有限元方法1-概述
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元方法简介
有限元方法在工程中的应用
有限元方法是一种数值分析方法，它将复杂的几何形状和物理系统转化为离散的网格，并对网格上的未知量进行求解，从而达到数值求解的目的。
随着计算机技术的不断发展，有限元方法得到了广泛的应用，尤其是在工程领域。
在工程中，有限元方法被广泛应用于结构力学、热传导、动力学、量子力学等领域。
在结构力学中，有限元方法可以用来分析结构的力学特性，比如拉伸、压缩、弯曲等。
在热传导领域中，有限元方法可以用来分析热传导现象，比如材料热传导、流体热传导等。
在动力学领域中，有限元方法可以用来分析物体的运动和动力学特性，比如刚体运动、振动等。
在量子力学领域中，有限元方法可以用来分析量子力学现象，比如电子输运、固体材料特性等。
除了上述应用领域，有限元方法还被广泛应用于材料科学、光学、声学、流体力学等领域。
可以说，有限元方法已经成为了工程分析的常用工具，在未来的发展中，它将继续发挥着重要的作用。
总结起来，有限元方法是一种先进的数值分析方法，它在工程领域中有着广泛的应用，是工程分析的常用工具。
随着计算机技术的不断发展，有限元方法将继续发挥着重要的作用，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
有限元方法是一种什么方法
有限元方法是一种什么方法有限元方法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，用于求解连续体力学和电磁学等领域中的复杂问题。
它是一种将实际问题离散化成有限个简单的小元素的方法，通过对这些小元素进行数值计算，来逼近真实问题的方法。
有限元方法已广泛应用于工程和科学计算中，具有高精度、灵活性和适应性强等特点，能解决各种类型的物理问题。
有限元方法的基本思想是将要求解的区域划分成许多小的子区域，即有限元，然后对每个小区域进行近似计算，再将它们组合在一起得到整个区域的近似值。
对于每个小区域，通过引入适当的数学模型和适当的数学函数（形函数），可以得到一个偏微分方程的近似解。
然后将这些小区域的近似解拼接在一起，得到整个区域的近似解。
具体来说，有限元方法的步骤包括：离散化、建立有限元模型、得到结构的刚度矩阵和荷载向量、求解代数方程组、计算结构的应力和变形、对结果进行验证。
离散化是有限元方法的第一步，即将实际问题的连续域划分成有限个小元素，这些元素通常是简单的几何形状，如三角形、四边形等。
每个小元素内部可以被视为是均匀的，从而可以通过使用数学模型来描述其行为。
这些小元素按照一定的方式连接在一起，形成一个离散化的网格。
建立有限元模型是指在离散化的基础上，建立一个数学模型来近似描述实际问题。
这个模型通常是基于力学原理和材料性质建立的，包括应力-应变关系、材料力学模型等。
通过选择适当的数学函数（称为形函数），可以得到要求解的偏微分方程的近似解。
得到结构的刚度矩阵和荷载向量是有限元方法的核心。
在有限元模型中，每一个小元素都具有一些自由度，例如位移、旋转等。
通过积分方程得到每个小元素的刚度矩阵和荷载向量，并且根据网格的排列来组装整个系统的刚度矩阵和荷载向量。
然后，求解代数方程组是有限元方法的关键一步。
在得到结构的刚度矩阵和荷载向量后，可以表示为Ax=b的代数方程组，其中A是刚度矩阵，x是未知位移，b是已知荷载向量。
有限元方法编程
有限元方法编程摘要：1.有限元方法概述2.有限元方法编程的基本步骤3.有限元方法编程的实例4.有限元方法编程的注意事项5.结论正文：1.有限元方法概述有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程问题。
它通过将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域（有限元），并将这些子区域的边界上的函数值用有限个节点上的函数值来表示，从而将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。
这种方法可以大大简化问题的求解过程，提高计算效率，并可以方便地用于计算机编程。
2.有限元方法编程的基本步骤有限元方法编程的基本步骤如下：（1）建立有限元模型：根据问题的实际需求，选择合适的有限元类型（如四面体、六面体等），并根据几何形状将求解区域划分为有限个小的子区域。
（2）编写有限元方程：根据有限元模型，编写有限元方程，将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。
（3）选择合适的数值方法：根据问题的特点，选择合适的数值方法（如有限差分法、有限体积法等）对有限元方程进行求解。
（4）编写求解程序：根据所选数值方法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。
（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并进行必要的后处理（如绘制等值线图、计算梯度等）。
3.有限元方法编程的实例以求解一个简单的二维热传导问题为例，我们可以按照以下步骤进行有限元方法编程：（1）建立有限元模型：将求解区域划分为多个矩形单元，并在每个单元的边界上设置节点。
（2）编写有限元方程：根据热传导方程，编写有限元方程。
（3）选择合适的数值方法：选择有限差分法对有限元方程进行求解。
（4）编写求解程序：根据有限差分法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。
（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并绘制温度分布的等值线图。
4.有限元方法编程的注意事项在进行有限元方法编程时，应注意以下几点：（1）选择合适的有限元类型和网格划分：合适的有限元类型和网格划分可以降低求解的复杂度，提高计算效率。
有限元方法
• 结果分析：对求解结果进行分析，验证热传导的性能
有限元方法在对流换热分析中的应用
对流换热分析的基本概念
• 对流换热：流体与固体之间通过流动进行的热量传递过程
• 对流换热系数：描述对流换热强度的无量纲系数
• 对流换热方程：描述对流换热过程的基本方程
• 精确：能够给出较高的求解精度，满足工程需求
• 通用：适用于各类工程领域，具有广泛的应用前景
02
有限元方法的基本步骤与
关键技术
有限元方法的基本步骤与流程
有限元方法的基本步骤
有限元方法的流程
• 前处理：进行模型的建立、网格划分、材料属性定义等
• 模型建立：根据实际问题，建立有限元模型
• 计算分析：进行有限元离散化、变量转换、求解方程等
• 多相流方程：描述多相流运动的基本方程
有限元方法在多相流分析中的应用
• 建立多相流模型：根据实际问题，建立有限元模型
• 施加边界条件：在模型上施加多相流边界条件
• 求解方程：运用有限元方法求解方程，得到多相流速度、压力等未知量的值
• 结果分析：对求解结果进行分析，验证多相流的性能
05
有限元方法在热力学中的
有限元方法在结构静力分析中的应用
• 建立结构模型：根据实际问题，建立有限元模型
• 施加外力：在模型上施加外力
• 求解方程：运用有限元方法求解方程，得到内力和位移等未知量的值
• 结果分析：对求解结果进行分析，验证结构的静力性能
有限元方法在结构动力分析中的应用
结构动力分析的基本概念
• 振动：结构在周期性外力作用下的周期性变形
有限元方法的基本概念
有限元方法概述
有限元方法概述前面已经做了十个小例子，对ANSYS进行静力学分析有一个大致的了解，想着差不多要了解一点关于有限元的基础入门知识了。
接下来的时间先学习下有限元的基础理论，然后接着谈谈这一部分理论是如何和软件扯上关系的。
因为之前看过一小部分，总是看完前面，后面就忘，所以就简单记录下吧。
有限元方法是什么？•有限元方法：Finite Element Method，缩写FEM；有限单元分析；Finite Element Analysis，缩写FEA。
•它是一种解方程的方法，通常解的是偏微分方程（PDE）。
比方说我们以前学过的高斯消元法，也是解方程，只不过解的是代数方程组，而这里解的是偏微分方程而已。
•它是一种数值计算方法，得到的是数值解（近似解），与之相对的是解析解（理论解，精确解）。
这里包括两层意思：它是数值计算方法的一种，意思是数值计算还有其它方法呗；它得到的是近似解，因此它是有误差存在的。
微积分计算常会听说这么一句话“可积而不可求积”，意思是它的原函数是存在的，但是你没办法以有限简单项进行表示，很多时候都是用级数表示的，不可求积是因为复杂性。
偏微分方程，简单的可以获得它的解析解（理论解），而复杂的你没有办法有效的获得解析解，甚至计算不了。
因而为了计算的效率，我们放弃部分求解精度，采用近似计算方法，获得方程的近似解，有限元方法是诸多数值计算方法当中的一种。
•它是基于变分原理和加权余量法发展起来的。
有限元法的基本思想首先将求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点相互连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程常称为离散化。
其次，在每个单元内，选择一种简单近似函数来分片逼近未知单元内的位移分布规律，即分片近似，并按弹性理论中的能量原理（或用变分原理）建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个节点的位移。
有限元分析法概述
第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。
它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。
求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。
应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。
这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。
目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。
下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。
如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷P ，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。
其中，杆的上边宽度为1w ，下边宽度为2w ，厚度为t ，长度为L ，杆的材料弹性模量为E 。
已知P ＝4450N ，1w ＝50mm ，2w =25mm ，t =3mm ，L =250mm ，E =72GPa 。
① 采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(y A ，其上平均应力为σ，应变为ε。
根据静力平衡条件有：0)(=-y A P σ根据虎克定律有：εσE =而任一横截面面积为：t y L w w w y A )()(121-+= 任一横截面产生的应变为：dydu=ε将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有：dy y EA Pdu )(=沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得：⎰⎰⎰-+==y yudy y Lw w w Et P dy y EA P du 01210)()(将)(y A 表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：]ln )[ln()()(112112w y Lw w w w w Et PL y u --+-=当y 分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为：m u m u m u m u m u 6564636211080.142 ;1083.96 ;1027.59 ;1051.27 ;0----⨯=⨯=⨯=⨯==② 采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。
有限元
有限元有限元方法，简称有限元，是一种常用于求解工程问题的数值分析方法。
它通过将复杂的物理问题分割成许多小的离散单元，然后利用数学模型对每个单元进行分析，最终得到全局问题的近似解。
本文将介绍有限元方法的基本原理、应用领域和局限性。
有限元方法的基本原理是将连续的物理问题离散化为有限个离散的子问题，通过在每个子问题中求解得到问题的近似解，再将所有子问题的解组合起来得到全局问题的解。
这种离散化的思想使得复杂的问题变得可行，通过适当的数学模型和算法，可以有效地求解各种连续介质的力学、热学、流体力学等问题。
有限元方法的应用领域广泛，几乎涵盖了所有工程学科。
它可以用于求解结构力学、固体力学、流体力学、电磁学等领域的问题。
比如，在土木工程中，可以用有限元方法来分析和设计桥梁、建筑物的结构；在机械工程中，可以用有限元方法来优化零件的设计和制造过程；在航空航天工程中，可以用有限元方法来模拟飞行器的气动性能等。
然而，有限元方法也有一些局限性。
首先，它只能得到问题的近似解，而不是精确解。
这是因为有限元方法在建立数学模型时对参数和边界条件进行了一定的简化和假设。
其次，有限元方法对于复杂几何形状的处理较为困难。
由于有限元方法要将问题分割成有限个小的离散单元，对于具有复杂几何形状的问题，需要进行更多的单元划分和模型处理，增加了计算的复杂性。
另外，有限元方法对网格的选取和划分也有一定的要求。
如果网格划分不合理，可能会导致求解结果的不准确性或不稳定性。
同时，由于有限元方法是一种离散化的方法，当离散单元的数量增加时，计算量也会增加，对计算能力要求较高。
总的来说，有限元方法是一种非常重要和常用的数值分析方法。
它在解决工程问题中发挥着重要的作用。
通过合理的数学模型和算法，可以得到问题的近似解，并为工程设计和优化提供参考。
然而，有限元方法也有一些局限性，需要在具体应用时注意其适用范围和限制条件。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元方法(课件)
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有 60 年的历史。 它首先在本世纪 40 年代被提出，在 50 年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并 被非常广泛地用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法， 有限元已相当著名。
简化成二阶微分方程
其边界条件为
d 2Φ dx2
=
x
+1
0< x <1
Φ x=0 = 0
(2.21) (2.22)
Φ x=1 = 1
(2.23)
此问题的精确解为
Φ(x) = 1 x3 + 1 x2 + 1 x 623
(2.24)
对(2．21)式积分两次，然后再应用(2.22)式和(2．23)式定出积分常数，就可很容易地
(2．6)
式中, v j 叫是定义在全域上的展开函数，c j 是待定的展开系数。{·}仍表示列向量，上标 T
表示向量的转置。将(2．6)式代入到(2．5)式中，我们得到
F
=
1 2
{c}T
∫Ω{v}L{v}T
dΩ{c}
− {c}T
∫Ω{v}
fd Ω
( ) 为了求 F Φ 极小，我们令其对 ci 的偏导数为零，从而得到线性代数方程蛆：
为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。 它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格 上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。但这种高阶的有限元通常也会产生 严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。
第二章 有限元方法入门 在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本 质。然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。最后，我们不针对任何特定问题来描述 该方法的基本步骤。 2．1 边值问题的经典方法 在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹
有限元法及其应用_概述及解释说明
有限元法及其应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构、流体和热传导问题的分析与求解。
该方法将实际问题转化为数学模型，并通过离散化方法将复杂的连续域分割成许多简单的子域，然后建立局部方程并组合求解得出整个系统的行为。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分来阐述有限元法及其应用。
首先是引言部分，在这部分中我们对有限元法进行综述和概括性介绍。
接下来是有限元法基础，包括定义与原理、离散化方法以及数学模型和方程组等内容。
第三部分是有限元法的应用领域，具体涵盖了结构力学分析、流体力学模拟以及热传导分析等方面。
紧接着是有限元法的优势与局限性的讨论，其中包含了优势点和局限性两个方面。
最后在结论与展望部分对目前取得的成果进行总结，并展望未来该领域发展的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍有限元法及其应用，使读者对该方法有一个全面的了解。
通过分析有限元法的原理和数学基础，以及讨论其在结构力学、流体力学和热传导等不同领域中的应用，读者可以更好地理解该方法在实际工程问题中的作用和意义。
同时，通过对有限元法的优势和局限性进行深入讨论，读者也可以对该方法的适用范围和限制条件有一个清晰的认识。
最后，在总结现有成果并展望未来发展方向的部分，本文希望促进该领域进一步的研究和应用，并为相关领域从业人员提供参考与借鉴。
2. 有限元法基础：2.1 定义与原理：有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程数值分析方法，通过将复杂的连续体问题转化为离散的有限元模型，并通过求解一系列代数方程组来获得数值近似解。
它基于强大的计算能力和离散化技术，广泛应用于各个领域的工程问题求解。
有限元法原理包括两个基本步骤：离散化和解。
在离散化过程中，需要将复杂的连续体划分为多个单元，每个单元具有简单的几何形状（如线段、三角形或四边形）。
这些单元可以通过节点进行连接，并构成整个结构或区域。
有限元方法(FEA)
线性插值得到的
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
E (ui 1 ui ) i E i Li
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
（3）整体分析 首先把外载荷集中到 节点上： 把第i单元和第i+1单元 重量的一半，集中到 第i+1结点上
有限元方法（FEA）
2015-9
第一部分：有限元简介
简介
有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算 方法，起源于固体力学，然后迅速扩展到流体力 学、传热学、电磁学等其他物理领域。 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系 统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又 相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量 去逼近无限未知量的真实系统。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
齿轮有限元模型
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之 间通过节点连接，并承受一定载荷。 节点具有一定的自由度。
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
分析对象 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
一些专用有限元软件
ABAQUS
1978年，三位著名学者Hibbitt, Karlsson和Sorensen 成立HKS公司，推出有限元产品为ABAQUS。总 部位于美国的罗德岛州（Rhode Island）。 国际上最先进的大型通用有限元分析软件之一。 特别是它的非线性力学分析功能具有世界领先水 平。 两个主要分析模块： ABAQUS/Standard和 ABAQUS/Explicit
电磁计算的有限元方法及其数值求解
电磁计算的有限元方法及其数值求解电磁计算作为重要的科学技术方法之一，其精度和效率对于科技领域的发展具有至关重要的作用。
而有限元方法作为一种重要的数值计算方法，在电磁计算中应用广泛。
本文将介绍有限元方法在电磁计算中的应用和数值求解。
一、有限元方法的概述有限元方法是一种求解偏微分方程数值解的常用方法。
其核心思想是将一个复杂的区域分割成若干个小区域，通过对小区域内的物理变量进行逼近，最终得到整体的物理变量分布。
在电磁计算中，有限元方法是一种经典的数值计算方法，具有良好的适用性和精度。
有限元方法的求解过程分为建立数学模型、离散化、求解和后处理四个主要步骤。
其中建立数学模型是有限元方法的关键，正确的数学模型可以保证计算结果的精度。
二、电磁计算中有限元方法的应用在电磁计算中，有限元方法常用于求解电学、磁学和电磁学问题。
例如电感、电容、电阻等电学问题，磁感线分布、磁通量等磁学问题，以及电磁场分布、电磁波传播等电磁学问题。
对于电学问题，有限元方法常用于求解电场的分布和电容、电感等参数的计算。
例如，铁芯电感器等电学元件可以通过有限元方法求解电感值，从而进行电磁场分析和设计。
对于磁学问题，有限元方法常用于求解磁场分布和电感、磁通量等参数的计算。
例如，变压器、电机等磁学元件可以通过有限元方法求解磁感线分布和磁通量，从而进行磁场分析和设计。
对于电磁学问题，有限元方法常用于求解电磁场分布和电磁波传播等问题。
例如，天线、波导等电磁学元件可以通过有限元方法求解电磁场分布和传播特性，从而进行电磁波分析和设计。
三、电磁计算中有限元方法的数值求解有限元方法的数值求解过程包括矩阵的组装和求解两个主要步骤。
在电磁计算中，有限元方法的数值求解主要涉及到矩阵的组装。
矩阵的组装是指将离散化得到的局部矩阵组合成全局矩阵，并考虑边界条件和耦合矩阵的影响。
在组装全局矩阵的过程中，通常采用稀疏矩阵的存储方式，以节省存储空间和提高计算效率。
在全局矩阵组装完成后，可以采用直接法或迭代法对矩阵进行求解。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
对有限元方法的认识
我对有限元方法的认识1有限元法概念有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。
每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。
这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。
针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。
人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。
有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。
有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。
这种思想自古有之：古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。
近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。
国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。
“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。
但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期，随着计算机运算速度的提高，内、外存容量的扩大和图形设备的发展，以及软件技术的进步，发展成为有限元分析与设计软件，但初期其前后处理的能力还是比较弱的，特别是后处理能力更弱。
到 70 年代中期有限元界的先导就在有限元软件中引入了图形技术及交互式操作方式，使有限元的前后处理进入一个崭新的历史阶段。
此时，用户就可以从繁琐的数据中解放出来。
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现代设计方法
• 离散为单元网格的冲压件 仍然要保证是一个连续体 ，单元与单元之间没有裂 缝、不能重叠，所有单元 通过单元节点相互关联着 • 板料无论产生多大的塑性 变形，单元与单元之间依 然不会产生裂缝、交叉和 重叠，关联单元的节点也 不能脱开
有限元法的基本思想
有限元分析-基本概念
现代设计方法 不合格单元
A
( 2)
110 m ， E
2
4
(1)
E
( 2)
2 10 MPa，
5
L(1) L( 2) 0.1m
有限元分析-基本概念
现代设计方法
A(1) E(1)
1 ① 2
A(2) E(2)
② 3
F3
L(1)
L(2)
Φ1 F1
1 ① 2
Φ2 F2
② 3
Φ3 F3
有限元分析-基本概念
现代设计方法
载荷
节点
单元
载荷
有限元分析-基本概念
现代设计方法
几个基本概念 1）单元（element）
将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。
在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
单元类型 现代设计方法
单元图形
节点数
节点自由度
杆单元 平面梁单元 平面 三角形单元 平面 四边形单元 轴对称 三角形单元
板壳 四边形单元 三维 四面体单元 有限元分析-基本概念
典 型 单 元 类 型
2 2 3 4 3
1 3 2 2 2
4
4
3
3
现代设计方法
按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为： 1）平面杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆 系，如桁架结构； 2）平面梁单元：用于梁及刚架结构分析； 3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力 和平面应变问题的有限元分析； 4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析； 5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。
E ( e ) A( e ) L(e)
1 1 1 1
—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等 于单元中所包含的节点数；
F (e)
(e) F i (e) F j
有限元分析-基本概念
现代设计方法
2. 单元分析
连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称 为单元分析。
单元分析工作主要有两项：
(1)选择单元位移模式(位移函数)
用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和 应力，就需搞清各单元中的位移分布。
一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其 模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移 函数。通常采用的函数形式多为多项式（线性或二次）。 根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来 表示单元体内任一点位移的关系式。
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理 特性，且存在相互物理作用。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定属性，相互之间存在物理作 用。
单元:节点间相互作用的对象， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
三峡大坝的受力情况 蓄水后大坝的 位移与应变情
况、地震时大
坝的位移与应
变情况等
有限元分析-基本概念
现代设计方法
温度场分布
航天飞机飞行 中的受热分析
有限元分析-基本概念
现代设计方法
磁场分布
分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响
有限元分析-基本概念
现代设计方法
汽车/航天器空气动力学--流场
现代设计方法
1-3 有限元法过程
有限元法的分析过程可概括如下： 1 连续体离散化 2 单元分析
3 整体分析
4 确定约束条件 5 有限元方程求解 6 结果分析与讨论
有限元分析-基本概念
现代设计方法
1. 连续体离散化
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。 离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个
载荷 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析-基本概念
现代设计方法
1-2 有限元法基本思想
• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 • 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示----通常称为插值函数或位移函数 • 基于问题（杆、平面）的基本方程，建立单元节点的 平衡方程：节点载荷=f(Ki, 节点位移) • 联立所有单元节点的平衡方程，形成一组全部节点载 荷与节点位移关系的方程组（线性）：{节点载荷 }=F(K, {节点位移}） • 引入边界条件求解该方程组。 有限元分析-基本概念
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值 解法，以求出近似解。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
有限元的含义 Finite Element Method
Limited; Definite. Cell; Technique;
Basic unit. Skill.
有限元分析-基本概念
现代设计方法
单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。
有限元分析-基本概念
【解】
1.离散化 把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点 选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点， 该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构 共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载 荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的 2 3 。在整个结构中节点载 位移量分别记为 1、 、 荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在 总体结构中的编码，简称总码。
6. 结果分析与讨论
有限元分析-基本概念
现代设计方法
网架杆件 基本单元 节点位移
基本未知量
单元刚度矩阵
节点平衡及变形协调条件
总刚度矩阵
总刚度方程
引入边界条件
节点位移值
单元内力与节点位移间关系
单元内应力应变
有限元分析-基本概念
现代设计方法
1-4 有限元法求解实例分析
一维杆系单元
定义：杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接 的点称为节点。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、 杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件 即构成单元。
现代设计方法
定义
有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法， 根据近似分割和能量最低原理，把求解区域离散为有 限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元 ，通过变分原理（虚位移原理），把问题化成线性代 数方程组求解。
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭
有限元分析-基本概念
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的转移矩阵，其关系式为 F K ，这就是总体 平衡方程。
有限元分析-基本概念
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4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代 数方程，是欠约束的。需确定求解对象问题的边 界约束条件，并对这些方程进行适当修正。
有限元分析-基本概念
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5. 有限元方程求解 通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的 位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。
•2016/1/28 有限元分析 -基本概念
现代设计方法
2. 求单元刚度矩阵
i(e)
(je)
Fi (e)
Fj(e)
下面分析某等截面单元（e）。当两端分别 ( e) (e) F 承受两个轴向力 Fi 和 j 作用时的位移情况 。根据材料力学的知识可知，在两端节点i 、j处的位移量 和 与轴向力 Fi (e)和 Fj(e) 的 关系式为 (e) (e)
(e) i
( e) j
Fi
(e)
E A L( e)
( i( e ) (je ) )
F j( e )
E ( e ) A( e ) (e) (e) ( i j ) (e) L
有限元分析-基本概念
现代设计方法
注意
在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移 等参数的上角标为该单元的编码，下角标 为该单元内节点的局部编码。上两式可写 成： (e) (e) (e) (e)
(3) 经验方法
有限元分析-基本概念
现代设计方法
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。 传统的解析法要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、 连续性假设等，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，可得出实 际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但 这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高 的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。
(e ) K 单位刚度矩阵 是由单元节点位移量 求单元节点
(e )
力 F
(e )
向量的转移矩阵，其关系式为:
F(e) K(e) (e)
有限元分析-基本概念