一元一次方程培优专题(设未知数的技巧)

一元一次方程培优专题——设未知数的技巧

著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。”随着素质教育的实施，列方程解应用题是各省市中考数学中的必考题。在解这类问题时，由于受算术解法的影响，往往习惯于“题目中求什么就设什么”，即直接设未知数。但这种方法对有的问题就显得不够简便。

一、直接设元法

题目中要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数，像这样设未知数的方法叫做直接设元法，它是列方程解决实际问题的一种最基本和最常用的方法。

【典型例题】

1、某公司有28名工人生产螺栓和螺母，每名工人每天平均生产螺栓12个或螺母18个.如果每天生产的螺栓和螺母要按1∶2配套，应分别安排多少名工人生产螺栓？多少名工人生产螺母？解：设安排x名工人生产螺栓，则生产螺母的有________名工人.根据题意，得方程________.解这个方程，得x＝________.所以28－x＝________.答：应安排________名工人生产螺栓，________名工人生产螺母.

2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问：这种商品的定价是多少元？

【变式训练】

1、“艺馨”文艺团体为“希望工程”募捐，组织了一场义演，若售出的票为1000张，其中成人票每张8元，学生票每张5元，能否筹得票款6930元，为什么？

2、（2011广西崇左）元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马________天可以追上驽马．

二、间接设元法

对有的题，若直接设未知数使求解过程繁琐，可间接设与所求未知数有关的未知数，使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量。如：涉及连比的题目，若直接设未知数不便时，则可以设比例关系中的一份为未知数；涉及数字的题目，一般设某一位上的数字为未知数来求解。

【典型例题】

1、（2012山西）图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________ cm3．

2、如图所示是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成（其中正方形①②大小相同），设中间最小的一个正方形边长为1，试求这个矩形ABCD的面积．

【变式训练】

1、有一个三位数，3个数位上的数字的和为12，百位数字比十位数字大7，个位数字是十位数字的3倍．求这个三位数．

2、火药是我国的四大发明之一，它所需要的原料硝酸钾，硫黄，木炭的质量比是15∶2∶3，配制这种火药400千克，三种原料各需要多少千克？

3、沙漠探险．在某沙漠地带，汽车每天行驶200 km，每辆汽车最多可装载行驶24天的汽油．现在甲、乙两辆汽车同时从A地出发，规定都必须沿原路返回A地．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留足自己返回A地的汽油，将其余的汽油补给给甲车，自己返回．问这样甲车能开出的最远距离是多少千米？

三、助设元法

列方程解决实际问题时，有时会遇到问题中的条件比较少，或数量关系比较复杂的情况。当无论是直接设元，还是间接设元都很难列方程时，可以增设未知量，使量与量之间的关系变得清晰、明朗，从而列出方程提供方便，这种设未知数的方法叫做辅助设元法，也称参数法。设未知数的目的不是为了求出其值，而是为列方程创造条件，由于它在解题中可以被消或被约，所以一般不必求出其值，这就是辅助设元法的“设而不求”。

【典型例题】

1、一片草地上的青草，到处长得一样密一样快，设所有的牛每天吃的草量相同，已知在草地上放牧70头牛，则24天把草吃完，如果放牧30头牛，则60天把草吃完，那么多少头牛96天能把草地上的草吃完？

2、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来进价降低了6.4％，使得利润增长了8个百分点，经销这种商品原来的利润率是多少？

【变式训练】

1、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，

其中团体票占总数的2

3，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张

12元，共售出团体票数的3

5；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，

团体票按每张16元出售，并计划在六月份售出全部余票，那么零售票应该按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

2、某商品月末的进货价比月初的进货价降了8％，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10％，问月初的利润率是多少？