正余弦定理专题

解斜三角形（正余弦定理灵活应用） 1.正弦定理： A a sin =B b sin =C

c sin =2R.（关键点“比”） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理：

a2=b2+c2－2bccosA ；① b2=c2+a2－2cacosB ；② c2=a2+b2－2abcosC. ③

在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2.

cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =ab

c b a 22

22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.

判断三角形的形状：

1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） 答案：C

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） 答案：C

A.sin A +cos A =51

B.AB ·＞0

C.tan A +tan B +tan C ＞0

D.b =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－25

24＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.

由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.

由

B b sin =

C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3

π2. 3.在△ABC 中，sin A =C

B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 解：a =ab

c b a ca b a c c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.

解斜三角形（求角度和长度）

4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3

π 5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2

1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1 sin A ＞

21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B

6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =

4

1（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______. 解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4

π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .

证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒

sin 2A －sin 2B =sin B sin C ⇒

22cos 1A -－2

2cos 1B -=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），

因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B . 该题若用余弦定理如何解决?

解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得

cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b

b c 2-， cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 22

22-+）2－1=2222c

c b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .

评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为

23，那么b 等于（ ） 答

案：B A.231+ B.1+3 C.

2

32+ D.2+3 解析：2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =4

42-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.

9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=5

1.