北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学理

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理科) 答案2013.11

一、选择题

1、A

2、C

3、B

4、C

5、B

6、B

7、D

8、C

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.2

10..2

11. a b c >> 12..2π3,π6

13..2λ>

14. 4；6(31)n -

三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A = 和332

ABC S ∆=可得133sin6022bc = , ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分

又32,b c =

所以2,3b c ==. ------------------------------------5分

（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分

2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分 由正弦定理sin sin a b A B

=可得------------------------------------11分 72sin sin60B

= ，------------------------------------12分 所以21sin 7

B =

.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分

π2sin(4)3

x =+------------------------------------6分

()f x 最小正周期为πT 2

=

，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333

x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)123

x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分

所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112

f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221

f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41

t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表： t

(1,3)- 3 (3,11) '()f t

+ 0 - ()f t ↗ 极大值 ↘

-----------------------------------12分

所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分

解法2.由211()(11)1(11)(1),11122

f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111

g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表： t

(1,3)- 3 (3,11) '()g t

+ 0 - ()g t ↗ 极大值 ↘

------------------------------------11分

所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分

所以当3t =时，函数()f t 取得最大值

1(3)82

g =.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分

由①可得12a =. -------------------------------3分

（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分

所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分

（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，

易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123

n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分

19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x

=-+, 所以2242'()(0)x x f x x x

-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分

(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x

-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,

所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.

所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，

所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2

a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分

（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3

k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13

k k a a +≤++；