初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型
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旋转提升专题
知识点一旋转构造全等
几何变换——旋转
（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)
以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化
二利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
2.如图，正方形ABCD边长为3，点E、F分别在边BC、CD上且EAF=45°
,求△CEF的周长。
知识点三（知识点名称）
【例题精讲】1.
例2.
1.
2.
3.
旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：
如图，已知抛物线 与x轴交于A来自百度文库B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H。
2、旋转变换还用于处理：
①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短；
②有关线段的不等关系；
③自己构造绕某点旋转某角度（特别是60度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。
【课堂练习】
1.如图1，已知边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG有一个公共点A，（a≥2b）,且点F在AD上。（以下结果可以用含a、b的代数式表示）
（1）求S△DBF;
（2）把正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，得到图2，求图2中的S△DBF;
（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值如果存在，试求出最大值、最小值；若不存在，请说明理由。
图1图2
2.四边形ABCD中，DAB=BCD=90°，CD=CB,AC=,求四边形ABCD的面积。
例2.如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
⑴求证：
⑵①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
⑶当 的最小值为 时，求正方形的边长．
方法总结:
1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言
知识点二利用全等构造特殊三角形
【例题精讲】
例1.点P为等边△ABC内一点，若PA=2，PB=,PC=1,求BPC的度数。
例2.图，点P为正方形ABCD内一点，若PA=2，PB=4，APB=135°,求PC的长。
1.如图，在△ABC中，A=90°,AB=AC,D是斜边BC上一点，求证：BD2+CD2=2AD2
（1）求A,B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴的正半轴上一动点（OE>OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值。
1、如图，四边形OABC和ODEF都是正方形，CF交OA于点P,交DA于点Q.
（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形
三旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等
（2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 ．
【例题精讲】
例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。
(1)求证：AD=CF
(2)AD与CF垂直吗说说你的理由；
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化为什么
2.已知菱形ABCD中，B=60°，若EAF=60°.求证：△AEF是等边三角形。
3.已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和最小值为+，求此正方形的边长。
知识点一旋转构造全等
几何变换——旋转
（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)
以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化
二利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
2.如图，正方形ABCD边长为3，点E、F分别在边BC、CD上且EAF=45°
,求△CEF的周长。
知识点三（知识点名称）
【例题精讲】1.
例2.
1.
2.
3.
旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：
如图，已知抛物线 与x轴交于A来自百度文库B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H。
2、旋转变换还用于处理：
①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短；
②有关线段的不等关系；
③自己构造绕某点旋转某角度（特别是60度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。
【课堂练习】
1.如图1，已知边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG有一个公共点A，（a≥2b）,且点F在AD上。（以下结果可以用含a、b的代数式表示）
（1）求S△DBF;
（2）把正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，得到图2，求图2中的S△DBF;
（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值如果存在，试求出最大值、最小值；若不存在，请说明理由。
图1图2
2.四边形ABCD中，DAB=BCD=90°，CD=CB,AC=,求四边形ABCD的面积。
例2.如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
⑴求证：
⑵①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
⑶当 的最小值为 时，求正方形的边长．
方法总结:
1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言
知识点二利用全等构造特殊三角形
【例题精讲】
例1.点P为等边△ABC内一点，若PA=2，PB=,PC=1,求BPC的度数。
例2.图，点P为正方形ABCD内一点，若PA=2，PB=4，APB=135°,求PC的长。
1.如图，在△ABC中，A=90°,AB=AC,D是斜边BC上一点，求证：BD2+CD2=2AD2
（1）求A,B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴的正半轴上一动点（OE>OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值。
1、如图，四边形OABC和ODEF都是正方形，CF交OA于点P,交DA于点Q.
（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形
三旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等
（2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 ．
【例题精讲】
例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。
(1)求证：AD=CF
(2)AD与CF垂直吗说说你的理由；
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化为什么
2.已知菱形ABCD中，B=60°，若EAF=60°.求证：△AEF是等边三角形。
3.已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和最小值为+，求此正方形的边长。