一元一次方程培优专题(设未知数的技巧)
【七年级数学代数培优竞赛专题】专题15 含字母的一元一次方程【含答案】
第四章 一元一次方程章前导学本章的重点是一元一次方程及其解法和运用一元一次方程来解决实际问题.我们依据本章的重点安排了五个提高的内容：1.利用一元一次方程和一元一次方程的解的概念求方程中字母的值以及如何求解含有字母系数的方程.2.根据方程的特点，利用整体法、巧去括号、裂项等方法灵活求解方程和如何求解含绝对值的方程.3.运用一元一次方程来解决行程、销售和分档的实际问题.4.运用一元一次方程来解决钟面和数轴上的问题.5.根据实际问题的具体情况，通过间接设未知数或设辅助未知数来解决实际问题.专题15 含字母的一元一次方程知识解读1.根据方程及方程的解的概念求方程中字母的值使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.因此将方程的解代人方程中，方程的左右两边能够相等。
2.根据整数解求方程中字母的值 一元一次方程的解为整数，即当解为b x a =时，整数b 能被整数a 整除。
3.字母系数方程解的情况方程ax b =的解有三种情况：当0a ≠时，b x a=；当0,0a b ==时，即00x =，方程有任意解；当0,0a b =≠时，即0x b =，方程无解.培优学案典例示范1. 根据方程及方程的解的概念求方程中字母的值例1 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解. 【提示】由题意可知312k -=，且0k ≠.【技巧点评】跟踪训练1若方程（m2－1）x2－mx+8=x是关于x的一元一次方程，则代数式m2008－1m-的值为_________.例2（1）若方程121112102x xx+--=-与方程2x+62a x-=a－2的解相同，求233a a-的值；（2）关于x的方程与132m x+=4的解是2311346x m x---=的解的5倍，求m的值.【提示】（1）先求出方程121112102x xx+--=-的解，再根据题意将这个解代入后一个方程，求出a；（2）先将两个方程中的m看成已知数，求出两个方程的解（用含m的式子表示），再根据题意列出关于m的方程来求出m.【技巧点评】跟踪训练2（1）已知关于x的方程323a x bx--=的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式a bb a-的值；（2）若方程3（x一k）=2（x+1）与62k xk-=的解互为相反数，求k的值.2.根据整数解求方程中字母的值例3 若关于x的方程9x－17=kx的解为正整数，求整数k的值.【提示】先解方程，把x的值用k的代数式表示，再利用整除性求出整数k的值. 【技巧点评】跟踪训练3已知关于x的方程31223x mx-+=有整数解，求满足条件的所有整数m.3.字母系数方程解的情况例4解方程11x x m n m n mn--+-=.【提示】先将方程化成ax=b的形式，再分类讨论方程解的情况.【技巧点评】跟踪训练4问当a，b满足什么条件时，方程2x+5－a=1－b；（1）有唯一解；（2）有无数个解；（3）无解.培优训练直击中考1.★（湖南永州）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．12.★（2017·湖北孝感）方程3123x x+-=的解是________．3.★（2017·黑龙江）已知关于x的方程3x－a=号x－1的解是非负数，那么a的取值范围是________．4.★已知关于x 的方程23x m m x -=+与12x +=3x －2的解互为倒数，求m 的值.5.★已知关于y 的方程4y +2n =3y +2和方程3y +2n =6y －1的解相同，求n 的值.6.★★当整数m 取什么数时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？7.★★已知关于x 的方程a （2x －1）=3x －2无解，试求a 的值.挑战竞赛1.（江苏省竞赛试题）已知a 是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（ ） ①方程ax ＝0的解是x ＝1；②方程ax ＝a 的解是x ＝1；③方程ax ＝1的解是x 1a=；④方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1．A ．0B ．1C ．2D ．3 2.★太（希望杯试题）当b ＝1时，关于x 的方程a （3x ﹣2）+b （2x ﹣3）＝8x ﹣7有无数多个解，则a 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．23-D ．不存在 3.★★若k 为整数，则使得方程（k ﹣1999）x ＝2001﹣2000x 的解也是整数的k 的值有（ ） A ．4个 B ．8个 C ．12个 D ．16个4.★★★（希望杯试题）已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p+101g+4的值.5.★★★（山东省竞赛试题）如果a，b为定值，关于x的方程程2236ka x x bk+-=+无，当k取14以外的任何值时，它的解总是1，求a，b的值.。
一元一次方程应用题解法归纳汇总
例3、为了把2013年沈阳全运会举办成一届绿色全运会，实验中学和潞河中学的同学积极参加绿化工程的劳动。两校共绿化了4415平方米的土地，潞河中学绿化的面积比实验中学绿化面积的2倍少13平方米，这两所中学分别绿化了多少面积？
例4、出租汽车4千米起价10元，行驶4千米以后，每千米收费1.2元（不足1千米按1千米计算）。张天和张智要到离学校15千米的博物馆为同学们联系参观事宜。为了尽快到达博物馆，他们想坐出租车，如果他们只有22元，则，他们乘出租车能直接到达博物馆吗？
解：设该市每户每月用水标准量为x立方米。 ∵1.2×9=10.8（元） 10.8<16.2 ∴张大爷家的用水量超出了标准用水量，即x<9 根据题意得 1.2x+(9-x)×3=16.2 解这个方程，得 x=6 答：该市每户每月的标准用水量是6立方米。
例2 ：小丽的爸爸前年存了年利率为2.25%的二年期定储蓄，今年到期后，扣除利息的20%作为利息税，所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器，问小丽爸爸前年存了多少元钱？
例3 5年定期储蓄的年利率为2.88%，若存入5年定期的本金是1000元，请计算存款到期时，应得的本利和是多少？
例4、王利到银行存入5年定期的储蓄若干元，到期后一共缴了72元的利息税，若这种储蓄的年利率为2.4%，求王利当初存入银行多少元？
一元一次方程比例问题解题技巧
一元一次方程比例问题解题技巧
解决一元一次方程比例问题的技巧如下：
1. 理解比例关系：首先要理解比例关系的含义。
在比例问题中，两个量之间存在着相等的比例关系，即两个量之间的比值保持不变。
2. 设定未知数：使用字母（通常是x）来表示未知数。
根据问题中给出的信息，设定一个未知数来表示其中一个量。
3. 建立方程：根据比例关系建立方程。
根据问题中给出的信息，可以得到两个量之间的比值，然后将其转化为一个等式。
使用未知数和已知的数值来建立方程。
4. 解方程：解一元一次方程。
对方程进行运算，将未知数进行求解。
可以使用各种运算法则来简化方程，最终求得未知数的值。
5. 检验答案：将求得的未知数的值代入原问题中进行检验。
将未知数代入比例关系中，确保等式两边成立，验证答案的正确性。
6. 确定问题要求：根据问题要求，确定需要求解的具体内容。
比如求出未知数的值、求出比例中的其他量等。
7. 注意特殊情况：在解决比例问题时，要注意特殊情况。
比如分母为零的情况，或者比例中有其他限制条件的情况。
8. 给出合理的解释：在解决问题后，给出合理的解释和回答。
根据问题的具体要求，解释结果的含义，并确保解答符合问
题的背景和实际意义。
通过以上技巧，你可以更有效地解决一元一次方程比例问题，并得出正确的解答。
记住，在解题过程中要仔细审题，理解问题的要求，并运用合适的数学知识和技巧进行求解。
七年级上册一元一次方程(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．（1）求两个动点运动的速度；（2）A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；（3）若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒钟时，A、B两点之间相距4个单位长度？【答案】（1）解：设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据题意得：3×（2x+3x）=15，解得：x=1，∴3x=3，2x=2，答：动点A的运动速度为3个单位长度/秒，动点B的运动速度为2个单位长度/秒；（2）解：3×3=9，2×3=6，∴运动到3秒钟时，点A表示的数为﹣9，点B表示的数为6；（3）解：设运动的时间为t秒，当A、B两点向数轴正方向运动时，有|3t﹣2t﹣15|=4，解得：t1=11，t2=19；当A、B两点相向而行时，有|15﹣3t﹣2t|=4，解得：t3= 或t4= ，答：经过、、11或19秒，A、B两点之间相距4个单位长度．【解析】【分析】（1）根据已知：动点A、B的运动速度比之是3∶2，因此设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据两点相距15，列方程，求解即可。
（2）根据两点的运动速度，就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动，就可得出它们的位置。
（3）设运动的时间为t秒，分两种情况：当A、B两点向数轴正方向运动时；当A、B两点相向而行时，分别根据A、B两点之间相距4个单位长度，列方程求出t的值。
2．一根长80厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米。
部编数学七年级上册培优专题08巧用一元一次方程选择方案解析版含答案
培优专题08 巧用一元一次方程选择方案◎类型一：购买方案决策1．（2022·四川·宜宾市叙州区育才中学校七年级期中）为了打造年级体育啦啦队，某年级准备投入一笔资金为啦啦队队员配置一些花球，经过多方比较，准备在甲、乙两个商家中选择一个．已知花球单价是市场统一标价为20元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见表）：甲商家乙商家购买数量x（个）享受折扣购买数量（个）享受折扣x≤50的部分9.5折y≤100的部分9折50＜x≤200的部分8.8折100＜y≤200的部分8.5折x＞200的部分8折y＞200的部分8折(1)如果需要购买100个花球，请问在哪个商家购买会更便宜？(2)经年级学生干部商议，最终决定选择在乙商家购买花球，并根据实际需要分两次共购买了350个花球，且第一次购买数量小于第二次，共花费6140元，请问两次分别购买了多少个花球？【答案】(1)在乙商家购买会更便宜；(2)第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两个商家的优惠条件，即可分别求出在两个商家购买所需费用，比较后可得出在乙商家购买会更便宜；（2）设第一次购买m 个花球，则第二次购买（350﹣m ）个花球，分0＜m ≤100，100＜m ≤150及150＜m ＜175三种情况考虑，根据两次购买共花费6140元，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出第一次购买花球的数量，再将其代入（350﹣m ）中即可求出第二次购买花球的数量．（1）解：在甲商家购买所需费用为20×0.95×50+20×0.88×（100﹣50）＝20×0.95×50+20×0.88×50＝950+880＝1830（元）；在乙商家购买所需费用为20×0.9×100＝1800（元）．∵1830＞1800，∴在乙商家购买会更便宜．（2）解：设第一次购买m 个花球，则第二次购买（350﹣m ）个花球．当0＜m ≤100时，20×0.9m +20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m ﹣200）＝6140，解得：m ＝120（不合题意，舍去）；当100＜m ≤150时，20×0.9×100+20×0.85（m ﹣100）+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m ﹣200）＝6140，解得：m ＝140，∴350﹣m ＝350﹣140＝210；当150＜m ＜175时，20×0.9×100+20×0.85（m ﹣100）+20×0.9×100+20×0.85（350﹣m ﹣100）＝6150≠6140，∴不存在该情况．答：第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本20元．为了促销，甲说：“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出100本，则超出的部分打八折”(1)设该书店准备订购x 本图书()100x >，请用含x 的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为______元，在乙供应商所需支付的钱数为______元；(2)在（1）的条件下，当购进多少本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多？(3)已知该书店第一次从乙供应商处购进了500本图书，书店以每本24元全部售出．该书店第二次从乙供应商购进的数量比第一次多20%，如果第二次购进的图书也能全部售出，则第二次购进图书每本售价应为多少元时，书店两批图书的总利润率为50%？【答案】(1)()1816400x x +；(2)当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．(3)第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【分析】（1）根据题意列式即可；（2）利用两个代数式的值相等，进行计算即可；（3）设第二次购进图书每本售价为y 元，根据题意列方程求解即可．（1）解：由题意得：甲：200.918x x ´´=；乙：()20100100200.816400x x ´+-´´=+，故答案为：()1816400x x +；．（2）解：由题意得：1816400x x =+，解得：200x =，答：当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．（3）解：设第二次购进图书每本售价为y 元，由题意得：()()()()(){}2450016500400500120%16500120%4001650040016500120%40050%y ´-´++´+-´´++éùëû=´++´´++´éùëû ，整理得：3600600100009200y +-=，解得：26y =．所以第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出代数式，再根据题意正确的列出方程是解题的关键．3．（2021·河北·景县北留智镇中学七年级阶段练习）某校计划购买20个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A 、B 两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元，A 超市的优惠措施为每买一个书柜赠送一个书架，B 超市的优惠措施为所有商品八折出售．设该校购买x （x ＞20）个书架．(1)若该校到同一家超市选购所有书柜和书架，则到A 超市和B 超市需分别准备多少元货款（用含x 的式子表示）？(2)若规定只能到其中一家超市购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样？(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少需要准备多少元货款？班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析(2)一班的人数为45人，详见解析【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程：()´=´-，解200.8200.95a a方程即可．（1）解：由题意可知，方案1费用为：200.848768=´´（元），方案2费用为：()´´-（元），=200.9485774综上所述，方案1比较省钱；（2）设一班的人数为a人，由题意列方程为：()´=´-，a a200.8200.95解得：a=45，答：一班的人数为45人．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．◎类型二：上网计费方案决策5．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：月使用费主叫限定时间（分钟）主叫超时费（元／分钟）被叫方式一651600.20免费方式二1003800.25免费（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．【答案】(1)73，100，420t=或560分钟(2)存在，335(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为x分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①160t<…；t…；②160380③380t>；（3）根据（2）所求即可得出结论．（1）解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：650.20(200160)73+´-=（元)，设按方式二计费需100元，设主叫通话时间为x分钟，根据题意得x+-=，1000.25(380)110解得420x=．答：主叫通话时间为420分钟．故答案为73，100；420；（2）解：①当160t…时，不存在；②当160380t<…时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，+´-=，t650.20(160)100解得335t=，符合题意；③当380t>时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，+´-=+-，t t650.20(160)1000.25(380)解得560t=，故存在某主叫通话时间335t=或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）解：结合（2）知，当通话时间335t=或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；当每月通话时间少于335分钟时，650.20(160)100+´-<，故选择方式一省钱；t当每月通话时间大于560分钟时，650.20(160)1000.25(380)+´-<+-，故选择方式一省t t钱；当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时，650.20(160)1000.25(380)+´->+-故选t t择方式二省钱．综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．（2019·广西·南宁市三美学校七年级阶段练习）某市上网有两种收费方案，用户可任选其一，A为计时制0.8元/时；B为包月制60元/月，此外每种上网方式都附加通讯费0.2元/时．(1)某用户每月上网50小时，选哪种方式比较合适？(2)某用户每月有100元钱用于上网，选哪种方式比较合算？(3)当每月上网多少小时时，A、B两种方案上网费用一样多？【答案】(1)每月上网50小时，选A方案合算．(2)每月100元上网B方案比较合算．(3)每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【分析】（1）根据题意计算即可得结论；（2）根据题意列方程求得结果进行比较即可得结论；（3）根据题意列方程即可求得结论．(1)A方案收费：50×（0.8+0.2）=50，B方案收费：60+50×0.2=70．答：每月上网50小时，选A方案合算．(2)设每月100元上网x小时．根据题意，得A方案上网：0.8x+0.2x=100，解得x=100B方案上网：60+0.2x=100，解得x=200答：每月100元上网B方案比较合算．(3)设每月上网x小时，A、B两种方案上网费用一样多．根据题意，得0.8x+0.2x=60+0.2x解得x=75．答：每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决方案类问题应用题的关键是根据题意分别列出算式或方程．7．（2021·云南大理·七年级期末）某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：方式A：月租费：40元，上网费：1元/小时；方式B：上网费：3元/小时；设某用户每月上网时间为x小时（1）用含x的式子分别写出两种收费方式下，该用户应付的上网费用；方式A应付费用为：方式B应付费用为：（2）若该用户计划1个月上网50小时，应选用哪种上网方式比较划算？（3）该用户每月上网多少小时的时候，两种上网方式的费用相等？【答案】（1）(40+x)；3x；（2）方式A；（3）20小时【分析】（1）根据两种方式的费用标准分别列出代数式；（2）当x=50时，分别计算两种方式的费用，然后进行比较，从而求解；（3）根据两种费用相等，列方程求解．【详解】解：（1）方式A应付费用为：(40+x)元方式B应付费用为：3x元故答案为：(40+x)；3x；（2）当x=50时，方式A应付费用：40+50=90（元）方式B应付费用：3×50=150（元）∵90＜150∴当上网50小时时，选择方式A比较划算（4）根据题意403x x+=，解得：20x=答：当上网时间是20小时的时候，两种上网方式的费用相等【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意正确列代数式及方程求解是解题关键．8．（2021·湖南长沙·七年级期末）下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．（月费固定收，主叫不超时，流量不超量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月费（元）主叫（分钟）流量（G B）接听超时（元/分钟）超流量（元/G B）方式一4920050免费0.203方式二6925060免费0.152（1）若某月小玲主叫通话时间为220分钟，上网流量为80 G B ，则她按方式一计费需_______元，按方式二计费需_______元；若她按方式二计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________G B ．（2）若上网流量为54 G B ，是否存在某主叫通话时间t （分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）143，109，90；（2）存在，t ＝240【分析】（1）分别按照方式一与方式二的方案进行计算，求解流量时，要注意先减去月费再用剩余的费用除以超流量的单价，最后要加上套餐内包含的流量；（2）分别在0≤t ＜200，200≤t ≤250，t ＞250中进行讨论求解即可．【详解】（1）方式一：49+(220-200)×0.2+(80-50)×3=143元，方式二：69+(80-60)×2=109元，使用流量：(129-69)÷2+60=90GB ，故答案为：143；109；90．（2）当0≤t ＜200时，49＋3(54﹣50)＝61≠69，∴此时不存在这样的t ；当200≤t ≤250时，49＋0.2(t ﹣200)＋3(54﹣50)＝69，解得t ＝240；当t ＞250时，49＋0.2(t ﹣200)＋3(54﹣50)＝69＋0.15(t ﹣250)，解得t ＝210（舍）．故若上网流量为54GB ，当主叫通话时间为240分钟时，两种方式的计费相同．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准数量关系正确进行计算和列方程是解题的关键．◎类型三：收费方案决策9．（2022·四川·成都七中七年级期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元/张，设学生人数是x ，甲旅行社收费为1y ，乙旅行社收费为2y ．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．(2)学生们通过计算发现，选择两家旅行社的费用一样多，则共有多少人参加旅游？【答案】(1)11200600y x =+，2720720y x =+(2)5【分析】（1）根据收费总额=学生人数´单价+校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；（2）令12y y =，求得4x =，然后求出总人数即可．（1）解：学生人数是x ，由题意可知，11200600y x =+，21200(1)0.6720720y x x =+´=+；（2）解：∵两家旅行社的费用一样多，∴12y y =，∴1200600720720x x +=+4x \=，\总人数为5，答：共有5人参加旅游．【点睛】本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程是关键．10．（2022·山西阳泉·七年级期末）“春节”期间，小明一家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天开始租用新能源汽车自驾出游，经了解，甲、乙两公司的收费标准如下：甲公司：一次性收取固定租金80元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；乙公司：无固定租金，直接以租车时间收费，每小时的租费是30元．(1)若租车时间为x 小时，则租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为元(结果用含x 的代数式表示)；(2)当租车时间为11小时时，选择哪一家公司比较合算？(3)当租车多少时间时，两家公司收费相同？联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，A 旅行社给的优惠条件是教师全额付款，学生按七折付款，B 旅行社给的优惠条件是全体师生按八折付款．(1)若两家旅行社的标价都是每人a （0a >）元，学生有x 人，请用含a ，x 的代数式分别表示选择A ，B 家旅行社时他们的旅游费用；(2)学生有多少人时，两家旅行社的收费相同？(3)现有学生20人，那么他们选择哪家旅行社旅游费用少？【答案】(1)A 旅行社：50.7a ax +，B 旅行社：0.8(5)x a +(2)10人(3)A 旅行社【分析】（1）根据学生人数和票价直接写出关系式即可；（2）根据收费相同，列出方程，解方程即可；（3）算出A 、B 两个旅行社需要的费用进行对比即可．(1)解：A 旅行社：50.7a ax +，B 旅行社：()0.85x a +；(2)根据题意得：()50.70.85a ax x a +=+，解得：10x =，答：学生10人时，两家旅行社的收费相同；(3)当学生有20人时，A 旅行社的费用为：50.750.72019a ax a a a +=+´=，B 旅行社的费用为：()0.852020a a ´+=，∵0a >，∴2019a a >，∴选择A 旅行社的费用少．【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，方案选择问题，正确列出代数式，得到方程是解题的关键．12．（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）用A 4纸在某誊（teng ）印社复印文件，复印文件不超过20页时，每页收费0.15元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.1元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.12元．(1)根据题意，填写下表： 复印页数（页）1030……誊印社收费（元） 1.5……图书馆收费（元）……(2)复印张数为多少时，两处的收费相同?(3)某同学先后两次分别在誊印社、图书馆复印文件共花费12元（两处均有消费），该同学复印文件的最少页数可能为___________（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)50(3)95【分析】（1）根据两种复印方式的收费标准填表即可；（2）设复印x 张时，两处收费相同，根据题意列出方程求解即可；（3）使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，则复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，由此求解即可．解：设复印x张时，两处收费相同，由题意得：()x x´+-=，200.150.1200.12解得50x=，答：复印张数为50张时，两处的收费相同；(3)解：∵要使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，∴复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，∴在图书馆复印的花费=12-20×0.15=9元，∴在图书馆复印的页数=9÷0.12=75张，∴最少复印20+75=95页．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．◎类型四：运输方式方案决策13．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）库尔勒某乡A、B两村盛产香梨，A村有香梨20吨，B村有香梨30吨，现将这些香梨运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存24吨，D仓库可储存26吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C、D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨．费用C DA40元/吨45元/吨B25元/吨32元/吨(1)从A村运往D仓库的香梨为 吨；从B村运往D仓库的香梨为 吨．(用含x的代数式表示)(2)A村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？B村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？请分别用含x的代数式表示．(3)请问怎样调运，才能使两村的运费之和为1716元？请求出x的值．【答案】(1)（20﹣x），（6+x）(2)A村：﹣5x+900；B村：7x+792(3)12【分析】（1）由题意可直接求解；（2）由运费＝单价×吨数，可求解；（3）由两村的运费之和为1716元，列出方程可求解．(1)解：∵从A村运往C仓库的香梨为x吨，∴从A村运往D仓库的香梨为（20﹣x）吨，从B村运往D仓库的香梨＝26﹣（20﹣x）＝（6+x）吨，故答案为：（20﹣x），（6+x）；(2)解：由题意得：A村：40x+45（20﹣x）＝（﹣5x+900）元，B村：25（24﹣x）+32（6+x）＝（7x+792）元；(3)由题意得，﹣5x+900+7x+792＝1716，解得x＝12，答：x的值为12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键．14．（2022·江苏无锡·七年级期末）甲，乙两个仓库向A，B两地运送水泥，已知甲库可调出100t水泥，乙库可调出80t水泥，A地需70t水泥，B地需110t水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表：（表中运费栏“元/（t•km）”表示每t水泥运送1km所需人民币）路程（km）运费（元/t•km）运量（t）甲库乙库甲库乙库甲库乙库A15201212xB2025810设甲库运往A地水泥为x t，请填写好表．(1)设甲库运往A地水泥为x t，请填写好表．(2)根据这张表，甲库运往A地的总费用是 ，乙库运往B地的总费用是 ，所以全部费用是 ．(3)若所拨全部费用是35600元，写出一种可行的运输方案．乙库运往B地的总费用是25×10×（10+x）=250x+2500，所以全部费用是15×12x+20×8×（100-x）+20×12×（70-x）+25×10×（10+x）=180x+16000-160x+16800-240x+2500+250x=30x+35300．故答案为：180x，(250x+2500)，(30x+35300)；(3)根据题意得：30x+35300=35600，解得x=10．100-x=90，70-x=60，10+x=20，故甲向A 地运10吨，向B 地运90吨，乙向A 地运60吨，向B 地运20吨时，总运费为35600元．【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的实际应用问题．解题的关键是理解题意，读懂表格求解．15．（2022·重庆涪陵·七年级期末）榨菜鲜嫩香脆、鲜香可口，是经独特的加工工艺制成的风味产品．A ，B 两地分别有榨菜50吨和40吨，需要全部运送到C ，D 两地去销售，其中C 地需要榨菜30吨，D 地需要榨菜60吨；已知从A ，B 两地到C ，D 两地的运价如下表：到C 地到D 地A 地每吨20元每吨16元B 地每吨15元每吨10元请选择相关数据解决下列问题：(1)若从A 地需要运到C 地的榨菜为10吨，则从A 地需运到D 地的榨菜为_______吨，从A 地需运到D 地这部分榨菜的运输费为_______元；(2)设从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，若从B 地需运到D 地的这部分榨菜的运输费为300元，求x 的值．【答案】(1)40，640(2)x 的值是20【分析】（1）因为从A 地运到C 地的榨菜是10吨，剩下的都运往D 地，所以运往D 地的是50-10=40吨．运输费用＝吨数×每吨的运费；（2）从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，所以运往D 地的是(50-x )吨，则从B 地需运到D 地的这部分榨菜为[40-(50-x )]吨，根据运输费用＝吨数×每吨的运费列方程求解即可.(1)解：∵从A 地运到C 地的榨菜是10吨，剩下的都运往D 地，所以运往D 地的是50-10=40吨，运输费用＝40×16=640（元）；故答案为：40，640；(2)解：设从A 地需要运到C 地的榨菜为x 吨，由题意，得：()403010300x éù--´=ëû，解得：20x =，答：x的值是20.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解答此题的关键．16．（2022·河北·巨鹿县实验中学七年级阶段练习）现甲、乙两地分别需要蔬菜120吨和180吨，已知丙地、丁地分别有蔬菜160吨和140吨，现要把这些蔬菜全部运往甲、乙两地．若丙地每吨蔬菜运到甲地的费用为30元，运往乙地的费用为35元；丁地每吨蔬菜运到甲地的费用为20元，运往乙地的费用为28元，设丙地运往甲地的蔬菜为x吨．（1）请根据题意将下表补充完整：目的地甲乙出发地丙x______丁____________（2）用含x的式子表示总运输费．（3）总运输费能是9010元吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．（2）总运输费为：30x+35（160﹣x）+20（120﹣x）+28（x+20），化简得，3x+8560；（3）根据总运输费是9010元，列方程得，3x+8560=9010，解得，x=150，∵甲地需要蔬菜120吨，小于150吨，总运输费不能是9010元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练把握题目中数量关系，列出代数式和方程．。
四年级下册数学讲义培优专题讲练：第24讲巧解一元一次方程人教版
第24讲巧解一元一次方程巧点晴——方法和技巧1.概念（1）方程：含有未知数的等式，叫做方程；（2）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；（3）解方程：求方程的解的过程叫做方程。
2.解方程的根据解方程主要依据加法和减法、乘法与除法的互逆关系。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】38与一个数的3倍的和是140，求这个数。
解设这个数为χ，则38＋3χ=1403χ=140－383χ=102χ=34检验左边=38＋34×3=140右边=140做一做1 χ的6倍与31的和是49，求χ。
【例2】某数加上7再乘以4，减去8，得56。
这个数先减去8，再乘以4，然后加上7，问得多少？解设这个数为χ，则4（χ＋7）－8=564（χ＋7）=56＋84（χ＋7）=64χ＋7=16χ=16－7χ=9所以（9－8）×4＋7=11答：得数是11。
做一做2 一个数，如果加上3，乘以5，减去5，再除以5，结果还是5，求这个数是多少。
（用方程解）【例3】解方程：2×4－（2χ＋1）=7分析先把2χ＋1看做减数，根据“减数=被减数－差”，将方程变为2χ＋1=2×4－7，简化即得2χ＋1=1。
再把2χ看做一加数，根据“一个加数=和－另一个加数”，将方程完成2χ=1－1，简化即得2χ=0。
至此，再根据“一个因数=积÷另一个因数”，即可求出方程的解；最后，可以口算进行检验。
解2×4－（2χ＋1）=72χ＋1=2×4－72χ＋1=12χ=1－12χ=0χ=0做一做3 已知3.5×4＋7χ=49，求χ的值。
B级培优竞赛·更上层楼【例4】10箱苹果比6箱梨重54千克，每箱梨重16千克，问每箱苹果重多少千克？分析与解1 设每箱苹果重χ千克，根据数量关系：10箱苹果的重－6箱梨的重=54千克列方程得10χ－16×6=5410χ=16×6＋5410χ=150χ=15分析与解2 设每箱苹果重χ千克，根据数量关系：10箱苹果的重量－54千克=6箱梨的重量列方程得10χ－54=16×6χ=15分析与解3 设每箱苹果重χ千克，根据数量关系：6箱梨的重量＋54千克=10箱苹果的重量列方程得16×6＋54=10χχ=15分析与解4 设每箱苹果重χ千克，根据数量关系：苹果的重量÷每箱苹果的重量=苹果的箱数列方程得(16×6＋54)÷χ=10χ=15答：每箱苹果重15千克。
一元一次方程(专题详解)(解析版)
一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1） 方程：含有未知数的等式。
例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。
实际问题与一元一次方程---设未知数的常规与技巧
实际问题与一元一次方程（二）设未知数的常规与技巧设未知数的方法1.直接设未知数——适用于所求的未知数只有一个（见例1）2.间接设未知数（见例2）●比例式——通常设一份为x，●数字问题——常设某一位为x●行程问题——S=vt，中三个量：路程、时间、速度，常常一个是已知量，另两个是未知量，常挑一个未知量设未知数，另一个列方程。
3.整体设未知数（见例3）4.其他（设“辅助”未知数）（见例4）注意：无论采用哪种方法设未知数，列方程都根据相等关系1.总量=各部分量的和2.表示同一个量的两个不同的式子相等。
3.以含“和、差、倍、分”等词的语句为等量关系建立方程例题1：直接设未知数1．目前，我国对教育储蓄暂不收利息，小芳爸爸为她存了一份年利率为3.24％的三年期教育储蓄，到期后可得本息和5486元。
小芳爸爸存入了多少钱？2．用“全球通”每月收月租50元，此外按0.40元/分收通话费；“神州行”不收月租费，按0.60 元/分收通话费。
一个月内通话多少分钟，两种通信方式的收费相同？3.一件工作甲单独做需40天完成，乙单独做需50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作完成这个工作，问两人合作多少天？分析：常用公式：工作量=工作效率×工作时间工作总量=各工作分量的和问题中的相等关系：工作总量__________, 甲的工作效率________,乙的工作效率______________甲单独完成的工作量=甲乙共同完成的工作量=甲单独完成的工作量+ 甲乙共同完成的工作量=解：例题2，间接设未知数1． 洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中A 型，B 型，C 型三种洗衣机的数量之比为1：2：14，这三种洗衣机计划生产多少台？2． 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是11，若把十位上的数字与个位上的数字对调，则得到的新数比原数大63，求这个两位数。
3． （测试9第24题）一个通信员骑车要在规定时间内把信送到某地，如果每小时走15千米，则可以早到24分钟，如果每小时走12千米，则迟到15分钟，求他去某地的路程。
一元一次方程培优讲义(精品)
举一反三：【变式】解方程：
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后
再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：
思路点拨：注意到，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
6、如果，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. 11 —3—3 C. D.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。
A.如果,那么; B.如果 ,那么;
C.如果,那么 D.如果 ,那么3
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程： ＝1
（六）巧组合解方程
例14、解方程：
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变
（3）移项
移项要变号
（4）合并同类项
只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。若为0，则方程可能无解或有无穷多解。
七年级一元一次方程培优 (2)应用题
七年级一元一次方程应用题专项培优1.列方程解应用题的基本步骤“审”，“设”，“列”，“解”，“验”，“答”2.几类常见的应用题题型（1）和差倍分问题，（2）行程问题，（3）工程问题，（4）数字问题，（5）利润问题，（6）分配问题，（7）方案问题。
1.审：审清题意，分析题中的已知、所求审题仔细，看到一个应用题，先读题，找出关键句子，明确等量关系。
例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?已知：大米150千克，比面粉的3倍少30千克所求：面粉？千克关键句子：比面粉的3倍少30千克等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克注意题目中出现的关键字“的”，“倍”，“多”，“少”，“比”，等。
2.设：设未知数，一般情况求什么设什么，七年级阶段比较特殊的有工程问题。
（我们一般把工程量看做整体1，后面会讲到）例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：3.列：找出等量关系，列出方程。
例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30注意：方程中不用带单位4.解：解列出的方程，求出未知数的值。
例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30解方程，得：x=60同样，这里我们求出的未知数的值不用带单位。
七年级阶段一元一次方程应用题的求解过程都相对简单，但我们还是要熟练解一元一次方程的基本方法。
5.验：检验所求的解是否符合题意。
一般没有做具体要求，我们先检查解的合理性，再将未知数带入方程检验。
例：食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?解：设食堂运来面粉x千克，得：等量关系：大米重量=面粉重量×3－30千克列出方程：150=3x－30解方程，得：x=60检验：1.面粉60千克符合实际，2.3×60－30=1506.答：作答，注意答题的完整性，问什么打什么。
七年级一元一次方程应用题解题技巧总结
七年级一元一次方程应用题解题技巧总结在初中数学学习中，一元一次方程是一个基础且重要的内容。
在解一元一次方程的过程中，应用题是一个很关键的环节，需要掌握一定的解题技巧。
本文将总结七年级一元一次方程应用题解题技巧，帮助同学们更好地应对这类问题。
问题分析在解一元一次方程的应用题时，首先要将问题进行分析，明确问题的关键信息。
一般来说，应用题中会涉及到“未知数的设定”、“问题的条件”、“问题的要求”等内容。
我们需要将这些内容清晰地理解，并将其转化为数学语言。
步骤总结1.设定未知数：在遇到应用题时，首先明确未知数代表的意义，通常会直接用字母表示，如x，y等。
2.建立方程：根据问题的条件，建立方程。
根据关键信息，可以列出等式，将问题转化为方程。
3.解方程：根据方程的性质，进行化简和整理，找到方程的解。
可以通过合并同类项、移项、消项等方式求解方程。
4.验证解的正确性：解得方程后，要将所得的解代入原方程进行验证，确保解的正确性。
解题技巧1.仔细阅读题目：要仔细审题，理解问题的含义，注意问题的条件和要求。
2.逻辑清晰：在解题的过程中，逻辑要清晰，一步一步进行推理和求解，不要出现漏洞。
3.化繁为简：解题时可以适当化繁为简，简化问题的设定和条件，有助于更快地找到解题思路。
4.多练习：通过大量的练习，掌握应用题解题的技巧和思路，提高解题的速度和准确性。
实例演练实例一某个班级学生人数的2/5比3/4小15人，求这个班级学生的总人数。
解题过程： 1. 设这个班级学生的总人数为x，根据题意，可以得到方程：2/5x=3/4x−15。
2.化简方程，得到8x=15x−300。
3.移项整理，得到7x=300，解得x=300/7。
4.验证解，将x代入原方程验证，发现成立，得答案。
实例二某商店举办“满500减100”优惠活动，若小明在该商店买东西，总共花费480元，问他买了多少钱的商品。
解题过程： 1. 设小明买的商品总价为x，则根据题意，可以得到方程：x−100=480。
七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项经典练习(专题培优)
一、解答题1．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价为多少？解析：180元或202.5元【分析】先根据题意判断出可能打折的情况,再分别算出可能的可能的原价.【详解】∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．162÷0.9=180元；162÷0.8=202.5元．故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．【点睛】本题考查打折销售问题,关键在于分类讨论.2．解方程：2x 13+=x 24+-1． 解析：x=-2．【分析】 按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可.【详解】去分母得：4(2x+1)=3(x+2)-12，去括号得：8x+4=3x+6-12，移项得：8x-3x=6-12-4，合并同类项得：5x=-10，系数化为1得：x=-2．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.3．已知方程3210x a +-=的解与方程20x a -=的解互为相反数，求a 的值． 解析：14a =- 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据解互为相反数列方程计算即可.【详解】3210x a +-=，解得123a x -=； 20x a -=，解得2x a =．由题意得，12203a a -+=， 解得14a =-. 【点睛】 本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据两个方程的解互为相反数列方程求解. 4．解下列方程： (1)51784a -=； (2)22146y y +--＝1； (3)2131683x x x -+-= －1 解析：（1）3a =；（2）4y =-；（3）179x =． 【分析】 （1）先方程两边同乘以8去分母，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；（2）先方程两边同乘以12去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；（3）先方程两边同乘以24去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】（1）方程两边同乘以8去分母，得5114a -=，移项，得5141a =+，合并同类项，得515a =，系数化为1，得3a =；（2）方程两边同乘以12去分母，得3(2)2(21)12y y +--=，去括号，得364212y y +-+=，移项，得341262y y -=--，合并同类项，得4y -=，系数化为1，得4y =-；（3）方程两边同乘以24去分母，得4(21)3(31)824x x x --+=-，去括号，得8493824x x x ---=-，移项，得8982443x x x --=-++，合并同类项，得917x -=-，系数化为1，得179x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．5．解下列方程（1）-9x-4x+8x=-3-7；（2）3x+10x=25+0.5x ．解析：（1）x=2；（2）x=2【分析】（1）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）合并同类项，得，-5x=-10系数化为1，得，x=2（2）移项，得3x+10x-0.5x=25合并同类项，得12.5x=25系数化为1，得，x=2【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．解方程：（1）5(8)6(27)22m m m +--=-+（2）2(3)7636x x x --+=- 解析：（1）10m =；（2）5x =【分析】（1）直接去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解；（2）直接去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解．【详解】解：（1）5(8)6(27)22m m m +--=-+5m 4012m 42m 22+-+=-+6m 60-=-m 10=（2）2(3)7636x x x --+=- ()6x 4x 336(x 7+-=--）6x 4x 1236x 7+-=-+11x 55=x 5=【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解题步骤．7．已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a-b|+（a-4）2=0（1）a= ，b= ，并在数轴上面出A、B两点；（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；（3）数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．解析：（1）4，16．画图见解析；（2）83或8秒；（3）点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；（3）分四种情形构建方程即可解决问题.【详解】（1）∵a，b满足|4a-b|+（a-4）2≤0，∴a=4，b=16，故答案为4，16．点A、B的位置如图所示．（2）设运动时间为ts．由题意：3t=2（16-4-3t）或3t=2（4+3t-16），解得t=83或8，∴运动时间为83或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）设运动时间为ts．由题意：12+t-3t=4或3t-（12+t）=4或12+t+4+3t=52或12+t+3t-4=52，解得t=4或8或9或11，∴点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【点睛】本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，具体的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．8．某同学在解方程21233x x a-+=-时，方程右边的﹣2没有乘以3，其它步骤正确，结果方程的解为x ＝1．求a 的值，并正确地解方程．解析：a=2,x=-3【分析】由题意可知x=1是方程2x-1=x+a-2的解，然后可求得a 的值，然后将a 的值代入方程求解即可．【详解】解：将x ＝1代入2x ﹣1＝x +a ﹣2得：1＝1+a ﹣2．解得：a ＝2，将a ＝2代入21233x x a -+=-得：2x ﹣1＝x +2﹣6． 解得：x ＝﹣3．【点睛】 本题主要考查的是一元一次方程的解，明确x=1是方程2（2x-1）=3（x+a ）-2的解是解题的关键．9．某地下停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场的小型汽车数量是中型汽车的3倍，这些车共缴纳停车费270元，则小型汽车有多少辆？解析：小型汽车有45辆【分析】设中型汽车有x 辆，则小型汽车有3x 辆，根据“这些车共缴纳停车费270元”列出关于x 的方程，然后求解方程即可.【详解】设中型汽车有x 辆，则小型汽车有3x 辆，根据题意，得643270+⨯=x x ，合并同类项，得18x =270，系数化为1，得x =15，则3x =45.答:小型汽车有45辆.【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程.10．关于x 的方程357644m x m x +=-的解比方程4(37)1935x x -=-的解大1，求m 的值. 解析：623m =-【分析】 分别求出两方程的解，根据题意列出关于m 的方程，然后求解即可.【详解】解：357644m x m x +=-， 整理得：2(310)321m x m x +=- 313x m =-解得：331m x =-， 4(37)1935x x -=-4747x =1x =由题意得：31131m --= 解得：623m =-【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解方程，关键是能先用含有m 的式子表示x ，然后根据题意列出方程.11．如图，甲船逆水，静水速度为28海里/时；乙船顺水，静水速度为12海里/时，两船相距60海里.已知水流速度为3海里/时，两船同时相向而行.（1）两船同时航行1小时，求此时两船之间的距离；（2）再（1）的情况下，两船再继续航行1小时，求此时两船之间的距离；（3）求两船从开始航行到两船相距12海里，需要多长时间？解析：(1) 20海里;(2) 20海里;(3) 1.2小时或1.8小时.【分析】（1）根据1h 后甲、乙间的距离=两船相距-（甲船行驶的路程+乙船行驶的路程）即可得； （2）根据2h 后甲、乙间的距离=甲船行驶的路程-乙船行驶的路程即可得；（3）可分相遇前与相遇后两种情况讨论即可解答.【详解】解：根据题意可知甲船的行驶速度为28-3=25海里/时，乙船的行驶速度为12+3=15海里/时（1）1h 后甲、乙间的距离=60-25×1-15×1=20海里；（2）2h 后甲、乙间的距离=25×2-15×2=20海里；（3）相遇前，设两船从开始航行到两船相距12海里，需要t 小时则12=60-（25+15）t ，求得t=1.2小时相遇后，设两船从开始航行到两船相距12海里，需要t 1小时则12+60=（25+15）t 1，求得t 1=1.8小时故两船从开始航行到两船相距12海里，1.2小时或1.8小时.【点睛】本题主要考查列代数式与一元一次方程的实际应用，掌握船顺流航行时的速度与逆流航行的速度公式是解题的关键．12．图1为全体奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为 a（如图2）．（1）请用含a的代数式表示框内的其余4个数；（2）框内的5个数之和能等于 2015，2020 吗?若不能，请说明理由；若能，请求出这5个数中最小的一个数，并写出最小的这个数在图1数表中的位置．（自上往下第几行，自左往右的第几个）解析：（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）上下相邻的数相差18，左右相邻的数相差是2，所以可用a表示；（2）根据等量关系：框内的5个数之和能等于2015，2020，分别列方程分析求解．【详解】（1）设中间的数是a，则a的上一个数为a−18，下一个数为a＋18，前一个数为a−2，后一个数为a＋2；（2）设中间的数是a，依题意有5a＝2015，a＝403，符合题意，这5个数中最小的一个数是a−18＝403−18＝385，2n−1＝385，解得n＝193，193÷9＝21…4，最小的这个数在图1数表中的位置第22排第4列．5a＝2020，a＝404，404是偶数，不合题意舍去；即十字框中的五数之和不能等于2020，能等于2015．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是看到表格中中间位置的数和四周数的关系，最后可列出方程求解．13．小丽用的练习本可以从甲乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本 2 元，甲商店的优惠条件是：购买十本以上，从第 11 本开始按标价的 70％出售；乙商店的优惠条件是：从第一本起按标价的80％出售。
2024年浙教版七年级上册数学期末培优复习第10招特殊一元一次方程的解题技巧
解一元一次方程的依据是运算法则、运算
律和等式的基本性质，对于含多个括号或含小数、分数等结
构较为复杂的一元一次方程，灵活地选择不同的方法可使求
解更简便.
返回
典例剖析
解：移项，合并同类项，得
{ ［ (x－1)＋5］＋7}＝1.
两边同时乘8，得
(
− ) + ＋7＝8.
－
＝1.
.
.
【解】化为同分母，得
.
.−.
.
－
＝
，
.
.
.
去分母，得0.1 x －0.16＋0.5 x ＝0.06，
解得 x ＝ .
1
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3
4
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11
12
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分类训练
技巧3 巧约分去分母
3.
−
.−
解方程：
－6.5＝
−.
.−
－
＝
.
.
.
.
【解】去分母，得
2(4 x －1.6)－5(3 x －5.4)＝10(1.8－ x )，
去括号、移项、合并同类项，得3 x ＝－5.8，
系数化为1，得 x ＝－
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13
分类训练
技巧2 巧化同分母
2. 解方程：
.−.
－7.5.
.
.
【解】原方程可化为
北师大版七年级上册第五章一元一次方程培优专题
一元一次方程培优专题方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．【例题与提高】例1解方程：【分析】用两种思路求解该方程：解法1从里到外逐级去括号．解法2按照分配律由外及里去括号.例2已知下面两个方程： 3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．【分析】本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．例5解方程：(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．例9若abc=1，解方程【分析】像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程：【分析】用两种方法求解该方程。
小专题(十) 一元一次方程的设元技巧
数的万位、千位、百位、十位、个位上的数字恰巧分别为原五位数的
个位、万位、千位、百位、十位上的数字,求原五位数.
设原五位数去掉个位数后的四位数为x,则原五位数为10x+4.根据题意,得
(10x+4)+6120=4×10000+x,解 得 x=3764,则 10x+4=37644,即 原 五 位 数 是
时.从A地到B地有多少千米?
设坡路长为x千米.根据题意,得9
为8×
−
−=8来自−
,解得x=3.所以平路长
=6(千米).所以从A地到B地有3+6=9(千米)
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9
类型三
整体设元法
有些实际问题中未知数的某一部分存在一个整体关系,可设这一部
分为一个未知数,这样减少了设未知数的个数,方便解题.
生产,则恰好提前一天完成生产任务.每名工人每天可以生产多少套兵马
俑纪念品?
设每名工人每天可以生产x套兵马俑纪念品.根据题意,得6×10x+1200=
15x(6-1),解得x=80.所以每名工人每天可以生产80套兵马俑纪念品
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4. 某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包,其中每包书的数量
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只.
2. 甲、乙两个仓库的货物质量之比为3∶5,从甲仓库运出2吨货物给乙仓
库后,甲、乙两个仓库的货物质量之比是1∶2,甲仓库原来的货物质量为
第3章 1、培优一元一次方程应用题教师版_基础
一元一次方程应用题（1）审题：分析题意，弄清题目中的数量关系和等量关系。
（已知、未知）（2）设元：选择题目中适当的一个未知量，用x表示，并把其他未知量用含x的代数式表示出来。
（直接设元、间接设元）（3）列方程：根据相等关系列出方程。
（4）解方程：求出x的值。
（5）检验：检验方程的解是否符合实际情况。
（在解答过程中不用谢出来来）（6）写答：答，在方程解应用题中必不可少，是一种规范性要求（带单位）。
1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【典型例题】类型一、和差倍分问题1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x 公斤，由题意得： x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% . 解得：x=10. 答：油箱里原有汽油10公斤.【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票? 【答案】解：设这个班有x 名学生，根据题意得： 3x+24＝4x -26 解得：x ＝50.所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．类型二、行程问题 1.车过桥问题2. 某桥长1200m ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ，而整个火车在桥上的时间是30s ，求火车的长度和速度． 【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：120012005030x x+-=， 解得：x ＝300， 所以12001200300305050x ++==． 答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长． (2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．2.相遇问题（相向问题）3．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A 、B 两地间的路程. 【答案与解析】解：设A 、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：363624x x -+= 解得：x =108．答：A 、B 两地间的路程为108千米.【总结升华】根据“匀速前进”可知A 、B 的速度不变，进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三：实际问题与一元一次方程(一)【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A 站34km ，已知甲车的速度是70km/h ，乙车的速度是52km/h ，求A 、B 两站间的距离. 【答案】解：设A 、B 两站间的距离为x km ，由题意得：234347052x x -+= 解得：x=122答： A 、B 两站间的距离为122km.3.追及问题（同向问题）4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】解：设卡车的速度为x 千米/时，由题意得：1122(30)(1)(30)243x x x x x x +++=++-⨯+⨯ 解得：x=24答：卡车的速度为24千米/时．【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．4.航行问题（顺逆流问题）5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时．已知A 、C 两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A 、B 两地间的距离． 【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在A 、B 之间；（2）C 地在A 地上游．【答案与解析】解：设A 、B 两地间的距离为x 千米．(1)当C 地在A 、B 两地之间时，依题意得：1047.5 2.57.5 2.5x x -+=+-．解这个方程得：x ＝20．(2)当C 地在A 地上游时，依题意得：1047.5 2.57.5 2.5x x ++=+-．解这个方程得：203x =．答：A 、B 两地间的距离为20千米或203千米． 【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．5.环形问题6．（2015春•海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400．【答案与解析】解：设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则：240x﹣200x=400，解得：x=10．设两人背向而行，y分钟后相遇，则：240y+200y=400，解得：y=．答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇．【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．举一反三：【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min 的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x分钟，则有：72x-65x＝3×90．270x=．7270⨯≈(m)．7227777答：乙第一次追上甲时走了2777 m，此时乙在AD边上．类型三、工程问题7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过x小时可把水注满．由题意得：解得：213x=．答：打开丙管后4213小时可把水放满．【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．举一反三：【变式】（2015春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？【答案】解：设乙还要x小时完成，根据题意得：，解得：x=4．答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成．类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：5x＝3(120-x)．解得x＝45．120-45＝75(人)．答：应安排45人挖土，75人运土．【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．举一反三：【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25×100．解得：x=62.5.当x=62.5时，100-x=37.5（千克）.答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.要点三、常见列方程解应用题的几种类型1．利润问题 （1）=100% 利润利润率进价(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率×121 3.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】类型一、利润问题1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支? 【答案与解析】解：设打折的钢笔有x 支，则有： 6(100-x )+6×90%x ＝100×4+188 解得x ＝20答：打9折的钢笔有20支．来构建方程的，其结果一样． 举一反三：【变式】（2015•孝感）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水m3．【答案】28．解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，故20×2+（x﹣20）×3=64，故x=28．类型二、存贷款问题2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?【答案与解析】解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．解之，得x＝2．答：所以2年后能一次性还清贷款．【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．举一反三：实际问题与一元一次方程(二)贷款问题】【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【答案】解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,解得, x≈9436(元)16000-9436=6564(元).答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.类型三、数字问题3．（2015春•镇巴县校级月考）甲数是2013，甲数是乙数的还多1．设乙数为x，则可列方程为（）A．4（x﹣1）=2013 B．4x﹣1=2013 C．x+1=2013 D．（x+1）=2013【答案】C．解：设乙数为x，由题意得，x+1=2013．【总结升华】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．类型四、方案设计问题4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元． （2）若选择方案2．设将x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x )吨鲜奶制成酸奶销售，依题意得，9413x x -+=， 解得 1.5x =．当 1.5x =时，97.5x -=．总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案2较好．答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下：举一反三：【变式1】商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的110)，问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．×1×0.4元；买B 型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得： 2190×10x+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 解得：x ＝8答：商场将A 型冰箱打8折出售，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当．【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a ；(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元? 【答案】解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a )＝30.72． 解得：a ＝60．(2)设该户六月份共用电x 度，因0.36＜0.40，所以x ＞60，于是超出部分电量为(x -60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x -60)＝0.36x ． 解得：x ＝90．所以0.36x ＝0.36×90＝32.40元．答：(1)a ＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．。
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一元一次方程培优专题——设未知数的技巧
著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。
”随着素质教育的实施，列方程解应用题是各省市中考数学中的必考题。
在解这类问题时，由于受算术解法的影响，往往习惯于“题目中求什么就设什么”，即直接设未知数。
但这种方法对有的问题就显得不够简便。
一、直接设元法
题目中要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数，像这样设未知数的方法叫做直接设元法，它是列方程解决实际问题的一种最基本和最常用的方法。
【典型例题】
1、某公司有28名工人生产螺栓和螺母，每名工人每天平均生产螺栓12个或螺母18个.如果每天生产的螺栓和螺母要按1∶2配套，应分别安排多少名工人生产螺栓？多少名工人生产螺母？解：设安排x名工人生产螺栓，则生产螺母的有________名工人.根据题意，得方程________.解这个方程，得x＝________.所以28－x＝________.答：应安排________名工人生产螺栓，________名工人生产螺母.
2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问：这种商品的定价是多少元？
【变式训练】
1、“艺馨”文艺团体为“希望工程”募捐，组织了一场义演，若售出的票为1000张，其中成人票每张8元，学生票每张5元，能否筹得票款6930元，为什么？
2、（2011广西崇左）元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马________天可以追上驽马．
二、间接设元法
对有的题，若直接设未知数使求解过程繁琐，可间接设与所求未知数有关的未知数，使求解过程简化。
所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量。
如：涉及连比的题目，若直接设未知数不便时，则可以设比例关系中的一份为未知数；涉及数字的题目，一般设某一位上的数字为未知数来求解。
【典型例题】
1、（2012山西）图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________ cm3．
2、如图所示是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成（其中正方形①②大小相同），设中间最小的一个正方形边长为1，试求这个矩形ABCD的面积．
【变式训练】
1、有一个三位数，3个数位上的数字的和为12，百位数字比十位数字大7，个位数字是十位数字的3倍．求这个三位数．
2、火药是我国的四大发明之一，它所需要的原料硝酸钾，硫黄，木炭的质量比是15∶2∶3，配制这种火药400千克，三种原料各需要多少千克？
3、沙漠探险．在某沙漠地带，汽车每天行驶200 km，每辆汽车最多可装载行驶24天的汽油．现在甲、乙两辆汽车同时从A地出发，规定都必须沿原路返回A地．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留足自己返回A地的汽油，将其余的汽油补给给甲车，自己返回．问这样甲车能开出的最远距离是多少千米？
三、助设元法
列方程解决实际问题时，有时会遇到问题中的条件比较少，或数量关系比较复杂的情况。
当无论是直接设元，还是间接设元都很难列方程时，可以增设未知量，使量与量之间的关系变得清晰、明朗，从而列出方程提供方便，这种设未知数的方法叫做辅助设元法，也称参数法。
设未知数的目的不是为了求出其值，而是为列方程创造条件，由于它在解题中可以被消或被约，所以一般不必求出其值，这就是辅助设元法的“设而不求”。
【典型例题】
1、一片草地上的青草，到处长得一样密一样快，设所有的牛每天吃的草量相同，已知在草地上放牧70头牛，则24天把草吃完，如果放牧30头牛，则60天把草吃完，那么多少头牛96天能把草地上的草吃完？
2、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来进价降低了6.4％，使得利润增长了8个百分点，经销这种商品原来的利润率是多少？
【变式训练】
1、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，
其中团体票占总数的2
3，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张
12元，共售出团体票数的3
5；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，
团体票按每张16元出售，并计划在六月份售出全部余票，那么零售票应该按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
2、某商品月末的进货价比月初的进货价降了8％，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10％，问月初的利润率是多少？。