第三章集中量数
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（一）观察法 原始数据： 次数最多的数值 1、原始数据： 次数分布表： 2、次数分布表：次数最多一组的组中值
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
X甲 = X乙 =
∑ fXi
f
=
0×1+20×1+100×8 1+20×1+100× 10
= 82（分） 82（
∑ fXi
f
=
0×8+20×1+100×1 8+20×1+100× 10
= 12（分） 12（
总平均数
例3-3：某校初三期末物理考试后，经初步统计得知 一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩 为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的 平均物理成绩是多少？
分析过程 求累积次数。 ① 求累积次数。
mN ② 确定百分数位置 。 100 确定公式中各符号的内容。 ③ 确定公式中各符号的内容。
8585-89 8080-84 75-79 757070-74 6565-69 6060-64 5555-59 50-54 50-
∑
3 8 13 15 9 6 2 1 57
c
c
思考题二
某企业有一名总经理，两名经理，八名员工，总经理的工 资是12000元，经理的工资为4000元，员工的工资为1000元 。试问这个企业的平均工资为多少？
解:12000+4000×2+1000×10=30000（元） 30000÷（1+2+10）=2307.69（元/人） 答:该企业的平均工资为2307.69元
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
第三节
一、定义：
中位数
一组数据排序后处于中间位置上的数值。符号为 或 Mdn
Md
50%
Md
50%
二、 中位数的计算
(一）、原始数据 1、中数附近无重复数时
N +1 N为奇数时： 中数位置= 2 N N为偶数时： 中 位 = 数 置 2
1 Mdn = X 2
N 2
+XN +1 2
二、算术平均数的计算方法
（一）定义式
（二）加权式
∑X X=
N
i
∑ fX X= ∑f
i
Xi =观测值
f
=相应次数
加权式的变式
1）求总平均数
Xt
∑nX = ∑n
3）次数分布表-组中值
i
∑ fm X = ∑f
4）次数分布表-简捷式
n =群组人数
Xi =群组平均数
2）归一化均数
X = ∑Wi X i
∑f i X = A+ ∑f
分布的形状
偏 态 峰 度
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
集中趋势
集中趋势：一组数据向其中心值靠拢的 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 集中趋势 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 集中量数：一组数据一般水平的代表值或中心值 集中量数：一组数据一般水平的代表值或中心值
1. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 2. 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据， ，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据 3. 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势， 的类型来确定
85%时：Lb = 79.5
f =8
i=5
Fb = 46
5 85 × 57 P85 = 79.5 + − 46 = 79.5 + 1.5 = 81 8 100
第四节 众数
•定义：一组数据中出现次数最多的数值，用 定义：一组数据中出现次数最多的数值， 定义 表示。 符号 Mo 表示。 •众数的确定方法 众数的确定方法
(m − A)
∑ fd × i ×i = A+ ∑f
m− A 为简化值 d= i
A =假设平均数
i =组距
例3-1：10名学生的心理与教育统计成绩为68， 77，63，79，70，79，70，79，86，80。试 问这组数的平均数为多少？
加权式
例3-2 甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（ 20 100 甲组： 考试成绩（X ）: 0 人数分布（f）： 人数分布（ ）：1 1 8 ）： 乙组： 考试成绩（ 乙组： 考试成绩（X ）: 0 人数分布（ ）：8 人数分布（F ）： 20 1 100 1
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
30%时： 时
Lb = 64.5
Lb = 79.5
85%时： 时
f =9
Fb = 9
f =8 Fb = 46
30%时： Lb = 64.5
f =9 i=5
Fb = 9
5 30 × 57 P30 = 64.5 + − 9 = 64.5 + 4.5 = 69 9 100
解:1、排序：2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，17 、排序： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2、N=11，中位数的位置在第六个位置 、 ， 3、但第六个位置的数为9，但9有三个 、但第六个位置的数为 ， 有三个
第一个9 第一个
8.50
第二个9 第二个
9.166
第三个9 第三个
9.499
3 、中位数的数值：排在第 、4位上的数分别为 中位数的数值：排在第3、 位上的数分别为 位上的数分别为500与530 与 1 Mdn = X N + X N =(500+530) ÷2=515 +1 2 2 2
2、中数附近有重复数时:需考虑重复数的影响 例3-8:2，17 ，3，4，6，9，4，9，10，14， 9
该生统计的学期成绩为84.7分 答:该生统计的学期成绩为 该生统计的学期成绩为 分
次数分布表
表 3-1 成绩分布表
例3-5：某班物理 成绩分布如右表， 请问该班的平均物 理成绩为多少？
组别 8585-89 8080-84 7575-79 7070-74 6565-69 6060-64 5555-59 5050-54
8.833
4、中位数是在第一个9的中点， 、中位数是在第一个 的中点 的中点， 即（8.50+8.833) ÷2=8.666
课堂练习
随机抽取某市10个停车场的面积，测得其停车位分别为 、 随机抽取某市 个停车场的面积，测得其停车位分别为15、 个停车场的面积 18、14、25、33、33、33、90、100、100个。请问该市停 、 、 、 、 、 、 、 、 个 车场的停车面积分别为？ 车场的停车面积分别为？ 解:1、排序：14，15，18，25，33，33，33，90，100，100 、排序： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2、中位数的位置在第5个与第 个之间，即33，有3个 、中位数的位置在第 个与第 个之间， 个与第6个之间 ， 个
57 = 28.5 2
③找28.5所在组77-74组 ④ 确定公式中各符号的内容
Lb = 69.5 La = 74.5
f = 15
i = 5
Fb = 18来自百度文库
表 3-3 f 组别 85-89 3 80-84 8 75-79 13 70-74 15 65-69 9 60-64 6 55-59 2 50-54 1 ∑ 57
第二节 算术平均数
一 、 定义： 所有观测值（ 或变量值） 的总和, 除以观 定义 ： 所有观测值 （ 或变量值 ） 的总和 , 测值个数的商。简称平均数、均数或均值。 测值个数的商。简称平均数、均数或均值。 英文符号M Mean） 样本统计量符号为 X，英文符号M（Mean） 表示总体参数的希腊字符 µ 。
第三章 集中趋势的度量
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 数据的分布特征 算术平均数 中位数 众数 集中量数的选择与应用
数据分布的特征
集中趋势 (位置) 位置) 离中趋势 (分散程度) 分散程度) 偏态和峰度 （形状） 形状）
数据的特征和测量
数据的特征和测量
集中趋势
众 数 中位数 均 值
离散程度
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
第一个 33 第二个 33 第三个 33
32.50 32.833 33.166 33.499
3、中位数为32.833 、中位数为 -
二、次数分布表
i N Mdn = Lb + − Fb f 2
i N Mdn = La − − Fa f 2
中数计算表
① 求累积次数，由下往上 求累积次数， 累加或由上往下累加。 累加或由上往下累加。 N ② 中数位置： 中数位置： 2
i Pm = Lb + f mN − Fb 100
求例3-9次数分布表中30%和85%位置上的数， 3-9 30% 85% 计算步骤： mN ①确定百分位置 及百分位数所在的组。 及百分位数所在的组。 100 ② 确定有关数值
例3-9
表 3-4 中数计算表 Fl →u Fu →l f 组别
3 2 1 0 -1 -3 -4 — 9 16 13 0 -9 -6 -4 7
fd ∑ fd
∑ fd ∑f
13 77 15 72 9 6 2 1 67 62 57 52
5、代入公式
X = A+
65-69 60-64 55-59 50-54
-2 -12
7 = 72 + × 5 = 72.61 57
∑
57 —
∑
f
3 8 13 15 9 6 2 1 57
组中值法
1、计算组中值 m 2、计算fm 值 3 、计算 ∑ fm值
表3-2组中值法平均数计算表
X =
∑ fm ∑ f
4139 = = 72.61 57
f 组别 85-89 3 80-84 8 75-79 13 70-74 15 65-69 9 60-64 6 55-59 2 50-54 1 57 ∑
归一化均数
例3-4：某生的统计成绩，平时为90，期中为84分， 期末为83分，该学科平时、期中、期末分数之比为 2:3:5。试问该生统计的学期成绩是多少？ 解: X = ∑Wi X i
2 × 90 + 3 × 84 + 5 × 83 847 X = = = 84.7 2+3+5 10
或
X = 0.2 × 90 + 0.3 × 84 + 0.5 × 83 = 84.7
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
m 87 82 77 72 67 62 57 52 —
fm 261 656 1001 1080 603 372 114 52 4139
简捷式
1、选择 2、确定 3、计算 4、计算
表3-3简捷式平均数计算表
A
d
值
组别 85-89 80-84 75-79 70-74
×i
f 3 8
m 87 82
d fd
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
X甲 = X乙 =
∑ fXi
f
=
0×1+20×1+100×8 1+20×1+100× 10
= 82（分） 82（
∑ fXi
f
=
0×8+20×1+100×1 8+20×1+100× 10
= 12（分） 12（
总平均数
例3-3：某校初三期末物理考试后，经初步统计得知 一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩 为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的 平均物理成绩是多少？
分析过程 求累积次数。 ① 求累积次数。
mN ② 确定百分数位置 。 100 确定公式中各符号的内容。 ③ 确定公式中各符号的内容。
8585-89 8080-84 75-79 757070-74 6565-69 6060-64 5555-59 50-54 50-
∑
3 8 13 15 9 6 2 1 57
c
c
思考题二
某企业有一名总经理，两名经理，八名员工，总经理的工 资是12000元，经理的工资为4000元，员工的工资为1000元 。试问这个企业的平均工资为多少？
解:12000+4000×2+1000×10=30000（元） 30000÷（1+2+10）=2307.69（元/人） 答:该企业的平均工资为2307.69元
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
第三节
一、定义：
中位数
一组数据排序后处于中间位置上的数值。符号为 或 Mdn
Md
50%
Md
50%
二、 中位数的计算
(一）、原始数据 1、中数附近无重复数时
N +1 N为奇数时： 中数位置= 2 N N为偶数时： 中 位 = 数 置 2
1 Mdn = X 2
N 2
+XN +1 2
二、算术平均数的计算方法
（一）定义式
（二）加权式
∑X X=
N
i
∑ fX X= ∑f
i
Xi =观测值
f
=相应次数
加权式的变式
1）求总平均数
Xt
∑nX = ∑n
3）次数分布表-组中值
i
∑ fm X = ∑f
4）次数分布表-简捷式
n =群组人数
Xi =群组平均数
2）归一化均数
X = ∑Wi X i
∑f i X = A+ ∑f
分布的形状
偏 态 峰 度
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
集中趋势
集中趋势：一组数据向其中心值靠拢的 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 集中趋势 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 集中量数：一组数据一般水平的代表值或中心值 集中量数：一组数据一般水平的代表值或中心值
1. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 2. 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据， ，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据 3. 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势， 的类型来确定
85%时：Lb = 79.5
f =8
i=5
Fb = 46
5 85 × 57 P85 = 79.5 + − 46 = 79.5 + 1.5 = 81 8 100
第四节 众数
•定义：一组数据中出现次数最多的数值，用 定义：一组数据中出现次数最多的数值， 定义 表示。 符号 Mo 表示。 •众数的确定方法 众数的确定方法
(m − A)
∑ fd × i ×i = A+ ∑f
m− A 为简化值 d= i
A =假设平均数
i =组距
例3-1：10名学生的心理与教育统计成绩为68， 77，63，79，70，79，70，79，86，80。试 问这组数的平均数为多少？
加权式
例3-2 甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（ 20 100 甲组： 考试成绩（X ）: 0 人数分布（f）： 人数分布（ ）：1 1 8 ）： 乙组： 考试成绩（ 乙组： 考试成绩（X ）: 0 人数分布（ ）：8 人数分布（F ）： 20 1 100 1
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
30%时： 时
Lb = 64.5
Lb = 79.5
85%时： 时
f =9
Fb = 9
f =8 Fb = 46
30%时： Lb = 64.5
f =9 i=5
Fb = 9
5 30 × 57 P30 = 64.5 + − 9 = 64.5 + 4.5 = 69 9 100
解:1、排序：2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，17 、排序： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2、N=11，中位数的位置在第六个位置 、 ， 3、但第六个位置的数为9，但9有三个 、但第六个位置的数为 ， 有三个
第一个9 第一个
8.50
第二个9 第二个
9.166
第三个9 第三个
9.499
3 、中位数的数值：排在第 、4位上的数分别为 中位数的数值：排在第3、 位上的数分别为 位上的数分别为500与530 与 1 Mdn = X N + X N =(500+530) ÷2=515 +1 2 2 2
2、中数附近有重复数时:需考虑重复数的影响 例3-8:2，17 ，3，4，6，9，4，9，10，14， 9
该生统计的学期成绩为84.7分 答:该生统计的学期成绩为 该生统计的学期成绩为 分
次数分布表
表 3-1 成绩分布表
例3-5：某班物理 成绩分布如右表， 请问该班的平均物 理成绩为多少？
组别 8585-89 8080-84 7575-79 7070-74 6565-69 6060-64 5555-59 5050-54
8.833
4、中位数是在第一个9的中点， 、中位数是在第一个 的中点 的中点， 即（8.50+8.833) ÷2=8.666
课堂练习
随机抽取某市10个停车场的面积，测得其停车位分别为 、 随机抽取某市 个停车场的面积，测得其停车位分别为15、 个停车场的面积 18、14、25、33、33、33、90、100、100个。请问该市停 、 、 、 、 、 、 、 、 个 车场的停车面积分别为？ 车场的停车面积分别为？ 解:1、排序：14，15，18，25，33，33，33，90，100，100 、排序： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2、中位数的位置在第5个与第 个之间，即33，有3个 、中位数的位置在第 个与第 个之间， 个与第6个之间 ， 个
57 = 28.5 2
③找28.5所在组77-74组 ④ 确定公式中各符号的内容
Lb = 69.5 La = 74.5
f = 15
i = 5
Fb = 18来自百度文库
表 3-3 f 组别 85-89 3 80-84 8 75-79 13 70-74 15 65-69 9 60-64 6 55-59 2 50-54 1 ∑ 57
第二节 算术平均数
一 、 定义： 所有观测值（ 或变量值） 的总和, 除以观 定义 ： 所有观测值 （ 或变量值 ） 的总和 , 测值个数的商。简称平均数、均数或均值。 测值个数的商。简称平均数、均数或均值。 英文符号M Mean） 样本统计量符号为 X，英文符号M（Mean） 表示总体参数的希腊字符 µ 。
第三章 集中趋势的度量
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 数据的分布特征 算术平均数 中位数 众数 集中量数的选择与应用
数据分布的特征
集中趋势 (位置) 位置) 离中趋势 (分散程度) 分散程度) 偏态和峰度 （形状） 形状）
数据的特征和测量
数据的特征和测量
集中趋势
众 数 中位数 均 值
离散程度
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
第一个 33 第二个 33 第三个 33
32.50 32.833 33.166 33.499
3、中位数为32.833 、中位数为 -
二、次数分布表
i N Mdn = Lb + − Fb f 2
i N Mdn = La − − Fa f 2
中数计算表
① 求累积次数，由下往上 求累积次数， 累加或由上往下累加。 累加或由上往下累加。 N ② 中数位置： 中数位置： 2
i Pm = Lb + f mN − Fb 100
求例3-9次数分布表中30%和85%位置上的数， 3-9 30% 85% 计算步骤： mN ①确定百分位置 及百分位数所在的组。 及百分位数所在的组。 100 ② 确定有关数值
例3-9
表 3-4 中数计算表 Fl →u Fu →l f 组别
3 2 1 0 -1 -3 -4 — 9 16 13 0 -9 -6 -4 7
fd ∑ fd
∑ fd ∑f
13 77 15 72 9 6 2 1 67 62 57 52
5、代入公式
X = A+
65-69 60-64 55-59 50-54
-2 -12
7 = 72 + × 5 = 72.61 57
∑
57 —
∑
f
3 8 13 15 9 6 2 1 57
组中值法
1、计算组中值 m 2、计算fm 值 3 、计算 ∑ fm值
表3-2组中值法平均数计算表
X =
∑ fm ∑ f
4139 = = 72.61 57
f 组别 85-89 3 80-84 8 75-79 13 70-74 15 65-69 9 60-64 6 55-59 2 50-54 1 57 ∑
归一化均数
例3-4：某生的统计成绩，平时为90，期中为84分， 期末为83分，该学科平时、期中、期末分数之比为 2:3:5。试问该生统计的学期成绩是多少？ 解: X = ∑Wi X i
2 × 90 + 3 × 84 + 5 × 83 847 X = = = 84.7 2+3+5 10
或
X = 0.2 × 90 + 0.3 × 84 + 0.5 × 83 = 84.7
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
m 87 82 77 72 67 62 57 52 —
fm 261 656 1001 1080 603 372 114 52 4139
简捷式
1、选择 2、确定 3、计算 4、计算
表3-3简捷式平均数计算表
A
d
值
组别 85-89 80-84 75-79 70-74
×i
f 3 8
m 87 82
d fd