3-复合材料力学-细观力学-单层板模量0528
复合材料力学第11章单层复合材料的细观力学分析
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
第6章 复合材料细观力学PPT
物理关系
G , G , G Ⅱ
12
12 12 f 12
f 12 f m12
m12 m
于是
GⅡ 12
Gf
f
Gm m
6.3.3 植村-山胁的经验公式
E1 EⅠ1 E1Ⅱ
E2 (1 c)EⅠ2 cEⅡ2
1 (1 c)Ⅰ1 c1Ⅱ
2
E2 E1
1
G12 (1 c)GⅠ12 cG1Ⅱ2
(3)泊松比
I 1
,
I 2
当正轴σ1方向受力作用时，纵向泊 松比的定义为
I 1
2 1
单元的横向变形量Δb为 b b 2 b1I 1
从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基 体的横向变形量之和,即
bbf 2 bm2 bff 2 bmm2 bfff1bmmm1
3
因为
1 f 1 m1
所以
E f 1 Em f 3(1 f )
（拉压 型）
Xc
Gm 1 f
（剪切 型）
7
练习题
• 用材料力学方法证明单向纤维复合材料中纤维所承受
载荷Pf与纵向总裁荷P之比为
Pf 1/(1 Em m )
P
Ef f
• 已知某纤维Xft=2000MPa,Ef1=90GPa,基体树脂 Xmt=220MPa,Em=3.5GPa.若基体的延伸率大于纤维，试 求由以上基体和纤维制得的复合材料单向板的临界纤
X ft
X mt
X ft
Em Ef1
vfmin称为纤维控制的最小体积含量
6.4.2 纵向压缩强度Xc
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度
X c 2 f
E f Em f 3(1 f )
复合材料细观力学
总应变ij必须是相容的
ij
1 2
ui, j u j,i
(2-2)
弹性应变与应力通过Hooke’s law联系在一起
ij Cijklekl Cijkl
kl
* kl
或者
(2-3)
ij Cijkl
uk ,l
* kl
(2-4)
2. 弹性问题的基本方程
边界条件为
ij 0
lim x 0
(2-12)
2. 弹性问题的基本方程
将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
和
(2-13)
Cijkluk,l n j
Cijkl
kl
n
j
(2-14)
由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对 平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。
对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
(3-1)
Fourier积分变换
三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为
F ξ
1
8 3
f
xexp
iξ
xdx
f
x
F
ξ
expiξ
(3-11)
对方程（3.6）进行Fourier反变换，并根据几何方
程和本构关系，我们有
ui x
i
C
jlmn mn
复合材料力学与结构设计：第2章 单层板细观力学
• 实验结果： • 差异较大
3 主泊松比 12
单向板在纤维方向受力拉伸，主泊松比
12
2 1
• 仍以矩形块代表纤维和基体，纵向拉伸时，横 向变形是纤维和基体变形之和。即：
wc: 复合材料重量 ws: weight of sinker when immersed in water ww: weight of sinker and specimen when immersed in water
2 复合材料进行燃烧或酸解
(1)玻璃复合纤维材料用燃烧法
(2) carbon-and aramid-based composites are digested in solutions
m
tm tc
f
Vf
m Vm
4 面内剪切模量 G12
对于相同的材料模量，施加面内剪切力
剪切变形：c f m
c c tc, f f t f , m m tm
c
c
G12
,
f
f
Gf
,
m
m
Gm
c
G12
tc
f
Gf
tf
m
Gm
tm
c f m
1 V f Vm G12 G f Gm
wc
ce
( ct ce ) ct
空洞体积分数
Vv
vv vc
ct ce ct
例: 一碳纤/环氧长方体试件尺寸a*b*c，质
量 M，c 当把试件放入硫酸(sulfuric acid)和双氧 水（hydrogen peroxide)的混合物中，剩下的碳
复合材料细观力学56页PPT文档
V
ij
1 2 1 2 1 2
V
V
ij d V
s (
i0
x n
j
1 2
s (u
0 j
x
in ni
j
) ds
u
jn i
V [ (
i0
x
),
j (
0 j
x
), i
] dV
V
(
i0
0 i
dV
x
,j
V
0
3D knitted composites for bicycle helmets
(a) cylinder and flange; (b) egg crate structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.;
and (d) various
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
ij eij i*j
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时， 椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分 形式）
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
u
i
(
s
)
0 ij
x
j
Ti
(
s
)
0 ij
n
j
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
05力学
增强相：主要承受绝大部分载荷、增强、增韧。
功能体：赋予一定功能。 界面相：复合材料产生组合力学及其它性能，复合效应产生的根源。
PMC界面区域示意图
1.外力场
2.树脂基体
3.基体表面区
4.相互渗透区
5.增强材料表面区
6.增强材料
1.外力场
2、复合材料的复合效应
固有性质，如密度、模量、 混合效应：线性加合 比热 非固有性质，如强度、泊松 比等
的纤维使材料具有明显的各向异性。纤维采用正交编织，相互垂直
的方向均具有好的性能。纤维采用三维编织，可获得各方向力学性 能均优的材料。
纤维增强复合ห้องสมุดไป่ตู้料
通常用碳纤维、玻璃纤维和芳纶纤维增强高分子材料。
这类复合材料的性能较环氧树脂等基体有大幅度的提高，比强 度也高得多。 材料种类 环氧树脂 环氧树脂 / E级玻璃纤维 环氧树脂 / 碳纤维（高弹性） 环氧树脂 / 芳纶纤维（49） 环氧树脂 / 硼纤维（70 % Vf ） 纵向抗拉强度 纵向弹性模量 MPa GPa 69 1020 1240 1380 1400-2100 6.9 45 145 76 210-280
硼纤维：以钨丝或碳纤维为芯、表层为硼的皮芯型复合纤维。
5. 复合材料力学分类
复合材料力学
材料力学 细观力学
结构力学
叠层力学 或 粗观力学
宏观力学
◆细观力学-----是以复合材料中各相材料的性能及相几何作为已知 条件，把复合材料视为均匀材料（即等效均匀体） 计算的平均性能的数值 以纤维和基体为均质连续相为基础 ◆粗观力学-----是以纤维增强基体单层为均相，并利用其性能计算 复合材料的性能 ◆宏观力学-----以叠层复合材料的性能，设计复合材料的结构
复合材料细观力学性能
陶瓷纳米复合材料细观力学性能分析一.弓I言纳米材料是指尺度为I 一100nm的超粒，经压制、烧结或溅射而成的凝聚态固体。
它是80年代刚刚发展起来的先进材料，被美国材料科学会誉为“21世纪最有前途的材料”。
因此受到发达国家的高度重视，并且都在其发展高技术的计划中瞄准了这一新的材料领域，投人了相当的人力和物力⑴。
陶瓷材料是一种很有发展前途的结构材料，具有高的硬度，耐磨性，耐高温性，耐腐蚀性等其他材料无法比拟的优异性能，但脆性问题大大限制了陶瓷材料的应用发展，为进一步改善其断裂韧性和强度而进行陶瓷复合材料的研究。
陶瓷纳米复合材料是新近发展起来的一种陶瓷复合材料，复合系中至少一相为纳米尺寸［2,3］。
二.纳米陶瓷复合材料的分类在新型的纳米陶瓷复合材料中，其中的各相或至少其中某一相在一维上为纳米级，根据弥散相的不同和基体尺寸可分为晶内型，晶界型，晶内/晶界混合型，纳米/纳米型，如图1。
纳米弥散相分布在基体相晶粒内部为晶内型；纳米弥散相分布在基体晶界上为晶界型；实际制备中往往很难获得单纯一种纳米相处于晶内或者纳米相处于晶界上的纳米复合材料，多为晶内/晶间复合型；而在纳米/纳米复合陶瓷材料中所有各相晶粒均为纳米级。
纳米/纳米复合陶瓷材料在制备上对粉体性能以及烧结等工艺过程要求严格，使材料具有新的性能，如超塑性⑷。
图2-1纳米陶瓷复合材料的分类三.纳米陶瓷复合材料的力学性能分析3.1 AI2O3粉末对纳米陶瓷复合材料的影响为了改善纳米陶瓷复合材料的力学性能，探讨添加不同粒径和含量的Al 2O3粉末对纳米陶瓷复合材料微观结构和力学性能的影响。
实验采用真空热压烧结工艺来制备ZrO2纳米陶瓷复合材料，添加相包括AI2O3等金属粉末。
混合粉末经球磨48h和真空干燥24h后备用•在烧结温度为1450E、压力为30MPa、保温1h的条件下，采用真空热压烧结工艺，将干燥后的混合粉末制备成样品。
制得的样片厚度约为5mm，并经过切割、粗磨、精磨、研磨和抛光后，制成3mm x 4mm x 30mm的标准试样。
复合材料力学第03章单层复合材料的宏观力学]分析PPT课件
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11
平面应变状态(4)
0 0 S013 0 0
S0 023 1 2 S0 033
0 S44 0
0 0 03
S55 0
S 13
03
S 33 0
0
0
S 23
S 33 0
0
1 2
12S66 12 12
平面应变状态(5)
1
2
12
S11
S123 S33
§3.2 单向板的偏轴应力 应变关系
• 应力转轴公式 • 应变转换公式 • 偏轴应力—应变关系 • 偏轴工程常数 • 主应力与主应变
18
§3.2.1
• 应力转轴公式
(a)
(b)
图3-2 单元体平衡 19
§3.2.1
（a）X方向平衡:
x 1c2 o s2s2 in 2 1s2 ic n os
mn mn m2 n2
22
§3.2.2
• 应变转换公式
转换公式的获得与上述相似，但稍繁
12
m2 n2
n2 m2
mmnnxy
12 2mn2mnm2n2xy
23
应变转换公式（1）
0 0
12 0 0 0 0 0 S6612
10
平面应变状态(3)
1 2 S S1 12 1
S S1 22 2 1 2 S S1 23 3
0 0
0 0 0 03
利用：3c311c322
12S1S211S1SSS3133S233323
S1S222S1SSS33S3223332312
Pl.和Pl. 下的柔度矩阵和刚度矩阵
[S],[Q],[C],[R].
15
习题（1）
复合材料力学课件第03章 单层复合材料的宏观力学]分析
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E
反过来：
1 2
Q11 Q21
Q12 Q22
0 0
1 2
12 0 0 Q66 12
Q11
E
1 2
,
Q12
E 1 2
,
Q66
E 2(1
)
§3.1.2
• 平面应变状态
3 13 23 0
1 c11 c12 c13 0 0 0 1
2
c21
c22
c23
0
0
0
剪切应力
xy引起的正应变
y
/
剪应
合系数
变 xy
偏轴工程常数（2）
xy,x
xy x
xy, y
xy y
正应力
引起的剪切应变
x
xy
与产生的正应变 x之比
拉剪耦
正应力
引起的剪切应变
y
xy
合系数
与产生的正应变 y之比
偏轴工程常数（3）
偏轴工程常数Ex,Ey,Gxy,xy,x,xyy,xy与正轴工 程常数E1,E2, 12,G12的关系可通过
Ey
xy, y
Ey
x,
xy
Gxy
y, xy
Gxy
1
Gxy
考虑对称性：
x,xy
xy, x
G xy
Ex
y,xy
xy, y
G xy
Ey
偏轴工程常数（1）
耦合常数或交叉弹性常数
x, xy
x 剪切应力 xy引起的正应变 x / 剪应
xy 变 xy
剪拉耦
y,xy
y xy
1 , 2 , 12 T S 1 , 2 , 12 T
复合材料力学资料
目录复合材料细观力学 (1)简支层合板的自由振动 (9)不同条件下对称层合板的弯曲分析 (14)复合材料细观力学——混凝土细观力学一、研究背景复合材料细观力学复合材料细观力学是20世纪力学领域重要的科学研究成果之一，是连续介质力学和材料科学相互衍生形成的新兴学科。
近20年来，我国科技工作者应用材料细观力学的理论和方法，成功研究了许多复合材料的增强，断裂和破坏问题，给出了一些特色和有价值的研究成果。
混凝土细观力学混凝土作为一种重要的建筑材料已有百余年的历史，它广泛应用于房屋、桥梁、道路、矿井、及军工等诸多方面。
在水工建筑方面，混凝土也被大量使用，特别是大体积混凝土，它是重力坝和拱坝的主要组成部分，对混凝土各项力学性能的准确把握及应用，在一定程度上决定了水工建筑物的质量和安全性能。
二、研究目的长期以来，在混凝土应用的各个领域里，人们对混凝土的力学特性进行了大量的研究。
如何充分的利用混凝土的力学性能，建造出更经济、更安全和更合理的建筑物或工程结构，一直都是结构工程设计领域研究的重要课题。
三、研究现状混凝土是由粗骨料和水泥砂浆组成的非均质材料，它的力学性能受到材料的品质、组分、施工工艺和使用条件等因素的影响。
过去，人们对混凝土力学性能的研究很大程度上是依靠实验来确定的。
随着实验技术的发展，混凝土各种力学性能被揭示出来。
但由于实验需要花费大量的人力、物力和财力，而且所得到的实验成果往往由于实验条件的限制也是很有限的。
现代科学的一个重要的思维方式与研究方法就是层次方法，在对客观世界的研究中，当停留在某一层次，许多问题无法解决时，深入到下一个层次，问题就会迎刃而解。
对混凝土断裂问题的研究归纳为如下四个研究层次：1)宏观层次：混凝土这种非均质材料存在着一个特征体积，经验的特征体积相应于3～4倍的最大骨料体积。
当混凝土体积大于这种特征体积时，材料被假定为均质的，当小于这种特征体积时，材料的非均质性将会十分明显。
有限元计算结果反映了一定体积内的平均效应，这个特征体积的平均应力和平均应变称之谓宏观应力和宏观应变。
复合材料结构设计第四章细观力学
• 玻璃纤维密度一般取2.54g/cm3，热固性树脂浇铸体的 密度近似取为1.27g/cm3 .则玻璃纤维增强塑料中纤维体 积含量可简化为：
1 mm vf 1 mm
（4.2.14）
4.3 单向连续纤维增强复合材料弹性 常数的预测
• 下图所示为复合材料单向板，将它简化为薄片 模型Ⅰ和薄片模型Ⅱ。模型Ⅰ的纤维薄片和基 体薄片在横向呈串联形式，故称为串联模型。 它意味纤维在横向完全被基体隔开，适用于纤 维所占百分比少的情况。模型Ⅱ的纤维薄片与 基体薄片在横向呈并联形式，故称为并联模型。 它意味纤维在横向完全连通，适用于纤维所占 百分比较高的情况。 • 一般说来，实际情况是介于两者之间的某个状 态。
mm f 1 1 m m m
（4.2.10）
f / m m f / m m f / mm
（4.2.11）
或者
f / m mf f / m vm / v f m / f mm m / f v f / vm
（4.2.12）
（4.2.13）
静力关系为： 12 f 12 f m12m
几何关系为：
(4.3.28) (4.3.29) (4.3.30)
12 f 12 m12
物理关系为： 12 12G12 , f 12 f 12G f 12 , m12 m12Gm12
将(4.3.27)代入(4.3.27)得
(4.3.20)
假设基体和纤维中剪切应力相等，即
12 f 12 m12
将上述三式整理并除以b得
(4.3.21)
1 1 1 I vf I v m I G 12 G f Gm
(4.3.22)
复合材料力学ppt课件
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7
（3）复合材料结构力学 它借助现有均匀各向同性材料结构力学的分 析方法，对各种形状的结构元件如板、壳等 进行力学分析，其中有层合板和壳结构的弯 曲、屈曲与振动问题以及疲劳、断裂、损伤 、开孔强度等问题。
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8
4复合材料的优点和缺点
复合材料的优点
(1)比强度高。
(2)比模量高。
示对称，“±”号表示两层正负角交错。
40/5 90/0 0 0/0 0/90/0 405 还可表示为 405 /900 /0 0s ，s表示
铺层上下对称。
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5
3复合材料的力学分析方法 （1）细观力学 它以纤维和基体作为基本单元，把纤维和基 体分别看成是各向同性的均匀材料(有的纤维 属横观各向同性材料)，根据材料纤维的几何 形状和布置形式、纤维和基体的力学性能、 纤维和基体之间的相互作用(有时应考虑纤维 和基体之间界面的作用)等条件来分析复合材 料的宏观物理力学性能。
21
四 单层复合材料的宏观力学分析 1 平面应力下单层复合材料的应力一应变关系 可近似认为 3 0 ， ，这就定义 23 431 50 了平面 应力状态，对正交各向异性材料，平面应力状态下 应力应变关系为
(3.1)
其中，
S 11
1 E1
S 22
1 E2
S 66
1 G12
S12E121E212
主方向应变分量间关系为
反过来有
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26
（3）任意方向上的应力一应变关系 在正交各向异性材料巾，平面应力状态主方向有下 列应力应变关系式
(3.4)
现应用式(3.3)和式(3.4)可得出偏轴向应力-应变 关系：
现用 Q 表示 T1Q(T1) ，则在x-y坐标中应力应变关系 可表示为
复合材料力学沈观林编着清华大学出版社
《复合材料力学》沈观林编著清华大学出版社第一章复合材料概论1.1复合材料及其种类1、复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。
2、复合材料从应用的性质分为功能复合材料和结构复合材料两大类。
功能复合材料主要具有特殊的功能。
3、结构复合材料由基体材料和增强材料两种组分组成。
其中增强材料在复合材料中起主要作用，提供刚度和强度，基本控制其性能。
基体材料起配合作用，支持和固定纤维材料，传递纤维间的载荷，保护纤维。
根据复合材料中增强材料的几何形状，复合材料可分为三大类：颗粒复合材料、纤维增强复合材料(fiber-reinforced composite)、层和复合材料。
(1)颗粒：非金属颗粒在非金属基体中的复合材料如混凝土；金属颗粒在非金属基体如固体火箭推进剂；非金属在金属集体中如金属陶瓷。
(2)层合（至少两层材料复合而成）：双金属片；涂覆金属；夹层玻璃。
(3)纤维增强：按纤维种类分为玻璃纤维（玻璃钢）、硼纤维、碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维和芳纶纤维等。
按基体材料分为各种树脂基体、金属基体、陶瓷基体、和碳基体。
按纤维形状、尺寸可分为连续纤维、短纤维、纤维布增强复合材料。
还有两种或更多纤维增强一种基体的复合材料。
如玻璃纤维和碳纤维增强树脂称为混杂纤维复合材料。
5、常用纤维（性能表见P7表1-1）玻璃纤维（高强度、高延伸率、低弹性模量、耐高温）硼纤维（早期用于飞行器，价高）碳纤维（主要以聚丙烯腈PAN纤维或沥青为原料，经加热氧化，碳化、石墨化处理而成；可分为高强度、高模量、极高模量，后两种成为石墨纤维（经石墨化2500~3000°C）；密度比玻璃纤维小、弹性模量比其高；应力—应变关系为一直线，纤维断裂前是弹性体；高模量碳纤维的最大延伸率为0.35%,高强度的延伸率为 1.5%；纤维直径6~10μm；各向异性，沿纤维方向热膨胀系数α1=-0.7×10-6~-0.9×10-6，垂直于纤维方向α2=22×10-6~32×10-6）芳纶纤维（Kevlar，聚芳酰胺，K-29绳索电缆、K-49复合材料制造、K-149航天容器；单丝强度比玻璃纤维高45%，弹性模量为碳纤维一半，α与碳纤维接近）碳化硅纤维与氧化铝纤维（同属于陶瓷纤维，碳化硅有抗氧化、耐腐蚀、耐高温优点，与金属相容性好；氧化铝纤维有多重制法）6、常用基体树脂基体（分为热固性树脂和热塑性，热固性有环氧、酚醛、不饱和聚酯树脂等；其中环氧应用最广，粘结力强、表面浸润性好、固化收缩性较高、耐热性固化方便；酚醛耐高温、吸水性小，电绝缘性好、便宜；聚酯工艺性好，室温固化，固化后均不能软化；热塑性有聚乙烯、聚苯乙烯、聚酰胺/尼龙、聚碳酸酯、聚丙烯等，加热转变温度会重新软化，制成模压复合材料）金属基体（耐高温、抗侵蚀、导电导热、不透气，应用较多的是铝）陶瓷基体（耐高温、化学稳定性好、高模量、高抗压强度、耐冲击性差）碳素基体（主要用于碳纤维增强碳基体复合材料，又称为碳/碳复合材料，C-CA、C-CE分别用聚丙烯腈氧化法和催化法生产）1.2复合材料的构造及制法1、纤维增强复合材料几种构造形式：（1）单层复合材料（单层板），纤维按一个方向整齐排列或由双向交织纤维平面排列。
复合材料力学
复合材料细观力学的均匀化理论1 引言随着科学技术的发展，复合材料由于其众所周知的高效性和特殊性而逐渐在各个领域取得了广泛的应用。
无论是军事、航空航天，还是建筑、汽车、电子、体育器械，几乎每个领域都能找到复合材料的身影。
通常人们把复合材料所占比例的多少作为衡量一个学科先进与否的重要参数。
使用复合材料的目的是为了利用它较高的性能比(如夹层板等)或者它在某一方面的特殊材料性质(如压电晶体、具有特殊热弹性性质的梯度材料等)。
由于对复合材料的要求比较苛刻，这就需要人们具有对其定量分析和根据一定的要求来进行特定的优化和设计的能力。
细观力学是一门通过研究材料在细观尺度上的结构、组成、分布等材料的构成来分析材料的物理、力学等材料性质的方法。
有限元法与细观力学及材料科学相结合产生了计算细观力学。
作为计算细观力学的最主要的组成部分，计算细观力学的发展一直是近十年来细观计算力学发展的主要特征和推动力。
它主要研究组分材料间力的相互作用和定量描述细观结构与材料性能之间的关系。
计算细观力学在求解复合材料细观力学问题中的应用正是在七十年代随着细观力学的起飞而发展起来的。
然而，该领域发展的高峰却是随着计算材料科学(或称为计算机辅助材料设计科学)的兴起才出现。
可以说计算细观力学与计算材料科学二者一之间互为促进共同发展。
均匀化理论的主要思想是，针对非均匀复合材料的周期性分布这一特点，选取适当的相对于宏观尺度很小并能反映材料组成性质的单胞，建立模型，确定单胞的描述变量，写出能量表达式(势能或余能等)，利用能量极值原理计算变分，得出基本求解方程，再利用周期性条件和均匀性条件及一定的数学变换，便可以联立求解，最后通过类比可以得到宏观等效的弹性系数张量、热膨胀系数张量、热弹性常数张量等一系列等效的材料系数。
近年来，计算机技术的飞速发展为大规模的科学计算.提供了可行性，均匀化方法的应用也随之广泛起来。
基于均匀化方法的复合材料设计、材料性能预测与优化、结构分析及优化在航空、航天、交通、建筑、机械制造、运动器械等领域都方兴未艾。
9.第九次课——单层板的细观力学分析
3. 层合板的内力-应变关系式
Nx Q11 x h n Z k N y 2h y dz Z Q12 k 1 k 1 2 N xy xy Q 16
Q Q Q Q Q Q
o x
平面内的剪应变
y
z
w仅为x、y的函数； u0、v0、w0，仅是x、y的函数
z
w u w v w 0, xz 0, yz 0 z z x z y
通过上述假设，建立起经典层合板理论
1. 层合板的应变
2 w( x, y ) w ( u ( x , y ) z ) 2 0 u u w 层合板中面弯 x 0 z 2 ,k x 2 x 曲变形的曲率 x x x x x 2 w( x, y ) w 层合板中面弯 ( v ( x , y ) z ) 0 2 v0 v w y ky 2 曲变形的曲率 z , y y 2 y y y y 2 2 w 层合板扭曲变 v0 u0 v u w ( ) 2z xy k xy 2 x y y x xy xy 形的曲率
将其代入层合板内力表达式
(k ) Mx x x h n Zk (k ) 2 M zdz y h y y zdz Z k 1 k 1 2 M ( k ) xy xy xy
h/2
h / 2
yx zdz,
依据以上经典层合理论，只考虑平面应力状态，不考虑各单 层之间的层间应力。由于层合板各个单层的偏轴模量 Qij 是不 同的，层合板的应力是不连续分布的，只能分层积分。
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理想代表体积元f m截面相等
实际的代表体积元f m截面不相等
24
25
子区域划分法：
B子区域应用 逆混合法则
26
再对ABA三个子区域应用混合法则：
式3.54称横向模量的“子区域法”
27
弹性力学方法： 数值模拟（有限差分）方法： 数值模拟（有限元）方法：
28
半经验公式： The Halpin–Tsai equation
composite, fiber, and matrix properties are known
18
an E-glass/epoxy composite
we find that a1 = 2.0884, b1 = 0.1093, 通过能量方法验证说明该材料符合应变相等的假设！
19
确定图示钢筋混凝土的E1 其中混凝土Em=17GPa, Ef=200 解：
逆混合： 子区域法 method of subregions
30
For the Halpin–Tsai Equation 3.63 For the Tsai–Hahn Equation 3.66
31
Summary: the inverse rule of mixtures prediction for the transverse modulus is considerably lower than experimentally determined values. However, the higher values given by the method of subregions, Spencer’s equation, the Halpin–Tsai equation, and the Tsai–Hahn equation are in good agreement with each other and with experimental values, and so these equations are recommended for design use!
12
（预测单层板的工程常数） 1、纵向模量E1
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A representative volume element (RVE)代表体元及其应力表示
体积比等于截面的 面积比！
14
纵向加载可分析截面平均应力。根据静力平衡有：
两边除以总截面面积，得所谓“混合法则” 只考虑“1”主方向，有一维胡克定律： 代入式（3.23）： 假设纤维基体牢固结合，即应变相等，可约去，得：
15
16
小弹性应变能
U=1/2σε×V=1/2Eε2×V=1/2σ2/E×V
应变相等，约去
17
若应变相等假设不相等会怎样？
可以设：
a1=
where a1 and b1 are constants.
b1=
由应变能密度： ν=U/V=1/2×σ2/E以Leabharlann 应变能关系：“应力混合法则”
3.31 and 3.32 can be solved simultaneously for a1 and b1 when
5
确定孔隙含量： 单层板的体积组成：纤维、基体、孔隙； 单层板的质量组成：纤维、基体 单层板的密度： 孔隙体积比the void fraction
6
纤维体积分数计算： 类似地，基体体积分数计算：
7
例题3.2 A carbon/epoxy composite specimen has dimensions of 2.54 cm × 2.54 cm × 0.3 cm and a weight of 2.98 g. After “resin digestion” in an acid solution, the remaining carbon fibers weigh 1.863 g. From independent tests, the densities of the carbon fibers and epoxy matrix materials are found to be 1.9 and 1.2 g/cm3, respectively. Determine the volume fractions of fibers, epoxy matrix, and voids in the specimen.
其中ξ=2时，与体积0.55的圆形纤维复材吻合良好 the Tsai–Hahn equation
其中η表示基体与纤维的横向应力比，η=0.5式，与实验吻合良2好9
例题3.8 某复合材料vf=0.506; vm=0.482; vv=0.0122 Ef1 = 32.0 × 106 psi (220 GPa), Ef2 = 2.0 × 106 psi(13.79 GPa), and Em = 0.5× 106 psi; Compare Estimated E2
复合材料力学与结构
3-细观力学-单层板有效模量
曾盛渠 湖南工学院 高分子复合材料教研室 2020.5
1
感谢以下参考教材
• [1]《复合材料力学基础》Principles of Composite Material Mechanics by Ronald F. Gibson, 张晓晶等翻译，2019（中译版以及 原版）
the volume fraction of the steel rods is only 5.5%, the steel contributes about 40% of the longitudinal composite modulus because of the high modulus of steel (200 GPa) relative to that of concrete (17 GPa).
• [2]Stress-Analysis-of-Fiber-Reinforced-Composite-Materials,1998（英 文原版）Hyer著，弗吉尼亚理工.
2
细观力学： 根据纤维和基体的材料性能、相对体积含量、几何排列等， 预测 连续纤维增强板的有效模量
3
4
关键要素之一： 相对体积和相对质量 预测模型的方程使用相对体积（如何测量？） 但是，相对质量更容易测量（想一想，如何测量？）
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如图横向加载，不能采用纵向加载时的 截面平均应力来分析， 只能用应变进行分析： 首先，2方向总伸长有：
各个伸长量：
代入上式有：
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The 1D Hooke’s laws for this case are
假设横向各部分的应力相等， 可得“逆混合法则”
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逆混合公式：
各部分应力相等的假设，不符合实际 实际纤维和基体的力与面积不相等
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本章完！
33
Solution The composite density is
8
From Equation 3.9, the void fraction is Then, from Equation 3.6
9
10
11
实际的纤维不是完美的圆形！ 充填在基体的方式也是随机的，如图 实际的纤维体积分数：0.5-0.8