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上海历年高考数学(春)试题及答案汇编十一数列

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2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为 ． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为 ．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ． 【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3． 【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3． 【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<， 所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π． 【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π． 【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =． 故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ． 【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+， 变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10． 【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194． 【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194． 【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为． 【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴． 【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ． 【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ． 【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->， 即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利． 【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=． （2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+， 直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞． （3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数； 当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数， 综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2022届上海市春季高考数学试卷及答案

2022届上海市春季高考数学试卷及答案

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为 【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=； （2）交点为34(,)55a ，在椭圆上； （3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ．3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（ ） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ．3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ）A ．100521002a <<B ．100510032a << C ．100731002a <<D ．100710042a << 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ） A ．2-B ．73C ．1D ．293．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（ ） A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-二、填空题 15．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d = ． 17．（2020∙山东∙高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为 ．18．（2020∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S = ．19．（2019∙江苏∙高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .20．（2019∙北京∙高考真题）设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5= ，Sn 的最小值为 ．21．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S = . 22．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S = .考点04 等比数列及其前n 项和一、单选题 1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ） A ．158B ．658C ．15D ．402．（2023∙天津∙高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（ ）A ．16B ．32C ．54D ．1623．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）． A ．120B ．85C ．85-D ．120-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A ．14B ．12C ．6D ．35．（2021∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106．（2020∙全国∙高考真题）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12B ．24C ．30D ．327．（2020∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（ ）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –18．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则 k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 11．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为 ． 12．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a = . 13．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4= ． 14．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5= ．考点05 数列中的数学文化1．（2023∙北京∙高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a = ；数列{}n a 所有项的和为 ．2．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么1nk k S ==∑ 2dm .4．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．5．（2020∙全国∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010B ．11011C ．10001D ．110016．（2020∙全国∙高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块考点06 数列求和1．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（ ） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=3．（2020∙江苏∙高考真题）设{an }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．参考答案考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <【答案】D【详细分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【答案详解】[方法一]:常规解法因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.[方法二]：特值法不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========，，，47b b <故D 正确.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n nS a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【详细分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【答案详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ， 且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（ ） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立【答案】B【详细分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误. 法2：构造()()31664x f x x =-+-，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性；对于A ，构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤，判断得11n n a a +<-，进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立；对于B ，证明n a 所在区间同时证得后续结论；对于C ，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+推得n a M >不恒成立；对于D ，构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥，判断得11n n a a +>+，进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立. 【答案详解】法1：因为()311664n n a a +=-+，故()311646n n a a +=--，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤， 证明：当1n =时，1363a -=≤--，此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时，63k a -≤-成立， 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭，故136k a +≤--成立， 由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()20144651149n a --=-≥>，60n a -<，故10n n a a +-<，故1n n a a +<， 故{}n a 为减数列，注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--，结合160n a +-<，所以()16694n n a a +--≥，故19634n n a +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故19634nn a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则9634nM ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故6934nM -⎛⎫> ⎪⎝⎭，故946log 3M n -<，故n a M >恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立.对于B ，若15,a =可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<， 证明：当1n =时，10611a ---≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立； 设当n k =时，56k a ≤<成立， 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-，故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()201416n a --<，60n a -<，故10n n a a +->，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列， 若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C ，当17a =时， 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤， 证明：当1n =时，1061a <-≤，此时不等关系成立； 设当n k =时，67k a <≤成立， 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-，故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-，结合160n a +->可得：()111664n n a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立，则164nM ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤-，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D ，当19a =时， 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥， 证明：当1n =时，1633a -=≥，此时不等关系成立； 设当n k =时，9k a ≥成立，则()3162764143k k a a +-≥=>-，故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--，结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ，所以114963n n a -+⎛⎫⎪⎭≥+⎝，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误.故选：B.法2：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-， 令()3219264842f x x x x =-+-，则()239264f x x x =-+'，令()0f x ¢>，得06x <<6x >+；令()0f x '<，得66x << 所以()f x在,6⎛-∞ ⎝⎭和63⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 令()0f x =，则32192648042x x x -+-=，即()()()146804x x x ---=，解得4x =或6x =或8x =，注意到465<<，768<<， 所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >， 对于A ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，当1n =时，13a =，()32116643a a =--<-，则23a <， 假设当n k =时，3k a <， 当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<---<-=，则13k a +<， 综上：3n a ≤，即(),4n a ∈-∞，因为在(),4-∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-， 令()()32192647342h x x x x x =-+-≤，则()239264h x x x '=-+，因为()h x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯， 所以()h x '在(],3-∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>，所以()h x 在(],3-∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<，故110n n a a +-+<，即11n n a a +<-， 假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]14m M =-+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +<-，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ， 上式相加得，[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=， 则[]14m M a a M +=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误； 对于B ，因为15a =， 当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =-+=⨯-+<， 假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a -<，则()360k a -<， 所以()3116664k k a a +=-+<， 又当1n =时，()()332111615610445a a =-+=⨯+-->，即25a >， 假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a -≥-，则()361k a -≥-， 所以()3116654k k a a +=-+≥， 综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列， 此时，取6M =，满足题意，故B 正确；对于C ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，注意到当17a =时，()3216617644a =-+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，假设当n k =时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当1n k =+时，所以()())13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=， 综上：()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭，易知310n->，则)13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+，其中[]*00001,N m m m m -<≤∈，则()0142log 6133m mM ->=+， 故()()14log 61312m M ->-，所以()1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭，即)1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝， 所以m a M <，故n a M >不恒成立，故C 错误； 对于D ，因为19a =， 当1n =时，()32116427634a a ==->-，则29a >， 假设当n k =时，3k a ≥， 当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=-->-，则19k a +>，综上：9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列， 因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-， 令()()32192649942g x x x x x =-+-≥，则()239264g x x x '=-+， 因为()g x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯， 所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>'，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->， 故110n n a a +-->，即11n n a a +>+， 假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立， 取[]21m M =+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ， 上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+->， 则[]21m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误. 故选：B.【名师点评】关键名师点评：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ）A ．100521002a <<B ．100510032a << C ．100731002a <<D ．100710042a << 【答案】B【详细分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+，累加可求出()111111113323nn a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ，再次放缩可得出10051002a >． 【答案详解】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n na a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-， 即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥， 累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥， ∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+， ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭， 累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ，∴100111111111333349639323100326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 即100140a <，∴100140a >，即10051002a >； 综上：100510032a <<． 故选：B ．【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A【详细分析】显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n a a +⎛⎫==+-⎪⎪⎭，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由1n a +=113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【答案详解】因为)111,N n a a n *+==∈，所以0n a >，10032S >．由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒=+=+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<⇒<⎪⎪⎭12<()111,222n n n -+<+=≥，当1n =112+=，12n +≤，当且仅当1n =时等号成立，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得()6,2(1)(2)n a n n n ≤≥++，且16(11)(12)a =++，则6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ．【名师点评】的不等关系，再由累加法可求得24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．【答案】10【详细分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【答案详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10.【名师点评】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .【答案】7【详细分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【答案详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++135********()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【名师点评】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【答案详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<， 故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥ ，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>， 故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为=1x -或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2， 同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A.【名师点评】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-【答案】B【详细分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【答案详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ） A ．2-B ．73C ．1D ．29【答案】D【详细分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【答案详解】方法一：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=. 故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（ ） A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【详细分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出． 【答案详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==， 所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=． 故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=， 所以53520S a ==． 故选：C.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ） A ．－1B ．12-C ．0D ．12【答案】B【详细分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素详细分析、推理作答.【答案详解】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-， 显然函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=， 于是有2πcos cos()3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈， 所以Z k ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选：B5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a nn n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D【详细分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【答案详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++， ()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【名师点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则。

2024年上海市春季高考数学试题及答案

2024年上海市春季高考数学试题及答案

2024年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2log x 的定义域．2．直线10x y -+=的倾斜角大小为．3．已知i 1iz=+，则z ．4．6(1)x -展开式中4x 的系数为．5．三角形ABC 中，2,,34BC A B ππ===，则AB =．6．已知1ab =，2249a b +的最小值为．7．数列{}n a ，n a n c =+，70S <，c 的取值范围为．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．9．已知2(),0(),()(),0f x x f x x g x f x x ⎧==⎨--<⎩，求()2g x x - 的x 的取值范围．10．已知四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为平行四边形，13AA =，4BD =且115AB BC AD DC ⋅-⋅=，求异面直线1AA 与BD 的夹角．11．正方形草地ABCD 边长1.2，E 到AB ，AD 距离为0.2，F 到BC ，CD 距离为0.4，有个圆形通道经过E ，F ，且与AD 只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01)12．12a =，24a =，38a =，416a =，任意1b ，2b ，3b ，4b R ∈，满足{|14}{|14}i j i j a a i j b b i j +<=+< ，求有序数列1{b ，2b ，3b ，4}b 有对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．a ，b ，c R ∈，b c >，下列不等式恒成立的是()A ．22a b a c +>+B ．22a b a c+>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>14．空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ，n ，则下列说法中正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则n β⊥C ．若//αβ，//m α，//n β，则//m nD ．若//αβ，//m α，//m n ，则//n β15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A ：所选盒中有中国结，事件B ：所选盒中有记事本，事件C ：所选盒中有笔袋，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件B C 互斥D ．事件A 与事件B C 相互独立16．现定义如下：当(,1)x n n ∈+时()n N ∈，若(1)()f x f x +='，则称()f x 为延展函数．现有，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，则以下结论（）（1）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y g x =有无穷个交点（2）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y h x =有无穷个交点A ．（1）（2）都成立B ．（1）（2）都不成立C ．（1）成立（2）不成立D ．（1）不成立（2）成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知()sin()3f x x πω=+，0ω>．（1）设1ω=，求解：()y f x =，[0x ∈，]π的值域；（2）()a a R π>∈，()f x 的最小正周期为π，若在[x π∈，]a 上恰有3个零点，求a 的取值范围．18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =．（1）证明：PA BC ⊥；（2,BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小．19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆22:162x y Γ+=上一点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点A 的横坐标为2，求1||AF 的长；（2）设Γ的上、下顶点分别为1M 、2M ，记△12AF F 的面积为1S ，△12AM M 的面积为2S ，若12S S ，求||OA 的取值范围．（3）若点A 在x 轴上方，设直线2AF 与Γ交于点B ，与y 轴交于点K ，1KF 延长线与Γ交于点C ，是否存在x 轴上方的点C ，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈成立？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．记M （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ，L （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ．（1）若2()1f x x =+，求M （1）和L （1）；（2）若32()3f x x x =-，求证：对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，)+∞，且存在a ，使得4M -∈（a ）．（3）已知定义在R 上()f x 有最小值，求证“()f x 是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ）”．参考答案及逐题解析：一、填空题：1、解：2log x 的定义域为(0,)+∞．2、解：由直线10x y -+=变形得：1y x =+所以该直线的斜率1k =，设直线的倾斜角为α，即tan 1α=，[0α∈ ，180)︒，45α∴=︒．3、解：由题意可得(1)1z i i i =+=-+，所以1z i =--．4、解：根据二项式展开426(1)15C ⨯-=．5、解：三角形ABC 中，5,12A B C C ππ++==，sin sin()sin cos cos sin 464646C ππππππ=+=+=，由正弦定理sin sin BC AB A C =，2BC =，3A π=，故2sin sin 32BC CAB A===．6、解：由1ab =，224922312a b a b +⋅⋅= ，当且仅当23a b =，即a b ==或a b ==时取最小值12，所以2249a b +的最小值为12．7、解：等差数列由n a n c =+，知数列{}n a 为等差数列17747()702a a S a +==<，即7(4)0c +<，解得4c <-．故c 的取值范围为(,4)-∞-．8、解：由双曲线的定义，26c =，22a =，解得3c =，1a =，3ce a∴==．9、解：根据题意知22,0(),0x x g x x x ⎧=⎨-<⎩，所以当0x 时，2()220g x x x x -⇒+- ，解得[0x ∈，1]；同理当0x <时，2()220g x x x x -⇒-+- ，解得(,0)x ∈-∞；综上所述：(x ∈-∞，1]．10、解：如图，因为1111,AB AB AA AD AD AA =+=+，又115AB BC AD DC ⋅-⋅=，∴11()()5AB AA AD AD AA DC +⋅-+⋅=，化简得15AA BD ⋅=，∴134cos 5AA BD θ⋅=⨯⨯=，∴5cos 12θ=．异面直线1AA 与BD 的夹角为5arccos12．11、解：以A 为原点，线段AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，易知(0.2,0.2)E ，(0.8,0.8)F ．不妨设EF 中点为(0.5,0.5)M 直线EF 中垂线所在直线方程为0.5(0.5)y x -=--，化简得1y x =-+．所以可设圆心为(,1)a a -+，半径为a ，且经过E ，F 点，即222(0.2)(10.2)a a a -+-+-=，化简得220.680a a -+=，求得211210a ==±±．结合题意可得，10.434a =-=．故有圆的周长2 2.725 2.73C a π==≈．12、解：由题意得{|6i j a a +，10，12，18，20，24}，满足11{|14}{|14}j j a a i j b b i j +<=+<，不妨设1234b b b b <<<，由单调性有126b b +=，1310b b +=，2420b b +=，3424b b +=，分两种情况讨论：①2312b b +=，1418b b +=，解得12b =，24b =，38b =，416b =，②2318b b +=，1412b b +=，解得11b =-，27b =，311b =，413b =，所以有2种，综上共有44248A =对．二、选择题：13、解：对于A ，若||||b c <，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，22a a =，b c >，由不等式的可加性可知，22a b a c +>+，故B 正确．对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误．故选：B ．14、解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，由m n ⊥，则n 与β斜交、垂直、平行均有可能，故B 错误；对于C ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，由//n β，则m 与n 相交、平行、异面均有可能，故C 错误；对于D ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，又//m n ，则//n β或n β⊂，故D 错误．故选：A ．15、解：选项A ，事件A 和事件B 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A 与事件B 不互斥，A 错误；选项B ，P （A ）12=，P （B ）12=，1()4P AB =，P ∴（A ）P （B ）()P AB =，B 正确；选项C ，事件A 与事件B C 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C 错误；选项D ，P （A ）12=，1()4P B C = ，1(())4P A B C =⋂ ，P ∴（A ）()(())P B C P A B C ≠⋂ ，A ∴与B C 不独立，故D 错误．故选：B ．16、解：根据题意，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，对于①，对于()x g x e =，(1)()x g x g x e +='=，则()g x 是周期为1的周期函数，其值域为(1,)e ，因为0k ≠，y kx b =+与()y g x =不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当10!k =时，存在b 使得直线y kx b =+可以与()h x 在区间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：D ．三、解答题：17、解：（1）当1ω=时，()sin(sin()33f x x x ππω=+=+．因为[0x ∈，]π，所以令4,[,333t x t πππ=+∈，根据()sin y f t t ==在[,]32ππ上单调递增，在4[,23ππ上单调递减，所以函数的最大值为sin 12π=，最小值为4sinsin 33ππ=-=．因此函数的值域为3[2-，1]．（2）由题知2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)3f x x π=+．当()0f x =时，2,3x k k Z ππ+=∈，即,62k x k Z ππ=-+∈．当3k =时，43x ππ=>，所以443332T a T ππ+<+ ，即71736a ππ<．18、解：（1）证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，因为AB AC =，PB PC =，所以AO BC ⊥，PO BC ⊥，又因为PO ，AO ⊂面PAO ，PO AO O = ，所以BC ⊥面PAO ，又PA ⊂面PAO ，所以PA BC⊥；（2）解：法()i由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，作PM AB⊥，BD PA⊥交于D，连接CD，由题意PBA PCA∆≅∆，可得CD PA⊥，所以CDB∠为所求的二面角的平面角，连接OD，则2CDB BDO∠=∠，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，PA==AB=PB==PM===，1122PBAS AB PM PA BD∆=⨯⨯=⨯⨯，BD=，解得BD=，所以15sin5OBBDOBD∠==，所以21cos12sin125CDB BDO∠=-∠=-⨯=-，所以二面角B PA C--的平面角为钝角，所以二面角B PA C--的大小为1arccos5π-．法()ii由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，建立以OB为x轴，OA为y轴，以OP为z轴的坐标系，则可得(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0)P A B C-，故(0,1,(1,0,(1,0,PA PB PC===-，设1111(,,)n x y z=为平面PAB的一个法向量，由1n PA⊥，1n PB⊥，可得1111110000n PA y n PB x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则111y z ==，可得1n =，设2222(,,)n x y z =为平面PAC 的一个法向量，由2n PA ⊥ ，2n PC ⊥ ，可得2222220000n PA y n PC x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令2x =221y z ==，可得2(n =，则1212121cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==-，设二面角B PA C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，所以二面角B PA C --的大小为1arccos 5π-．19、解：（1）古典概型：设A 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数213613613591802n C ⨯===，A 事件的样本点的公式11102343468m C C =⋅=，所以P （A ）346817918045m n ===；（2）因为一级果箱数：二级果箱数3:1=，所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）设一级果平均质量为x ，方差为2xS ，二级果质量为?y ，方差为2y S ，总体样本平均质量为z 平均值，方差为2S ，因为303.45x =，240.41y =，2603.46x S =，2648.21y S =，所以12048303.45240.41285.441204812048z =⨯+⨯=++克，22212048[603.46(303.45285.44)][648.21(240.41285.44)]1427.271204812048S =⨯+-+⨯+-=++克2．预估：平均质量为10234287.69136136x y ⋅+⋅=克．20、解：（1）因为点A 的横坐标为2，不妨设(2,)A y ，因为点A 在椭圆Γ上，所以222162y +=，解得223y =，易知1(2,0)F -，所以1||AF ==；（2）不妨设(,)A x y ，0xy ≠，此时11221211||||2||,||||||22S F F y y S M M x x ====，因为12S S ，所以2|||y x ，即222y x ，又22162x y +=，所以22263y y - ，解得2625y < ，则||OA =故||OA 的范围为；（3）不妨设1(A x ，1)y ，10y >，2(B x ，2)y ，由对称性可得A 、C 关于y 轴对称，所以1(C x -，1)y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，此时111122111(2,),(2,),(2,)F A x y F B x y F C x y =+=+=-+ ，所以111221(6,2)F A F B F C x y y ++=++ ，同理得222221(6,2)F A F B F C x y y ++=-+ ，因为111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ ，所以111222//F A F B F C F A F B F C ++++ ，解得2120y y +=或21222066y y x x +≠⎧⎨+=-⎩（无解），不妨设直线2:2AF x my =+，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(3)420m y my ++-=，由韦达定理得21212121222343y y y m m y y y m -⎧=-=⎪⎪+⎨⎪+=-=-⎪+⎩，解得55m =，此时154y =，又112x my =+，解得194x =，此时95()44C -．故存在x轴上方的点9(44C -，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ 成立．21、解：（1）由题意，得M （1）2{|12t t x ==+-，1}[0x = ，)+∞；{}2(1)12,1[1,)L t t x x ==+-=-+∞∣ ．（2）证明：由题意知，M （a ）3232{|33t t x x a a ==--+，}x a ，记3232()33g x x x a a =--+，则2()3600g x x x x '=-=⇒=或2．x (,0)-∞0(0,2)2(2,)+∞()g x '正0负0正()g x 极大值 极小值现对a 分类讨论，当2a ，有323233t x x a a =--+，x a 为严格增函数，因为g （a ）0=，所以此时M （a ）[0=，)[4+∞⊆-，)+∞符合条件；当02a < 时，323233t x x a a =--+，x a 先增后减，32(2)34min t g a a ==-+-，因为3223(3)0(0a a a a a -+=-= 取等号），所以32(2)344min t g a a ==-+-- ，则此时M （a ）32[34a a =-+-，)[4+∞⊆-，)+∞也符合条件；当0a <时，323233t x x a a =--+，x a ，在[a ，0)严格增，在[0，2]严格减，在[2，)+∞严格增，{}32{(),(2)}0,34min t min g a g min a a ==-+-，因为h （a ）3234a a =-+-，当0a <时，h '（a ）2360a a =-+>，则h （a ）(0)4h >=-，则此时M （a ）[min t =，)[4+∞⊆-，)+∞成立；综上可知，对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，]+∞，且存在0a =，使得4M -∈（a ）．（3）证明：必要性：若()f x 为偶函数，则(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，当x c - ，()()()t f x f c f x f =--=--（c ），因为x c - ，故()M c L -=（c ）；充分性：若对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ），其中(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，因为()f x 有最小值，不妨设f （a ）min f m ==，由于c 任意，令||c a ，则[a c ∈-，]c ，所以()M c -最小元素为f （a ）()()f c m f c --=--．L （c ）中最小元素为m f -（c ），又()M c L -=（c ）f ⇒（c ）()f c =-对任意||c a 成立，所以f （a ）()f a m =-=，若0a =，则f （c ）()f c =-对任意0c 成立()f x ⇒是偶函数；若0a ≠，此后取(||,||)c a a ∈-，()()()()()()()()M c f a f c f c f c L c f a f c ⎫---⎪⇒-=⎬---⎪⎭最小元素是最小元素是，综上，任意0c ，f （c ）()f c =-，即()f x 是偶函数．。

2004年春季高考.上海卷.数学试题及答案

2004年春季高考.上海卷.数学试题及答案

2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 V A E ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。

2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)

2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)

2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a =　21　．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =-　．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为　(7,2)-　．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为　6p　．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b =　0　．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为　64　．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a =　9　．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是　(4-，0)(0È，4)　．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合　23种　.A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是　1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是　25p　．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。

2023年上海市春季高考数学试卷及答案

2023年上海市春季高考数学试卷及答案

2023年上海市春季高考数学试卷（2023•上海）已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．故答案为：2．（2023•上海）已知向量a =（3，4），b =（1，2），则a -2b =（1，0）．→→→→【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a =（3，4），b =（1，2），所以a -2b =（3-2×1，4-2×2）=（1，0）．故答案为：（1，0）．→→→→（2023•上海）不等式|x-1|≤2的解集为：[-1，3]．（结果用集合或区间表示）【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】运用|x|≤a ⇔-a≤x≤a,不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．【解答】解：不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，即为-1≤x≤3，则解集为[-1，3]，故答案为：[-1，3]．（2023•上海）已知圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，则圆C 的半径为 1．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】把圆C 的一般方程化为标准方程，可得圆C 的圆心和半径．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，可得圆C 的标准方程为（x+1）2+y 2=1，故圆C 的圆心为（-1，0），半径为1，故答案为：1．（2023•上海）已知事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=0.5．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=1-0.5=0.5．故答案为：0.5．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为116．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a•4b≤14×(a+4b2)2=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．【分析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：7．（2023•上海）设（1-2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4=17．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C 04+C44•(−2)4=17．故答案为：17．（2023•上海）已知函数f（x）=2-x+1，且g（x）=V WX log2(x+1)，x≥0f(−x)，x<0，则方程g（x）=2的解为x=3．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．【解答】解：当x≥0时，g（x）=2⇔log2（x+1）=2，解得x=3；当x＜0时，g（x）=f（-x）=2x+1=2，解得x=0（舍）；所以g（x）=2的解为：x=3．故答案为：x=3．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5．【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为C310=10×9×83×2×1=120，恰有1名男生2名女生的事件个数为C14C26=4×6×52×1=60，则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5，故答案为：0.5．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1=i z2（i为虚数单位），满足|z1-1|=1，则|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．√【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1-1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，因为z1=i•z2，所以z2=sinθ+i（cosθ+1），所以|z1-z2|=(cosθ−sinθ+1)2+(sinθ−cosθ−1)2=2[2sin(θ−π4)−1]2=2|2sin(θ−π4)−1|，显然当sin(θ−π4)=22时，原式取最小值0，当sin(θ−π4)=-1时，原式取最大值2+2，√√√√√√√A．y=sinxC．y=x3D．y=2x 故|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．√√（2023•上海）已知OA、OB、OC为空间中三组单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC，OB与OC夹角为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，则|OP•OC|最大值为217．→→→→→→→→→→→→→→→→→→√【专题】综合题；转化思想；分析法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】将问题坐标化，表示出OA，OB，OC的坐标，再设OP=(x,y,z)，代入条件，结合不等式的性质求解．→→→→【解答】解：设OA=(0，0，1)，OB=(32，12，0)，OC=(0，1，0)，OP=(x,y,z)，不妨设x,y,z＞0，则|OP|=x2+y2+z2=1，因为|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，所以y≤32x+12y≤z，可得x≥33y，z≥y,所以1=x2+y2+z2≥13y2+y2+y2，解得y2≤37，故OP•OC=y≤217．故答案为：217．→→√→→→→→→→→→√√→→√√（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A ．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B ．从2018年开始，进出口总额逐年增大D ．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小A ．DD1C ．AD1D ．B 1C【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B 对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C 错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D 正确．故选：C ．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 为边A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于A ，当P 是A 1C 1的中点时，BP 与DD 1是相交直线；对于B ，根据异面直线的定义知，BP 与AC 是异面直线；A．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．（2023•上海）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【分析】由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→-∞，S n→-∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；即可判断．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n 不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n-1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取a1=a2=⋯=a2022=−1，a n=(12)n,n≥2023，n∈N即可．故选：C．（2023•上海）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【分析】（1）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，求解即可；（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE的长即可．【解答】解：（1）连接AM，PM，∵PA⊥平面ABC，∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，∵M为BC中点，∴AM=12BC=52，∴tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF=M，∴平面MEF∥平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME∥平面PAB，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，∵ME∥平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE=2，∴直线ME到平面PAB的距离为2．√（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c,求边长c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．√【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a,结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）∵A+C=120°，且a=2c,∴sinA=2sinC=2sin（120°-A）=3cosA+sinA，∴cosA=0，∴A=90°，C=30°，B=60°，∵b=2，∴c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA＞0，∴sinC=22，∵A-C=15°，∴C为锐角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a sin60°=2sin75°=82+6，∴a=432+6=32−6，∴S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．√√√√√√√√√√√√√√√√√（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L 2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f•nT +13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．√【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F 0=2πRH +πR 2．V 0=πR 2H ，所以S =F 0V 0=πR (2H +R )πR 2H=2H +RHR．（2）由题意可得S=18n 10000+13n =32n 100+13n，n ∈N *，所以S′=32200n -13n2=92n 32−200600n2，令S′=0，解得n=32000081≈6.27，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，所以S 的最小值在n=6或7取得，当n=6时，S=32×6100+13×6≈0.31，当n=7时，S=32×7100+13×7≈0.16，所以在n=6时，该建筑体S 最小．√√√√√√√（2023•上海）已知椭圆Γ：x2m2+y 23=1（m ＞0且m≠3）．（1）若m=2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且EA 1•EA 2=-2，求实数m 的值；（3）过椭圆Γ上一点P 作斜率为3的直线l,若直线l 与双曲线y25m2-x 25=1有且仅有一个公共点，求实数m 的取值范围．√→→√【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意可得a,b,c,可求离心率；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），由已知可得p 2=23m 2，p 2-m 2+1=-2，求解即可；（3）设直线y=3x+t,与椭圆方程联立可得t 2≤3m 2+3，与双曲线方程联立可得t 2=5m 2-15，可求m 的取值范围．√【解答】解：（1）若m=2，则a 2=4，b 2=3，∴a=2，c=a2−b2=1，∴e=c a =12；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），∴p2m2+13=1，即p 2=23m 2，∴EA 1=（-m-p,-1），EA 2=（m-p,-1），∴EA 1•EA 2=（-m-p,-1）•（m-p,-1）=p 2-m 2+1=-2，∵p 2=23m 2，代入求得m=3；√→→→→（3）设直线y=3x+t,联立椭圆可得x2m2+(3x +t )23=1，整理得（3+3m 2）x 2+23tm 2x+（t 2-3）m 2=0，由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得(3x +t )25m2-x 25=1，整理得（3-m 2）x 2+23tx+（t2-5m 2）=0，由Δ=0，t 2=5m 2-15，∴5m 2-15≤3m 2+3，∴-3≤m≤3，又5m 2-15≥0，∴m≥3，∵m≠3，综上所述：m ∈（3，3]．√√√√√√√√（2023•上海）已知函数f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,g （x ）=kx+m （其中a≥0，k,m ∈R ），若任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y=g （x ）是函数y=f （x ）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g （x ）在x 处取得的最小值记为f （x ）．（1）若a=2，g （x ）=x,试判断函数y=g （x ）是否为函数y=f （x ）的“控制函数”，并说明理由；（2）若a=0，曲线y=f （x ）在x=14处的切线为直线y=h （x ），证明：函数y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数”，并求f （14）的值；（3）若曲线y=f （x ）在x=x 0，x 0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，证明：当且仅当c=x 0或c=1时，f （c ）=f （c ）．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，代入即可求解；（3）f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,f′（x ）=3ax 2-2（a+1）x+1，y=f （x ）在x=x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），求导整理得到函数t （x ）必是函数y=f （x ）的“控制函数“，又此时“控制函数“g （x ）必与y=f （x ）相切于x 点，t （x ）与y=f （x ）在x =12a 处相切，且过点（1，0），在(12a，1)之间的点不可能使得y=f （x ）在(12a ，1)切线下方，所以f (c )=f (c )⇒c =12a =x 0或c=1，即可得证．【解答】解：（1）f （x ）=2x 3-3x 2+x,设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max =h （0）=0，即f （x ）-g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）f (x )=−x 2+x ,f (14)=316，f ′(x )=−2x +1，f ′(14)=12，∴h (x )=12(x −14)+316=12x +116，f (x )−h (x )=−x 2+12x −116=−(x −14)2≤0，∴f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，又f(14)=h(14)=316，且g(14)≥f(14)=316，∴f(14)=316；证明：（3）f（x）=ax3-（a+1）x2+x,f′（x）=3ax2-2（a+1）x+1，y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），t（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0），t（x0）=f（x0），t（1）=0⇒f（1）=0，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1⇒f′(x0)(1−x0)=f(1)−f(x0)=(1−x0)[a(1+x0+x02)−(a+1) (1+x0)+1]⇒3a x02−2(a+1)x0+1=a x02−x0⇒(2a x0−1)(x0−1)=0，x0≠1⇒a=12x0∈(12，+∞)⇒x0=1 2a ，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1=3a(12a )2−2(a+1)(12a)+1=−14a，f(x0)=a(12a )3−(a+1)(12a)2+12a=2a−18a2，t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=−14a (x−12a)+2a−18a2⇒t(x)=−14a(x−1)，f(x)=x(x−1)(ax−1)≤t(x)⇒ax2−x+14a ≥0，(x−12a)2≥0恒成立，函数t（x）必是函数y=f（x）的“控制函数“，∀g(x)=kx+m≥f(x)⇒∀f(x)≥f(x)，f(x)=f(x)，x∈(0，1)是函数y=f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y=f（x）相切于x点，t（x）与y=f（x）在x=12a处相切，且过点（1，0），在(12a ，1)之间的点不可能使得y=f（x）在(12a，1)切线下方，所以f(c)=f(c)⇒c=12a=x0或c=1，所以曲线y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)．。

2016上海春考数学试卷(含答案解析)详解

2016上海春考数学试卷(含答案解析)详解

2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C． D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x0，y0）满足．则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部B．矩形及其内部C．圆及其内部D．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．2016年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n ﹣19+2n由题意n ≥9，上式大于零，即c 9＜c 10＜…＜c n ， 进一步，2n+2n 是关于n 的增函数， ∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c 1＞c 2＞c 3＞c 4＜c 5＜…＜c 9＜c 10＜…＜c n ，∴．29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f （x ）＞g （x ）}． （1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；（2）设f 1（x ）=x ﹣1，，h （x ）=0，如果．求实数a 的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法． 【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R 上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f ＞g ={x|x ＜﹣1或x ＞3}；（2）方法一：，，由，则在R 上恒成立，令，a ＞﹣t 2﹣t ，，∴a ≥0时成立．以下只讨论a ＜0的情况对于，=t ＞0，t 2+t+a ＞0，解得t ＜或t ＞，（a ＜0）又t ＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．。

2019年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2019年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．（5分）在61()x x+的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[,1][4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(,0)a ，2(,0)a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n N ==∈． （1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，则A B = {3,5} ．【解析】集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，{3,5}AB ∴=．故答案为：{3,5}．【评注】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解析】2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【评注】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法． 3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【解析】由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<<．故答案为：(6,4)-． 【评注】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ．【解析】由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>． 【评注】本题考查了反函数，属基础题．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴===【评注】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【解析】由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-．【评注】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题． 7．（5分）在6(x +的展开式中，常数项等于 15 ．【解析】6(x 展开式的通项为36622166rr r rr r T C x x C x---+=⋅⋅=⋅，3602r-=，得4r =， 故展开式的常数项为第5项：4615C =．故答案为：15．【评注】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解析】3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +-=⨯⨯，∴解得：AB = 【评注】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种，故答案为：24． 【评注】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a的值为【解析】由题意得：P 点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =【评注】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos ,]3ππ- ．【解析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，，121F P F P ，2221x y ∴-+，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈，故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：2221222122381cos 3[1,]223(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈--++，故1[arccos ,]3θππ∈-，故答案为：1[arccos ,]3ππ-．【评注】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档． 12．（5分）已知集合[,1][4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解析】当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【评注】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解析】A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错；B ，y =的定义域为[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确；C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错；D ，cos y x =的值域为[1,1]-，故D 错．故选：B ．【评注】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ． 【评注】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解析】如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交；如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【评注】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．（5分）以1(,0)a ，2(,0)a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解析】因为11|1|r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．【评注】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解析】（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos2PC AC PA PCA PC AC +-∠===，AC ∴与MN 的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴．∴11333224P ABC V -=⨯=．【评注】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解析】（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)(0,)4-． 【评注】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增， 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【评注】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 【解析】（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF =，15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||2222PPQyd P PFy-===-=，则存在常数a，使得2()||d P PF a=+；另解：||||||||||||()111||||||2PF PQ FQ PQ PQ PFd PFQ FQ FQ t+===+=+=+，可得2()||2d P PF=+．（3）设11(1,)P y-，22(1,)P y-，33(1,)P y-，则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F+-=+-==，由221313[()16]28y y y y-++=-，2222221313131313(4)(4)(4)4()84()0y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P+>．【评注】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}na的公差(0,]dπ∈，数列{}nb满足sin()n nb a=，集合*{|,}nS x x b n N==∈．（1）若1a=，23dπ=，求集合S；（2）若12aπ=，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：n T nb b+=，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．【解析】（1）等差数列{}na的公差(0,]dπ∈，数列{}nb满足sin()n nb a=，集合*{|,}nS x x b n N==∈．∴当120,3a dπ==，集合{S=．（2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称， 如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合231}{,,b b b S =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者4(21)n n a d k a π+=+-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0,1,1}S =-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者5(21)n n a d k a π+=+-，因为(0,]d π∈，故1k =，2． 当1k =时，22{sin,1,sin }55S ππ=-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者6(21)n n a d k a π+=+-，(0,]d π∈，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意．⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者7(21)n n a d k a π+=+-，(0,]d π∈，故1k =，2，3，当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T ，4，5，6．【评注】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．。

2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析

2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析

2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。

2012年上海市春季高考数学试卷【全解全析版+详细解答】

2012年上海市春季高考数学试卷【全解全析版+详细解答】

2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。

1．（2012•上海）已知集合A={1，2，k}，B={2，5}．若A∪B={1，2，3，5}，则k=_________．2．（2012•上海）函数y=的定义域是_________．3．（2010•安徽）抛物线y2=8x的焦点坐标是_________4．（2012•上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=_________．5．（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为_________．6．（2012•上海）方程4x﹣2x+1=0的解为_________．7．（2012•上海）若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=_________．8．（2012•上海）若f（x）=为奇函数，则实数m=_________．9．（2012•上海）函数y=的最大值为_________．10．（2012•上海）若复数z满足|z﹣i|≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为_________．11．（2012•上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为_________．（结果用数值表示）12．（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是_________．13．（2012•上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=_________．14．（2012•上海）若矩阵满足a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有_________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。

上海市春季高考数学试卷(含答案).pptx

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29．（1）设动点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(xA，y A ) ,则 AP (x xA，y yA ) , 因为 F 的坐标为(1，0)，所以 FA (xA 1，yA)， 由 AP 2FA 得 (x xA，y yA ) 2(xA 1，yA) 。
即
x
y
xA 2(xA yA 2 y A
9. 在如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
10. 从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学 都
有的概率为
（结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前n 项和 Sn =
y k(x 1)
由
x2 2
y2
1
得 (2k 2 1)x2 4k 2 x 2(k 2 1) 0 。
设 P( x1，y1)，Q(x2，y2) ，则
x1
x2
2k42k21，x1x2
2k2(2k21，1)F1Puuur(x1
uuur 1，y1)，F1Q (x2
1，y2)
因为 F1P F1Q ，所以 F1P F1Q 0 ,即
学海无涯 28．（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 9 分。 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F1(1，0) 、 F2(1，0)，短轴的两个端点分别为 B1、B2 1 若 F1B1B2 为等边三角形，求椭圆C 的方程; 2若椭圆C 的短轴长为2 ，过点 F2 的直线l 与椭圆C 相交于 P、Q 两点，且 F1P F1Q ，求直 线 l 的方程。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编考点01 数列新定义一、小题1．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（ ） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=2．（2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001二、大题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列； (2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >． 2．（2024∙北京∙高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．3．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．4．（2022∙北京∙高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列． (1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2021∙北京∙高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，‐2，‐2，‐1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由； （2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．6．（2020∙北京∙高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n …，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． ()Ⅰ若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；()Ⅱ若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；()Ⅲ若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.7．（2020∙江苏∙高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是2”数列，且an ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且an ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，8．（2019∙江苏∙高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．考点02 函数新定义一、大题1．（2024∙上海∙高考真题）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2．（2020∙江苏∙高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()2222()f x x x g x x x D =+=-+=-∞+∞，，，，求h (x )的表达式； （2）若2()1()ln (),(0)f x x x g x k x h x kx k D =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()()()()422342248432(0f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[],D m n ⎡=⊆⎣，求证：n m -≤．考点03 集合新定义一、小题1．（2020∙浙江∙高考真题）设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T②对于任意x，y∈T，若x<y，则yx∈S；下列命题正确的是（）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素考点04 其他新定义1．（2020∙北京∙高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔∙卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔∙卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．30303sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭B．30306sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭C．60603sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭D．60606sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭参考答案 考点01 数列新定义一、小题1．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（ ） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=【答案】ACD【详细分析】利用()n ω的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【答案详解】对于A 选项，()01k n a a a ω=+++ ，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以，()()012k n a a a n ωω=+++= ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，()73ω∴=， 而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以，()01852k n a a a ω+=++++ ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ， 所以，()01432k n a a a ω+=++++ ，因此，()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选：ACD.2．（2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【详细分析】根据新定义，逐一检验即可【答案详解】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、大题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列； (2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >． 【答案】(1)()()()1,2,1,6,5,6 (2)证明见解析 (3)证明见解析【详细分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可； （2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【答案详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'， 得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6. 所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组. （如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立， 则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列： 命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈； 命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠. 此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后， 剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列： ①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组； ③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组. （如果某一部分的组数为0，则忽略之） 故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠. 此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈. 则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >. 由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组； ③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组. （如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=. 但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈. 设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个. 所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++. 这就证明了结论.【点评】关键点点评：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.2．（2024∙北京∙高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”． 【答案】(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω (2)不存在符合条件的Ω，理由见解析 (3)证明见解析【详细分析】（1）直接按照()ΩA 的定义写出()ΩA 即可；（2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验即可；（3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列，结合定义详细分析证明即可.【答案详解】（1）因为数列:1,3,2,4,6,3,1,9A ， 由序列()11,3,5,7T 可得()1:2,3,3,4,7,3,2,9T A ； 由序列()22,4,6,8T 可得()21:2,4,3,5,7,4,2,10T T A ； 由序列()31,3,5,7T 可得()321:3,4,4,5,8,4,3,10T T T A ； 所以()Ω:3,4,4,5,8,4,3,10A .（2）解法一：假设存在符合条件的Ω，可知()ΩA 的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++， 则()()()()121234342642a a a a sa a a a s⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立， 故不存在符合条件的Ω；解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4， 假设存在符合条件的Ω，且()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅， 因为2642824484+++++++=，即序列Ω共有8项，由题意可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==， 检验可知：当2,3n =时，上式不成立， 即假设不成立，所以不存在符合条件的Ω.（3）解法一：我们设序列()21...s T T T A 为{}(),18s n a n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤. 必要性：若存在序列12:,,s T T T Ω ，使得()ΩA 的各项都相等.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+. 根据()21...s T T T A 的定义，显然有,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =. 所以不断使用该式就得到12345678,1,2s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=+-，必要性得证. 充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()ΩA 中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经说明,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,812s s s s s s s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=++. 同时，由于t t t t i j k w +++总是偶数，所以,1,3,5,7t t t t a a a a +++和,2,4,6,8t t t t a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数. 下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2‐1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2‐2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤. 假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j k w 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j k w ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),Ωs n a A =是常数列，充分性得证.解法二：由题意可知：Ω中序列的顺序不影响()ΩA 的结果， 且()()()()12345678,,,,,,,a a a a a a a a 相对于序列也是无序的， （ⅰ）若12345678a a a a a a a a +=+=+=+， 不妨设1357a a a a ≤≤≤，则2468a a a a ≥≥≥， ①当1357a a a a ===，则8642a a a a ===， 分别执行1a 个序列()2,4,6,8、2a 个序列()1,3,5,7，可得1212121212121212,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，为常数列，符合题意； ②当1357,,,a a a a 中有且仅有三个数相等，不妨设135a a a ==，则246a a a ==， 即12121278,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行2a 个序列()1,3,5,7、7a 个序列()2,4,6,8可得1227122712272778,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 即1227122712272712,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 因为1357a a a a +++为偶数，即173a a +为偶数， 可知17,a a 的奇偶性相同，则*712a a -∈N ， 分别执行712a a -个序列()1,3,5,7，()1,3,6,8，()2,3,5,8，()1,4,5,8， 可得7217217217217217217217213232323232323232,,,,,,,22222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+-+-+-+-，为常数列，符合题意；③若1357a a a a =<=，则2468a a a a =>=，即12125656,,,,,,,a a a a a a a a ， 分别执行5a 个()1,3,6,8、1a 个()2,4,5,7，可得1512151215561556,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 因为1256a a a a +=+，可得1512151215121512,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 即转为①，可知符合题意；④当1357,,,a a a a 中有且仅有两个数相等，不妨设13a a =，则24a a =，即12125678,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行1a 个()2,4,5,7、5a 个()1,3,6,8，可得1512151215561758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1256a a a a +=+，可得1512151215121758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 即转为②，可知符合题意；⑤若1357a a a a <<<，则2468a a a a >>>，即12345678,,,,,,,a a a a a a a a ， 分别执行1a 个()2,3,5,8、3a 个()1,4,6,7，可得1312133415363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1234a a a a +=+，可得1312131215363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++， 即转为③，可知符合题意；综上所述：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，则存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列； （ⅱ）若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列， 因为对任意()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅，均有()()()()12123434b b a a b b a a +-+=+-+()()()()56567878b b a a b b a a =+-+=+-+成立， 若()ΩA 为常数列，则12345678b b b b b b b b +=+=+=+， 所以12345678a a a a a a a a +=+=+=+；综上所述：“存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”. 【点评】关键点点评：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的详细分析.3．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+． 【答案】(1)00r =，11r =，21r =，32r = (2),n r n n =∈N (3)证明见答案详解【详细分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意详细分析求解； （2）根据题意题意详细分析可得11i ir r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法详细分析证明.【答案详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========， 当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =； 当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =； 当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =； 综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =. （2）由题意可知：nr m≤，且nr ∈N，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立， 所以010,1r r =≥， 又因为112ii i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-≥，可得11i ir r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为01j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i ir r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-， 又因为01j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>， 假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N . （3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+； （ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数， 反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->， 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N N r A B =， 可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤， 所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得X Y Y r X r A B A B +=+， 可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； （ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数， 反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤-，则1,0K K R K R K A B m A B +-≤-->，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A A B A B m +++=-=--->， 这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤-∈N ，均有1n S m≥-.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =-=，即N R N A B =， 可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤， 所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =， 即X Y R X R Y A B A B -=-，可得Y X R X R Y A B A B +=+， 可取,,,Y X p R t X q R s Y ====， 满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．4．（2022∙北京∙高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列． (1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥． 【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析．【详细分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【答案详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．（2）若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k ∴=．（3）12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种， 若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾, 从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数， 而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥ ，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式），1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠， 同理5,4,3x ≠ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、 故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，② 这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠， 当7k =时，数列1,2,4,5,8,2,1--满足题意，7k ∴≥．【点评】关键点评，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k ≤时，通过和值可能个数否定3k ≤；第三问先通过和值的可能个数否定5k ≤，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．5．（2021∙北京∙高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，‐2，‐2，‐1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由； （2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =． 【详细分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2ℜ数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0ℜ的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.【答案详解】(1)因 为 122,2,2,p a a ===- 所以12122,13a a p a a p ++=+++=， 因 为32,a =-所 以{}312122,21a a a a a ∈+++++ 所以数列{}n a ，不可能是2ℜ数列. (2)性质①120,0a a ≥=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =， 若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾； 若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾. 因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =. 若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=， 不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈： 当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立， 当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}jk j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+； 否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾. 同理可得：{}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+； {}*48,246{1,2}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+ 即当1n k =+时命题成立，证毕. 综上可得：10a =，54111a a ⨯+==. (3)令n nb a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=， 因此数列{}n b 为0ℜ数列. 由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点评】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.6．（2020∙北京∙高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n …，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =． ()Ⅰ若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；()Ⅱ若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；()Ⅲ若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.【答案】()Ⅰ详见解析；()Ⅱ答案详解解析；()Ⅲ证明详见解析. 【详细分析】()Ⅰ根据定义验证，即可判断；()Ⅱ根据定义逐一验证，即可判断；()Ⅲ解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【答案详解】()Ⅰ{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①； ()Ⅱ{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①； {}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；()Ⅲ解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t t a aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111k s t k a q a qa q ---≥>， 结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l la aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =， 然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===， 下面我们用反证法来证明451a a q =， 否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la aa a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =，即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===， 若214k l --=，则451a a q =，与假设矛盾； 若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q =.同理可得：566171,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点评】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.7．（2020∙江苏∙高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；。

2022年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2022年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知2z i =+（其中i 为虚数单位），则z = ． 2．（4分）已知集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，则A B = ．3．（4分）不等式10x x-<的解集为 ． 4．（4分）若tan 3α=，则tan()4πα+= ．5．（4分）设函数3()f x x =的反函数为1()f x -，则1(27)f -= ． 6．（4分）在3121()x x+的展开式中，则含41x 项的系数为 ．7．（5分）若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数m 的值为 ．8．（5分）已知在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则ABC ∆的外接圆半径为 ．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）10．（5分）在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为 ．11．（5分）已知111(),P x y ，222(),Px y 两点均在双曲线222:1(0)x y a aΓ-=>的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 ．12．（5分）已知函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，若将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12y x -=B ．1y x -=C ．13y x =D ．12y x =14．（5分）若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ac bd >D ．ad bc >15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A ．0B ．2C ．4D ．1216．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项判断正确的是( ) A ．若20222021S S >，则数列{}n a 是递增数列 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 是递增数列 C ．若数列{}n S 是递增数列，则20222021a a D ．若数列{}n T 是递增数列，则20222021a a三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O 、1O ，1AA 为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若14AA =，M 为1AA 的中点，求直线1MO 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过1OO 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为n S ． （1）若{}n a 是等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 是等差数列，2n S n ，求其公差d 的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，30=．为保护D处的一棵古树，有关部门划AD mAB m=，15定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生0.01m）态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到2（1）若20ADE∠=︒，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，A 、B 两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a =上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆Γ的右焦点，且6AFB π∠=，求Γ的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由； （3）设直线AD 、BC 分别交椭圆Γ于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为R ，现有两种对()f x 变换的操作：ϕ变换：()()f x f x t --；ω变换：|()()|f x t f x +-，其中t 为大于0的常数．（1）设()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，解方程：()2g x =； （2）设2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，解不等式：()()f x h x ；（3）设()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ；()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ．若12()()h x h x =恒成立，证明：函数()f x 在R 上单调递增．2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知2z i =+（其中i 为虚数单位），则z = 2i - ． 【解析】2z i =+，∴2z i =-．故答案为：2i -．【评注】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题． 2．（4分）已知集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，则A B = (1,2) ．【解析】集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，(1,2)AB ∴=．故答案为：(1,2)．【评注】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（4分）不等式10x x-<的解集为 (0,1) ． 【解析】由题意得(1)0x x -<，解得01x <<，故不等式的解集(0,1)．故答案为：(0,1)． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 4．（4分）若tan 3α=，则tan()4πα+= 2- ．【解析】若tan 3α=，则tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-．故答案为：2-． 【评注】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题． 5．（4分）设函数3()f x x =的反函数为1()f x -，则1(27)f -= 3 ．【解析】函数3()f x x =的反函数为1()f x -，整理得1()f x -=1(27)3f -=．故答案为：3． 【评注】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在3121()x x+的展开式中，则含41x 项的系数为 66 ．【解析】展开式的通项公式为312364112121()()k k k k kk T C x C xx--+==，由3644k -=-，得440k =，得10k =， 即1041112466T C x x -==，即含41x项的系数为66，故答案为：66．【评注】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x 的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数m 的值为 4 ．【解析】根据题意，若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则直线2x my +=和168mx y +=重合，则有116m m ⨯=⨯，即216m =，解可得4m =±， 当4m =时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当4m =-时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故4m =．故答案为：4 【评注】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．8．（5分）已知在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则ABC ∆的外接圆半径为3． 【解析】在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，利用余弦定理2222cos BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅，整理得BC ，所以2sin BCR A=，解得R = 【评注】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17.（用数字作答）【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有33212A =种情况，即有12个符合题意的四位数， 当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有615-=个比2134大的四位数， 故有12517+=个比2134大的四位数，故答案为：17．【评注】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为 98- ．【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -， ∴(1,2)MP x x =--，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=---， ∴MP CP ⋅的最小值为98-．故答案为：98-． 【评注】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知111(),P x y ，222(),Px y 两点均在双曲线222:1(0)x y a aΓ-=>的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 [1,)+∞ ．【解析】设2P 的对称点322),(P x y -仍在双曲线右支，由1212x x y y >，得12120x x y y ->，即130OP OP ⋅>恒成立，13POP ∴∠恒为锐角，即90MON ∠︒，∴其中一条渐近线1y x a =的斜率11a，1a ∴， 所以实数a 的取值范围为[1,)+∞．故答案为：[1,)+∞．【评注】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，若将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-= 2 ．【解析】函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =， ()f x ∴是周期为4的周期函数，图像如图：将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴1lim()2n n n x x +→∞-=．故答案为：2．【评注】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12y x -=B ．1y x -=C ．13y x =D ．12y x =【解析】12y x-==，定义域为{|0}x x >，11y x x-==，定义域为{|0}x x ≠， 13y x ==，定义域为R ， 12y x ={|0}x x ．∴定义域为R 的是13y x =．故选：C ．【评注】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 14．（5分）若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ac bd >D ．ad bc >【解析】对于A ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但a d b c +=+，故A 错误， 对于B ，a b c d >>>，即a b >，c d >，∴由不等式的可加性可得，a c b d +>+，故B 正确， 对于C ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但ac bd =，故C 错误，对于D ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但ad bc <，故D 错误．故选：B ． 【评注】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A ．0B ．2C ．4D ．12【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点）， 相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B ．【评注】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项判断正确的是( ) A ．若20222021S S >，则数列{}n a 是递增数列 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 是递增数列C ．若数列{}n S 是递增数列，则20222021a aD ．若数列{}n T 是递增数列，则20222021a a【解析】如果数列11a =-，公比为2-，满足20222021S S >，但是数列{}n a 不是递增数列，所以A 不正确； 如果数列11a =，公比为12-，满足20222021T T >，但是数列{}n a 不是递增数列，所以B 不正确；如果数列11a =，公比为12，11()122(1)122nn n S -==-，数列{}n S 是递增数列，但是20222021a a <，所以C 不正确；数列{}n T 是递增数列，可知1n n T T ->，可得1n a >，所以1q ，可得20222021a a 正确，所以D 正确；故选：D ． 【评注】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O 、1O ，1AA 为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若14AA =，M 为1AA 的中点，求直线1MO 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过1OO 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．【解析】（1）因为1AA 为圆柱的母线，所以1AA 垂直于上底面，所以11MO A ∠是直线1MO 与上底面所成角，111112tan 21A M MO A O A ∠===，所以11arctan 2MO A ∠=． （2）因为圆柱过1OO 的截面为正方形，所以12AA =，所以圆柱的体积为22122V r h πππ==⋅⋅=， 圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⋅⋅=．【评注】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题． 18．（14分）已知在数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为n S ． （1）若{}n a 是等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 是等差数列，2n S n ，求其公差d 的取值范围．【解析】（1）在等比数列{}n a 中，21a =，23S =，则12a =，∴公比12q =，则1(1)14(1)12n n n a q S q -==--， ∴1lim lim4(1)42n nn n S →∞→∞=-=； （2）若{}n a 是等差数列，则22212()22(23)2n n a a nS dn d n n -+⋅==+-，即(32)1n d -，当1n =时，1d ；当2n 时，132dn-恒成立，1[1,0)32n∈--，0d ∴．综上所述，[0,1]d ∈． 【评注】本题考查等差数列与等比数列前n 项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ） （1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【解析】（1）作DH EF ⊥，垂足为H ，则15tan2015tan5023.3EF EH HF m =+=︒+︒≈；（2）设ADE θ∠=，则15tan AE θ=，15tan(902)FH θ=︒-，1115221515tan 1515tan(902)(30tan 15cot 2)222ADE DFH ADFE S S S θθθθ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯︒-=+四边形2151tan 22512253(30tan 15)(3tan )22tan 4tan 2θθθθθ+=+⨯=+， 当且仅当13tan tan θθ=，即tan θ=时取等号，此时15tan AE θ==，最大面积为2450255.14m ≈． 【评注】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，A 、B 两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a =上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆Γ的右焦点，且6AFB π∠=，求Γ的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由； （3）设直线AD 、BC 分别交椭圆Γ于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值． 【解析】（1）由题可得(0,1)B-，(,0)F c ，因为6AFB π∠=，所以1tan tan 6b AFB cc π∠====解得c =， 所以214a =+=，故Γ的标准方程为2214x y +=；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a -，(0,1)B -，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a =-，直线11:22AD y x a =+，交点为34(,)55a ，满足2223()45()15a a +=，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上； （3）(0,1)B -，(cos ,sin )P a θθ，则直线sin 1:1cos BP y x a θθ+=-，所以sin 1(,1)cos C a θθ+-，(,0)A a -，(cos ,sin )Q a θθ--，则直线sin :()cos AQ y x a a a θθ=+-，所以2sin (,)cos 1D a θθ-，所以222222sin cos sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 1cos sin 2sin 222CD θθθθθθθθθθθθθ+++=--=-----，设tan2t θ=，则11||2()21CD t t =+--，因为114a b a b ++，所以114411t t t t+=--+， 则||6CD ，即||CD 的最小值为6．【评注】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为R ，现有两种对()f x 变换的操作：ϕ变换：()()f x f x t --；ω变换：|()()|f x t f x +-，其中t 为大于0的常数．（1）设()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，解方程：()2g x =； （2）设2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，解不等式：()()f x h x ；（3）设()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ；()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ．若12()()h x h x =恒成立，证明：函数()f x 在R 上单调递增． 【解析】（1）()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，()2g x =，11()()(1)2222x x x g x f x f x --∴=--=-==，解得2x =． （2）2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，()()f x h x ，2222|()||2|x x t x tx t ∴+-=+， 当2t x -时，()()f x h x 恒成立；当2tx >-时，222tx t x +，解得(12)x t +，或(12)x t -， 综上，不等式：()()f x h x 的解集为(,(1][(12),)t t -∞++∞． （3）证明：()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ， ()()()u x f x f x t ∴=--，1()|()()[()()]|h x f x t f x f x f x t =+----， ()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ， ()|()()|v x f x t f x ∴=+-，2()|()()||()()|h x f x t f x f x f x t =+----， 12()()h x h x =，()f x 在(,0)-∞上单调递增，|()()[()()]||()()||()()|f x t f x f x f x t f x t f x f x f x t ∴+----=+----，∴()()()(1)()()()()()()0()()0()()()()f x t f t f t f t f x t f x f x f x t f x t f x f x t f x f x f x t f x f x t +->--+->--⎧⎧⎪⎪+->+->⎨⎨⎪⎪>->-⎩⎩对0t >恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增．【评注】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

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上海省历年高考数学（春）试题及答案汇编十一数列（2008-2017）试题1、2．（4分）（2008上海）计算：= ．2、5．（4分）（2008上海）已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1、若a 1、a 2、a 5成等比数列，则a n =3、9．（4分）（2008上海）已知无穷数列{a n }前n 项和，则数列{a n }的各项和为4、8．（4分）（2011上海）若S n 为等比数列{a n }的前n 项的和，8a 2+a 5=0，则= ．5、14．（4分）（2010上海）将直线l 1：x+y ﹣1=0、l 2：nx+y ﹣n=0、l 3：x+ny ﹣n=0（n ∈N *，n≥2）围成的三角形面积记为S n ，则= ．6、13．（4分）（2012上海）已知等差数列{a n }的首项及公差均为正数，令．当b k 是数列{b n }的最大项时，k= ．7、11．（3分）（2013上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n = ．8、7．（3分）（2014上海春）已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和n S = ．9、22．（3分）（2014上海春）已知数列是以为公比的等比数列．若，则数列是（ ）以为公比的等比数列； 以为公比的等比数列； 以为公比的等比数列； 以为公比的等比数列10、4．（4分）（20015上海）计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ． 11、21．（3分）（20015上海）若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）{}n a 12n {}n a q 2n n b a =-{}n b ()A q ()B q -()C 2q ()D 2q -（A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值12、3．（3分）（20015上海）已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列13、9. （3分）（20016上海春）无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项的和为________.14、6. （3分）（20016上海春）小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第k 天下过雨时,记1k a =,当第k 天没下过雨时,记1k a =-(131)k ≤≤,他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记1n b =,当预报第k 天没有雨时,记1n b =-记录完毕后,小明计算出112233313125a b a b a b a b ++++=L ,那么该月气象台预报准确的总天数为______________________15、6．（4分）（20017上海春）若等差数列{a n }的前5项的和为25，则a 1+a 5= ． 16、8．（4分）（20017上海春）已知数列{a n }的通项公式为，则= ．解答题 1、21．（16分）（2008上海）在直角坐标平面xOy 上的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…，简记为{A n }、若由构成的数列{b n }满足b n+1＞b n ，n=1，2，…，其中为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{A n }为T 点列，（1）判断，，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{A n }为T 点列，且点A 2在点A 1的右上方、任取其中连续三点A k 、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{A n }为T 点列，正整数1≤m＜n ＜p ＜q 满足m+q=n+p ，求证：．2、17．（14分）（2009上海）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且3a n+1+2S n=3（n为正整数）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记S=a1+a2+…+a n+…若对任意正整数n，kS≤S n恒成立，求实数k的最大值．3、23．（18分）（2010上海）已知首项为x1的数列{x n}满足x n+1=（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠﹣1，有x n+2=x n对于任意的n∈N*都成立，求a的值；（2）当a=1时，若x1＞0，数列{x n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当a确定后，数列{x n}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{x n}的探究，写出“{x n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．4、22．（16分）（2011上海）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．5、23．（18分）（2011上海）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式x n+1=（x n+）（n∈N）得到数列{x n}，对于任意的n∈N，都有x n＞，用数列{x n}可以计算的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出x n，x n+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：x n﹣x n+1＜（x n﹣1﹣x n）；（3）当x0∈[5，10]时，用数列{x n}计算的近似值，要求|x n﹣x n+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．6、21．（14分）（2010上海）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式，并求出使得S n+1＞S n成立的最小正整数n．7、22．（16分）（2012上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项（2013上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，8、27．（8分）求．9、30．（13分）（2013上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．10、29．（本题满分13分）（2014上海春）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第211、29.（本题满分12分）（20016上海春）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列. (1)134,,a a a 成等比数列，求1a 的值；(2)设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S . 数列{}n b 满足1111, 2nn n b b b +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，记12n n n n c S b -=+⋅*()n N ∈，求数列{}n c 的最小项0n c （即0n n c c ≤对任意*n N ∈成立）. 12、7. (12分) （20016上海春）对于数列{}n a 与{}n b ,若对数列{}n c 的每一项n c ,均有k k c a =或k k c b =,则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”。

(1)设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为1231231,3,5,1,2,3aa ab b b ======，若{}nc 是{}n a 与{}n b 一个“并数列”求所有可能的有序数组123(,,)c c c ；(2)已知数列{}n a ，{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ；{}n c 的前10项和为-30，前20项的和为-260，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合。

答案1、解：故答案为：．2、解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．3、解：由可得：（n≥2），两式相减得并化简：（n≥2），又，所以无穷数列{a n}是等比数列，且公比为﹣，即无穷数列{a n}为递缩等比数列，所以所有项的和S=故答案是﹣14、解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．5、解：l2：nx+y﹣n=0、l3：x+ny﹣n=0的交点为B，所以BO⊥AC，∵l1：x+y﹣1=0与x轴、y轴的交点分别为：（1，0）、（0，1），∴AC=S n=所以=，故答案为：．6、解：设，，∵，∴根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得b n2=（）2≤2（a n+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，当且仅当a n=a2012﹣n时，b n取到最大值，此时n=1006，所以k=1006．故答案为：1006．7、解：设等差数列的前n项和S n=an2+bn，则由题意可得，解得，故数列的前n项和S n=，故答案为．8、答案：2n解：等差数列的前n项和9、答案：解：=q∴===q∴A选项正确。

10、答案：1 2解：===11、答案：C解:无穷等差数列的首项,公差, 是递减数列,且先正值,后负值;的前n项和为先增加,后减小;A有最大值;所以C选项是正确的.12、答案：D解：∵a n+a n+4=a n+1+a n+3（n∈N*），∴a n+4-a n+1=a n+3-a n，∴a n+5-a n+2=a n+4-a n+1，a n+6-a n+3=a n+5-a n+2，∴a n+6-a n+3=a n+3-a n，∴数列{a3n}是等差数列，故选：D．13、答案：3解:的各项的和为:.故答案为:3.14、答案：28解:由题意,气象台预报准确时,不准确时,, 该月气象台预报准确的总天数为28.故答案为:28.15、解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，∴=25，∴a1+a5=25×=10．故答案为：10．16、解： ==，故答案为：．解答题1、解：（1）由题意可知，∴，显然有b n+1＞b n，∴{A n}是T点列（2）在△A k A k+1A k+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，则∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p②同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1、③由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，④由①、②、③、④可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即2、解：（1）由题设条件得3a n+1+2s n=3，3a n+2s n﹣1=3两式相减，得3a n+1﹣3a n+2（S n﹣S n﹣1）=0，即，n＞1 又，所以通项为：．（2）S==，要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增所以只要kS=S1，即k的最大值为．3、解：（1）∵x n+2====x n∴a2x n=（a+1）x n2+x n，当n=1时，由x1的任意性得，∴a=﹣1．（2）数列{x n}是递减数列．∵x1＞0.∴x n＞0，n∈N*又x n+1﹣x n=﹣x n=﹣＜0，n∈N*，故数列{x n}是递减数列．（3）满足条件的真命题为：数列{x n}满足x n+1=，若x1=﹣，则{x n}是有穷数列．4、解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（）≤成立设x1≤0≤x2，且＜0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立设x1≤0≤x2，且≥0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立∴综上所述，f（x）∈M；（2）如函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M取x1=﹣1，x2=1，则=﹣1，f（）=0此时f（）≤不成立；（3）f（x）=满足f（x）∈M，且==1，==1．5、（1）解：∵x0=5，a=100，x n+1=（x n+）∴x1=（5+）≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65猜想x n＞x n+1；（2）证明：x n﹣x n+1﹣（x n﹣1﹣x n）==∵；∴x n﹣x n+1==＞0∴x n＞x n+1∴；（3）解：由（2）知＜…＜由题意，只要，即2n＞104（x0﹣x1）∵∴n＞=15.1∴n=16．6、解：（1）当n=1时，a1=﹣14；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣5a n+5a n﹣1+1，所以，又a1﹣1=﹣15≠0，所以数列{a n﹣1}是等比数列；（2）由（1）知：，得，从而（n∈N*）；由S n+1＞S n，得（）n＜，即n＞≈14.9，最小正整数n=15．7、解：（1）∵a n+1﹣a n=3，∴b n+1﹣b n=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴a n+1﹣a n=2n﹣7，∴b n+1﹣b n=，由b n+1﹣b n＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由b n+1﹣b n＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵a n+1﹣a n=（﹣1）n+1，∴b n+1﹣b n=（﹣1）n+1（2n+n）．∴b n﹣b n﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b3﹣b2=（﹣1）（22+2），…b n﹣1﹣b n﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．b n﹣b n﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．当n=2k时，以上各式相加得b n﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）] =+=+．∴b n==++．当n=2k﹣1时，=++﹣（2n+n）=﹣﹣+∴b n=．8、解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a1=S1=0，所以a n=﹣2n+2．因为=，所以数列{b n}是首项为1、公比为的无穷等比数列．故==．9、解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAP n=．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn 最大，其最大值为．10、（1）由题意， 则；两式相减得：所以21{}k a -是以1为首项，4为公差的等差数列，得2114(1)43k a k k -=+-=-；2{}k a 是以2为首项，4为公差的等差数列，得224(1)42k a k k =+-=-；所以（2）由题意，则2211np n n x n a a +-=，所以n p x =双曲线的渐近线:n OQ l y =，所以n Q x =lim 11lim 22nn n n a S →∞=⨯=，所以1lim lim )2n n n S n →∞→∞=12n na =12n =lim 12nn a =⨯12=； 所以=． 11、解: (1)2111(2)(3)a d a a d +=+.2d =,18a =- (2)141-=++n a a n n 3421+=+++n a a n n 42=-+n n a a ).(2,2212,12*N k k n n k n n a n ∈⎩⎨⎧=--=-=lim n n S →∞211213211211()()()1111222111221212n n n n n n b b b b b b b b ---=+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-L L2(1)192202n n n S n n n -=-+⋅=-,1121212202(2)20212n n n n n n n c S b n n n n ---⎛⎫=+⋅=-+⋅-=-+- ⎪⎝⎭2121(1)20(1)21(2021)n n n n c c n n n n ++-=+-++---+-=2192n n -+显然9n ≥,上式大于零,即910n c c c <<<L ,进一步22nn n +Q 是关于的增函数,4324+2=2419,23+2=1419,⨯>⨯<Q Q12345910n c c c c c c c c ∴>>><<<<<<L L , 0max 4()49n c c c ∴===-12、解:(1)(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5); (2)1n a t n =+-,设{}n c 的前10项和为nT，102030,260T T =-=-，得12,6d c =-=，所以82n c n =-； k k k k c a c b ==或**,821,93,k k c a k t k t k N k N =-=+-=-∈∈当时 1,6;2,3,k t k t ∴====或所以*3.k k k k N c b ≥∈=时,Q 数列{}n b 唯一，所以只要12,b b 唯一确定即可。

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