命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

实用标准

●高考明方向

1.理解命题的概念．

2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、

否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 .

★备考知考情

常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查

形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题

的重点主要有两个：

一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命

题的真假判断；

二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 .

一、知识梳理《名师一号》 P4

知识点一命题及四种命题

1、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

注意：

命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句

都不是命题。

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系．

(2)四种命题的真假关系

实用标准

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．

注意：(补充)

1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题

2、常见词语的否定

原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个

否定词语一个也没有某两个小于（ <）是

不小于（≥）不是至多有 n 个或

至少有 n+1 个且

所有的任意的某些某个

知识点二充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件的概念

（ 1）充分条件：

p q 则 p 是 q 的充分条件

即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。

（ 2）必要条件：

p q 则 q 是 p 的必要条件

p q q p

即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的

条件，即无它不可。

( 补充 ) （ 3）充要条件

p q且q p 即 p q

则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等

( 补充 ) 2、充要关系的类型

（ 1）充分但不必要条件

定义：若 p q ，但 q p ，

则p是 q 的充分但不必要条件；

（2）必要但不充分条件

定义：若 q p，但 p q，

则p是 q 的必要但不充分条件

（3）充要条件

定义：若 p q，且 q p ，即p q ，则p 、 q互为充要条件；

（4）既不充分也不必要条件

定义：若 p q ，且 q p ，

则 p 、 q互为既不充分也不必要条件．

3、判断充要条件的方法：《名师一号》 P6 特色专题

①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）．逆

否法 ---- 利用互为逆否的两个命题的等价性

集合法 ----利用集合的观点概括充分必要条件

若条件 p 以集合 A的形式出现，结论 q 以集合 B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

（1）若A B，则p是q的充分但不必要条件

（2）若B A，则p是q的必要但不充分条件

（ 3）若A B ，则 p是 q 的充要条件

（4）若A B，且 A B，

则 p 是 q 的既不必要也不充分条件( 补充 ) 简记作 ----若A、B具有包含关系，则

（1）小范围是大范围的充分但不必要条件

（2）大范围是小范围的必要但不充分条件

二、例题分析

（一）四种命题及其相互关系

例 1.(1)《名师一号》P4对点自测1

命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋ y 也是偶数”的逆否命题是 ()

A．若 x＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数

B．若 x＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数

C．若 x＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数

D．若 x＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数

答案C

例 1.(2)《名师一号》P5高频考点例1

下列命题中正确的是 ()

①“若 a≠0，则 ab≠0”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若 m>0，则 x2＋x－m＝ 0 有实根”的逆否命题；

1

④“若 x－32是有理数，则 x 是无理数” 的逆否命题．

A．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④

解析 :

①中否命题为“若a＝ 0，则 ab＝0”，正确；

②中逆命题不正确；

③中，＝ 1＋4m，当 m>0 时，>0，原命题正确，

故其逆否命题正确；

④中原命题正确故逆否命题正确．

答案B

注意：《名师一号》 P5高频考点例1规律方法在判断四个命题之间的关系时，

首先要分清命题的条件与结论，

再比较每个命题的条件与结论之间的关系．

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为

原命题，也就相应的有了它的“逆命题”

“否命题”“逆否命题”；

判定命题为真命题时要进行推理，

判定命题为假命题时只需举出反例即可．

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．

例 1.(3)《名师一号》P4对点自测2

(2014 ·陕西卷 ) 原命题为“若z1， z2互为共轭复数，则| z1| ＝ | z2| ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ()

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D ．假，假，假