平方根(数的开方)课件
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平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
数的开方PPT教学课件
宫妇左右莫不私王 朝廷之臣莫不畏王
四境之内莫不有 求于王
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
参 出 微 理 。 千 古
详 勘 。 正 欲 于 此
徐 公 之 美 ， 细 细
邹 忌 将 己 之 美 、
思考问题：
从文中看，齐威王最终能使 齐国“战胜于朝廷”，达到 “大治”的原因是什么？这给 我们带来什么启示？请结合你 的生活体验，简要谈谈你的看 法。
( )
四：小结 1：为什么要学习数的开方？ 2：开方与什么互为逆运算？ 3：平方根，算术平方根，立方根的概念和性质
五：作 业 练习册
导入新课
“以铜为镜，可以正衣冠； 以史为镜，可以知兴亡； 以人为镜，可以明得失。”
唐·魏征
《战国策》是一部重要的历史著作，也 是一部重要的散文集。作者已不可考， 最初有《国策》、《国事》、《短长》 等名称，经过汉代刘向整理编辑，始定 为《战国策》。全书共33篇，分国别编 辑。
2.君子之过，如日月之食也。过也， 人皆见之，及其更也，人皆仰之。 （《论语》）
3.良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。 （孔子家语）
4.信言不美，美言不信。（老子）
解释下列蓝色的词 词类活用
1、吾妻之美我 认为……美，形容词意动用 者，私我也。 法 偏爱，形容词作动词。
2、能面刺寡人 之过者
3、受上赏
《战国策》的内容，主要记载战国时期 各国谋臣策士游说诸侯或进行谋议论辩 时的政治主张和纵横捭阖、尔虞我诈的 故事，也记叙了一些义士豪侠不畏强暴、 勇于斗争的行为。
《战国策》长于议论和叙事，文笔流畅， 生动活泼，在我国散文史上具有重要的 地位。
华师版八年级数学上册第11章 数的开方1 平方根
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？
0
4
3.25
的平方根是什么？
2
5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平
方不可能是负数
试 一 试
（1）144的平方根是什么？
±12
（2）0的平方根是什么？
0
通过这些题
目的解答，你能
发现什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
平方根可以记作 a，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 0=0 .
根号
± a
（a是非负数，a≥
被开方数
0）
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8
B．-8
C．-2
D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
第1课时 平方根
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一
个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些
非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的
边长是多少？
( 6 )2=25.
4
3
，
2
(4)∵(±0.7)2=0.49，
，
∴0.49的平方根为±0.7．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相
反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立
平方根课件(第1课时,共18张)
1
4
9
16
边长
1
2
3
4
25
36
5
6
知识讲授
算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那
么这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ ”，读作 “根号a”.
例如：144的算术平方根是12.
特殊地：0的算术平方根是0. 负数没有算术平方根.
【例题】
【例1】求下列各数的算术平方根：
（6）
所以
的算术平方根是0.5.
【跟踪训练】
1.判断 （1）13是169的算术平方根. （2）-6是 36 的算术平方根. （3）0.01是0.1的算术平方根. （4）-5是-25的算术平方根.
2.填空
（1）正数的算术平方根是____数，0的正算术平方根是____，算术平方
根等于0 它本身的数是________.
A. 2
B. －2
C. ±2
D. 4
பைடு நூலகம்
【解析】选A.根据算术平方根的意义可得，4的算术平方根
为2.
2.（南通·中考）9的算术平方根是（ ）
A．3 B．－3 C．81
D．－81
【解析】选A. 9的算术平方根是3.
3.（温州·中考）给出四个数0，
，0.3，
其中最小的是（ ）
A．0
B．
C．
D．0.3
【解析】选C.因为正数都大于0，负数都小于0，所以
最小.
4.（济宁·中考）若
则x-y的值为（ ）
A．1
B．－1
， C．7
D．－7
【解析】选Ｃ.由算术平方根的意义与平方的意义可得，ｘ＋ｙ-１＝０，ｙ +３=０，解得ｘ＝4，ｙ＝-3，所以x-y＝７.
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
22_《平方根》ppt课件
）2 =0.0001，
∴ 0.0001的平方根为±0.01.
练习：求下列各数的平方根：
（1） 1.69
15
16
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算——开方运算，开方和乘方 互为逆运算，从而完备了初等代数中六种基本代数 运算（加、减、乘、除、乘方、开方），这对代数 内容学习有着重要的意义。
2.本节主要学习了: ①平方根的概念 ②平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为
没有，说明为什么 ？ （1）－9的平方根是－3 (
)
3 有没有平方根 ？
∴ 0.
注意：开平方运算的结果往往不是唯一的
当这个数为0时，它有一个平方根0；
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
判断一个数有没有平方根，只要看这个数的符号。
（1）- 4
（）
当这个数为正数时，它有两个平方根；
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
）
× （4）1 的平方根是 1 （
）
√ （5）－1 是 1的平方根 （
）
× （6）7的平方根是±49 (
)
× （7）若X2 = 16, 则X = 4 （
）
11
3 有没有平方根 ？
若有 ，怎样表示？ 当这个数为0时，它有一个平方根0；
一个数的平方根的表示方法：
（6）7的平方根是±49 (
)
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
6
“底数
指数 幂
2
X =a
”
a是x的2次幂 x是a的平方根
7
学以致用 判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方 根。若没有，说明为什么。
（1） 0.81 （2） （3）2 （4）（－2 ）2
平方根PPT课件(沪科版)(2)
独立自学二：阅读课本P10思考下列问题
1、一个非负数的平方根如何表示? 2、何为算术平方根？ 3、如何求一个非负数的平方根？
在自学的过程中，用笔将重点画下：
3分钟后看谁的自学效果好
引导探究二：平方根的表示方法、读法
正数 正的平方根表示为： a 读作：根号a
a
负的平方根表示为：－ a 读作：负根号a
4.若（ x 3）2 x 3 0， 则 x 的 取 值 范 围 是 。
5.解方程：9x2 _ 16 = 0
请谈谈你这节课的收获
指数
根号
x2
a
互为 逆运算
x a
底数
幂
a的平方根 被开方数
你记住平方根与算术平方根的区分和联系了吗?
（
1 ）2 5
215－什，4么的?平15 叫方做根21是5 的平方根
02 0， 0叫做0的平方根
49的平方根是±7
1 的平方根是 ± 1
25
5
0的平方根是0
－4没有平方根
你发现什 么了？
• 一个正数有正、负两个平方根,它们 互为相反数
• 零的平方根是零 • 负数没有平方根
学以致用一：
1. 判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3;
(× )
（2）49的平方根是7 ；
(× )
（3） －7是 49的平方根; （4）1 的平方根是 1 ；
（ √）
（× ）
（5 ）（－2）²的平方根是±2；（ √ ）
（6）7的平方根是±49.
(× )
（7）若X2 = 16 则X = 4
（× ）
(8) 4 没有平方根。
（× ）
2. 问：3 有没有平方根？ 若有 ，怎样表示？没 有，说明为什么 ？
算术平方根课件ppt
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时， a 无意义。
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根或 64 8
（3） 是算术平方根的运算符号
综合训练（一） 细细辨别
(1) - 4
(2) - 4
(4) - （- 4）2 (5) - 42
(3) - - 4
(6)( - 4)2
例1 求下列各数的算术平方根：
④-64的算数平方根是8. ×(
)
2.填空题
①
正数的算术平方根是
正
数，0的算术平方根是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0和1
② 42的算术平方根是 4
1
③ 1 的算术平方根的相反数的绝对值是 7
49
3.回答下列各数的算术平方根
0.000 001
0.001
2 1 4
3
2
9
3
4.求 1 7 的值
∵52=25
∴正方形画框的边 长为5分米
正方形 1 的面积
9
16
36
4
25
边长 1
3
4
6
2
5
a a2
上面的问题，实 际上是已知一个
正数的平方，
求这个正数的问 题.
一般地，如果一个正数x的平方等于a,
即 x 2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为： a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。
判断：
（1）5是25的算术平方根；
对
（2）6-6是 36 的算术平方根； 错
（3）0的算术平方根是0；
对
（4）0.01是0.1的算术平方根； 错
（5）-5是-25的算术平方根。 错
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根或 64 8
（3） 是算术平方根的运算符号
综合训练（一） 细细辨别
(1) - 4
(2) - 4
(4) - （- 4）2 (5) - 42
(3) - - 4
(6)( - 4)2
例1 求下列各数的算术平方根：
④-64的算数平方根是8. ×(
)
2.填空题
①
正数的算术平方根是
正
数，0的算术平方根是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0和1
② 42的算术平方根是 4
1
③ 1 的算术平方根的相反数的绝对值是 7
49
3.回答下列各数的算术平方根
0.000 001
0.001
2 1 4
3
2
9
3
4.求 1 7 的值
∵52=25
∴正方形画框的边 长为5分米
正方形 1 的面积
9
16
36
4
25
边长 1
3
4
6
2
5
a a2
上面的问题，实 际上是已知一个
正数的平方，
求这个正数的问 题.
一般地，如果一个正数x的平方等于a,
即 x 2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为： a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。
判断：
（1）5是25的算术平方根；
对
（2）6-6是 36 的算术平方根； 错
（3）0的算术平方根是0；
对
（4）0.01是0.1的算术平方根； 错
（5）-5是-25的算术平方根。 错
平方根ppt课件
1．下列说法正确的是( C ) A．16的算术平方根是±4 C．－1是1的一个平方根
B．任何数都有两个平方根 D．0.01的平方根是0.1
2．若一个数的平方是81，则这个数为( D )
A．3
B．－9
C．9
D．±9
3．填空：
(1)－ 121 ＝__－__1_1___；
(2)± 1－34 ＝___±_12____；
例 2 填空：
(1)± 16 ＝__±__4____；
(2)
4 25
2 ＝____5____；
(3)－ 62 ＝__－__6____；
(4) 81 的平方根是___±__3___．
训练 2.填空： (1)± 36 ＝__±__6____； (2)－ 0.01 ＝__－__0_._1__； (3)± （－3）2 ＝__±__3____； (4) 100 的平方根是__±__1_0___．
6．【分类讨论】已知一个正数m的平方根是3a－4和2a－1. 推理探究：(1)当3a－4与2a－1相等时，求m的值；
解：由题意，得3a－4＝2a－1. 解得a＝3. 所以3a－4＝5. 所以m＝(3a－4)2＝52＝25.
(2)当3a－4与2a－1互为相反数时，求m的值； 归纳总结：(3)m的值为__2_5_或__1__．
±1.2
9 100
±130
11 (－7)2
± 11
±7
算术平方根
0
5 1.2
3 10 11
7
1.正数有____两____个平方根，它们互为__相__反__数__；0的平方根 是____0____；负数__没__有____平方根． 2.平方根与算术平方根的区别与联系：(1)区别：正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根．(2)联系：正数的两个平方根中正的平方根就 是它的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0；只有非负数才有 平方根和算术平方根．
平方根ppt课件
81
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
第2课时平方根ppt课件
开方数. 平方与开平方有什么关系？
可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关 系可以求出一个数的平方根.
10
例1 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2) 49 ; (3)0.0004； (4) (25)2; (5) 11.
121
解：（1）∵ 82 64 ，∴64的平方根为±8;
（2）∵
7
⑴ 121
⑵ 232
⑶ (-4)2
⑷0
⑸ -25
平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个, 它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根.
5
例练
口答下列各数的平方根:
⑴ 49
⑵ 1600
⑷ 36
49
64
⑸ 26
⑺0
⑻ 0.09
⑽ 0.81
⑾ 0.0121
⑶ 196
⑺ 0的平方根是 0; ( √ )
⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( × )
⑼ 只有一个平方根的数是0; ( √ )
7
8
开平方及相关运算
两种运算有什么不同？
x
x2
+1
-1
1
+2
-2
4
x2
x
+1 1
-1 +2 4
+3
9
-3
平方运算
这是什么运算？
9
开平方的定义：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被
⑹
5
1 16
⑼ 1.44
⑿ 1.69
6
辨一辨
下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”： ⑴ 16的平方根是 ±4; ( )
可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关 系可以求出一个数的平方根.
10
例1 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2) 49 ; (3)0.0004； (4) (25)2; (5) 11.
121
解：（1）∵ 82 64 ，∴64的平方根为±8;
（2）∵
7
⑴ 121
⑵ 232
⑶ (-4)2
⑷0
⑸ -25
平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个, 它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根.
5
例练
口答下列各数的平方根:
⑴ 49
⑵ 1600
⑷ 36
49
64
⑸ 26
⑺0
⑻ 0.09
⑽ 0.81
⑾ 0.0121
⑶ 196
⑺ 0的平方根是 0; ( √ )
⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( × )
⑼ 只有一个平方根的数是0; ( √ )
7
8
开平方及相关运算
两种运算有什么不同？
x
x2
+1
-1
1
+2
-2
4
x2
x
+1 1
-1 +2 4
+3
9
-3
平方运算
这是什么运算？
9
开平方的定义：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被
⑹
5
1 16
⑼ 1.44
⑿ 1.69
6
辨一辨
下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”： ⑴ 16的平方根是 ±4; ( )
平方根ppt课件
平方根ppt课件
目 录
• 引言 • 平方根的基本概念 • 平方根的运算规则 • 平方根的应用 • 练习与思考 • 总结与回顾
01
引言
什么是平方根
01
平方根是一个数学术语，它指的 是一个数的二次方根。
02பைடு நூலகம்
平方根通常用符号“√”表示，例 如，4的平方根是2。
平方根的重要性
平方根在数学中有着重要的应用，例 如在解决几何问题、计算面积和体积 等方面。
平方根的概念也是进一步学习数学的 基础。
02
平方根的基本概念
平方的概念
定义
一个数乘以其自身所得的结果称 为这个数的平方。
例子
4的平方是16，因为4乘以其自身 等于16。
应用
平方的概念在生活和科学计算中都 有广泛的应用，如计算面积和体积 等。
平方根的符号和读法
01
02
03
符号
一个数的平方根可以用符 号“√”表示，读作“根 号”。
算术根是平方根中的一个特例，它只取非负的那 一根；而平方根则包含正负两个方向。
平方根与指数幂的关系
平方根和指数幂是互为逆运算。一个数的平方根 等于该数的指数幂的倒数。
3
平方根的应用
平方根在现实生活中有着广泛的应用，如测量、 工程设计、物理学等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
√16表示16的平方根，读 作“根号16”。
注意
平方根的符号和算术平方 根的符号不同，算术平方 根的符号是“√( )”。
平方根与算术平方根
定义
一个非负数a的平方根有两个， 它们是互为相反数的数，分别 称为a的平方根和负平方根。
例子
目 录
• 引言 • 平方根的基本概念 • 平方根的运算规则 • 平方根的应用 • 练习与思考 • 总结与回顾
01
引言
什么是平方根
01
平方根是一个数学术语，它指的 是一个数的二次方根。
02பைடு நூலகம்
平方根通常用符号“√”表示，例 如，4的平方根是2。
平方根的重要性
平方根在数学中有着重要的应用，例 如在解决几何问题、计算面积和体积 等方面。
平方根的概念也是进一步学习数学的 基础。
02
平方根的基本概念
平方的概念
定义
一个数乘以其自身所得的结果称 为这个数的平方。
例子
4的平方是16，因为4乘以其自身 等于16。
应用
平方的概念在生活和科学计算中都 有广泛的应用，如计算面积和体积 等。
平方根的符号和读法
01
02
03
符号
一个数的平方根可以用符 号“√”表示，读作“根 号”。
算术根是平方根中的一个特例，它只取非负的那 一根；而平方根则包含正负两个方向。
平方根与指数幂的关系
平方根和指数幂是互为逆运算。一个数的平方根 等于该数的指数幂的倒数。
3
平方根的应用
平方根在现实生活中有着广泛的应用，如测量、 工程设计、物理学等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
√16表示16的平方根，读 作“根号16”。
注意
平方根的符号和算术平方 根的符号不同，算术平方 根的符号是“√( )”。
平方根与算术平方根
定义
一个非负数a的平方根有两个， 它们是互为相反数的数，分别 称为a的平方根和负平方根。
例子
1平方根和开平方PPT课件
巩固练习
3．求下列各数的正的平方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ:
225； 0.0001； 9
121
4．若一个正数的两个平方根 是2m-5与4m-9，求m的值.
课堂小结
1.平方根的意义是什么? 平方根有怎样的性质?
2.开平方运算与平方运算有 怎样的关系？
3.求完全平方数的平方根 时应该把被开方数化成 怎样的数？
作业布置
1 . 复习知识点. 2. 课本和练习册上的练习； 3. 选做补充题；
第十二章 开平方
12.2 平方根和开平方（1）
问题1:小丽家一张方桌的桌面
是面积为64平方分米的正方形， 这个正方形桌面的边长是多少？
平方根:已知一个数的平方等
于a，那么这个数叫做a的平方 根，即x2=a，x叫做a的平方 根，a叫做被开方数.
开平方运算:求一个数a的平方根
的运算叫做开平方运算.
例1:求下列各数的平方根，并
( 3)2 __
(1)2 __ 3
( 1)2 __ 3
102 __
(10)2 __
归纳总结：
a2 a ( a )2 a
巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确 的请说明理由并加以改正.
49 7
81 9
(2)2 2
(5)2 5
2、计算： （1） (9)2 （2） 42
（3） (a)2
根据你的解答过程总结：正数、 0、负数的平方根有什么不同？
9
-0.16
0
25
性质：
1、负数没有平方根；
2、正数有两个互为相反数的 平方根，其中正的平方根也 可以称算术平方根.
3、0的平方根就是0.
问题拓展:由以下计算你能
平方根ppt课件
别
取值范
正数的算术平方根
正数的平方根是一
围不同
一定是正数
正一负
感悟新知
知3－讲
续表：
算术平方根
具有包
联 含关系
平方根
平方根包含算术平方根，算术平方根是
平方根中正的那个(0除外)
系 存在条 平方根和算术平方根都只有非负数才有，
件相同
0的平方根与算术平方根都是0
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开
C. ±6是36的平方根： ＝±6
D. －2是4的负的平方根： ＝－2
感悟新知
知3－练
6-2. 求下列各式的值：
(1) ；
(2)－
；
解： 1 600＝40.
－
14
2 ＝－
25
(3)± (－)；± (－2)2＝±2.
(4) . .
0.003 6＝0.06.
解：因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)72；
72的算术平方根是7.
感悟新知
知3－练
(3)(－6)2；
解：因为(－6)2＝36＝62，所以(－6)2的算术平方根是6.
(4) .
因为 16＝4＝22，所以 16的算术平方根是 2.
感悟新知
知3－练
例 5 已知a的算方：根据平方根的性质，找出两个平方根
之间的关系列方程求值.
感悟新知
知2－练
(1)一个正数的两个平方根分别是3a－5 和a－3，则这个正
数是多少？
解：根据题意，得(3a－5)＋(a－3)＝0，
解得a＝2，所以这个正数为(3a－5)2＝(3×2－5)2＝1.
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a
” 只有a≥0时有意义，
从知识能力等方面对所学内容 加以概括，形成知识体系，为 后面的学习打下基础.
教学程序
《 平 方 根 》 说 课
创 设 情 境 复 旧 导 新
启 发 诱 导 探 索 新 知
引 导 探 究 深 化 提 高
归 纳 小 结 强 化 目 标
作 业 布 置 巩 固 新 知
活动(5) 布置作业,巩固新知 .
常言道“授人鱼不如授人以 渔”.“学生学会”不再是我们 追求的唯一目标，“学生会学” 才是我们的 最高境界.
谢
谢
一、下列各数是否有平方根，请说明理由.
（1）（－ 3）2 （2）02 （3）－ 0· 01
二、判断题
1) 1.21 的平方根是 ± 1.1 . 2) 平方根是本身的数有0 ,1 . 3) 只有正数有平方根. 4) 任何数都有平方根. ( ) ( ) ( ) ( )
体 验 成 功
应 用 新 知
稍作小结，理解概念性质，由问题引出 算术平方根.
在教学中我们一个不经意的点头 肯定，一句赞赏的话语，都可以成 为学生学习力量的源泉.所以，我根 据特定的评价对象，利用多元的评 价目标，多样的评价方法，不断激 发学生的学习动机.
在教学程序设计上，以充分体现教 师为主导，学生为主体的教学原则， 突出了以下几个注重： ①注重目标控制，面向全体学生， 启发式与探究式教学. ②注重学生参与知识的形成过程， 增强学习数学的信心，体验应用数学 知识解决问题的乐趣. ③注重师生间、同学间的互动协作， 共同提高. ④注重知能统一，让学生在获取知 识的同时，掌握方法，灵活运用.
Байду номын сангаас
正数有两个平方根，它们互为相反数.
y=0
（ ）2=0 （ ）2= － 4
（ ）2=0 （ ）2=－ 4
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数. 0有一个平方根，它是0本身. 负数没有平方根.
通过学生自主探究，推导出平方 根的性质，有助于提高他们的归 纳、综合能力，更有助于学生对 所学知识的理解掌握.
《平方根 》说课稿
岳麓区坪塘中学 戴作荣
教材分析
《 平 方 根 》 说 课
教法学法
教学程序
教学评价
教材分析 教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
教学目标
教材的重点与难点
教材分析 教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
教学目标
教材的重点与难点
平方根这一节内容不仅是为今后学习二次 根式、一元二次方程准备知识，而且它完成 了数的范围的扩大，从有理数扩充到了实数， 同时让代数运算得以了完善，在乘方的基础 上引入了开平方运算，因此学好本节知识是 学好后续知识的主要纽带.
为了趣味接力比赛,要在运动场上 圈出一个面积为100平方米的正方形 场地,这个正方形场地的边长为多少?
采用多媒体播放问题情境，前一 个问题很好直接回答，而第二个 问题就会使学生产生思维上的困 惑，从而引发学生的思考，导入 学校要举行美术作品比赛，小明很 平方根. 高兴，他想裁出一块面积为50平方厘
米 的正方形画布，画上自己的得意之 作参比赛，这块正方形画布的边长应取 多少厘米 ？
+2
-2 +3 -3
4
从学生熟知的乘方运算 入手，让其积极参与数 学创造活动，初步形成 概念.
9
x
1
2
X
+1 -1 +2
诱发学生寻找解 题途径，培养学 生逆向思维能力.
4 -2 +3 9 -3
X
+1 -1 +2 -2 +3 -3
两种运算有什么不同？ 2 x X 2 x
+1 1 1 -1 +2 4
10 )
2
=100,
例2 求下列各式的值：
(1)
144
(2) 0.81 （3）±
121 196
解: (1)因为12 2 144， 所以 144 12 结合平方根的概念与性质，探索解题方法， 领会解决问题的思路，培养学生严谨的学 习态度.
学校要举行美术作品比 赛，小明很高兴，他想裁 出一块面积为50平方厘米 的正方形画布，画上自己 的得意之作参比赛，这块 正方形画布的边长应取多 少厘米 ？
教学目标
教材的重点与难点
知 识 技 能
数 学 思 考
解 决 问 题
情 感 态 度
.
教材分析 教材的地位与作用
知
教学目标
数 学 思 考
解 决 问 题
教材的重点与难点
情 感 态 度
《 平 方 根 》 说 课
识 技 能
通过用类比的方法探寻出平方根的运算 及表示方法，并能自我总结出平方根与算术平 方根的异同.
此问题的解决让学生感到数学 源于生活又 服务于生活.
50
教学程序
《 平 方 根 》 说 课
创 设 情 境 复 旧 导 新
启 发 诱 导 探 索 新 知
引 导 探 究 深 化 提 高
归 纳 小 结 强 化 目 标
作 业 布 置 巩 固 新 知
达标训练：
(1)49的平方根是（ ±7 ），算术平方根是（ 7 ）； (2)0.09的平方根是（±0.3），算术平方根是（ 0.3 ）； (3)若－ 3 是x的一个平方根，那么x的另一个平方根是 （ 3 ）； (4)平方根等于它本身的数是（ 0 ），算术平方根等于 它本身的数是（ 0，1 ）； (5) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（ ±0.1 ）； (6) √(-5)2= 5 25 (7)求下列各数的平方根：0.81， ， 0， √81
创 设 情 境 复 旧 导 新
启 发 诱 导 探 索 新 知
引 导 探 究 深 化 提 高
归 纳 小 结 强 化 目 标
布 置 作 业 巩 固 新 知
例 1 求下列各数的平方根 1) 100
9 2) 16
3) 0.25
深引活 化导动 提探 高究 3
( )
.
解: 1)
因为 (
即 所以100的平方根是 10， 100 10
教材分析 教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
知 识 技 能
教学目标
数 学 思 考
解 决 问 题
教材的重点与难点
情 感 态 度
通过学习平方根，培养学生理解概念并用定 义解题的能力.
教材分析 教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
教材目标
教材的重点与难点
提 理复 ① 高 ②杂 发 学 通的 展 习 过环 学 热 探境 生 情 究中 的 活明 求 动辨 同 ，是 存 增非 异 强， 思 学并 维 生做 ， 的出 使 合正 他 作确 们 意的 能 识处 在 .
49 ( 2) 121
(5) 0
（3）0.04 （6）11
习“ 根 使 作平 的 学 好方 概 生 铺根 念 及 垫性 ， 时 质为巩 ”下固 的一平 学步方
.
探索 & 交流
X2
1
16
36
0.49
4／ 25
X ±1 ±4 ±6 ±0.7
± 2／ 5
X2
1
16
36
0.49
4／25
X
性质：
±1 ±4 ±6 ±0.7 ±2／5
教学程序
《 平 方 根 》 说 课
创 设 情 境 复 旧 导 新
启 发 诱 导 探 索 新 知
引 导 探 究 深 化 提 高
归 纳 小 结 强 化 目 标
布 置 作 业 巩 固 新 知
活动(2) 启发诱导,探索新知 .
平 方
+1 1 -1
概念：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这 个数叫做a的平方根或二次方根
4
-2 +3
9
9
-3
识运 明运 的算 确用 区的 平类 别关 方比 和系 与的 联， 开方 系又 平法 了 方， 解 是让 新 互学 旧 为生 知 逆既
.
平方运算
这是什么运算？
开平方运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
平方与开平方互为逆运算.
练一练 口算下列各数的平方根 （1）64 (4) (-9)2
教材分析 教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
教学目标
教材的重点与难点
知 识 技 能
数 学 思 考
解 决 问 题
情 感 态 度
教材分析
教材的地位与作用
《 平 方 根 》 说 课
③ ② ① 掌 握 方学 与使 平 根会 开学 平 平生 方 方 方理 根 根 的解 性 的 关平 质 表 系方 示 根 法 的 和 概 求 念 非 ， 负 了 数 解 的 平 平 方 .
(4) x-1=9 深入探索平方根的概念与性 ∴x=10
质，培养学生的转化思想、 发散思维和合作精神.
∴x=±1.5 (3) x=49
本节课你有哪些收获？
1 2 3 4 平方根的概念（二次方根） 平方根的性质 开平方运算 正数a的平方根可以用符号“± 读作“正．负根号a”
a
”表示，
强调： 符号“± a＜0时无意义.
作业布置：
照顾学生间的差异，
分类布置作业，做
1.必做题 习题13.1 第3，8题 到前呼后应. 2.选做题 （1）2a-3和3a-22是m的两个平方根，试求m的值.
（2） 已知| 2004 a | a 2005 a, 求a 20042的值.
教材分析
《 平 方 根 》 说 课
教法学法 教学程序 教学评价
其中正的平方根又叫a的算术平方根. a的平方根表示为 ±
a
如：6的平方根表示成 6