第二节瞬时变化率
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
瞬时变化率——导数
以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2， 所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋 近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.
瞬时变化率ppt 苏教版
叫做函数 y f ( x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x 0 y f ( x0 x) f ( x0 ) ' y x x0 f ( x0 ) ,当x 0 x x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(3) 求y x x0
y f ( x0 x ) f ( x0 ) ( 2) 算比值 ; x x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
2 2
y .在x 0时 x
解： y [(1 x ) 2] (1 2) 2x ( x )
2
y 2 x ( x ) 2 2 x x x y 2 x,当x 0时 x ' 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y | x 1 2
结论:
设物体作直线运动所经过的路程 为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时间内的平均速度为
(tt00 t) (t ss f f( t) f (ft 0 )0 ) v v 。。 tt tt
当t0时， v 常数 这个常数就是物体在t0时刻 的瞬时速度.
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内 的平均速度 , 1 1 2 2 g (3 t ) g 3 s 2 1 2 v g (6 t ) t (3 t ) 3 2 当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g , 此即t 3秒时的瞬时时 速
例3.若f ( x) ( x 1) , 求f (2)和( f (2))
2
四、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
苏教版高中数学选修(2-2)课件02瞬时变化率——导数.pptx
即
f ' (x) y' y f (x x) f (x) ,当x 0时的值
x
x
f(x0)与f(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f’(x)在点x0处的函数值
T 切线
P
o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
Байду номын сангаас
y
Q
o
P
x
kPQ
f (x x) f (x) (x x) x
f (x x) x
f (x)
(3)如何求切线的斜率? y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
f (x x) f (x)
例4:已知 y x , 求y ' ,并求出函数
在x 2处的切线方程. 解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
x
x
x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处可导， 并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：导数》教学课件2
设切线的倾斜角为α,那 y 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切
Q割 线
切T
线线的斜率.P Nhomakorabeao
x
即:
y x
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0
f
'(x0 )
k切线
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例 1．（1）求函数 y=3x2 在 x=1 处 的导数.
y f (x x) f (x) x0 y f (x)
x
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数导函数
▲ 如何求函数y=f(x)的导数?
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率
y
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
（2）求函数 f(x)= x2 x 在 x 1 附
近的平均变化率，并求出在该点处
的导数．
例 2：已知函数 f (x) x ，求 f (x) 在 x 2 处的切线。
※求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：平均变化率与瞬时变化率课件
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度
为( )
A．6.3
B．36.3
C．3.3
D．9.3
答案：A
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89
∴vത＝s
3.3 −s 3.3−3
3
＝10.8.39＝6.3，故选A.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
跟踪训练2 某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位： 个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正 确的是( )
A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
答案：B
f x2 − f x1
即ΔΔyx＝____x_2 _−_x_1____．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化 的___快__慢___．
状元随笔
函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快 慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数
值变化得越快．
＝8.
题型探究·课堂解透
题型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f(x)＝2x2＋1， (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解析：(1)由f(x)＝2x2＋1
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2
Δx＝2.01－2＝0.01
∴Δy＝2Δx+ Δx
Δx
Δx
2
＝2＋Δx.
故选C.
题型二 平均变化率的实际应用
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
第2课时瞬时变化率
第2课时 瞬时变化率学习目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度活动一 复习引入1 什么叫做平均变化率?2 曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间[,A B x x ]上的平均变化率有何联系？3 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？活动二 求曲线上某点处的切线(阅读书本，体会局部以直代曲的思想，并回答下列问题) 问题1 ：何为曲线的割线和切线？试在同一图中作出，并说明它们的区别与联系?例1 已知2()f x x =，求曲线在2x =处切线的斜率变：已知2()f x x =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标小结：求曲线上某点处的切线斜率的步骤：例2 已知3()f x x =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程思考1：该函数在0x =处有切线吗？若有求出，没有则说明原因活动三 瞬时速度与瞬时加速度(阅读书本，体会逼近思想，并完成下列问题) 例3 一质点的运动方程为2()10s t t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =时的瞬时速度例4 设一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求1t s =时的瞬时加速度和t m =s 时的瞬时加速度小结：求瞬时速度和瞬时加速度的步骤：思考2：从形式上对比瞬时速度、瞬时加速度与求切线斜率，你能发现他们之间的联系吗？思考3：平均变化率与瞬时变化率有何联系区别？活动四 自我检测1.书本第10页练习1.2.3. 42.自由落体运动的位移()S m 与时间()t s 的关系为212S gt =，（g 为常数） （1）求0t t s =时的瞬时速度（2）分别求0,1,2t s =时的瞬时速度.3.若函数2()2f x x =+图像上一点(0,2)P 及邻近一点（2,2x x +），则y x=_________4.函数3()f x x ax b =-++的图像与x 轴相切于点（1,0），则_______,_______a b ==5.已知曲线2y x =上一点39(,)416P ，求(1) 点P 处的切线的斜率. (2) 点P 处的切线的方程.。
02 瞬时变化率与平均变化率
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。
形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。
2-1 导数——瞬时变化率
【结论1】连续未必可导；可导一定连续.
【定义】
左导数：
f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
右导数：
f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
【结论2】可 导 左 右 导 数 存 在 且 相 等
f ( x0 )存 在 f( x0 ) f( x0 ) 【练习】P63 B3
v s s s0 280 0 140（ 公 里/ 小 时 ） t t t0 15 13
在行驶的过程中，速度表显示的速率是瞬时速率.
结论：在某一时刻 t，该车的瞬时速率一定大于120.
引例
【思考】数学上怎样理解平均速率和瞬时速率？ 【分析】速率 = 路程关于时间的变化率
x
k
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
瞬时速率、差商的极限、切线斜率本质均为函数f ( x)在x0
点处的瞬时变化率.
引例
本质
物理意义
平均变化率 平均速率
瞬时变化率 瞬时速率
几何意义 数学概念
割线斜率
差商
切线斜率 差商的极限
导数
lim f ( x0 h) f ( x0 )
第二章 一元微分学及其应用
2-1 导数——瞬时变化率 2-2 导数的基本公式及运算法则 2-3 导数的应用 2-4 高阶导数及其应用 2-6 函数的微分及其应用 2-7 微分中值定理 2-8 洛必达法则
简单实际——抽象概念——复杂实际（应用更丰富）
引例
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率_瞬时变化率教案北师大版选修2
变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。
平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。
2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。
我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。
用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的1，计算出相应的平均速度得到下表： 可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。
5.1.2瞬时变化率--导数课件-高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册
瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率 St0＋Δt－St0 无限趋近于 一个常数 ，那么 这个常数 称为物体
Δt 在 _t＝__t0_ 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的 瞬时变化率 .
提示 割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线， 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处 最逼近曲线的直线l， 此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.
名称
割线
切线
当点Q沿曲线C向点P运动，
设曲线C上一点P(x， 并无限靠近点P时，割线
f(x))，另一点Q(x＋Δx， PQ逼近点P的切线l，从而
第五章 第一节
第2课时 瞬时变化率---导数
曲线上一点处的切线
问题1 如图，我们把一条曲线上的任意一点 P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
提示 当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一 条确定的直线， 即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直 代曲的思想.
• 问题2 如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐 向P靠近时，有何现象出现？
• 注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度
就是速度对于时间的瞬时变化率.
1．如果质点 A 按照规律 s(t)＝3t2 运动，则在 t0＝3 时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
解析：∵s(t)＝3t2，t0＝3，
D．81
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔΔst＝18＋3Δt. 当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于 18，即质点 A 在 t0＝3 时瞬时速度为
高二数学 瞬时变化率课件 苏教版
y=f(x) Q
o P x
f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) kPQ ( x x) x x
(3)如何求切线的斜率?
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P 处切斜率)
由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
练习: P58-59:1,2,3
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线
yy=f(x) QFra bibliotek割 线 T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.
x
(2)如何求割线的斜率 ? y
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f ( x x) f ( x) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P 处切斜率)
求切线的斜率的步骤
x, f ( x0 x)) (2)求割线的斜率 k PQ
(1)设点P,Q ( x0 (3)当 x 无限趋近于0时,
k PQ 无限趋近于一个常数,
结论:
设物体作直线运动所经过的路程 为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时间内的平均速度为
(tt00 t) (t ss f f( t) f (ft 0 )0 ) v v 。。 tt tt
当t0时， v 常数 这个常数就是物体在t0时刻 的瞬时速度.
瞬时变化率课件
味 胜利”。在数学发展史上，微积分被认为是继欧氏
几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉
渴 为“数学史上的里程碑”。它在物理、化学、生物、
求 天文、地理以及经济等各个科学领域中都有非常广
新
泛而重要的应用。请同学们回去上网搜索，了解微 积分的相关知识，以及对此作出重大贡献的科学家.
知
课 后 作 业
二、例题分析
例1、已知函数
f
(x)
1 ，求：
x
（1）x=2时函数的瞬时变化率；
解： lim y lim f (2 x) f (2)
x0 x x0
x
lim
x0
1 2 x
x
1 2
lim
x0
1
22 x
1 4
（2）x= 解：
x0时函数的瞬时变化率；
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
1、已知函数f（x）＝x2－3x （1）求f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。 （2）求f（x）在x＝1处的瞬时变化率。 （3）求f（x）在x＝3处的瞬时变化率。 2、已知一个物体运动的位移（m）与时 间t（s）满足关系S（t）＝2t - t2， （1）求物体在t=t0秒时的瞬时速度； （2）求物体在t=0秒的瞬时速度； （3）求物体t秒时的瞬时速度； （4）求物体t秒时运动的加速度，并判 断物体作什么运动？
t
2t 2 10t 2t 10 t
（4）如何求t=2秒时的瞬时速度？
已求出物体从t1=2秒到t2=2+ △t秒这段时间内
的平均速度为：v 2t 10
如何求t=2秒时的瞬时速度呢？
分析： 当 t 的值较小时，v 的值就接近t=2时
的瞬时速度。
第2课时 瞬时变化率
第2课时 瞬时变化率---导数(1)教学目标1.了解曲线的切线的概念.2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程.教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.教学过程：一.问题情境: 平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?练习:求函数2()1f x x =+在1x =附近的平均变化率. 2+△x二. 建构数学:１．曲线的切线如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时,直线PQ 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动,割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 沿着曲线C 无限地逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ,这条直线l 称为曲线在点P 处的切线.2.确定曲线C 在点(,)P x y 处的切线斜率的方法 设曲线C 上一点(,())P x f x ,过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,()),Q x x f x x +∆+∆ 则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆. 当点Q 沿着曲线C 向点P 运动,并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点(,())P x f x 处的切线的斜率. 三、数学应用例1.已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线的斜率.(课本例1)变式:1.求21()f x x=过点(1,1)的切线方程;2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为____;3.(1)已知曲线3()f x x =上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在? (2)已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?(答案:1.230x y +-=;2.(1,1),(-1,-1);3.(1)存在为0,(2)不存在.)例2.求曲线f (x )=31x 3－x 2+5在x =1处的切线的倾斜角. 解：(1)(1)f x f x +∆-∆=3211(1)(1)5(15)33x x x+∆-+∆+--+∆=21()13x ∆-,当x ∆无限趋于0时,上式无限趋于常数-1,∵切线的倾斜角α∈［0，π)，∴α=43π. 四.回顾小结 ：曲线在一点处的切线的概念; 会利用无限逼近的方法求切线的斜率.五.导数及其应用作业2答案:1.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 . 1 2.过抛物线2y x =上的点M （41,21）的切线的倾斜角是 . 450 3.曲线221x y =在（1，21）处切线的方程是__________.021=+-x y 4.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则____.a =145．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 .324270p q += 6.曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 .(1-2,),(-1,2)7.已知抛物线42-=x y 与直线2y x =+.求：（1）直线与抛物线的交点坐标；（2）抛物线在交点处的切线方程.解：（1）352,0-（，）,(）.（2） =---∆+=∆)4(4)(22x x x y 22x x x ∆+∆, )2(22x x xx x x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆.∴当交点为（3，5）时，k =6，故切线方程为：0136x -y =+;当交点为（-2，0）时，k =-4，故切线方程为：084=++x y .8.已知曲线21:C y ax =上点P 处的切线为1l ，曲线C 2：y=bx 3上点A （1，b ）处的切线为2l ，且1l ⊥2l ，垂足M （2，2），求a 、b 的值及点P 的坐标.解:设P （t ，at 2），则1l 斜率k 1=2at,∴1l ：y-at 2=2at(x-t), 2l 斜率k 2=3b, ∴2l ：y-b=3b(x-1), ∵ 2l 与1l 交于点M （2，2）∴ ⎩⎨⎧-=--=-)12(b 3b 2)t 2(at 2at 22∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+-21b 02at 4at 2 ① 又1l ⊥2l ,∴ k 1k 2=-1 ,∴ 31at -= ②, 由①②得t=10，a=-301 ,∴ P(10,-310) . 9．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值.M ,最小值为10.导数及其应用作业2班级 姓名1.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 . 2.过抛物线2y x =上的点M （41,21）的切线的倾斜角是 . 3.曲线221x y =在（1，21）处切线的方程是__________. 4.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则____.a = 5．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 .6.曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 .7.已知抛物线42-=x y 与直线2y x =+.求：（1）直线与抛物线的交点坐标；（2）抛物线在交点处的切线方程.8.已知曲线21:C y ax =上点P 处的切线为1l ，曲线C 2：y=bx 3上点A （1，b ）处的切线为2l ，且1l ⊥2l ，垂足M （2，2），求a 、b 的值及点P 的坐标.9．已知定点A (－2,3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值.。
2 瞬时变化率--导数
瞬时变化率—导数 NO.2【教学目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想【重点难点】导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力。
一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、新课讲解设曲线C 上一点P(x ，f(x))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q （x x +∆，()f x x +∆）则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x xx +∆-+∆-==+∆-∆ 1、曲线上一点处的切线斜率当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点P(x ，f(x))处的切线的斜率。
()()f x x f x k x+∆-=∆，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x ，f(x))处切线的斜率。
2．瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体的位移S( t)的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t=t 0时的瞬时速度，也就是位移对时间的瞬时变化率求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率3．导数：函数在某点的瞬时变化率)0()()(00→∆→∆-∆+=∆∆x A xx f x x f x y 记作)(0x f ' 三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
瞬时变化率
§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授 1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，h to平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()limlim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业教材习题1.1A 组3,4。
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班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组
§1(2) 瞬时变化率
【学习目标】
1.复习理解函数平均变化率的意义；
2.理解函数的瞬时变化率的概念；
3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】
函数的瞬时变化率 【学习难点】
求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习
1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？
2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？
例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：
s)的函数关系为22
1
gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球
在t=5s 这个时刻的瞬时速度.
解：
3．函数的瞬时变化率：
对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .
t 1/s
t 2/s
时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（
t
s
∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … …
…
…
二.合作探究
1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．
2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。
三． 课堂检测
1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？
2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.
3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为22
1
gt S =（g
为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。
四.课堂小结
求平均变化率和瞬时变化率的步骤：
（1）作差：Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1)；
（2）作商并化简得平均变化率：x
x f x x f x x x f x f x
∆-∆+=--=∆∆)()()()(y 111
212.
（3）在上式中令Δx 趋于0时，得瞬时变化率.。