2015年交大附中自招数学试卷

2015年交大附中自招数学试卷 一. 选择题

1. 根据第六次全国人口普查报告，我国全国总人口为1370536875人，用科学计数法表示该人口可表示为（ ）

A. 100.137053687510⨯

B. 91.37053687510⨯

C. 813.7053687510⨯

D. 7137.053687510⨯

2. 已知|3|220x y x y --++=，则x y +的值为（ ）

A. 3-

B. 1-

C. 1

D. 3

3. 如图，圆与圆之间的不同位置关系有几种（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 若2y x =-先向左平移三个单位，再向下平移两个单位，此时函数图像的解析式为（ ）

A. 2(3)2y x =--+

B. 2(3)2y x =-+-

C. 2(3)2y x =---

D. 2(3)2y x =-++

5. 13名同学参加100m 跑步比赛，预赛成绩各不相同，取前六进决赛，小聪知道自己的成绩，她想知道自己是否进入决赛，还需要知道这13名同学的（ ）

A. 中位数

B. 平均数

C. 最值之差

D. 众数

6. 假设a 是无理数，b 是有理数，下面有可能是有理数的是（ ）

A. a b +

B. a b -

C. ab

D. a b ÷

7. 四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下能推出ABCD 是菱形的是（ ）

A. OA OB OC OD ===

B. AC BD =

C. AB BC CD DA ===

D. AB ∥CD ，AD ∥BC

8. 已知反比例函数m y x

=（m 为常数）的图形与直线y x =有公共点，若点(2,)A a -， (3,)B b -是m y x

=图像上的两点，则a 与b 的大小关系（ ） A. a b > B. a b < C. a b = D. 无法确定

9. 将编号为1，2，3，4的四把钥匙穿在一个环形钥匙圈上，则串号的次序是1，2，3，4的概率是（ ）

A. 13

B. 16

C. 112

D. 124

10. 张大妈、李大妈接连n 天（n 为正整数），每天去菜场买青菜，张大妈每天买3元的青菜，李大妈每天买1kg 的青菜，若这n 天的青菜价格1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （元/kg ），记张大妈与李大妈n 天以来所买青菜的平均价格分别为1S 、2S ，试求1S 、2S 的表达式，以及它们

之间的大小关系（ ） A. 12S S ≥ B. 12S S ≤ C. 12S S > D. 12S S <

二. 填空题

11. 3232

+=- 12. 若分式22240x x x x

-=+，则x 的值为 13. 因式分解：3221121a a a +-=

14. 边长为1的正八边形的内切圆的直径等于

15. 在△ABC 中，点D 是AC 的中点，设CA a =，CB b =，那么DB = （结果用a 、b 表示）

16. 在平面直角坐标系中，已知点(2,1)A -、(3,2)B 、(1,4)C ，则△ABC 的面积为

17. 观察下列各式：

111(1)1434=-⨯，1111()47347=-⨯，1111()7103710

=-⨯，⋅⋅⋅，根据观 察计算：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯-⨯+ （n 为正整数） 18. 正整数2015的不同正因数的个数为

19. 由若干个棱长为1的小正方体叠成一个几何体，从该几何体的前方、左侧、上方看这个 几何体的视图均为由边长为1的正方形拼成的“田”字，则叠成这个几何体的小正方体的最 少个数是

20. 已知a 是非零实数，则22

3a a +

的最小值等于

三. 解答题

21. 已知摄氏温度y 度与华氏温度x 度之间的换算满足线性关系，即y 是x 的一次函数，且摄氏100度时华氏温度为212度，摄氏0度时华氏温度为32度.

（1）求y 与x 的函数关系式；

（2）当摄氏温度和华氏温度相等时，此时是多少度.

22. 如图，已知四边形ABCD 是以直线AC 为对称轴的轴对称图形，90ABC ∠=︒，120BAD ∠=︒，将该四边形绕点A 逆时针旋转n ︒（0120n <<），得到四边形AEFG ，边EF 与CD 交于点O .

（1）除原图中已有的线段和四边形ABCD 与AEFG 的对角线外，以图中标有字母的点为端点的新的线段中，找出一组相交且相互垂直的线段，写出它们并说明它们垂直的理由；

（2）若3AB =，四边形AEOD 的面积为33，求旋转角的度数n .

23.（1）计算：12341⨯⨯⨯+= ；23451⨯⨯⨯+= ；

（2）根据（1）中的计算结果，写出一个一般性的结论，使得（1）中的情况是其特例，并对写出的一般性结论给出证明.

24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与坐标轴的交点为(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C .

（1）求该二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）若点M 、N 同时从点A 出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿AB 、AC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，连接MN ，将△AMN 沿MN 翻折，A 点恰好落在BC 边上的点P 处，求t 的值及点P 的坐标.

25. 图中是韩国为举办国际数学家大会而发起的纪念邮票，邮票的图案是勾股定理（即毕达哥拉斯定理）及其证明，试叙述勾股定理，并按图中的提示写出定理的证明.