中考数学重难点专题十三 拓展类型

专题十三 拓展类型

1. (2019枣庄)对于实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算：a ⊗b ＝2a ＋b ，例如3⊗ 4＝2×3＋4＝10.

(1)求4⊗(－3)的值；

(2)若x ⊗(－y )＝2，(2y )⊗x ＝－1，求x ＋y 的值．

2. (2019湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)．

立方差公式：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)．

根据材料和已学知识，先化简，再求值：3x x 2－2x －x 2＋2x ＋4x 3－8

，其中x ＝3.

3. (2019咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

(1)如图①，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D.求证：四边形ABCD 是等补四边形；

探究：

(2)如图②，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；

运用：

(3)如图③，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

第3题图

4. (2019兰州)【模型呈现】

如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下：

【模型应用】

如图①，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)连接FC交AB于点G，连接F B.

求证：FG2＝GO·G B.

第4题图①

【模型迁移】

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象交x 轴于A (－1，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C.动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接A C.设运动的时间为t 秒．

(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的表达式；

(2)连接BD ，当t ＝32

时，求△DNB 的面积； (3)在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；

(4)当t ＝54

时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC ＋∠OAC ＝90°，求点Q 的坐标．

第4题图②

5. (2019宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．

求证：四边形ABEF是邻余四边形；