第七章 状态反馈和状态观测器

线性系统理论 第七章状态反馈和状态观测器
7.2 状态反馈
2.状态反馈和输出反馈的比较 1）反馈属性：状态x可完全地表征系统结构信息，因 此状态反馈为系统结构信息的完全反馈。输出反馈 则是系统结构信息的不完全反馈。 2）反馈功能：对各类性能指标时间域系统综合问题上， 几乎都要求采用状态反馈，表明状态反馈在功能上 要远优于输出反馈。改善输出反馈功能的途径：使 输出反馈达到状态反馈功能的一个途径是使用串、 并联补偿器输出反馈方案。 3）反馈实现：由系统输出的可量测属性决定，就反馈 的物理实现而言，输出反馈要优于状态反馈。解决 状态反馈物理实现的途径：附加状态观测器。
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7.2 状态反馈
问题的提出：
对于给定的开环系统如何提高其性能指标，如渐 近稳定性、系统响应、解偶、跟踪等问题需要重点关 注。 系统的特征值与系统的性能指标密切相关。 状态反馈或极点配置问题是研究对给定的开环系 统，如何构造状态反馈，使得经过反馈后的闭环系统 有上述希望的性能指标。
A1 b1k1 0
由上式可见，A4的特征值不受 k 的影响，即A+bk 中的一部分特征值不受k 的影响，这与可任意配置 A+bk的特征值相矛盾。 证完。
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7.2 状态反馈
由充分性证明得到求 k 阵的算法： 1) 计算A的特征多项式为：
n 1
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三、单输入系统的极点配置
开环： x Ax bu
引入状态反馈律：u r kx
7.2 状态反馈
闭环： x ( A bk ) x br
A R nn , b R n1 , k R1n
定理7-4：闭环系统的系统矩阵A+bk 的特征值可以由 状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置（复数共 轭成对），其充分必要条件是开环动态系统可控。
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7.2 状态反馈
必要性：若动态系统经状态反馈可任意配置闭环特 征值，要证明系统是可控。用反证法，若系统(A,b) 不可控，对其进行可控分解后有：
A1 A bk 0 A 2 b1 k1 A4 0 A 2 b1k 2 A4 k2
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7.2 状态反馈
r
u
B
x

A K
x
C
y
根据上图，引入状态反馈后的闭环系统的状态 空间表达式为：
(将 u = r + Kx 代入状态方程后得到） x Ax Bu ( A BK ) x Br y Cx
式中A+BK为闭环系统的系统矩阵。
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线性系统理论 第七章状态反馈和状态观测器 7.2 状态反馈 x y v u x
B B

C C
A A F K 输出反馈系统结构图
引入输出反馈后的闭环系统状态空间表达式为：
x Ax Bu ( A BFC) x Bv y Cx
(将u v Fy = v FCx代入状态方程整理后得到）
k2 k2 k2
kn ) a1 kn ) a 2 kn ) a n
7.2 状态反馈
n (k )
n (k1
得到包含n个未知量的n个线性方程，在系统可控的条件下， 由这个方程可唯一地确定出k。有时用这种直接方法比较方便。 例：书上p265例2,系统可控;期望的特征值为-1,-2,-1±j
0 0 x 0 0
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第七章 状态反馈和状态估计器
7.1 7.2 7.3 7.4 引言 状态反馈与输出反馈 状态观测器 状态反馈和状态观测器的连接
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7.1 引言
对一个系统（称其为对象）和一个期望的信号或 参考信号，其控制问题就是求出控制信号或驱动信号， 使得对象的输出尽可能地接近参考信号。 若控制信号是事先给定的，并不依赖于对象的实 际响应，则这种控制称为开环控制。当系统中存在扰 动或变化时，这种类型的控制是不能令人满意的。 若控制信号依赖于系统的实际响应，则这种控制 称为反馈控制或闭环控制。
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7.2 状态反馈
2. 状态反馈可能改变系统的能观测性。状态反馈
是否改变系统的能观测性，要进行具体分析。 例题: 系统的动态方程如下
1 1 0 x x u , y c1 c2 x 0 1 1 闭：x ( A bk )x br , y c1 c2 x
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7.2 状态反馈
证明 充分性：充分性的证明是构造性的。分 以下几步证明:
1) 因为开环动态系统可控,则存在可逆矩阵P，将系统 通过 x Px 的变换化为可控标准形： x Ax b u y cx
0 式中，A an c 1 0 an 1
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7.2 状态反馈
一、状态反馈对系统可控性、可观测性的影响
1.状态反馈不改变系统的可控性
系统的动态方程如下
x Ax Bu , y Cx
引入线性状态反馈控制律为
u r Kx
式中的 r 是参考输入，K称为状态反馈增益矩 阵，它是 p×n 的矩阵。图7-1为状态反馈系统框图， 它是一个闭环系统。
n n 1
1 a1
1

0 b 0 1
这里， det(s I A ) s n a1s n 1
an 1s an
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7.2 状态反馈
这时状态反馈律可写为 u r kx r kP 1 x r kx
1
0 0 0 1 0 1 x u 0 0 0 1 0 5 0 2 0
y 1 0 0 0 x
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7.2 状态反馈
有： (s ) (s 1)(s 2)(s 1 j )(s 1 j )
式中A+BFC为闭环系统的系统矩阵。
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7.2 状态反馈
原开环系统：x Ax Bu ,
y Cx y Cx
输出反馈系统：x ( A BFC) x Bv ,
定理：对连续线性时不变系统，输出反馈可保
持原系统的可控性和可观测性。即线性时不变 系统输出反馈系统为可控性(可观测性)，当且 仅当线性时不变系统为可控（可观测）。 证明：（略）
det(s I A ) s a1s
2) 由所给的n 个期望特征值 望的特征多项式为：
n

, ,
n 1
an 1s an
n
1
,
2
，计算期
(s 1 )(s
3) 求 k
2)
(s
n)
s a1s
n

an 1s an
k an an an 1 an 1
(s 1 )(s
2)
(s
n
n)
s a1s
n 1
n
n 1

an 1s an
n 2
det(s I A bk ) s 1 (k )s

2 (k )s


n (k )
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有：
1 (k ) 2 (k )

1 (k1 2 (k1
7.2 状态反馈
直接求k算法：上述步骤中有化可控标准形这一步。 如果不经过这步，也可直接求k: 1) 将k用[k1,k2,….,kn] 表示; 2) 计算det(sIAbk)。 这个s的多项式的系数包含 了待定的n个参数 ： det( sI A bk ) s n 1 (k ) s n 1 2 (k ) s n 2 n (k ) 3) 将这个特征式与期望特征式比较，令s 的同次幂 的系数相等:
a 2 a 2 a1 a1
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7.2 状态反馈
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵P;
h hA P hA 2 hA n 1
5) 求出反馈增益阵 k kP 。
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1 0 A bk an an 1 1
a 2 a 2 a1 a1 1 a 2 a1
上式的特征式为： s n a1s n 1 an 1s an 故知状态反馈方程具有期望的特征值。前面已 证明: A bk与 A bk有相同的特征值。这说明任 意给定闭环系统的n个极点，均可通过状态反馈设计， 使A+bk具有给定的n个特征值。
A bk 和 A bk 有相同的特征值。
2）设期望的多项式为 (s 1 )(s 2 ) (s n ) s n a1s n 1
其中 1、 2， ， n为期望的极点。
an 1s an
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7.2 状态反馈
若取 k an an an 1 an 1
二、输出反馈及其与状态反馈的比较
1.输出反馈 系统的动态方程如下 x Ax Bu , y Cx 引入输出反馈控制F到控制系统的输入端， v为系统 参考输入，此时系统的控制率为：
u Fy
这类形式的输出反馈为静态输出反馈。若系统反馈 回路中用补偿器取代矩阵F，则相应的反馈称为动 态输出反馈。下图为输出反馈系统框图，它是一个 闭环系统。
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7.1 引言
多数控制系统都采用基于反馈构成的闭环结构。 反馈系统的特点是对内部参数变动和外部环境影响具 有良好的抑制作用、可以调节系统的瞬态响应，还可 以使系统的灵敏度以及干扰造成的影响明显减少等。 反馈的基本类型包括“状态反馈”和“输出反馈”。 系统的状态含有系统的全部基本信息，因此，若 将控制信号设计成为状态与参考信号的函数，便可得 到相当好的控制效果。引入状态反馈后，可以大大提 高控制效果。 输出反馈是以系统输出作为反馈变量的一类反馈 形式。
原开环系统：x Ax Bu , y Cx 状态反馈系统：x ( A BK ) x Br , y Cx
7.2 状态反馈
定理：对于任何K，状态反馈不改变原系统的可控性。 0 In 证明： I ( A BK ) B I A B K I p rank I ( A BK ) B rank I A B 因此 即状态反馈不影响可控性,但可以用来控制动态方 程的特征值。 证完。 状态反馈不能改变不可控的模态，即开环的不可 控模态在闭环中得到保持。
c1 c2 k [1 1] [0 1] [1 2] [1 1] 任意
0 0 1 1 1
1 1 1 1 0
原系统 不可观 不可观 可观 可观 可观
闭环系统 可观 不可观 不可观 可观 可观
可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。
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7.2 状态反馈
s 4 5s 3 10s 2 10s 4
1 0 0 0 k k k 1 k 1 2 3 4 A bk 0 0 0 1 2k 1 2k 2 5 k 3 2k 4 比较两式得： 4 k 1＝ 3 10 k 2＝ 3 63 k 3＝ 8 25 k 4＝ 6
k kP 1
或
k kP
1 1 det[ s I ( A bk )] det[ s I ( PAP PbkP )] 由于
det{P[s I ( A bk )]P 1} det[s I ( A bk )]
故 A bk 的特征式即是 A bk的特征式，所以