第5章 习题答案

第5章 相对论习题
5-1 观察者A 测得与他相对静止的XOY 平面上一个圆的面积是12cm 2
,另一观察者B 相对A 以0.8C(C 为真空中光速)平行于XOY 平面作匀速直线运动,B 测得这一图形为一椭圆,面积是多少(椭圆面积S=πab ，a 、b 为长短半轴).
5-2 一宇宙飞船固有长度,m 900=L 相对地面以v=0.8c 匀速度在一观测站上空飞过,则观测站测得飞船船身通过观测站时间间隔是多少?宇航员测得船身通过观测站的时间隔是多少?
解：设地面为S 系，飞船为S ′系，则观测站测飞船长度为2
2
01c L L υ-=.所以，观测站时
间间隔是
s 1025.28.018.090
1722
20-⨯=-=
-=
=
c
c L L
t υ
υυ∆ 宇航员在S ′系测得船身通过的时间是00
τυ
==
'L t ∆，宇航员观察S 系中的钟是以-v 在运
动，所以宇航员测得船身通过观测站的时间隔是
s 1025.2172
2
0-⨯=-
=
=c
L t υυ
γτ∆
5-3 半人马星座α星是太阳系最近的恒星，它距地球为 m 。

设有一宇宙飞船，
以v =0.999c 的速度飞行，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？
解：在地面上观测飞船往返一次的时间为s 1087.2999.0103.42816⨯=⨯⨯=c
t ∆；
16
103.4⨯
在飞船上观测距离缩短，测得时间为s 1028.1999.0999.01103.472
16⨯=-⨯='c
t ∆；或运动的
钟测得s 1028.1999.01999.0103.47216
⨯=-⨯='c
t ∆.
5-4 观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K 和K ′中,甲测得在同一地点发生的两个事
件的时间间隔为4S,而乙测得这两个事件的时间间隔为5S,求:(1) K ′相对于K 的运动速度；(2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离.
解：（1）设两事件的时空坐标见下表
事件1 事件2 K 系 ),(11t x ),(21t x K ′系
),(11
t x '' ),(22
t x '' 由洛伦兹变换)/(2c x t t υγ-='得
222/1/)/(c t c x t t υυγ-=-='∆∆∆∆
解上式得 c c t t c 6.0)5
4
(1)(
122=-='-=∆∆υ. （2）由洛伦兹变换)/(2c x t t '+'=υγ得
)/(2c x t t '+'=∆∆∆υγ
解之得 m 109105)56.014()
(8822
12
⨯-=⨯⨯--='-='-'='υ
γ
c t t
x x x ∆∆∆
5-5 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计
时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为x 1=6×104m,t 1=2×10-4s ，以及x 2=12×104
m, t 2=1
×10-4
s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2)
S '系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解:（1）由洛伦兹变换)/(2c x t t υγ-='得
0)/(2=-='c x t t ∆∆∆υγ
解之得 m/s 105.110310
610)1(103884
48⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==-c x t c ∆∆υ （2）由)(t x x '+'=υγ得
x t x x '='+'=∆∆∆∆γυγ)(
所以 m 102.55.01106/)(424⨯=-⨯=='+'='γυγx t x x ∆∆∆∆
5-6 长度01m =l 的米尺静止于S ′系中，与x '轴的夹角o 30'=θ，S ′系相对S 系沿x 轴
运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为o
45=θ． 试求：(1)S ′系和S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米尺长度．
解:（1）由教材p152例题5.3有θγθ'=tan tan 得 c c 816.0)tan tan (
12
='-=θ
θυ （2）在x 方向尺会缩短，即m 5.0tan tan cos tan tan 0='
'=''='=θ
θθθθγl x x x ；y 方向没运动，长度
不变，即m 5.0sin 0='='=θl y y 。

所以，S 系测得尺的长度为
m 707.022=+=y x l
5-7一门宽为a ，今有一固有长度00()l l a >的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少
?
题5-7图
解: 根据运动杆收缩公式22
1c
u l l -=，当a l =时，在门外的观察者认为此杆的两端能同时被拉进此门，因此
⇒=-=a c u l l 220
120
21l a c u -= 5-8 两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c(c 表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果
O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇?
解: 观察者O 在静止系测得OO ′=20m ，观察者O ′测得OO ′是运动的，长度会收缩。

即
m 16122
=-'=c
u O O l
于是，O '测得时间是
s 1089.86.09-⨯==
'c
l
t ∆ 5-9观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S ′中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s ．求：(1) S ′相对于S 的运动速度．(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解: 见题5-4.
5-10一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解: 设宇航员的运动速度为υ，则有
c c l l c 8.0)5
3
(1)(122=-='-=υ
5-11根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s ，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c 离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
解: 设地球为静止系，则在这颗脉冲星上测光脉冲周期为固有时。

根据2
20
-1c υ
ττ=得
s 3.0.80-15.0-
122
2
0===c
υττ
5-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π介子以速度v =0.998c 飞向地球．假定该π介
子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10-6
s ．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和π介子静止系中观测者来判断π介子能否到达地球．
解: 地球上的观测者：π介子以高速运动，根据相对论效应，其寿命会延长，即
s 1016.3998.01102-152
6
2
20--⨯=-⨯==
c υττ π介子能通过的距离为m 6000m 94611016.3998.05>=⨯⨯==-c l υτ，所以能到达地面. π介子静止系中观测者：认为距离会收缩，即m 998.0-160001222
0=-=c
u l l ，π介子通过距离l 所需时间s 102.0s 1027.1998.06-6⨯<⨯==
-c
l
t ∆.所以能到达地面. 5-13设物体相对S ′系沿x '轴正向以0.8c 运动，如果S ′系相对S 系沿x 轴正向的速度也是0.8c ，问物体相对S 系的速度是多少?
解: 由速度合成公式x
x x u c u u '+
+'=2
1υ
υ
得
c c
c u x 98.064
.018.08.0=++=
5-14 飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 设地球为S 系，飞船A 为S ′系，则飞船B 相对飞船A 的速度为
c c
c u c u u x
x x 946.0)
6.0(8.018.06.012
-=-⨯---=--='υυ 在A 飞船中是同地点发生的两个事件，所以时间是固有时.根据相对论效应，B 飞船的观测
者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为 s 17.6946
.012(
1/22=-='-'=）c u t t x ∆∆
5-15 (1)火箭A 和B 分别以0.8c 和0.6c 的速度相对地球向+x 和-x 方向飞行．试求由火箭
B 测得A 的速度．(2)若火箭A 相对地球以0.8c 的速度向+y 方向运动，火箭B 的速度不变，求A 相对B 的速度．
题5-15图
解: 设地球为S 系，飞船B 为S ′系。

(1) 飞船A 相对飞船B 的速度为
c c c u c u u x
x x 946.08
.0)6.0(1)
6.0(8.012
=⨯----=--='υυ (2) 飞船A 相对飞船B 在x 方向的速度为c u x 6.0='，在y 方向为
c c
c c u c u u x y
y 64.00
6.016.018.0)1(22
2=⨯---=-='υγ
A 相对
B 的速度为 c c u 88.064.06.022=+='
设速度与x '轴的夹角θ'，则07.16.064.0tan ==''='c c
u u x
y θ，所以 8.46='θ。

5-16静止在S 系中的观测者测得一光子沿与x 轴成︒60角的方向飞行．另一观测者静止于
S ′系，S ′系的x '轴与x 轴一致，并以0.6c 的速度沿x 方向运动．试问S ′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解: S 系中光子运动速度的分量为
c
c v y 866.060sin ο==
由速度变换公式，光子在S ′系中的速度分量为
c c c c c c v c u u v v x x x
143.05.06.016.05.0122-=⨯--=--=' c c c
c c v c u v c
u v x y
y 990.05.06.01866.06.011122222=⨯-⨯-=--='
光子运动方向与x '轴的夹角θ'满足
692.0tan -=''='x
y
υυθ,θ'在第二象限为ο2.98='θ
在S ′系中，光子的运动速度为c y x ='+'='2
2υυυ,正是光速不变．
5-17已知电子的静能为0.511Mev,若电子动能为0.25Mev,则它所增加的质量∆m 与静止质量0m 的比值近似等于多少
解：电子的相对论能量：0k E E E +=，k 0E E E E =-=∆k 2E mc E ==∆∆，2k
c
E m =
∆，0
k 20k 0
E E c m E m m
==
∆.增加的质量∆m 与静止质量0
m 的比值:49.00=m m
∆. 5-18 某一宇宙射线中的介子的动能207k E M c =,其中M 0是介子的静止质量,试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍.
解：因为k 2E mc E ==∆∆，2
020c m 7c )m m (=-，0m 8m =，代入2
01m m β
-=
得到：
02
m m 11=
-β，811
2=-β，代入201β
ττ-=得到：08ττ= 5-19设快速运动的介子的能量约为E=3000MeV,而这种介子在静止时的能量为0100E MeV =,若这种介子的固有寿命是60210s τ-=⨯,求它运动的距离(真空中光速82.997910/c m s =⨯).
解：设固定在介子上的参照系为S ’。

根据200c )m m (E E -=-，将MeV 3000E =，
MeV 100E 0=和2
01m m β
-=
代入得到
30112
=-β，即
30c u 112
2
=-
由此式解出介子运动速度：30
899c
u =.
根据洛伦兹变换, 介子在S 参照系中运动的距离：2
01u x β
τ∆-=（S ’参照系中同地不同时
的两个事件，0'x =∆）。

将
30112
=-β，30
899c
u =和s 10260-⨯=τ代入2
01u x β
τ∆-=
得到：
m 108.1x 4⨯=∆。

5-20求一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量(用焦耳和电子伏特表示).已知它们的静止质量分别为:
质子271.6726210;p m kg -=⨯中子271.6749310;n m kg -=⨯氘核273.3435910;D m kg -=⨯ 解：结合前的系统的总能量为静止能量：2n 2p 0c m c m E E +==；
结合后系统的总能量：2D 0c m 'E 'E ==。

一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量：2n p D 00c )m m m (E 'E E --=-=∆， MeV 2242E .=∆。

5-21 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
)
111
()1(2
22020202--=-=-==c v c m c m c m mc E E k k γ∆
)
11.011
()103(101.92
2831--⨯⨯⨯=-
161012.4-⨯=J=eV 1057.23
⨯ (2)
)()(202120221
2c m c m c m c m E E E k k k
---=-='∆
)
1111(
2
212
22202122c
v c
v
c m c m c m -
-
-
=-=)
)
8.011
9.011(
103101.922
16231--
-⨯⨯⨯=-
J 1014.514-⨯=eV 1021.35⨯=
5-22 μ子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0τ=2×10-6
s ，若它在
实验室参考系中的平均寿命τ= 7×10-6
s ，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
解: 设μ子静止质量为0m ，相对实验室参考系的速度为c βυ=，相应质量为m ，电子静止质量为e m 0，因
2
711,102
2
==
--=
ττββττ即
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
202
012071ββ-=
-=
e
m m m 故 725
2
7
20712072
0=⨯=-=βe
m m
5-23 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
解: 设静止质量为0m ，运动质量为m ，由题设1.000
=-m m m 和201β
-=
m m 。

由此二式得
10
.0111
2
=--β
∴
10.11
12
=
-β
在运动方向上的长度和静长分别为l 和l 0，则相对收缩量为：
%1.9091.010.11
1112000
==-=--=-=
β∆l l l l l
5-24 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加
0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31
kg ．
解: 由质能关系 1004
.02
00=∆=∆c m E m m
∴ 100
/)103(101.94.01004.028312
0⨯⨯⨯⨯==∆-c m E
J 1028.316
-⨯=eV
106.11028.319
16
--⨯⨯=eV 100.23⨯= 所需电势差为3
100.2⨯伏特。

由质速公式有：
004.11
1004.011111000
02=+
=∆+=∆+==
-m m m
m m m m β
∴
32
221095.7)004
.11(
1)(-⨯=-==c v
β
故电子速度为 -1
7
s m 107.2⋅⨯==c v β
5-25 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能k E ＝2.8×109
eV ．这种电子速率比光速差
多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为0E ＝0.511×106
eV )
解: 2
02
2
201c m c
v c m E k --=
，所以
2
0202022/11
1c m E c m c m E c v k k +=+=-。

由此式得
296262
2
02
0)108.210511.0/()1051.0(1)(
1⨯+⨯⨯-=+-=c E c m c m c v k
8109979245.2⨯=-1s m ⋅
810997924580.2⨯=-v c -1s m ⋅8109979245.28=⨯- -1s m ⋅
由动量能量关系
420222c m c p E +=可得 c
c m E E c
c
m c m E c
c
m E p k k k 2
024
202204
2022)(+=
-+=
-=
1
188
2
1
38269182s m kg 1049.1103/]106.1)10511.0108.22108.2[(---⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=
5-26
氢原子的同位素氘(2
1
H)和氚(31H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(42
He)
原子核和一个中子(10n)，并释放出大量能量，其反应方程为21H + 3
1H
4
2
He + 10n
2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27
kg)，
氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解: 反应前总质量为0290.50155.30135.2=+amu 反应后总质量为0102.50087.10015.4=+amu 质量亏损
0188.00102.50290.5=-=∆m amu kg 1012.329
-⨯=
由质能关系得
()2
82921031012.3⨯⨯⨯==-mc E ∆∆J 1081.221-⨯=71075.1⨯=eV
5-27 一静止质量为0m 的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c 和0.8c ．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．
设裂变产生两个粒子的静质量分别为10m 和20m ，其相应的速度c v 6.01=,c v 8.02=
由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
1122
2220
12
21102211=-+
-=
+v c
v m v c v m v m v m
2
22202
2110
2111m c
v m c
v m m m =-
+
-
=
+
注意1m 和2m 必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以
6.01=v c,8.02=v c 代入，将上二方程化为：
20
1068
86m m =，020106.08.0m m m =+
上二式联立求解可得：
010459.0m m =, 020257.0m m =
故静质量亏损020100284.0)(m m m m m =+-=∆由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为
202284.0c m mc E k =∆=∆
5-28 有A ，B 两个静止质量都是0
m 的粒子，分别以1v =v ,2v =-v 的速度相向运动，
在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量． 解: 0=V ，静止质量012
2
21()m M m m v c
=+-。