 另外两条边的总和等于三角形的高。因此，矩形的周长是三角形周长的1/2。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
初中数学精品试卷：相似三角形基础复习
一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。
三角形内接矩形问题专题
A
E
N
B
Q
D
M
C
3
变式 1 ：在例 1 中其它条件不变的情况下， 若 矩 形 PQMN 与 △ ABC 的 面 积 之 比 为 3∶8时，求矩形PQMN的周长.
A
P
E
N
B
Q
D
M
C
4
变式2：在例1中其它条件不变的情况下， 若矩形PQMN变成正方形，那么它的边长 为多少？ A
P E N
B
Q
D
M
C
5
3 方形AnBnDnEn 的边长是______.
7
3、如图，在一个大正方 形中有两个小正方形， 分别用S1，S2表示两个小 正方形的面积，那么以 下对S1，S2的大小关系判 断正确的是
（
A
）
B.S1<S2 C .S1=S2 D.不能确定
A.S1>S2
8
有一块两直角边长分别为3和4的直角三角 形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，以 下两种裁法所得的正方形面积哪个大？
1、如图，△ABC是等腰直角三角形， 在△ABC内作它的内接正方形DENM，则
1 ＤＥ 3 =______ ＢＣ
A Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
6
2.如图1，△ABC是斜边AB的长为1的 等腰直角三角形，在△ABC内作第1 个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC上），再在 △A1B1C内接同样的方法作第2个内接 正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作 n n次，则第n个小正 1
9
M DE AN BC
C
B
N
2、注意相似与函数、方程等知识的联系。
三角形内接矩形的最大面积问题
‘
． ．
ｙ＝ ＣＦ ・ＥＦ： ｘ ・（ Ⅱ一 ｚ）・ｔ ａ ｎ Ｂ．
，
又‘ ． 。 在Ｒ ｔ Ａ ＡＢ Ｃ中 ， ｔ ａ ｎ Ｂ＝ｂ
・ ．
． ｖ— ．（ 口一 ）．一 ｏ
，
即 一 一 詈 。 ＋ 妇 ，
・ ・ ・
当 ｚ 一 一 ｂ 二 一 号时 ，
一
Hale Waihona Puke ｂ ｎ ｂ 中学教学 参考
解 题方 法与技 巧
妙 用 基 底 巧 解 平 面 向量 题
河北 沧 州市第一 中学（ ０ ６ １ ０ ０ ０ ） 张 丽霞
由平面 向量基本定 理可知 ， 平 面内任意两 个不共线
注： 通 常选择 与 已知条件 相 关的 ， 且 已知模 长和 夹
角 的 两 向 量作 为基 底 ．
－ Ａ － ｂ・ 一０ 这个 隐含条件 的应 用．
何值 时 ， 的值最大 ？最大值是多少 ？
数 的性 质 、 三角形 面积公 式 等基本 的数 学知识 ． 这是 一 个 典型的最优化 问题 ， 解决这类 最大 面积 问题 往往需 要
构建 二次 函数模型 ， 进而利用 二次 函数 求最值 的有关 知
识 加以解决．
要 正确解 决 这 个 问题 ， 我 们 首 先来 看 特 殊 的三 角 形—— 直角三角形 的情形．
】
～
一 二 一 ： 。 △ ’ ’
结论 ： 当直 角 三 角 形 内接 矩 形 的 两 边 长 分 别 等 于 直
图 １
角三角形两直 角边 长的 一半 时 ， 内接 矩 形 的 面 积 最 大 ，
我们知道 ， 如果 四边形 的四个顶 点都在 三角形 的边 上， 那 么就称 这个 四边形 为此 三角 形 的内接 四边形 ， 特
三角形内接矩形的结论
三角形内接矩形的结论三角形内接矩形，这个听起来挺复杂的名词，其实也没那么高深。
想象一下，一个三角形，里面竟然能塞进一个矩形，这事儿不就是有点儿像我们在挤公交车的时候，想要在一个小小的空间里挤出个坐席吗？哈哈，是不是觉得有点儿有趣？好吧，今天就来聊聊这个神奇的数学现象。
先来捋一捋这个三角形内接矩形的概念。
简单说，就是你在一个三角形里面，找一个矩形，能完全被三角形包住，听起来是不是像在说一场魔术？我们想象一下，一边是尖尖的三角形，另一边则是四四方方的矩形，真是个奇妙的组合。
这个矩形的边，既得和三角形的边平行，又不能超过三角形的边，简直就像是你在学校里，得按老师的规定来，不能越界！不得不提个小秘密。
三角形内接矩形的最大面积，恰好在三角形的重心位置。
就好比生活中，有时候最舒心的地方就是家里沙发的那个位置，坐下去就觉得整个世界都安静了下来。
数学上，这个重心的概念，听上去高大上，实际上就跟找对了位置，舒服的坐着，真是妙不可言。
再说说这个矩形怎么画。
先不急，先得找到三角形的重心。
嘿，重心是个神奇的地方，不仅能帮我们找到最大面积的矩形，还能让整个三角形看起来更有层次感。
想象一下，你把三角形的三个顶点连起来，随便哪两条边交汇的地方，都是你可以下手的点。
然后，画个矩形，把它安稳地放在里面。
听起来容易，其实就是个“大开脑洞”的过程。
这时候你可能会想，哎，这个矩形的边长有什么讲究吗？没错！这就得提到一个小细节。
矩形的长和宽，得依赖三角形的边，不能太长也不能太短。
就像买衣服一样，适合自己的才是最好的。
多一分则挤，多一分则偏，简直就跟调料一样，得有个合适的比例才行。
说到这里，可能有人会觉得无聊。
其实不然，咱们可以把这个话题轻松一点。
就像生活中的挑战，找到内接矩形的过程，就像找对象，得观察，得比较，最后才能找到合适的那一个。
我们在三角形里寻找矩形的过程，就像是在探索自己的内心，发现最适合自己的那个“形状”。
而且这个内接矩形，还能给我们带来其他的启示呢。
三角形中内接矩形[上学期]--浙教版
![三角形中内接矩形[上学期]--浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/e9a7e79d7375a417876f8f44.png)
专题19 三角形内接矩形相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题19三角形内接矩形相似模型【模型】如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则△ADG ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM ，△AGN ∽△ACM .【例1】如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，在ABC 的内部，作一个正方形PQRS ，若3BC =，2AD =，则正方形PQRS 的边长为（）A ．65B ．54C ．1D ．32【答案】A【分析】由四边形PQRS 是正方形，可得,SR BC ∥即可证得△ASR ∽△ABC ，设正方形PQRS 的边长为x ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：2,32x x -=解此方程即可求得答案．【解析】解：如图：记AD 与SR 的交点为E ，设正方形PQRS 的边长为x ，∵AD 是△ABC 的高，四边形PQRS 是正方形，∴SR BC ∥，AE 是△ASR 的高，则AE =AD -ED =2-x ，∴△ASR ∽△ABC ，,SR AE BC AD ∴=2,32x x -∴=解得：65x =，∴正方形PQRS 的边长为65．故选：A ．【例2】如图，已知三角形铁皮ABC 的边cm BC a =，BC 边上的高cm AM h =，要剪出一个正方形铁片DEFG ，使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长=________．【答案】aha h+【分析】设AM 交GF 于H 点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，∵四边形DEFG 为正方形，∴GF ∥DE ，即：GF ∥BC ，∴AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，∴GF AH BC AM=，设正方形的边长为x，∴x h xa h-=，解得：ahxa h =+，故答案为：ah a h+．【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）2244(0)34144832(2)3S t tS t t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣；（4）t＝87或85【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝4 3；（3）当0＜t≤43时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当43＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH ＝EF ﹣HF ＝2t ﹣（8﹣4t ）＝6t ﹣8，∴S ＝S 正方形DPFE ﹣S △GHE ，∴S ＝4t 2﹣12×（6t ﹣8）2＝﹣14t 2+48t ﹣32，综上所述，S 与t 之间的函数关系式为2244(0)34144832(2)3S t t S t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣.（4）如图，当点E 在△ABC 内部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝5a ，∴25PO PF a PG PB a ==，∴22825t t =-，∴t ＝87，如图，当点E 在△ABC 外部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝3a ，∵23PO PF a PG PB a ==，∴22823t t =-，∴t ＝85，综上所述：t ＝87或85.一、单选题1．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上，若2,3,2,3AD BC BC AD EF EH ⊥===，那么EH 的长为()A ．23B ．13C ．32D ．12【答案】C【分析】设EH =3x ，表示出EF ，由AD -EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解析】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=，解得：12 x=，则32 EH=．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12B．7C．6D．5【答案】B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴OM ∥AB ∥PN ∥EF ，EO ∥FP ，∠C =∠EOM =∠NPF =90°，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ，∴OE ：PN =OM ：PF ，∵EF =x ，MO =3，PN =4，∴OE =x -3，PF =x -4，∴（x -3）：4=3：（x -4），∴（x -3）（x -4）=12，即x 2-4x -3x +12=12，∴x =0（不符合题意，舍去）或x =7．故选：B ．3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】C 【分析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解析】解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，矩形DEFG 的FG 边上的高为2h ∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE =6，BC=10，∴12135h h DE h BC -==，∵S △ABC =50，∴15021010h ⨯==，∴2103105h -=，解得24h =，∴平行四边形纸片的面积为=26424DE h ⋅=⨯=．故选：C ．4．如图，在△ABC 中，AB 边上取一点P ，画正方形PQMN ，使Q ，M 在边BC 上，N 在边AC 上，连接BN ，在BN 上截取NE =NM ，连接EQ ，EM ，当3tan 4NBM ∠=时，则∠QEM 度数为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．90°【答案】D 【分析】证明BEQ BEM △∽△，可得BEQ BME ∠=∠，根据等腰三角形的性质可NEM NME ∠=∠，由90BME NME ∠+∠=︒，可得90BEQ NEM ∠+∠=︒，进而可得答案．【解析】PQMN 为正方形，QM NM ∴=，90BMN ∴∠=︒．3tan 4NBM ∠= ，∴在Rt △BMN 中，设3MN QM a ==，则4BM a =，∴BQ BM QM a =-=，5BN a ∴==．NE NM = ，NEM NME ∴∠=，3NE NM a ==，532BE BN NE a a a ∴=-=-=，∴122BQ a BE a ==，2142BE a BM a ==，BQ BE BE BM∴=．EBQ MBE∠=∠ ∴BEQ BEM △∽△，BEQ BME ∴∠=∠．90BME NME ∠+∠=︒ ，∴90BEQ NEM ∠+∠=︒，90QEM ∴∠=︒．故选D ．5．如图，在ABC 中，CH AB ⊥，CH h =，AB c =，若内接正方形DEFG 的边长是x ，则h 、c 、x 的数量关系为（）A ．222x h c +=B ．12x h c +=C ．2h xc =D ．111x h c=+【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到GF DE ∥，继而证明CGF CAB D D ，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG 是矩形表示出CM 的长度，即可求解．【解析】解：设CH 与GF 交于点M ，正方形DEFG ，GF DE ∴∥，90GDE DGF ∠=∠=︒，CGF CAB D D ∴ ，GF CM AB CH∴=， CH AB ⊥，90DHM ∴∠=︒，∴四边形DHMG 是矩形，DG MH ∴=，CH h =，AB c =，正方形DEFG 的边长是x ，MH x ∴=，CM CH MH h x ∴=-=-，x h x c h -∴=，整理得111x h c=+，故选：D ．6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整．股差90AD =步，勾差10BF =步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩240=平方步）答：（）A ．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【答案】A 【分析】首先判定AED EBF ∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE EF =求得30DE =；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．【解析】解：根据题意知，AED EBF ∽，则AD EF DE FB=．又DE EF = ，30DE ∴==．所以，芝麻田的面积为：3030240 3.75S =⨯÷=芝麻（亩)．黍田的面积为：12402S AC CB S =⋅÷-黍芝麻()()12402AD DC CF FB S =++÷-芝麻1(9030)(3010)240 3.752=⨯++÷-6.25=（亩)．综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．故选：A ．二、填空题7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．在其内并排放入（不重叠）n 个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点D ，E 分别在AC ，BC 上，则小正方形的边长为_____（用含n 的代数式表示）．【答案】1201225n +【分析】连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，根据勾股定理可得AB =10，再由22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，可得CF ＝245，然后根据△CDE ∽△CAB ，可得CG DE CF AB =，即可求解．【解析】解：连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，则DE AB ∥，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．∴AB ＝10，∵22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，∴861022CF ⨯⋅=，解得∶CF ＝245，∵DE AB ∥，∴△CDE ∽△CAB ，CG DE ⊥，∴CG DE CF AB=，设小正方形的边长为x ，∴24524105x nx -=，解得x ＝1201225n +，故答案为：1201225n +．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，在三角形内挖掉正方形CDEF ，则正方形CDEF 的边长为________．【答案】6017【分析】设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，证明△AFE ∽△ACB ，可得EF AF BC AC =，由此构建方程即可解决问题．【解析】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ∥CD ，EF ＝FC ＝CD ＝DE ，设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，∴△AFE ∽△ACB ，∴EF AF BC AC =，∴12512x x -=，解得x ＝6017，即正方形CDEF 的边长为6017，故答案为：6017．9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为_____．【答案】127【分析】由∥DE BC 可得AE DE AB BC =，求出AE 的长，由GF BN ∥可得AE EF GF AB BN +=，将AE 的长代入可求得BN ．【解析】解：∵四边形DEFG 是正方形，∴,DE BC GF BN ∥∥，且DE =GF =EF =1，∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴AE DE AB BC=①，AE EF GF AB BN +=②，由①可得，143AE =，解得：43AE =，将43AE =代入②，得：41134BN+=，解得：127BN =，故答案为：127．10．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上．若3BC =，2AD =，23EF EH =，AD BC ⊥，那么EH 的长为__．【答案】32【分析】根据矩形的性质得到EH BC ∥，得到AEH ABC ∽△△，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．【解析】解：设AD 与EH 相交与点M ，四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEH ABC ∽△△，AM EH ⊥ ，AD BC ⊥，∴AM EH AD BC=，设3EH x =，则有2EF x =，22AM AD EF x =-=-，∴22323x x -=，解得：12x =，则32EH =．故答案为：32．11．如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEF ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．12．在Rt ABD △中，90ABD ∠=︒，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为_________2cm ．【答案】6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【解析】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，222AE CE AC +=，即22334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x ＝125，∴AE ＝34x ＝95（cm ），FD ＝43x ＝165（cm ），∴阴影部分面积为1912116126255255ACE CFD S S +=⨯⨯+⨯⨯= （2cm ）．故答案为：6三、解答题13．如图，己知直角三角形的铁片ABC 的两直角边BC 、AC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【解析】解：（1）设正方形边长为y cm ，则DE =CD =EF =CF =y cm ，∵DE ∥BC ，∴AD DE AC CB=，∴334y y -=，∴127y=；（2）5 AB=．作AB边上的高CH，交DE于点M．由1122ABCS AB CH AC BC=⋅=⋅△，得53422CH⨯=，解得12cm5CH=．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CM DE CH AB=．设正方形DEFG的边长为cmx，则1251255x x-=，解得6037x=．∵6012 377<，∴（1）的情形下正方形的面积大．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)设12AF FC =，△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)45【分析】（1）由平行线的性质得出DEB FCE ∠=∠，DBE FEC ∠=∠，即可得出结论；（2）先求出23FC AC =，易证EFC BAC ∆∆∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】(1)解：证明：//EF AB ，DBE FEC ∴∠=∠，∵DEB FCE ∠∠＝，BDE EFC ∴∆∆∽；(2) 12AF FC =，∴23FC AC =，//EF AB ，EFC BAC ∴∆∆∽，∴222439EFC ABC S FC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，99204544ABC EFC S S ∆∆∴==⨯=．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．(1)求证：BDE EFC △△∽．(2)若12BC =，12AF FC =，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB ＝∠FCE ，∠DBE ＝∠FEC ，可得结论；（2）先证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE =AF ，推出12DE FC =，再由相似三角形的性质推出2EC BE =，由此求解即可．【解析】(1)解：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；(2)解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE =AF ，∵12AF FC =，∴12DE FC =，∵△BDE ∽△EFC ，∴12BE DE EC FC ==，∴2EC BE =，∴312BE BC ==，∴4BE =．16．一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【解析】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EH BC ，即121k -＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x 可取任何实数，试求二次三项式261x x +-的最值．解：22226123331x x x x +-=+⨯⋅+--2(3)10x =+-∵无论x 取何实数，总有2(3)0x +≥．∴2(3)1010x +-≥-，即无论x 取何实数，261x x +-有最小值，是10-．(1)问题：已知247y x x =--+，试求y 的最值．(2)【知识迁移】在ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB AC 、上，顶点Q 、M 在边BC 上，探究一：12,6AD BC ==，求出矩形PQMN 的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN 我们很容易证明APN ABC ∽△△，可以设PN x =，经过推导，用含有x 的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：,AD h BC a ==，则矩形PQMN 面积S 的最大值___________．（用含a ，h 的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)4ah【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明APN ABC ∽△△，根据相似三角形的性质，可以得到PN AE BC AD=，设PN x =，则162x AE =，得出2AE x =，从而得出122MN x =-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出PN AE BC AD =，设PN x =，则x a h AE =，因此h AE x a =，从而得到h MN h x a=-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【解析】（1）解：()()()22222247474227211y x x x x x x x =--+=-++=-++-+=-++∵无论x 取何实数，总有2(2)0x +≥，∴2(2)0x -+≤，∴2(2)1111x -++≤，即y 有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠ABC ，∠ANP ＝∠ACB ，∴△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴162xAE=，∴2AE x =，由已知可得四边形EDMN 是矩形，∴122MN DE x ==-，∴()()()2222212221226332318S x x x x x x x =-=-+=--+-=--+，∵无论x 取何实数，总有2(3)0x -≥，∴22(3)0x --≤，∴22(3)1818x --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴x a h AE=，∴h AE x a=，∴h MN h x a=-，∴()2222224424h h h h a a h a ah S x h x x hx x ax x ax x a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=--=--+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵无论x 取何实数，总有2()02a x -≥，∴2()02h a x a --≤，∴2(244h a ah ah x a --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为4ah ．18．如图，Rt ABC 为一块铁板余料，90B ∠=︒，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【答案】方案①正方形边长247cm ，方案②正方形边长12037cm ．【分析】方案①：设正方形的边长为x cm,然后求出△AEF 和△ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH ⊥AC 于H ，交DE 于K ，构造矩形DKHG 和相似三角形（△BDE ∽△BCA ），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH 的长度，则BK ＝4.8−y ；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：设方案①正方形的边长为x cm ，90ABC ∠=︒ ，四边形BDFE 是正方形，EF BC ∴∥，AEF ABC ∴∆∆∽，∴EF AE BC AB=，即886x x -=，解得247x =，即加工成正方形的边长为247cm ．设方案②正方形的边长为y cm ，作BH AC ⊥于H ，交DE 于K ，∵四边形EDGF 是正方形，∴DE AC ∥，90EDG DGF ∠=∠=︒．∴BH DE ⊥于K ．∴90DKH ∠=︒．∴四边形DKHG 为矩形．设HK DG y ==．∵DE AC ∥．∴BDE BCA ∽．∴BK DE BH AC=．∵10AC ==．∴Δ11681022ABC S BH =⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8BH =，∴ 4.8BK y =-．∴4.84.810y y -=．解得12037y =．即方案②加工成正方形的边长为12037cm ．19．在△ABC 中，BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，P 是BC 上任一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F．(1)设BP ＝x ，将S △PEF 用x 表示；(2)当P 在BC 边上什么位置时，S 值最大．【答案】(1)S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）(2)当BP ＝1时，面积有最大值14【分析】（1）先求出△ABC 的面积，再用x 表示出PC ，然后再说明△CEP ∽△CAB 可得CEP CABS S ∆∆＝（22x -）2可得△CEP 的面积，同理可得S △BPF ＝24x ，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）解：（1）∵BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2×1＝1，∵BP ＝x ，∴PC ＝2﹣x ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ，∴CEP CAB S S ∆∆＝（22x -）2，∴S △CEP ＝1﹣x ＋24x ，同理:S △BPF ＝24x ，∵四边形AEPF 为平行四边形，∴S △PEF ＝12S ▱AEPF ＝12（S △ABC ﹣S △CEP ﹣S △BPF ）＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．∴S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．（2）解：由（1）知S △PEF ＝﹣14x 2＋12x ＝﹣14（x ﹣1）2＋14，∵0＜x ＜2，∴当x ＝1时，面积有最大值14．20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝12m ，高线AD ＝8m ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m ．(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt △ABC 的斜板，已知∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN 的工件，使MQ 在BC 上，P 、N 两点分别在AB ，AC 上，且PN ＝8m ，则平行四边形PQMN 的面积为m 2．【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，(3)7.68【分析】（1）设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，AE =AD -ED =（8-x ）m ，再证明△APN ∽△ABC ，得到AE PN AD BC =，即8812x x -=，由此求解即可；（2）设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，求出28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()226243S PN PQ x =⋅=--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，得到AE PN AD BC=，利用勾股定理和面积法求出10m BC =， 4.8m AD =，从而求出0.96m DE =，则27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形．【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE 是矩形，设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，∴AE =AD -ED =（8-x ）m ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN QM ∥，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，即8812x x -=，解得 4.8x =，∴正方形PQMN 的边长为4.8m ；（2）解：设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，∴AE PN AD BC =，即8128x PQ -=，∴28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2222288624333S PN PQ x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵230a =-<，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为224m ，∴4m PQ =，∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，（3）解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴10m BC ==，∵1122ABC S AD BC AC AB =⋅=⋅△，∴ 4.8m AB AC AD BC⋅==，∴ 4.8AE AD DE DE =-=-，∴4.884.810DE -=，∴0.96m DE =，∴27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形，故答案为：7.68．。
三角形中内接矩形
三角形中内接矩形
三角形中的内接矩形
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
高线AD 与PN 相交于点E.PN//BC=>△APN∽△ABC 即解得：x=48（mm) 答：加工成的正方形零件的边长为48mm=>解：设加工成的正方形为PQMN,
边长为xmm，
边QM 在BC 上，
顶点P，N 分别在AB，AC 上，
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,求证：拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P、N 分别在AB，AC 上，设AD 与矩形PQMN 的PN 边相交于E 点，问当AE 为多少时？矩形PQMN 的面积最大，最大面积为多少？
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。
解：设AE 为xmm，
矩形PQMN 的面积为s mm2PN//BC=>△APN∽△ABC<=即PN= 1.5x∴S=PN·ED
=1.5x（80 - x）。
三角形内接正方形
课题学习――三角形的内接正方形探索一 三角形内接正方形的定义如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么，我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.如图（1），正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形.评注：1.正方形有4个顶点，三角形有3条边，因此，三角形的内接正方形必有2个顶点在同一条 图（1） 边上，另2个顶点分别在另2条边上.2.因为顶点都在边上，所以正方形必在三角形的内部，而图（2）中的正方形，因为顶点F 在BC边的延长线上，所以它不是△ABC 的内接正方形. 探索二 怎样画三角形的内接正方形？ 图（2） 如图（3），在△ABC 中，画正方形D′E′F′G′，使点D′在AB 上，点E′、F′在BC 上，连结BG′，并延长交AC 于G ，过G 作GD//G ′D ′、GF// G ′F ′，分别交AB 、BC 于D 、F ，作DE ⊥BC ，垂足为E.则四边形DEFG ，就是△ABC 的内接正方形.（请读者利用相似三角形的知识自行证明）评注：以上画三角形的内接正方形的方法叫做位似作图 法，简称位似法，用位似法亦可画三角形的内接矩形. 图（3） 探索三 一个三角形有几个内接正方形三角形可分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，下面我们据这样的分类研究一个三角形有几个内接三角形。
在锐角三角形中，如图（1），正方形的一边EF 与BC 重合，我们还可以将EF 与AB 或AC 重合，因此，锐角三角形有3个内接正方形.在直角三角形中，如图（4），正方形DEFG 的一边与斜边BC 重合；正方形AMNK 的一边与AB 重合，同时另一边与AC 重合.，即直角三角形有2个内接正方形. 在钝角三角形中，如图（5），只有1个内接正方形.A D GB E FC AD BE CFG A D M G KA D G A D GD ′ G ′E ′F ′ B E F C图（4）图（5）评注：1.分类讨论是解决此类问题常用的思想方法.2.正方形是特殊的矩形，任何一个三角形都有无数个内接矩形.探索四一个直角三角形的两个内接正方形的面积大小有何关系问题1：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求它的两个内接正方形的面积.问题2：猜想一个直角三角形的两个内接正方形的面积大小关系，并证明你的结论.由此可知：在直角三角形中，一边与斜边重合的内接正方形的面积小于两边与直角边重合的内接正方形的面积。
M08A24 相似三角形之内接矩形
第二十四节 相似三角形——内接矩形【典型例题】例1 已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =2，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。
例2 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长？例3 如图，在地角边为3和4的直角三角形中作内接正方形，比较两种作法中正方形面积的大小。
例4 如图，在△ABC 中，AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC 重合，且BC=48cm ，AH=16cm ，EF ：DE=5：9，求内接矩形的周长。
34例5 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些？例6 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，设BC ab =（这是一个二位数），EF c =，三角形的高AD=d 。
已知：a 、b 、c 、d 恰好是从小到大的四个连续整数，试求△ABC 的面积。
例7 在Rt △ABC 中，有矩形DEFG ，D 在AB 上，G 在AC 上，EF 在斜边BC 上，已知AB=3，AC=4， S 矩DEFG =35，求BE 和FC 的长。
E FME FM例8 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？位似图形的作法1．位似图形的定义：两个要素① ② 2．位似图形的性质：①位似图形的 和位似中心在同一条直线上，且它们到位似中心的距离之比等于 。
②位似图形的对应线段③两位似图形的方向或者 或者④两位似图形的一定 ，但 图形不一定位似 ⑤位似图形的对应角 ，对应边 。
人教版九年级数学中考复习专题折纸中的数学——三角形的内接矩形模型
∆ 是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻
t的值；若不存在，请说明理由．
∆ 放飞思维：
∆ 如 图 ， 四 边 形 ABCD 纸片 满 足 AD∥BC， AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小 明把该纸片折叠，得到叠合矩形恰好为正 方形，请你帮助画出所有可能的叠合正方 形的示意图，并求出AD，BC的长．
1． 2
①
①
② ②
③ ③
活动三 拓展应用 ——多边形中的叠合矩形 ∆ 在平行四边形中折一个叠合矩形，有没有可能会出现 如图的折法？ ∆ 此时如何确定矩形的四个顶点？
操作型问题都可 以转化为我们学
习过的知识
小结与作业 ∆ 你学习到了什么？ 操作探究型问题是中考热点 一般：内接矩形—>特殊：内接正方形、叠合矩形—>拓展 ∆ 你感悟到了什么？ 建立数学模型 数学思想：方程、转化 ∆ 你还想探究什么？更多精彩等你发现！！！
∆ 方程思想：相似比=对应高的比
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
∆ 结论：上题中，若改为“已知三角形底BC=a，高AD=b”，
用a、b表示这个正方形的边长为 ab ． ab
∆ 折出这个内接正方形
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
第三环节
∆ 已知原三角形和底和高，怎么折出面积最大的内接矩形？
活动一 操作引入 折出与三角形有关的线段
活动一 操作引入
A
折出与三角形有关的线段
A
B
C' D C
折出三角形一边的高
A
C'
BDCຫໍສະໝຸດ 折出三角形一角的角平分线A
《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像
《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像∙上一篇网络教程：《几何画板》：求过两点的直线方程∙下一篇网络教程：利用ppt实例：字幕式片头片尾(图)关键词：|几何画板|教程|多媒体|课件制作|[ 作者： 转贴自： 点击数：1176更新：2005-3-30 14:25:40 录入：benben]第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。
单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“A”。
同法，给单位点加注标签为“1”。
第2步，单击工具箱上的“点”工具，在坐标系第一象限绘制出任意一点，并用“文本”工具加注标签为B。
单击工具箱上的“点”工具，移动光标至X轴上，当X轴呈现高亮度时，单击鼠标左键，在X轴上绘制出一点，并用“文本”工具加注标签为C。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A、点B和点C，按快捷键“ctrl+L”，在操作区绘制出三角形ABC，如图187所示。
第3步，单击工具箱上的“点”工具，移动光标至线段AC上，当线段AC呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出一点，并用“文本”工具加注标签为D。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中点D和线段AC，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，绘制出过点D的选段AC的垂线。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，移动光标至线段AB和刚绘制的垂线上，当他们均呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出他们的交点，并加注标签为E。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点E和线段AC，依次单击“构造”→“平行线”菜单命令，绘制出过点E的线段AC的平行线。
单击工具箱上的“点”工具，移动光标至刚绘制的平行线和线段BC的交点处，当他们均呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出交点，并用“文本”工具，加注标签为F。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点F和线段AC，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，绘制出垂线，并用上述方法，绘制出与线段AC的交点G，如图188所示。
探究三角形内接矩形的最大面积
探究三角形内接矩形的最大面积一般来说，三角形内接矩形是指将一个三角形和内切于它的矩形内解析图形进行组合，得到的结果称为三角形内接矩形。
三角形内接矩形的最大面积是指在给定的三角形的边长情况下，内分矩形的最大面积是多少。
三角形内接矩形的最佳设计问题，也可以称为最优矩形设计问题，是一个涉及几何学和拓扑学的重要理论问题。
该问题早在一些古代数学家中就已经出现，其中最具代表性的是欧几里得和泰勒的研究。
从数学的角度来考虑该问题，首先应该考虑的是导出数学模型。
这个数学模型是搜索最佳解的基础，要想找到最佳解，就必须面对的总的数学模型。
根据该问题的特征，数学模型应该是一个有约束的优化问题，可以通过求解该约束优化问题来求得最佳解。
在求解最佳解时，可以采用计算机技术，对于求解三角形内接矩形的最大面积，还可以采用模拟退火算法。
模拟退火算法是一种用于解决约束优化问题的有效算法，它的基本思想是：先生成初始解，然后通过模拟物理现象中的“退火”，将该初始解不断变化，最后找到结果可以满足优化目标的最佳解。
另外，对于求解三角形内接矩形的最大面积，还可以采用迭代二分法。
迭代二分法是一种基于函数图像的算法，它采用一种不断缩小搜索范围的策略，从而找到所期望的解。
在求解过程中，先将初始范围分为左右两部分，然后对两个子范围进行迭代，不断地缩小范围，直到找到符合约束条件的最佳解。
总的来说，求解三角形内接矩形的最大面积涉及到多种数学模型和计算机算法，拥有不同的数学处理方法、不同的计算机实现和不同的优化策略。
理论上，可以通过这些方法来求解这个问题，代码实现的情况下，可以用模拟退火算法和迭代二分法分别求解。
在实际应用中，求解三角形内接矩形的最大面积，应该根据实际情况考虑运算量、计算时间以及求解精度，来选择最合适的方法：当运算量大，如求解解的数量较大，运算时间较长时，应该采用计算机技术；当运算量小，如搜索解的数量较小、运算时间较短时，应该采用模拟退火算法来求解；当精度要求较高时，需要采用迭代二分法求解。
矩形内接正三角形问题的探究
矩形内接正三角形问题的探究本文将会探究一个经典几何问题：如何在一个矩形中内接一个正三角形，同时探究其相关的数学定理和性质。
该问题作为几何学的一个基础问题，被广泛地应用于科学研究和工程设计中。
矩形内接正三角形问题包涵了多个方面的知识。
其中，我们需要了解正三角形和矩形的性质，学会运用勾股定理、三角函数和解方程等基础数学知识，同时也需要有较高的几何直觉和创造性思维。
下面我们将从这些方面，逐步深入探究该问题。
一、矩形和正三角形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，有着独特的性质，比如对角线相等、相互垂直、对边平行等。
正三角形是一种特殊的多边形，它的三条边相等、三个内角均为60度，在许多领域中都有着广泛的应用。
在矩形中内接正三角形，我们需要利用它们各自的性质，同时考虑它们在一起所满足的条件。
二、解题思路接下来，我们将会简述一下解决矩形内接正三角形问题的解题思路。
首先，我们需要画出一张矩形和一个内接正三角形的示意图，地图的线要精准细致、比例要符合题目中的要求。
其次，我们可以通过求解矩形的对角线和正三角形的边长等方程，解出这个问题对应的参数。
还可以通过勾股定理、三角函数等方法，计算一些特殊情况下的数值。
除了基础的数学知识外，我们还需要具备一定的几何直觉和逆推能力，来发现问题与求解的方法。
在探究该问题的过程中，我们可以从以下几个角度来进行思考：1、三角形边长和矩形对角线的关系在矩形中内接正三角形，可以发现，对于边长为x的正三角形，其对角线的长度等于2x。
我们可以通过利用勾股定理和矩形的性质进行推导，最终得出这个结论。
这个结论对于解决其他相关问题也非常有用。
2、尝试使用特殊情况来解题在解决几何问题时，我们通常可以利用一些特殊情况的性质来推导出一般情况。
这对于矩形内接正三角形问题也同样适用。
比如，我们可以设定正三角形的一条边和矩形的一条边重合，通过解方程来得出问题的解。
又比如，我们可以尝试通过取不同的矩形长宽比例来推导问题的解。