第二节瞬时变化率

班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组

§1(2) 瞬时变化率

【学习目标】

1.复习理解函数平均变化率的意义；

2.理解函数的瞬时变化率的概念；

3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】

函数的瞬时变化率 【学习难点】

求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习

1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？

2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？

例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：

s)的函数关系为22

1

gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球

在t=5s 这个时刻的瞬时速度.

解：

3．函数的瞬时变化率：

对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .

t 1/s

t 2/s

时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（

t

s

∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … …

…

…

二.合作探究

1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．

2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。

三． 课堂检测

1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？

2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.

3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为22

1

gt S =（g

为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。

四.课堂小结

求平均变化率和瞬时变化率的步骤：

（1）作差：Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1)；

（2）作商并化简得平均变化率：x

x f x x f x x x f x f x

∆-∆+=--=∆∆)()()()(y 111

212.

（3）在上式中令Δx 趋于0时，得瞬时变化率.