函数单调性和奇偶性情况总结复习资料

课次教学计划（教案）

课题

函数的单调性和奇偶性

教学目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别

2.

结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性

教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

教学策略：讲练结合，查漏补缺

1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题

问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x 的增加，y 值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？

⇒设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1

一般地，设函数f(x)的定义域为I ：

如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1

如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

12（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m ］上是增函数时,求实数m 的取值范围.

1、 用定义判断单调性：

A ． 设所给范围∈21,x x 且21x x <；

B ．计算f (x 1)－f (x 2)=几个因式的乘积形式

C ．判断上述差的符号；

D.下结论。如果)()(f 21x f x <，则函数是增函数；如果)()(f 21x f x >，则函数是减函数

用定义法判断单调性

1．试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间（0，1）上的单调性.

解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()

()()11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x --=

-=

----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.

所以，函数2()1x

f x x =-在（0，1）上是减函数.

【扩展】

①判断函数x x y 1

+

=在),1(+∞的单调性，并用定义证明之． ②判断函数x

x y 1

+=在)1,0(的单调性，并用定义证明之．

求单调区间

1. 判断函数y ＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）的单调性______________________

2. 已知2

31

2)(+-=x x x f ，指出()f x 的单调区间_________________________________.

根据图像判断单调性 （看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；）

1 已知函数32)(2--=x x x f ．

（1） 画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．

1．已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数2

2y x x =-的图像上，则

A ．123y y y <<

B ．321y y y <<

C ．132y y y <<

D ．213y y y << （ ）

根据单调性求参数的取值范围

1.若函数12)(-=

x ax

x f 在),1(+∞上为增函数，求实数a 的取值范围______________________． 2. 如果函数1)12(2

+-+=x a x y 在区间[]2,2-上为减函数，求实数a 的取值范围

3 设函数()()2

2

31f x x a x a =--+在区间()1,+∞

上是增函数，求实数a 的取值范围。

4.若ax x x f 2)(2

+-=与1

)(+=

x a

x g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是____________。 5.若函数2)(+-=b x a x f 在[)+∞,0上为增函数,则实数b a ,的取值范围是 （ ） .

利用单调性判断函数值

例6.己知函数y=f(x)在［0,十∞)上是减函数,试比较f(4

3

)与f(a 2一a 十1)的大小.

函数的值域

二、新知导航：

1. 函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3

[1,2]f x x x =-+∈-

③2

()21f x x x =++ ④2

()21[2,2]f x x x x =++∈-

2. 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． ③利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．1 （1）配方法 （2）换元法 （3）数形结合法

【例2】求函数2

1

y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值

【例3】求函数y x =+

三、经典范例：