函数的奇偶性(讲义)

函数的奇偶性

【知识要点】

1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.

2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.

3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系；

（1）奇函数⇔)0)((1)

()

(0)()()()(≠-=-⇔

=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f x f ； （2）偶函数()()()()()()

()()0 10≠=-⇔

=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f x f . 4．函数奇偶性的几个性质：

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）若奇函数()x f 在原点有意义，则()00=f ；

（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；

（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； （6）函数()x f 与函数()

x f 1

有相同的奇偶性. 5．奇偶性与单调性：

（1）奇函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相同的单调性； （2）偶函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相反的单调性.

【典例精讲】

类型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： （1）()x x x f -+-=

22； （2）()1122-+-=x x x f ；

（3）()()0≠⋅--+=b a b ax b ax x f ； （4）()⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=21121x

x x f ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>++-=；

　，

0,10,1)(22

x x x x x x x f （6）⎪⎩

⎪⎨⎧>-+-=<++=.0,320,00,32)(22x x x x x x x x f ，　，

变式 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )=x 4； (2)f (x )=x 5； (3)f (x )=x +

21x ； (4)f (x )=21x

. （5）x x x f 2)(3

-= （6）2

442)(x x x f +

=

（7）)0,0(>>+

=b a x b

ax y （8）)0(2

>-=k k

x x y

例2 已知()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()1223-+=x x x f ，求()x f 的表达式。

类型二 函数奇偶性的简单应用 例3 （1）设函数f(x)=

x

a x x )

)(1(++为奇函数，求实数a 的值；

（2）设函数y=f(x)是奇函数，若f(－2)+f(－1)－3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值； （3）已知()x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且,1

1

)()(+=-x x g x f 求()x f 与)(x g 的解析式。

变式 （1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =2

2x x -，则(1)f = .

（2）已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．

（3）已知2

)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

类型三 函数性质的综合应用

例4 (1)奇函数)(x f 在b -[, ]a -上为增函数，试分析它在(a , ]b 上的单调性)0(>a 。

(2)已知奇函数)(x f 在单调区间[]3,7--上有最大值2)5(=-f ，则)(x f 在[]7,3上的最 值是 。

(3)已知偶函数)(x f 在单调区间[]3,7--上有最大值2)5(=-f ，则)(x f 在[]7,3上的最 值是 。

例5 定义在R 上的函数()x f 满足()()()y f x f y x f +=+,且对任意R y x ∈,,都成立。 (1)证明:函数()x f 是奇函数；

(2)如果,0)(,<∈+

x f R x 并且,2

1

)1(-

=f 试求)(x f 在区间[]6,2-上的最值。

【课堂练习】

1. 函数px x x y +=||，R x ∈是（ ） A ．偶函数

B ．奇函数

C ．不具有奇偶函数

D ．与p 有关

2. 若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ） A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1 若函数()()()1f x x x a =+-为偶函数，则a = ( )

（A ）2- （B ）1- （C ） 1 （D ）2 4. 已知()1+x f 是偶函数,则函数()x f y 2=的图象的对称轴是( )

A.1-=x

B.1=x

C. 2

1

-

=x D. 21=x

5. 设奇函数f(x)的定义域为[－5, 5], 若当x ∈[0, 5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)＜0的解是 .

6. 已知函数1)(3

5

+++=cx bx ax x f ，1)2(-=f ，求)2(-f 。