北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学理
北京市海淀区2014届高三上期中考试数学试题(文)(有答案)AKwMll
海淀区高三年级第一学期期中练习(答案)数学（文科） 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
BDCA B A AB二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. (,1][0,)-∞-+∞U 10.111. 312.2π3,π613. 314.3；6(31)n -（说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分14分）解：（I ）π()3cos 2cos(2)2f x x x =+- ---------------------------------------2分 3cos 2sin 2x x =+ -------------------------------------------------4分π2sin(2)3x =+ -------------------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为T π=， -------------------------------------------------8分（II ）因为ππ32x -≤≤，所以ππ4π2333x -≤+≤ --------------------------------------10分 所以3πsin(2)123x -≤+≤ ---------------------------------------12分 所以π32sin(2)23x -≤+≤，所以()f x 取值范围为[3,2]-.---------------14分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A =o 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc =o , ---------------------------2分 所以6bc =，--------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =o ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =可得72sin sin60B=o ，---------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 17.（本小题满分13分） 解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由313a a -=得21(1)3a q -=① ----------------------------------2分由123a a +=得1(1)3a q +=②----------------------------------4分两式作比可得11q -=，所以2q =， ----------------------------------5分把2q =代入②解得11a =，----------------------------------6分所以12n n a -=. ----------------------------------7分（II ）由（I ）可得21141n n n b a -=+=+ ----------------------------------8分易得数列1{4}n -是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得141(41)143n n n S n n -=+=-+-.------------------------------13分 （说明：未舍1q =-扣1分，若以下正确，给一半分；两个求和公式各2分，化简结果1分）18.（本小题满分13分） 解：（I ）由已知可得1x t +=，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分 因为点H 在点A 的左侧，所以2111t -<，即2323t -<<.由已知0t >，所以023t <<， -------------------------------------4分所以2211(1)12,AH t t =--=-所以APH ∆的面积为21()(12),0232f t t t t =-<<.---------------------------6分（II ）233'()6(2)(2)22f t t t t =-=-+- --------------------------7分由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =. --------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：(0,2) 2 (2,23)'()f t + 0 -()f t ↗ 极大值 ↘------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分19.（本小题满分14分）解：（I ）当1a =时，()ln f x x x =+，1'()1(0)f x x x =+>------------------------------1分(1)1f =，'(1)2f = -------------------------------3分所以切线方程为210x y --= --------------------------------5分（II ）'()(0)x af x x x +=> -----------------------------6分当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-8分当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：x (0,)a - a - (,)a -+∞'()f x - 0 +()f x ↘ 极小值 ↗分 （III ）由（II ）可知①当0a ≥时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间，且有11()1110a a f e e --=-<-=，(1)10f =>，---------------11分所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------12分②当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点，-------13分 综上所述，当e 0a -<<时，()f x 没有零点.-----------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）集合A 的所有元素为：4,5,6,2,3,1. ----------------------3分（说明：学生若写成{4,5,6,2,3,1}A =，不扣分，写不全的两个元素给1分）（II ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为k a ，如果k a 是3的倍数，则113k k a a +=；如果k a 是被3除余1，则由递推关系可得22k k a a +=+，所以2k a +是3的倍数，所以3213k k a a ++=；如果k a 被3除余2，则由递推关系可得11k k a a +=+，所以1k a +是3的倍数，所以2113k k a a ++=. 所以，该7项的等比数列的公比为13. 又因为*n a ∈N ，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p ，则p 是被3除余1或余2的正整数，则可推得63k a p =⨯ 因为67320143<<，所以63k a =或623k a =⨯.由递推关系式可知，在该数列的前1k -项中，满足小于2014的各项只有：1k a -=631,-或6231⨯-,2k a -=632,-或6232⨯-,所以首项a 的所有可能取值的集合为{663,23⨯,6631,231,-⨯-6632,232-⨯-}. -----------------------8分（III ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若1m a =,结论得证.若3m a =,则11m a +=；若2m a =,则123,1m m a a ++==,所以1A ∈. -----------------------------------------13分说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。
数学理卷·2014届北京市海淀区高三上学期期末考试(2014.01)扫描版
---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由题意可得点 A(−2,0), M (1, 3) , 2
------------------------------------------6 分
所以由题意可设直线 l : y = 1 x + n , n ≠ 1 .------------------------------------------7 分 2Leabharlann +1>0
，解得
a > −e2 ,-------------------9 分
所以此时 −e2 < a < 0 ；
-----------------------------------------------10 分
②当 a > 0 时， F(x), F '(x) 的情况如下表：
第 8 页 共 11 页
=
1 2
x1
+
n
−
3 2
+
1 2
x2
+n− 3 2
=1+
n −1
+
n −1
x1 − 1
x2 −1
x1 − 1 x2 − 1
= 1 + (n − 1)(x1 + x2 − 2) x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1
=1−
(n − 1)(n + 2) n2 + n − 2
=
0，
---------------------------------13 分
所以 sin A = 1 − cos2 A = 4 ,------------------------------------7 分 5
2014海淀高三理科数学期中14题
2014海淀高三理科数学期中14题
这道题难度还是比较大的。
涉及到绝对值函数，周期函数，等比数列等一系列的动系
没有办法画图，我简单的说一下吧
首先在[1,3)上面是个绝对值函数，开口向下的折线，这里f（3）=f （1）=0，根据周期性得到的
其实你就会发现f（3^N）都是零，当然N是需要取整数的，然后我们发现x=1和x=3是取最小值0，当x=2时取得最大值1
这个周期（3^N是周期）不规律的函数极大值就是2*3^N，最小值就是0
对已a=1，就可以算出来其实是x1=2，x2=4，x3=8
第一问就是14
然后第二问的话是比较难的，首先可以知道在[1,3]之间是没有根的，然后在[3,9]包括以后的区间内必有两根（画图吧，数形结合思想很重要，我给你算一下答案就好了具体想弄明白可以加扣口）
其实你会发现跟a是没有多大关系，就是一个首项为12，公比为3
的等比数列
答案就是6（3^n-1）
1。
2014年海淀区高三数学理科期中试题(答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9 （10）0 （11）0 （12）2 （13）2- （14）2；12三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ππππ11()sin sin()1222322f =-+=-=. ……………… 3分 （Ⅱ）π()sin sin()3f x x x =-+ππsin (sin cos cos sin )33x x x =-+ ……………… 5分11πsin (sin )sin sin()223x x x x x x =-+==-. ……………… 9分 函数sin y x =的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ， 由πππ2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， ……………… 11分 得π5π2π2π()66k x k k -+∈Z ≤≤.所以 ()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z . ……………… 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为 132,,a a a -成等差数列，所以 3122a a a =-. ……………… 2分 设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由112a =可得21112222q q ⨯=-， ……………… 4分即2210q q +-=.解得：12q =或1q =-（舍）. ……………… 5分 所以 1111()222n n n a -=⨯=. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12n n a n n -=-.所以 2311111232222n n S n =-+-+-++- ………………8分2311111232222n n =++++----- ………………9分11(1)(1)1(1)221122212n n n n n n -++=-=---. ……………… 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为 2D B ∠=∠，cos 3B =， 所以 21cos cos 22cos 13D B B ==-=-.……………… 3分因为 (0,π)D ∠∈，所以 sin 3D ==. ……………… 5分因为 1,3AD CD==，所以 △ACD 的面积11sin 13223S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯⨯= ……………… 7分（Ⅱ）在△ACD 中，2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.所以 AC =……………… 9分 因为 BC =sin sin AC ABB ACB=∠， ……………… 11分所以sin(2)sin 22sin cos 3AB AB AB B B B B ====π-. 所以 4AB =. ……………… 13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()2ln 1f x x x =-+.222(1)()2x f x x x x--'=-=，0x >. ……………… 2分令22(1)()0x f x x--'=<. 因为 0x >，所以 1x >. ……………… 3分 所以 函数()f x 的单调递减区间是(1,)+∞. ……………… 4分（Ⅱ）xa x x x a x f )(222)(2--=-=',0>x . 令'()0f x =，由0a >，解得1x =2x =. ……………… 5分 ①1≤，即01a <≤时，在区间[1,)+∞上'()0f x ≤，函数()f x 是减函数. 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； ……………… 7分 ②1>，即1a >时，x 在[1,)+∞上变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表1a所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为)ln 1f a a a a =-+.……………… 10分 综上所述：当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； 当1a >时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为ln 1f a a a =-+.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当01a <≤时，0)1()(=≤f x f 在区间),1[+∞上恒成立；……………… 11分当1a >时，由于)(x f 在区间],1[a 上是增函数，所以 0)1()(=>f a f ,即在区间),1[+∞上存在x =()0f x >.……………… 13分 综上所述，a 的最大值为1. ……………… 14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意知：1112a S +=，即1112a a +=. 解得：11a =. ……………… 2分（Ⅱ）证明：因为 (1)(1,2,3,)2n n n a S n +==， 所以 11(1)(1)2n n n a S ---+=（2n ≥）. ……………… 4分因为 1n n n a S S -=-（2n ≥）. ……………… 6分 所以 11(1)2n n n na n a a -+--=，即1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥.……………… 7分（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下： ……………… 8分又22(2)(1)2n n n a S ---+=（3n ≥），由（Ⅱ）可得：112n n n a S S ---=-12(1)1(2)2n n n a n a ---+--=（3n ≥）. ……………… 9分所以 1212(1)(2)2n n n n n na n a n a a a -----+--=，即12(2)2(2)(2)0n n n n a n a n a -----+-=. ……………… 11分 因为 3n ≥，所以 1220n n n a a a ---+=，即112n n n n a a a a ----=-（3n ≥）. 所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列. ……………… 13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=-++.所以 1(1)24f '-=-. 所以 L 的方程为11(1)1224y x -=-+，即112424y x =-+． ……………… 3分（Ⅱ）要证除切点1(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，2111516232424x x x <-+++恒成立. 因为 2516230x x ++>，所以 只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立即可．……………… 5分设321()5117 1 ().5g x x x x x =+++-≤则2()15227(1)(157)g x x x x x '=++=++. 令()0g x '=，解得11x =-，2715x =-. ……………… 6分 当x 在1(,]-∞-上变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下表71571(,)155-0+↗所以 1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立. ……………… 8分（Ⅲ）（ⅰ）当1211,,55x x <-<-且315x <-时，由（Ⅱ）可知：11211111()516232424f x x x x =-+++≤， 22222111()516232424f x x x x =-+++≤，33233111()516232424f x x x x =-+++≤. 三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x ++≤-+++. 因为 1233x x x ++=-，所以 1231()()()4f x f x f x ++≤，且当1231x x x ===-时取等号． ……………… 11分（ⅱ）当123,,x x x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥，则2221118511851516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，因为 2222285151516235()555x x x ++=++≥，2233385151516235()555x x x ++=++≥，所以 1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤． 综上所述，当1231x x x ===-时123()()()f x f x f x ++取到最大值14.……………… 14分。
2014北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试有答案
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学文
2
2
---------------------------2 分
所以 bc 6 ，--------------------------------------3
分
又 3b 2c,
所
以
. b 2,c 3
------------------------------------5 分
（Ⅱ）因为 b 2,c 3 , A 60 ,
① a1(q2 1) 3
----------------------------------2 分
由 a1 a2 3 得 a1(1 q) 3 ② ----------------------------------4
分
两 式 作 比 可 得 ， q 11 所 以 ， q 2
----------------------------------5 分
由 余 弦 定 理 可 得 a2 b2 c2 2bccos A
------------------------------------7 分
， a2 22 32 6 7
即
. a 7
------------------------------------9 分
由 正 弦 定 理 可 得 ， a b sin A sin B
函数 f (t) 与 f '(t) 在定义域上的情况如下：
(0, 2)
2
(2, 2 3)
f '(t)+0f (t)↗ 极大
↘
值
------------------------------------12 分 所 以 当 时 t 2 ， 函 数 取 f (t) 得 最 大 值 8. ------------------------------------13 分
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A.(1,1)-B.[0,1)C.(1,)+∞D.(,1)-∞-8.已知点(1,0)B ，P 是函数e xy =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论：①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2014-2015学年度高三第一学期期中试卷(理)-含答案
数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2014届高三下学期期中练习数学(理)试题
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.ABC俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.1图 图 2B C F18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2014届高三上期中考试数学试题(理)及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210..211. ab c 12..2π3,π613..214. 4；6(31)n 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解：（Ⅰ）由60A 和332ABCS 可得133sin6022bc , ---------------------------2分所以6bc，--------------------------------------3分又32,bc 所以2,3bc . ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ,60A ,由余弦定理2222cos a bc bc A 可得------------------------------------7分2222367a ，即7a . ------------------------------------9分由正弦定理sin sin ab AB 可得------------------------------------11分72sin sin60B，------------------------------------12分所以21sin 7B.------------------------------------13分16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x ------------------------------------2分3cos4sin4xx ------------------------------------4分π2sin(4)3x ------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x ，所以ππ4π4333x -----------------------------------10分所以3πsin(4)123x -----------------------------------12分所以π32sin(4)23x ，-----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[3,2]. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t -------------------------------------1分所以APH 的面积为1()(11)1,1112f t t t t . ---------------------4分（II ）解法 1. 111'()1(11)2221f t t t t 3(3)41t t -------------------------------------7分由'()0f t 得3t ，-------------------------------------8分函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()f t + 0()f t ↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法 2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t 设2()(11)(1),111g t t t t ，-------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t .-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()g t + 0()g t ↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t 时，函数()g t 取得最大值，-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值1(3)82g .------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ，3122a a -------------------------------2分由①可得12a . -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a ，------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n na . ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n nn b a ，易得1{4},{2}n n 分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n .--13分19.解：（I ）因为1a，2()42ln f x x x x , 所以2242'()(0)x x f x x x,------------------------------1分(1)3f ，'(1)0f ,------------------------------3分所以切线方程为3y. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x , ----------------------------5分由'()0f x 得12,1x a x , ------------------------------6分当01a 时，在(0,)x a 或(1,)x 时'()0f x ，在(,1)x a 时'()0f x , 所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)，单调减区间是(,1)a ；---------------7分当1a时，在(0,)x 时'()0f x ，所以()f x 的单调增区间是(0,)；-----8分当1a 时，在(0,1)x 或(,)x a 时'()0f x ，在(1,)x a 时'()0f x .所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a ，单调减区间是(1,)a . ---------------10分(III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a 且2(e)e 2(1)e 20f a a ,解得2e 2e 2e 2a . ---------------------14分20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a ,2312,(2)3k k k k a a a a ；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a ,21(1)3k k a a ,31(1)13k ka a ；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a ,3123k k a a ；所以3123k ka a ，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a ，则3k k a a ”. 因为*k a N ，所以31k k a a .所以数列{}n a 中必存在某一项3m a （否则会与上述结论矛盾！）若3m a ,则121,2m m a a ；若2m a ,则123,1m m a a ,若1m a ,则122,3m m a a , 由递推关系易得{1,2,3}A .---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. 由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a 时，总有3nn a a 成立，其中,1,2,n m m m . 下面考虑当12014a a 时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b 或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b ，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b 最小，需使2112nn n b b b ，所以，满足3nn b b 最小的数列{}n b 中，34b 或7，且33332k k b b ，所以33(1)13(1)kk b b ，所以数列3{1}k b 是首项为41或71的公比为3的等比数列，所以131(41)3k kb 或131(71)3k k b ，即331k k b 或3231k k b ，因为67320143，所以，当2014a 时，k 的最大值是6，所以118a b ，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。
北京市十四中高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C 正确；对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D 正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（） A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A． y=1﹣2sin2πx B． y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n= ﹣n ；n= 5 时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ= ．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简 f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位，即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b 的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。
2014-2015学年北京十四中高三(上)期中数学试卷(理科) (Word版含解析)
2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A．{x|0＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D．{x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A 正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C正确；对于A，命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（）A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y=1﹣2sin2πx B．y=sinπxcosπx C．y=tan x D．y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f （x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A．B．C．D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x=；tan（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n=﹣n；n=5时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω=3，φ=．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是6．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（k∈N）个单位，或向右平移（k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或2x=，即x=﹣或x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（k∈N）个单位，或向右平移（k∈N）个单位，即得函数g（x）=sin2x的图象，而g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f （x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。
北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京海淀区2014海淀高三上期中考试试题-数学理(word版).
北京海淀区2014海淀高三上期中考试试题数学（理）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( A ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C ) A.()f x = B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B. D.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ） A.2[,0)3- B.[1,0)-C.[2,3)D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2014届高三上学期期末考试数学(理)试题
北京市海淀区2014届高三上学期期末考试理科数学试题2014.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B. 1i --C. 1i -D. 1i -+ 2.设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是 A.11a b> B. 2ab b < C. 0a b +> D. 0a b -< 3.下列极坐标方程表示圆的是A. 1ρ=B. 2πθ=C. sin 1ρθ=D. (sin cos )1ρθθ+= 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为A. 3B. 5C. 10D. 16 5. 322x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 A. 12 B. 12- C.6 D. 6-6.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是 A.13- B. 3- C.1- D.7.已知椭圆C 22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为A.B. 233C. 94D. 154开始结束输入n 输出ni =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210..211. a b c >> 12..2π3,π613..2λ>14. 4；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分 由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B= ，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()f t+ 0 - ()f t ↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()g t+ 0 - ()g t ↗ 极大值 ↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x=-+, 所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ .下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-， 所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。