浅析高等代数中行列式的计算

-1 2 -1 0 0
0 -1 2 0 0
… … … … …
0 0 0 2 -1
0 0 0 -1 2
3.降阶法 （按行或列展开 ） x 0 例 2.求 D= 0 y 0 0 x 解： D= x （-1 ）
1+1
分析： 对于形如这样的三对角或次三对角行列式， 按其第一行 0 0 y x 0 y x n-1 + n
1+2 解： Dn=2Dn-1+ （-1 ） · （-1 ）
y x
0 … 0 y … … 0 0 y 0 0 … … x 0 0 x 0 0
（列 ） 或第 n 行 （列） 展开得到两项的递推关系式， 再利用变形递推 的技巧求解。 -1 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 0 0 … … … … … 0 0 0 2 -1 0 0 0 -1 2
2011 年 11 月 28 日
教学实践
浅析高等代数中行列式的计算
文/丁 摘 斐 要： 行列式是高等代数中的一个基本概念， 它是讨论线性方程组理论的有力工具， 在求逆矩阵 、 求矩阵的秩、 判断向量组的线 性相关性以及求矩阵的特征值、 判断二次型的正定与负定等方面都要用到。下面主要对行列式的计算进行探讨。 关键词： 高等代数； 行列式； 矩阵 会应用行列式的性质和按行 （列 ） 展开定理计算行列式是这部 难点。要熟练掌握行列式的计算方法和技巧， 除了能 分内容的重、 够利用行列式的性质化为三角行列式和按行 （列 ） 展开公式使行列 式降级这些常用的手法外， 还要根据行列式不同的特点采用特殊的 方法， 如递推法、 数学归纳法、 加边法 （升级法 ） ， 以及利用范德蒙行 列式的结论， 等等。 1.行列式的性质 D′=D； 性质 1： a11 a12 … … a1n … a11 a12 … ai2 … an2 … … … … … ann 例 3.计算 n 级行列式 Dn= bn an-1 bn-1 an ain ； a1n
1
O
-1
x
得函数 y=（ f x ） 的图象 （如图所示 ） ， 当 0<a≤3 时， y=a 与 y=（ f x ） 有且仅有两个交点， 故选 B 项。 解法 2： （定义法 ） 设 x<-1， 则-x>1， 那么 g （-x ） =ln （-x ） =g （x ） ； 则-x<-1， 那么 g （-x ） =ln ［ （-x ） ］ =lnx=g （x ） ； 再设 x>1， 最后设-1≤x≤1， 也有 g （-x ） =g （x ） 。 综上所述， g （x ） 是偶函数。 点评： 此类问题可同时考查指数与对数函数．判断分段函数的 点评： 本题考查了由指、 对数构成的分段函数与一次函数交点 问题， 利用数形结合法求解。 四、 跟踪练习 1. 设函数 （ f x） = log x-1 ， x≤0 ， 若（ f x） >1， 则 x 的取值范 ≤ x >0 2 -1，
n+1 n =xn+ （-1 ） y n-1+1 =x · xn-1-y · y · （-1 ） 1+2 y （-1 ）
0 0 y
y 0 0
… …
0 x 0 y x y x
0 y x n-1 0 0
x
y n-2
4.n 阶行列式的计算 a 1 b1 a 2 b2
性质 2： kai1 kai2 … kain =k ai1 … … an1 an2 … ann an1
2 -x 0 0
单调性和奇偶性应遵循 “分段判断， 合并作答” 的原则。 判断的方法 围是 A. （-1， 3 ） 有定义法、 图象法等。 二、 有关变量的求解问题 f x ） =≤ 例 2.已知 （ ≤ ≤ logx， x> 1 ≤ ≤ 2 ≤
≤ （ ） x+4a， x≤ 1 ≤ 3a-1 ≤ 2 ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
lnx， x>1
x
（1 ） 数 值， 再加以比较得出所求．求分段函数的最值常用的方法有： 形结合法； （2 ） 逐段分析法。 三、 有关应用性问题 例 3.函数 （ f x ） = 数 a 的取值范围是 A. ［0， 3］ B. （0， 3］ C. （-∞， 3 ） D. （0， +∞ ） 解析： 利用图象法求解， 画出 y=（ f x ） 的图象， 当 x≤1 时， 图象取函数 y=3x 的部分； 取函数 y=log 1 x 图象的部分。 当 x>1 时，
0 0
） （下转第 48 页 直接递推不易得到结果 （较低级时可以 ） ， 变形得
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2011 年 11 月 28 日
体验指、 对函数与分段函数交汇命题
文/王 旭 段函数是指自变量在不同的取值范围内， 其对应法则也不同 log x 1 ≤2， 此时 a= 5 ； a 2 11 的函数。 由于分段函数更能深刻地考查函数的各种性质， 且在现实 1 或者 （3a-1 ） × +4a≤2， 且 logax 1 =2， 此时不存在实数 a。 生活中具有广泛应用， 所以近几年的高考题中有许多是对分段函 2 2 对函数与分段函数联合试题作简单的分 数进行考查的， 现将指、 综上所述， 实数 a 的值为 a= 5 ． 析， 以供大家参考。 11 一、 有关图象与性质 点评： 求解分段函数的最值， 可通过先考查各分段范围内最 （x ） = e 例 1.已知 g
分析： 对于形如这样的所谓二条线的行列式， 可以先直接展开 降级， 然后再利用三角行列式的结果直接计算。 a 2 b2 解： Dn=a1 an-1
1+n +b（ ） n -1
b1 a 2 Biblioteka 2bn-1 anan-1 bn-1
1+n =a1a2…an+ （-1 ） b1b2…bn
2 -1 例 4.计算 n 级行列式 Dn= 0 0 0
推论： 行列式中某一行 （列 ） 全为零， 则这个行列式为零。 性质 3： 若行列式中两行 （两列 ） 相同， 则这个行列式为零； 性质 4： 若行列式中有两行 （两列 ） 对应成比例， 则这个行列式 为零； 将行列式一行 （列 ） 的某倍加至另一行 （列） ， 则这个行 性质 5： 列式不变； 互换行列式的两行 （两列 ） ， 行列式改变符号。 性质 6： 2.化为特殊类型的行列式 （上三角、 下三角、 范德蒙行列式 ） a ax 例 1.求 D= ax2 ax3 a 0 解： D= 0 0 -1 a+x 0 0 -1 a ax ax2 0 -1 a+x 0 0 -1 a ax 0 0 3 （a+x ） -1 =a a+x 0 0 -1 a
3
试判断函数 g （x ） 的奇偶性。 ，x ≤1，
ln （-x ） ， x<-1
解法 1： （数形结合法） 作出 g （x ） 的图象， 如图所示， 知关于 y 轴对称， 故为偶函数。
y e
3， x≤1， 若 y=（ f x ） 与 y=a 有两个交点， 则实 ≤ log x， x>1，
x 3
（
）
2 x
解析： 由题意得， 要函数 （ f x ） 存在最大值， 则在 x > 1 时， 函数 2 y=logax 是减函数， 即 0<a <1， 且在 x ≤ 1 时， y= （3a -1 ） x +4a 是增函 2 数 （否则原函数没有最大值 ） ， 即 a> 1 ∴ 1 <a<1。 3 3 使得函数 （ f x ） 的最大值为 2， 则需满足 （3a -1 ） × 1 +4a =2， 且 2
（
）
C.－9
D.－ 1 9
（作者单位
重庆市华蓥中学 ）
（上接第 47 页 ） Dn-Dn-1 =Dn-1-Dn-2 =Dn-2-Dn-3 =… =D2-D1 = 2 -1 -1 2 -2=1
5.总结 计算行列式的题型及方法很多，本文主要对以上四种方法进 行了分析和讲解， 在实际做题时应根据行列式各自的特点， 选择相 应的方法求解， 一个正确的方法往往会起到事半功倍的效果。 参考文献： 王萼芳， 石生明.高等代数.3 版 ［M］ .北京： 高等教育出版社， 2003.
（作者单位 学院 ）
南京师范大学泰州学院数学科学与应用
则 Dn=Dn-1+1=Dn-2+2=D1+ （n-1 ） =2+ （n-1 ） =n+1
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（ B.准 C. （-∞， -1 ） ∪ （-1， +∞ ） log x -1 ≤ x ≤0
2 0 0
）
D. （-∞， -1 ）
答案： D 解析： 由（ f x0 ） >1， 得 的最大值是 2， 求 a 的值。 >1 或 2 -1>1 ， 解得： x<-1， ≤ x >0
-x0 0
考查了分段函数的性质及分段函数中分类讨论的思想方法。 2.已知函数 （ f x ） = A.9 答案： B 解析： 由（ f 1） =log2 1 =-2， 则（ f -2 ） =3-2= 1 。 4 4 9 B. 1 9 log x （x>0 ） ， 则［ f （ f 1） ］ 的值是 ≤ 4 3（x≤0 ）