第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题,

一、稳定性的概念 稳定பைடு நூலகம்的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考 虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜， 外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持 平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果 没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。
(二) 劳斯判据
这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。 1. 若系统特征方程式
p t s t i i c ( t ) C e e ( A c o si t B s i n t ) i i i i i 1 i 1 k r
w
w
设an>0，各项系数均为正数。 2. 按特征方程的系数列写劳斯阵列表：
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4
() n (n1) n n1
0 a0 a1 a2 0 0 0 a0
a03 0
(1) 1 0
() m (m 1) m m 1
(1) 1 0
4. 两种特殊情况 在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现： (1) 劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数 不为零（或没有其余项），这时可用一个很小的正数e来代 替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一 行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说明系统 特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的上下两 个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系 统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。 例3.5 设系统特征方程为
程根，假如特征方程根能求得，系统稳定性自然就可断定。 但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往 往需要求助于数字计算机。所以，就有人提出了在不解特征 方程式的情况下，求解特征方程根在S平面上分布的方法。 下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。
二、劳斯判据
(一)系统稳定性的初步判别 已知系统的闭环特征方程为 (3.63) 式中所有系数均为实数，且an>0，则系统稳定的必要条 件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。 证明如下： 设式(3.63)有n个根，其中k个实根 p j (j=1，2，…，k)，r 对复根s i±jw i (i=1，2，…，r)，n = k+2r。则特征方程式 可写为
设上式有k个实根pi （i=1，2，…，k），r对共轭复数 根(s i±jw i ) (i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方程式 (3.59)解的一般式为 n n 1 (3.62)
D ( s ) a s a s a s a 0 n n 1 1 0
式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。 从式(3.62)可知： (1) 若pi <0，s i <0 （即极点都具有负实部），则式 (3.60)成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定 的。
(3) 若-pi或-s i中有一个或一个以上是正数，则式(3.60)不 满足。当t→∞时，c(t)将发散，系统是不稳定的。 (4) 只要-pi中有一个为零，或-s i中有一个为零（即有一 对虚根），则式(3.60)不满足。当t→∞时，系统输出或者为 一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时系统 处于稳定的临界状态。 总结上述，可以得出如下结论： 线性系统稳定的充分必要条件 是它的所有特征根均为负实数，或 具有负的实数部分。 根平面上是一个点，所以上述结论 又可以这样说：线性系统稳定的充 分必要条件是它的所有特征根，均 在根平面的左半部分（见图3-32）。
1 2
s s
0 4
e
1 2
2
由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚 根存在。上述特征方程可因式分解为
s 1 0 s 1 61 s 6 00
3 2
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为 零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对 称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是 偶数的；
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
s
1
(3.58)
则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可 按齐次微分方程式 (3.59) 来分析。这时，在任何初始条件下，若满足
n n 1 a sa s a s a 0 n n 1 1 0
s s s s s
n n n n n 1 2 3 4
a a
n
n 1 1 1 1
a a
n n
2 2 2
2 3
a a
n n
3 3 3
4 5
b c d f g
b c d
b c d
s s
1 0
1 1
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0
解 劳斯阵列表为
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4 0 a0 a1 a2 0 0 0 a0 a03 0
() n (n1) (1) ac ac ac ac n n1 1 0 () m (m1) (1) br br br br m m1 1 0
常用的稳定性分析方法有： 1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据 这是一种代 数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平 面的位置，从而决定系统的稳定性. 2. 根轨迹法 这是一种图解求特征根的方法。它是根据系 统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统 的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随 该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据 这是一种在复变函数理论基 础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环 系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这 一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统， 而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系 统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定 性。
1 2 j 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足 系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下
1 12 6 6 11 0 ac ac ac ac 6 br br br br 61/6 s 0 455/61 0 s4 6 第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式 分解可将特征方程写为 (s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0
2 a s a s a 0 2 1 0
解 列写劳斯阵列表 No 1 2 5 Image s5 3 1 6 5 9 （各系数均已乘3） ac ac ac ac br br br br -11 15 （各系数均已乘5/2） （各系数均已乘11） s 0 174 s 4 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
图3-32 根平面
Ds ()asas asa aspsp ( ) ( )( sp ) [ ( s s ) w ][ ( s s ) w ] n 1 2
22 k 1 1 22 r r
n n1 n n1 1 0
0
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的 是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程 的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性 与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。 如果系统中每个部分都可用线性常系数微分方程描述， 那么，当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的。如 果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可 用线性化方程来描述，则当系统是稳定时，我们只能说这个 系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统 仍是稳定的。
b. 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；
c. 继续计算劳斯阵列表； d. 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。 例3.6 系统特征方程为
l i m c ( t )l i m ct ( ) l i m c( t ) 0
( 1 ) t t t
(a) 稳定的 (b) 不稳定的 图3-31 圆锥体的稳定性
(1 n )
根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受 到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后， 系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。 瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况 之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳 态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是 有界的： | r(t)|<∞， t ≥0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性 的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其 输出是否有界的问题。 一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出 响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为 BIBO稳定。
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4 0 a0 a1 a2 0 0 0 a0 a03 0
s
5
() n (n1) (1) n n1 1 0
() m (m1) (1) m m1 1 0
其根为2，3，3 2
s 6 s 5 sK0
，均具有负实部，所以系统稳定。
例3.4 已知系统特征方程式为
b1 b2 b3 1 1 1 an an an a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n2 a n3 a n4 a n5 a n6 a n7
表中
1 a n 1 c1 b1 b1 1 a n 1 c2 b1 b1 1 a n 1 c3 b1 b1
第四节 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因 素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统 参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中 各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即 使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何 分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论 的基本任务之一。
a a a
n3
b2
n5
b3
n7
b4
直至其余bi项均为零。
ssss 612160
43 2
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
(3.60)
则称系统(3.58)是稳定的。 为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学分 析知道，式(3.59)的特征方程式为 s (3.61) c ( t ) C e e ( A c o s w t B s i n w t )
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