一道典型的抽象函数与抽象不等式问题

一道典型的抽象函数问题

已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32).g x f x f x =-+-

（1）求函数()g x 的定义域；

（2）若()f x 为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集。

解：（1）由2122322x x -<-<⎧⎨-<-<⎩得152

2x <<，()g x ∴的定义域为15(,).22 （2）若()f x 为奇函数，则()(1)(32)(1)(23)g x f x f x f x f x =-+-=---， ()0(1)(23)g x f x f x ∴≤⇔-≤-，又()f x 在定义域上单调递减，

123x x ∴-≥-，解得 2.x ≤ 又()g x 的定义域为15(,).22 ∴不等式()0g x ≤的解集为1(,2].2