电子科技大学微积分讲座之积分
数学建模思想融入微积分课程教学初探
１ 设 计 思 想
在传 统的微 积分教 学 中 ， 一般 以教师讲 授 、 生被 动接 收为 主． 学 这种 教 学方 式 在传 授 系统 知识 时 具
有 比较好 的效果 ， 忽视 了学 生作为学 习 主体 的地 位 ， 利 于学 生 主动 获取 知 识能 力 的培 养 ， 但 不 使学 生 缺
积分 教学 中应 用数 学建 模 思维训 练 ， 不仅 可 以提 高应 用微 积分 知识 的能 力 ， 而且也 能尽 早 培养 数学建 模
素质 ．
在实 践 中 ， 学建模 的应用 过程 是 复杂 的 ， 往需 要 多方 面 的 知识 ， 是 整 个 建模 过 程 是 有规 律 可 数 往 但
型应用 阶段 ．
显然， 从解 决 问题 的思 路来看 ， 微积 分 的知识 的应用 和数学建 模过 程有不 少相 似之处 ． 微 积分课 程教学 中要求 掌握 的不 少 内容 可 以看 作 是 数 学建 模 的 模 型求 解 阶 段 ， 比如 ， 积 分 的计 定 算、 二重 积分 、 三重积 分 的计 算． 实 际应 用 中 ， 定 积分 、 积分这 样 的数学模 型 的建立 ， 需要 经过 问 在 像 重 则
第 ２ ６卷 第 ２ 期
２１ ０ ０年 ４月
大 学 数 学
（（ ＩＩＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ：） ＣＳ
Ｖ ｏ ． ６， ． Ｉ２ № ２
Ａｐ ． １ ｔ ２０ ０
数 学建 模 思 想融 人 微 积分 课 程 教学 初 探
张 勇 ， 黄 廷 祝 ， 傅 英定
力 培养工 作．
在微积 分教学 中引入数学 建模 的思维训 练 ， 们主 要 出于 以下 考 虑 ： 方 面 ， 积 分 的不 少教 学 内 我 一 微 容本 身就是 涉及一 个数学 建模过 程 ， 比如导数 概念 、 重积分 的定 义与应 用等 等 ； 另外 一方 面 ， 让学 生在大 学本科 早期 阶段接 受数学 建模思 维 的训 练 ， 以较好 开发 学生智 能 ， 可 又能够促 进微 积分课 程本 身的教学
杭州电子科技大学理学院教师简介汇总
理学院教师简介陈光亭，男，博士，教授，硕士研究生导师。
曾主讲过《高等数学》、《高等代数》、《线性代数》、《概率统计》、《数学建模》等本科课程，有十几年高校教学经验。
曾主持或参加过多项国家自然科学基金以及省部级研究项目，主要从事离散优化及其应用的研究，在国内外刊物上发表学术论文40多篇。
曾获得省高校优秀青年教师、省高校青年教师教学基本功比赛优秀奖等多项奖励，为浙江省高校中青年学科带头人，入选浙江省“151人才工程”。
肖建斌，男，1963年5月出生，1989年复旦大学博士毕业，1995被评定为教授。
主讲“数学分析”、“复变函数论”等本科课程。
为研究生开设“Hardy空间理论”、“单位球上的函数论”等课程。
从事复分折研究，在Hardy空间和Bergman空间的函数性质和泛函性质方面取得了一系列的结果，在《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》、《数学年刊》、《数学进展》、《Math.Japonica》等学术刊物发表论文30余篇, 解决国外数学家提出的6个公开问题。
曾主持国家与省自然科学基金各一项，目前主持教育部重点科研项目和浙江省省自然科学基金各一项。
是霍英东基金教师奖的获得者。
肖建斌教授一直奋斗在教学科研第一线，教学基本功扎实过硬，教学态度严谨，教学方法灵活，受到广大师生的一致赞誉。
刘德朋，男，1948年5月生，吉林人，教授。
1982年1月毕业于吉林师范大学数学系，现任理学院教师。
主讲课程：《数学物理方法》、《复变函数》、《高等数学》、《线性代数》、《竞赛数学》等。
研究方向为：偏微分方程的基础理论及其在电磁学中的应用；竞赛数学的理论与实践。
主要成果：任主持人完成省部级以上的项目五项，取得很好的成果；主持的课题“改革应用数学教学，培养师范生的综合素质和创新能力”获省级优秀教学成果二等奖；在省以上的刊物上公开发表论文40多篇；任主编公开出版高校教材五部。
程吉树，男，教授。
曾在数学系及工科专业主讲《数学分析》、《复变函数》、《概率与数理统计》、《线形代数》、《一般拓扑学》、《模糊拓扑》、《对立理论》、《拓扑线性空间》、《微积分学》、《高等数学》等９门课程。
2023大学_微积分学(吴迪光张彬著)课后答案
2023微积分学(吴迪光张彬著)课后答案微积分学历史背景早期思想早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
古希腊数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
在3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。
刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。
数列极限是函数极限的基础，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n，数列的极限为0。
微分学微分学的基本概念是导数。
导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。
若用s=s(t)表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t=t0时的瞬时速度为v(t0)，并记v(t0)=s(t0)，并称之为路程s关于时间t的导数或变化率，也可记v(t0)=()|t=t0。
而物体运动的加速度a(t)=v(t)=s(t)=()。
导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。
例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。
主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。
不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
如果对每一xI ，有f(x)=F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数，则=F(x)+C，其中C为任意常数。
西安电子科技大学《电路基础》课件
1 2
t8d
0
4t
1 2
18 d
0
1 2
t0 d
1
u(1) 0
4
u(3)
1 2
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t 4 d
3
1 2
4 t 0d
4
2(t 3) u(4)
2(t 6
1)
,0 t 1s ,1 t 3s ,3 t 4s
量。电容不能产生能量，因此为无源元件。
第 4-14 页
储能 对功率从-∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能：
p(t) u(t)i(t) Cu(t) du(t) dt
t
u (t )
西 安
wC (t)
p( )d
Cu( )du( )
u ( )
电 子
1 Cu2 (t) 1 Cu2 ()
第 4-26 页
西 安 电 子 科 技 大 学
图 2 滤波电感(该电感用于电子整流器或电子节 能灯中差摸与共摸方式的射频干扰的抑制)。
mmH 技术参数: 电容量(pf): 红色 : Cmin ≤1.0pf Cmax ≥5pf , 黄 色 : Cmin ≤1.8pf Cmax ≥10pf , 绿 色 : Cmin ≤2.5pf Cmax ≥18pf ,Q 值 :≥500, 绝 缘 电 阻 :500(MΩ) , 耐 电 压:100(V.DC),
电容(capacitor)是一种储存电能的元件, 它是实际电容器的
西 理想化模型。电容器由绝缘体或电解质材料隔离的两个导体组
安 电
微积分(三)_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
微积分（三）_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知【图片】，则【图片】（）参考答案:2.已知【图片】则【图片】在【图片】处下列结论正确的是（）参考答案:连续且可微3.若f(x,y)在点(0,0)的两个偏导数存在，则下列命题正确的是（）参考答案:与均存在4.若【图片】在点【图片】的两个偏导数存在，则下列命题正确的个数为（）(1)【图片】在点【图片】连续 (2)【图片】与【图片】均存在(3)【图片】在点【图片】可微 (4)【图片】存在参考答案:15.计算【图片】（）参考答案:86.已知【图片】，函数【图片】由方程【图片】确定，则【图片】（）参考答案:-27.设【图片】（【图片】均为正数），则【图片】最大值为（）参考答案:69128.已知【图片】在【图片】处可微，且【图片】【图片】，则【图片】= （）参考答案:519.计算函数【图片】在直线【图片】轴,【图片】轴所围成团区域D上的最大值【图片】和最小值【图片】分别为（）参考答案:M = 4, m = -6410.计算隐函数【图片】的极大值为（）参考答案:611.计算【图片】（）参考答案:12.设【图片】为拆线【图片】，这里【图片】分别为：【图片】，计算积分【图片】（）。
参考答案:913.计算【图片】（）参考答案:114.若【图片】在点【图片】的两个偏导数存在，则【图片】在点【图片】是（）参考答案:不一定可微也不一定连续15.设函数【图片】，则z的定义域为（）参考答案:且16.设函数【图片】在闭区域【图片】的内部具有二阶连续偏导数，且满足【图片】，则（）参考答案:的最大值和最小值都在的边界取得17.计算由方程【图片】所确定的隐函数【图片】的极小值为（）。
参考答案:-218.设f(u)连续，f(0)=0，【图片】，且【图片】，则【图片】（）。
参考答案:4036。
不定积分“第一换元积分法”教学三步曲
SCIENCE &TECHNOLOGY VISION科技视界2012年9月第26期科技视界Science &Technology Vision第一换元积分法是求不定积分的最基本最常用的重要方法之一,这种方法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换将被积函数化简,直到能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分.对于初学者来说,凑微分是难点,寻找中间变量更不知从何下手.在教学第一换元积分法时,教师要引导学生认真走好三步:导入———理解———巩固,为后续学习打好基础.1类比联想导入凑微分法第一换元积分法的目的是通过换元将被积函数化简,直到能应用不定积分表中的公式求出不定积分.可见,利用公式求不定积分是学习第一换元积分法的基础,在教学中教师可以从不定积分公式表的应用导入第一换元积分法,使得学生对新知识的接受有一种水到渠成的感觉.为了自然地导入新课,教师可以让学生做一做热身运动(求下列不定积分):(1)∫x 2dx ,∫cos xdx ,∫1x dx ,∫dx x2,∫dx x√,∫11+x2dx ,∫dx1-x2√,∫cos xdx ,……这组题要求口答,一方面检查积分公式表掌握情况,巩固所学知识;另一方面为新课做准备.(2)∫(x +1)2dx ,∫(x +2)2dx ,…,∫(x +b)2dx .这组题的被积函数是二次幂的形式,学生通过展开被积函数,利用不定积分公式以及运算法则容易求得.(3)(1-2x )10dx .此题是由第(2)题修改而成的,次数是10,像第(2)题那样去计算是不现实的,这就需要寻找一种新的方法.这时,教师可以引导学生类比联想:①它与公式表中的哪个不定积分类似?(与∫x ndx 类似,被积函数的“底”不同.)②会求∫u 10du 吗?(直接用公式即可.)③∫(1-2x )10dx 与∫u 10du 有何异同和联系呢?(被积函数的“底”不一样,如果令u =1-2x ,那么“底”就相同.)④如果令u =1-2x ,那么dx 与du 什么关系?∫(1-2x )10dx会变成什么式子呢?请各位试一试。
数学分析课程简介
数学分析课程简介课程编码:21090031-21090033课程名称：数学分析英文名称：Mathematical Analysis课程类别：学科基础课程课程简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19 世纪末及20世纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。
数学分析课是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。
是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础课之一。
本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分学等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。
极限方法是贯穿于全课程的主线。
课程的目的是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。
教材名称：数学分析教材主编：华东师范大学主编（第四版）出版日期：2010 年6 月第四版出版社：高等教育出版社数学分析1》课程教学大纲（2010 级执行）课程代号：21090031总学时：80学时（讲授58学时，习题22学时）适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：本课程不需要先修课程，以高中数学为基础一、本课程地位、性质和任务本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。
通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。
基本要求：掌握极限、函数连续性、可微等基本概念；掌握数列极限、函数极限；闭区间连续函数性质；熟练掌握函数导数、微分的计算及应用；掌握微分中值定理及其应用。
依概率收敛的意义
P{| fn ( A) 1 / 2 | } 0
E[ fn ( A)]
1n n i1 E( X i )
1; 2
D[ fn ( A)]
1 n2
n
D( X i )
i1
111 n22
1 4n
由切比雪夫不等式可得
0 P{| fn ( A) 1 / 2 |＞}
D[ fn (A)]
2
1
4n2
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第5 章
知识点名称：依概率收敛的意义 主讲人：龚丽莎
§5.1 依概率收敛的意义
回顾：微积分中数列收敛的定义 设{an}是一个数列，a是一个常数，若对任意ε＞ 0，存在正整数N,
使得n＞N时，有
| an a |＜
则称数列{an} 收敛于a，记为 an a 或 lniman a
| fn ( A) 1 / 2 | 一定不发生
显然有可能发生！
如：不管n值多大，都有可能抛出全是正面或反面的结果．此时fn(A) 等于1或0, 若给定ε = 0.2, 则
| fn ( A) 1 / 2 | 0.5 发生
但容易算出：
P{n次全是正面或反面}
1 2n1
0
更一般地，可用切比雪夫不等式从理论上证明
0
结论：对任意给定的ε＞ 0，n再大也不能保证
| Xn X | 一定不发生
但可减弱为：对任意给定的ε＞ 0，事件| Xn X | 虽有可能发生，
但只要 n 充分大，就可保证其发生 的概率充分小, 即
P{| Xn X |} 0.
定义：设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量或常数，若
对任意ε＞ 0，有
令A ={ 出现正面 }, fn(A)是事件A发生的频率
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
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-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
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)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
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©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
杭州电子科技大学理学院教师简介汇总
理学院教师简介陈光亭，男，博士，教授，硕士研究生导师。
曾主讲过《高等数学》、《高等代数》、《线性代数》、《概率统计》、《数学建模》等本科课程，有十几年高校教学经验。
曾主持或参加过多项国家自然科学基金以及省部级研究项目，主要从事离散优化及其应用的研究，在国内外刊物上发表学术论文40多篇。
曾获得省高校优秀青年教师、省高校青年教师教学基本功比赛优秀奖等多项奖励，为浙江省高校中青年学科带头人，入选浙江省“151人才工程”。
肖建斌，男，1963年5月出生，1989年复旦大学博士毕业，1995被评定为教授。
主讲“数学分析”、“复变函数论”等本科课程。
为研究生开设“Hardy空间理论”、“单位球上的函数论”等课程。
从事复分折研究，在Hardy空间和Bergman空间的函数性质和泛函性质方面取得了一系列的结果，在《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》、《数学年刊》、《数学进展》、《Math.Japonica》等学术刊物发表论文30余篇, 解决国外数学家提出的6个公开问题。
曾主持国家与省自然科学基金各一项，目前主持教育部重点科研项目和浙江省省自然科学基金各一项。
是霍英东基金教师奖的获得者。
肖建斌教授一直奋斗在教学科研第一线，教学基本功扎实过硬，教学态度严谨，教学方法灵活，受到广大师生的一致赞誉。
刘德朋，男，1948年5月生，吉林人，教授。
1982年1月毕业于吉林师范大学数学系，现任理学院教师。
主讲课程：《数学物理方法》、《复变函数》、《高等数学》、《线性代数》、《竞赛数学》等。
研究方向为：偏微分方程的基础理论及其在电磁学中的应用；竞赛数学的理论与实践。
主要成果：任主持人完成省部级以上的项目五项，取得很好的成果；主持的课题“改革应用数学教学，培养师范生的综合素质和创新能力”获省级优秀教学成果二等奖；在省以上的刊物上公开发表论文40多篇；任主编公开出版高校教材五部。
程吉树，男，教授。
曾在数学系及工科专业主讲《数学分析》、《复变函数》、《概率与数理统计》、《线形代数》、《一般拓扑学》、《模糊拓扑》、《对立理论》、《拓扑线性空间》、《微积分学》、《高等数学》等９门课程。
《微积分学》课程思政教学设计
《微积分学》课程思政教学设计一、教学目标知识目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景;借助几何手段直观理解定积分的概念和基本思想，学会用“分割、近似、求和、取极限”的方法来解决“非均匀分布总量的问题”。
能力目标通过问题的探究，体会逼近、以直代曲的数学思想方法，理解定积分概念中的“分割、近似、求和、求极限”四部曲的微积分思想，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辩证思维能力。
德育目标定积分定义中“变与不变，近似与精确”的思想可以向学生揭示辩证唯物主义思想中量变到质变的本质规律。
引导学生提炼蕴藏于教学内容中的马克思主义哲学思想：由“直”与“曲”（“常”与“变”）这对矛盾在一定条件下的转化，印证“对立统一”是宇宙的根本规律；由几何、物理例子推广到一般的“非均匀分布总量的问题”，印证个别和一般是对立的统一。
二、课程思政融入知识点微积分学——定积分的概念。
三、课程思政融入方式问题驱动法、直观演示法、讨论法、练习法。
四、课程思政元素辩证唯物主义、坚持、严谨深入、辩证逻辑思维能力、发展眼光看待问题、实事求是、敬业、专注五、教学展开（一）教学重点掌握曲边梯形的面积及变速直线运动的路程等“非均匀分布总量问题”的解决方法——分割、近似、求和、取极限。
理解定积分的概念。
领会定积分的思想——化整为零、近似代替、积零为整、无限逼近。
（二）教学难点对定积分概念形成过程的理解。
（三）教学方式问题驱动法、直观演示法、讨论法、练习法。
（四）预期学习成果定积分概念中的“分割、近似、求和、求极限”四部曲的微积分思想，是伟大的科学家牛顿对数学的重要贡献。
对这一思想的理解直接关系到能否灵活应用积分解决现实问题的关键。
在教与学的过程中，能够落实培养“会学习、会应用、会创新、会做人”的人才的目标,培育人的理性思维品格和思辨能力，能启迪智慧，开发创造力，形成不畏艰难、勇于探索的科学信念;培养唯真求实、尊重数据的科学态度；让学生的学习方式从被动到主动再到自主转化。
计算电磁学中的积分方程法
计算电磁学中积分方程方法胡 俊电子科技大学得宜于电子计算机与数值算法的快速发展，以计算机数值求解电磁问题的科学—计算电磁学已成为十分热门的研究方向，现已广泛应用于先进作战武器设计、雷达目标自动识别、地球物理探测、微波遥感与成象、微波集成电路设计、高速电路信号完整性分析等众多领域。
其编制的数值程序极强的通用性、普适性与可靠性，使该学科成为了除实验测量以外的重要电磁分析手段。
第一章 矩量法概论随着计算机技术的发展，我们可以进行的计算量越来越大，精度越来越高。
在绝大多数情况下，数值算法的精度都可以达到要求，并且，应用数值算法还可以解决用解析法不能解决的问题。
因此，数值方法的应用越来越广泛，而以数值计算为基础的计算电磁学在过去的几十年里也得到了长足的发展。
本章所谈到的矩量法就是计算电磁学中的一种常用计算方法。
矩量法既可用于求解微分方程，也可用于求解积分方程。
但目前已经有了求解微分方程的有效方法――差分法、有限元法，所以矩量法大多用来求解积分方程。
目前，矩量法的应用已相当广泛。
例如，求天线的辐射场时，首先用矩量法求解天线上的电流分布，即求解电流分布的积分方程；求某个目标的散射场或透射场时，也要先用矩量法来求解目标上的电流分布，得出电流分布后再由积分求得总场。
本章简要介绍了矩量法的基本理论和求解过程，对于它的详细介绍及更多应用，请参考有关文献[2][3]。
1.1 矩量法的数学基础矩量法的基本思想是将一个泛函方程化为一个矩阵方程，然后用人们熟知的方法求解该矩阵方程。
这要用到线性空间和算子的概念，因此，在介绍矩量法之前，我们要先介绍一些这方面的基础知识。
考虑两个非空空间A 和B ，其元素分别为321,,a a a …和321,,b b b …，我们定义映射M 为这样一个规则，即A 的每个元素a 对应一个B 的元素b ，这个映射运算符号表示为)(a M b =一些有意义的特定映射是：函数——表示为)(x f y =，把具有元素x 的标量空间X 映射到具有元素y 的标量空间Y 。
2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余 弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
第二章随机过程(函数)
西安电子科技大学 理学院
不相关:2阶联合中心矩
E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0
正交:2阶联合原点矩
E(XY) = 0
独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
48
西安电子科技大学 理学院
同样对于离散随机过程有：
49
西安电子科技大学 理学院
西安电子科技大学 理学院
章
序
题目
绪论
学 时 4
主要内容
课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第一章
第二章
随机过程(函 16 数)
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章
随机微积分
6
随机微积分及其求解方法介绍。
第四章
随机场
18
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
无线电物理中 无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料 第五章 随机场及简单 2 分析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。 应用
西安电子科技大学理学院40西安电子科技大学理学院4133相关函数相关函数均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特所用的只是一维概率密度所用的只是一维概率密度能反映随机过程在两个不同能反映随机过程在两个不同时刻状态之间的联系时刻状态之间的联系如图所示的两个随机过程如图所示的两个随机过程x和和yytt大致具有相同的均值和方差大致具有相同的均值和方差但这两个信号还是有明但这两个信号还是有明显的区别的显的区别的yytt随时间随时间t的变化较为剧烈的变化较为剧烈各个不同时刻各个不同时刻状态之间的相关性较弱状态之间的相关性较弱随时间的变化较为缓慢随时间的变化较为缓慢同时刻状态之间的相关性较强同时刻状态之间的相关性较强若只用均值函数和方差函数若只用均值函数和方差函数是不能反映出这些特征的是不能反映出这些特征的相关函数能反映两个不同时刻状相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征态之间相关程度的数字特征
电子科技大学微积分试题
电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于（）A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、21lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==Q :::当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=Q 当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x xx f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-Q Q 令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
微积分学教程
《微积分学教程》г.м 菲赫金哥尔茨第一卷第一分册绪论实数（四节1－33 共33 页）第一章极限论（四节34－84 共51页）第二章一元函数（五节85－178 共94页）第三章导数及微分（六节179－264 共86页）第四章利用导数研究函数（五节265－338 共74页）第二分册第五章多元函数（五节339－443 共105页）第六章函数行列式及其应用（四节444－505 共62页）第七章微分学在几何上的应用（五节506－592 共87页）附录函数推广的问题（593－606 共14页）第二卷第一分册第八章原函数（不定积分）（五节1－84 共84页）第九章定积分（五节85－159 共75页）第十章积分学在几何学、力学与物理学中的应用（四节160－254 共95页）第二分册第十一章常数项无穷级数（八节255－377 共123页）第十二章函数序列与函数级数（五节378－482 共105页）第三分册第十三章瑕积分（五节483－573 共91页）第十四章依赖于参数的积分（五节574－724 共151页）附录极限的一般观点（725－746 共22页）第三卷第一分册第十五章曲线积分*斯底尔吉斯积分（五节1－119 共119页）第十六章二重积分（五节120－247 共128页）第二分册第十七章曲面面积*曲面积分（四节249－320 共72页）第十八章三重积分及多重积分（五节321－423 共103页）第三分册第十九章傅立叶级数（七节425－590 共166页）第二十章傅立叶级数（续）（四节591－668 共78页）三卷共８分册，分为３个Pdf文档，共32.1M（Http下载）。
14 度量空间的列紧性与紧性
1.4度量空间的列紧性与紧性1.4.1度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例1.4.1设22[,]{|()|()|}X L f L f x dx ππππ-=-=<∞⎰，对于,f g X ∈，定义 122(,)(|()()|)d f g f x g x dx ππ-=-⎰， 令{()}{sin }n f x nx =，那么{()}n f x 是有界的发散点列．证明由于所以{()}n f x 为有界点列．对于任意的,n m ∈N ，有因此{()}n f x 不是基本列，当然不是收敛列．□定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace设X 是度量空间，A X ⊂．(1)如果A 中任何点列都有收敛于X 的子列，则称A 为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2)如果A 是列紧集，也是闭集，则称A 为紧集；(3)如果X 本身是列紧集(必是闭集)，则称X 为紧空间．注1：若A 是X 的列紧集，{}n X A ⊂且0()n x x n →→∞，那么0x A ∈？若A 是X 的紧集，0x A ∈？． 定理1.4.1设(,)X d 是度量空间，下列各命题成立：(1)X 的任何有限集必是紧集；(2)列紧集的子集是列紧集；(3)列紧集必是有界集，反之不真．证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．反过来，A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间．(2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X 中的基本列收敛，因此X 为完备的空间．□ 关于n 维殴氏空间n R 中的列紧集、紧集的特性有如下定理．定理1.4.2设n A ⊂R ，n R 是n 维殴氏空间，那么(1)A 是列紧集当且仅当A 是有界集；(2)A 是紧集当且仅当A 是有界闭集．证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A 是有界的无限集，则A 具有极限点，从而可证充分性．(2)由(1)易得．□注4：由于R 中的非空紧集A 就是有界闭集，定义A 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．引理1.4.1设f 是从度量空间(,)X d 到(,)Y ρ上的连续映射(称为算子)，A 是X 中的紧集，那么()f A 是Y 中的紧集．证明设()E f A =，首先证明E 是Y 中的列紧集．{}n y E ∀⊂，{}n x A ∃⊂，使得()n n y f x =，1,2,n =．由于A 是紧集，所以点列{}n x 存在收敛的子列{}k n x ，且0k n x x A →∈，又知f 是X 上的连续映射，于是0lim lim ()()k k n n k k y f x f x E →∞→∞==∈． 即{}n y 有收敛于E 的子列{}k n y ，因此E 为Y 中的列紧集．再证E 是闭集．设{}n y E ⊂，0()n y y n →→∞，根据A 的紧性和连续映射f 可得，对应的点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}k n x ，0k n x x A →∈．从而00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E →∞→∞→∞====∈， 即E 是闭集．□定理1.4.3最值定理设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得1()n f x M n >-，即可得11()n M f x M M n n-<≤<+-． 再由A 为紧集知存在{}{}k n n x x ⊂，使得*k n x x A →∈(k →∞),于是令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□1.4.2度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义1.4.2ε网设X 是度量空间，,A B X ⊂，给定0ε>．如果对于A 中任何点x ，必存在B 中点x'，使得(,)d x x'ε<，则称B 是A 的一个ε网．即(,)x B A O x ε∈⊂图4.1B 是A 的一个ε网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是2R 的0.8网．图4.2整数集Z 是全体有理数Q 的0.6网示意图定义1.4.3全有界集设X 是度量空间，A X ⊂，如果对于任给的0ε>，A 总存在有限的ε网,则称A 是X 中的全有界集．注5：根据定义可知A 是X 中的全有界集等价于0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)n i i A O x ε=⊂，其中(,)i O x ε表示以i x 中心，以ε为半径的开邻域．引理1.4.2A 是度量空间X 的全有界集当且仅当0ε∀>，12{,,,}n x x x A ∃⊂,使得1(,)n i i A O x ε=⊂． 证明当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)2n i i A O x ε=⊂．不妨设1i n ∀≤≤有(,)2i O x A εφ≠，选取(,)2i i y O x A ε∈，显然12{,,,}n y y y Y ⊂以及(,)(,)2i i O x O y εε⊂，因此 11(,)(,)2n n i i i i A O x O y εε==⊂⊂．□ 注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理1.4.4全有界集的特性设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1)A 是有界集；(2)A 是可分集．证明(1)设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂,使得1(,1)n i i A O x =⊂． 现令121max{(,)}i i n M d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集．(2)设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集．由引理1.4.2知对于1n nε=(1,2,n =)，存在()()()12{,,,}n n n n n k B x x x A =⊂，使得()11(,)nk n i i A O x n =⊂，下面证明1n n B ∞=是A 的稠密子集． x A ∀∈，0δ∀>，存在0n ∈N ，使得01n δ<，由于0n B 是A 的01n 网，故001n n n i x B B ∞=∃∈⊂，使001(,)n d x x n δ<<，从而，0(,)n x O x δ∈，即1n i B ∞=在A 中稠密，显然1n i B ∞=是可列集，故A 可分．□ 注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集．例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}，，N =是有界集，却不是全有界集．定理1.4.5全有界的充要条件设X 是度量空间，A X ⊂，则A 是全有界集当且仅当A 中的任何点列必有基本子列．证明(1)充分性⇐：反证法．若A 不是全有界集，则存在00ε>，A 没有有限的0ε网，取1x A ∈，再取2x A ∈，使120(,)d x x ε≥，(这样的2x 存在，否则1{}x 为A 的0ε网)．再取3x A ∈，使130(,)d x x ε≥，230(,)d x x ε≥(这样的3x 存在，否则12{,}x x 为A 的0ε网)．以此类推，可得{}n x A ⊂，而{}n x 没有基本子列，产生矛盾，故A 是全有界集．(2)必要性⇒：设{}n x 是A 的任一点列，取1k k ε=，1,2,k =，因为A 是全有界集，故A 存在有限k ε网，记为k B ．以有限集1B 的各点为中心，以1ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A ，从而覆盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}kx S ⊂． 同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}kx ，于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列： (1){}k x ：(1)(1)(1)(1)123,,,,,k x x x x ． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,,,k x x x x ．,,,．(){}i k x ：()()()()123,,,,,i i i i k x x x x ．且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即是{}n x 的子列．下证(){}k k x 是基本列．0ε∀>，取K ，使得12K K εε=<，那么当,k p K >时，不妨设p k >，则有()p p k x S ∈，记开球k S 的中心为*k x ，那么有 ()()()**()(,)(,)+(,)2p k p k p k p k k k k k k d x x d x x d x x εεεε≤≤+=<，故(){}k k x 是{}n x 的基本子列．□推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X 是度量空间，A X ⊂．(1)若A 是列紧集，则A 是全有界集；(2)若X 是完备的度量空间，则A 是列紧集当且仅当A 是全有界集．证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知A 是全有界集；(2)必要性⇒：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．充分性⇐：{}n x A ∀⊂，因为A 是全有界集，所以{}n x 含有基本子列{}k n x ，又知X 完备，于是{}k n x 在X 中收敛，可见A 的任何点列都有收敛X 的子列，即A 是列紧集．□注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集．例如：让X 表示[0,1]上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于11lim (1)33n n e n →∞+=，所以X 不是完备的度量空间、X 不是列紧集．由于0ε∀>，存在正整数n ，使得1n ε<，那么121{0,,,,,1}n n n n -是X 的ε网，所以X 是全有界．综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：紧集⇒列紧集⇒全有界集⇒⎧⎨⎩有界集可分集紧集⇐闭列紧集⇐完备全有界集 定理1.4.6[,]C a b 中点集列紧的的充要条件设[,]A C a b ⊂，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．(1)A 一致有界：0M ∃>，x A ∀∈，对任何[,]t a b ∈有()x t M ≤成立；(2)A 等度连续：0ε∀>，0δ∃>(δ与t 及x 无关)，当12,[,]t t a b ∈及12t t δ-<时，x A ∀∈有12()()x t x t ε-<． 注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设{[,],}i i F f f C a b i I =∈∈是[,]C a b 的一致有界且等度连续的函数族，则从F 中必可选出在[,]C a b 上一致连续的子序列{()}n f t ．定理1.4.7设(1)p A l p ⊂≥，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．(1)A 一致有界：0M ∃>，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()p pk k x M ∞=<∑；(2)A 等度连续：0ε∀>，N ∃，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()p pk k N x ε∞=+<∑． 例1.4.2设0(,)X d 为离散的度量空间，A X ⊂，证明：A 是紧集的充要条件为A 是有限点集．(2-18)证明(1)充分性⇐：设A 是有限点集，则A 必为闭集，又无点列，故为紧集．(2)必要性⇒：反证法．假设A 为无限点集，则必有可列子集A A '⊂，且A '种元素各不相同，不妨设为12{,,,,}{}n n A x x x x '==，当m n ≠时，根据离散度量空间中距离的定义知0(,)1m n d x x =，从而{}n x 无收敛子列，这与A 的紧性矛盾，故A 必为有限集．□例1.4.3设X 为紧的度量空间，M 是X 的闭子集，证明M 是紧集．(2-21)证明1由于M 是闭子集，所以只需证明M 是列紧集．设{}n x 是M 的一个点列，显然{}n x X ⊂，又知X 是紧的度量空间，于是{}n x 存在收敛于X 的子列{}k n x ，即M 是列紧集．□证明2由于X 是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以M 是列紧集．又知M 是闭子集，因此M 是紧集．□ 注10：在离散的度量空间中，A 是紧集⇔A 是有限点集．在n 维欧氏空间n R 中，A 是紧集⇔A 是有界闭集．在完备度量空间中，A 是紧集⇔A 是全有界闭集．紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．。
西安电子科技大学《复变函数》课件第四讲 初等函数
f (z +z) f (z) u v x = + i + (ε1 + iε3 ) 或 z x x z y +(ε2 + iε4 ) . z x y ≤1, ≤1 因为 z z
故当z趋于零时, 上式最后两项都趋于零, 因此
f (z +z) f (z) u v f ′(z) = lim = +i z→0 z x x
例6 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w = z; 2) f (z) = ex (cos y + i sin y); 3)w = z Re( z)
[解] 1) 因为u=x, v=-y,
u u v v =1, = 0, = 0, = 1 x y x y
可知柯西-黎曼方程不满足, 所以 w =z 在复平 面内处处不可导, 处处不解析
u v = , x y
u v = y x
[证] 条件的必要性已经证明, 现证充分性, 由于 f(z+z)-f(z)=u(x+x,y+y)-u(x,y) +i[v(x+x,y+y)-v(x,y)] =u+iv, 又因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微, 可知 u(x,y) v(x,y) (x,y) , u u u = x + y +ε1x +ε2y x y v v v = x + y +ε3x +ε4y x y x,y→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)
对数函数 f(z)=Lnz=ln|z|+iArgz 主值 f(z)=lnz=ln|z|+iargz 分支 f(z)=lnz+i2kπ 解析性 除去原点 负 原点及负 原点 实轴的平面内 实轴 解析 导数相同 f ’(z)=1/z
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(1 + sin x )e x 例5 求积分 I = ∫ dx . 1 + cos x (1 + sin x )(1 − cos x )e x 解：I = ∫ dx (1 + cos x )(1 − cos x ) x ex ex e cos x x =∫ dx + ∫ dx − ∫ e cot xdx − ∫ dx 2 2 sin x sin x sin x x e 1 x x x = − ∫ e d cot x + ∫ dx − ∫ cot xde + ∫ e d sin x sin x x e = − e x cot x + ∫ cot xde x + ∫ dx − ∫ cot xde x sin x ex ex + −∫ dx sin x sin x ex x = − e cot x + C sin x
求 ∫ x f ′′(2 x )d x .
0
1
考
1 1 解： ∫0 x f ′′(2 x )dx = 2 ∫0 x d f ′(2 x )
1
(分部积分)
1 = [ x f ′(2 x ) 2
1
0
− ∫ f ′(2 x )d x
0
1
]
5 1 = − f (2 x ) 2 4
1
0
=2
例3 设 f ′′( x )在[0, π ]上连续，f (0) = 2, f (π ) = 1， 求I=∫ f ( x ) + f ′′( x )] sin xdx . [ 0
仅 供 参 考
( x 2 − 2 x − 1)e x 例6 求积分 I = ∫ dx . 2 2 ( x − 1) 解：I = ∫ =∫ =∫ ex 2 xe x dx − ∫ 2 dx 2 2 ( x − 1) x −1 ex 1 x dx + ∫ e d 2 2 x −1 x −1 ex ex ex dx + 2 −∫ 2 dx 2 x −1 x −1 x −1
参 考
∵ F ( x )连续，则 F (1+ ) = F (1− ) = F (1). 1 1 ⇒ − + C1 = + C 2 = C 2 2
∴∫ ⎧1 2 − +C ( x 1) x≥1 ⎪ ⎪2 x − 1 dx = F ( x ) = ⎨ ⎪ − 1 ( x − 1)2 + C x < 1 ⎪ ⎩ 2
仅
供
参
考
仅
供
参
考
仅 供 参 考
一、积分极限问题 二、积分计算问题 三、积分方程问题 四、积分证明问题 五、积分变量问题
仅
供
参
考
∫
b a
f ( x ) dx = lim ∑ f (ξ i )Δxi
λ →0
n
仅 供 参
= lim ∑
n →∞ i =1
i =1 n
考
i (b − a ) (b − a ) f (a + ) n n
仅
n! . 例4 计算 I = lim ln n →∞ n
n! n! n 解： ∵ ln = ln n n n 1 n! = ln n n n n i 1 = ∑ (ln ) n n i =1
1 n! ∴ I = lim ln = ∫ ln xdx 0 n →∞ n = −1 n ⇒ n ≈ en ! ( n → +∞ ) n
n
供 参 考
n
仅
供
参
考
积分计算基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 计算积分. 2. 换元积分法：运动中观察对象
仅 供 参 考
∫ f ( x )dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ ( t )]ϕ '( t )dt
x = ϕ (t )
3. 分部积分法：不同性质的函数积分
π
0
仅 供 参
π
考
解：I = ∫
f ( x )sin xdx + ∫
π
0
π
0
f ′′( x )sin xdx
π
= −∫
f ( x )d (cos x ) + ∫ sin xd [ f ′( x )]
0
= − [ f ( x )cos x ]0 + ∫
π
π
0
f ′( x )cos xdx
π π
0
+ [ f ′( x )sin x ]0 − ∫
a + c = −(b + c )
a+b 即 c=− 2
可使原式为 0 .
例2 求 I = ∫ sin(ln x )dx .
解：∫ sin(ln x )dx = x sin(ln x ) − ∫ xd [sin(ln x )] 1 = x sin(ln x ) − ∫ x cos(ln x ) ⋅ dx x
仅
供
参
考
仅
例1 选择常数c使 ∫ ( x + c )cos 99 ( x + c )d x = 0 .
a
b
供 参 考
解：令t = x + c , 则
∫
b a
( x + c )cos ( x + c )d x = ∫
99
b+ c a+c
t cos 99 t dt
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使
=
π
2
−∫
π
2 0
1 dx 2012 1 + (tan x )
∴I =
π
4
x sin x x arctan e dx . 例9 计算 I = ∫ − π 1 + cos 2 x x sin x x . g ( x )为偶函数. 解：设 f ( x ) = arctan e , g ( x ) = 2 1 + cos x
⇒ F '( x ) = 0, 即F ( x ) = A.
令 x = 0, 得 A = F (0) =
π
2
. 即 f ( x ) + f (− x ) =
π
2
.
仅 供
⇒ I = ∫ g ( x ) f ( x )dx
0
π
参 考
=
π
2
∫
π
0
x sin x dx 2 1 + cos x
2
⎛π ⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠
d(cos x + sin x ) ∴ I = ∫ dx + 2∫ cos x + sin x
π
仅
供
参
考
∴ I = ∫ g ( x ) f ( x )dx = ∫ [ f ( − x ) g ( − x ) + g ( x ) f ( x )]dx
−π 0
π
π
= ∫ [ f ( − x ) + f ( x )]g ( x )dx
0
π
设 F ( x ) = arctan e x + arctan e − x .
仅
0
1
供 参 考
解：∫ ( x − 1)2 f ( x )d x
1 = ( x − 1)3 f ( x ) 3
1
1 1 − ∫ ( x − 1)3 f ′( x )d x 0 3 0
1 1 3 − x2 + 2 x dx = − ∫ ( x − 1) e 3 0
1 1 2 − ( x −1)2 + 1 = − ∫ ( x − 1) e d( x − 1)2 6 0
π sin nn + 1 n+ n
( n + 1)π n 1 n +1
⎤ 2 ⎥= ⎦ π
sin n sin ∴ J = I − lim + lim n →∞ n + 1 n →∞ n +
= 2
π
=
π 2
−0+0
π
仅
2 2 3 求极限 L = lim ( + + n →∞ 1 n+1 n+ 2
1 n
⎛ cos x ⎞ cos x = x⎜ − +C ⎟ x ⎝ x ⎠ cos x = − sin x − 2 +C x
'
说明:
此题若先求出 f ′( x ) 再求积分反而复杂.
∫ x f ′( x )dx = ∫
2sin x 2cos x ⎞ ⎛ ⎜ − cos x + x + x 2 ⎟ d x ⎝ ⎠
仅 供 参 考
ex = 2 +C x −1
sin x 例7 计算 I = ∫ π d x. − x − 1+ e 4
4
π
2
仅 供 参 考
π 2 sin 2 x sin x 4 解：I = ∫ π dx+∫ dx − x − x 0 1+ e − 1+ e 4
0
第一式令 x = − t
=∫
π
4 0
1 1 + sin x[ ]d x x −x 1+ e 1+ e
2
= ∫ sin x d x
4 0 2
π
1 = (π − 2) 8
例8 计算 I = ∫
π
2 0
1 dx . 2012 1 + (tan x )
仅 供 参 考
解：令 x =
π
2
− t，则
0
π 2012 1 (tan x ) 2 I = −∫ π dt dx = ∫ − 1 + (cot t ) 2012 0 1 + (tan x ) 2012 2