天津理工大学高等数学I 期末复习题

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天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）

天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）第一篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学AI》模拟复习题（二）一、单项选择题1、设f'(x)=[ϕ(x)]3，其中ϕ(x)在(-∞,+∞)连续、可导，且ϕ'(x)>0 则必有（）A、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调增；B、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调减；C、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凹的；D、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凸的；2、函数f(x)=x3+2在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其在（0，1）内适合f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)的ξ=()1A、；3B、1；C、11；D、223.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有（）A.f(x)>g(x)；B.f(x)+g(a)>f(a)+g(x)；C.f(x)<g(x)；D.f(x)+g(b)>f(b)+g(x).4.若F'(x)=f(x)，则⎰dF(x)=()A、f(x)；B、F(x)；C、f(x)+C；D、F(x)+C5、设函数y=f(x)对任意x满足f''(x)+xf'(x)5=-1-x4，若f'(x0)=0,则以下结果正确的是（）A、f(x0)是f(x)的极大值；B、f(x0)是f(x)的极小值；C、(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点；D、x0不是f(x)的驻点。

⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰xf(a2-x2)dx=（）6、已知f(x)在R上连续，[]A、F(a2-x2)B、F(a2-x2)+C11C、F(a2-x2)+CD、-F(a2-x2)+C 22二、填空题复习题二1、设⎰f(x)dx=ex+sin2x+c，则f(x)=___________；2、曲线y=x-arctanx在区间__________上是凹的；-1x-1x3.若⎰f(x)edx=e+C，则f(x)4、若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=5、⎰f'(x)-f(x)2dx=___________；6、f(x)在(-∞,+∞)连续，⎰f(x)dx=F(x)+C，则⎰f(ax+h)dx=三、计算题1.求⎰cosxdx2、已知f(x)的一个原函数为excosx，求⎰xf'(x)dx.x(ex+1)-2(ex-1)3.lim 3x→0(arcsinx)4、求函数y=2x+8的单调区间和极值.x四、解下列各题1、⎰xarctanx+x22、已知f(x)的一个原函数为exsinx，求⎰xf''(x)dx五、证明题1、设f(x)在[ 1 , 2]上有二阶导数，且f(1)=f(2)=0，又F(x)=(x-1)2f(x)证明：至少存在一点ξ∈(1 , 2)，使F''(ξ)=0.2、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0求证：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0；第二篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学 AI》模拟复习题（四）一、选择题1、方程z=(x2+y2)表示的曲面方程是（）A、旋转锥面；2.直线B、双曲抛物面；C、旋转抛物面；D、椭圆柱面.x+3y+4z==与平面4x-2y-2z=3的关系是()-2-7312A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上；C、垂直相交；D、相交但不垂直.二、填空题1.设有点A（1，3，1），B（1，1，2）和C（2，3，5），则AB⋅AC=.2.若直线⎨⎧2x+3y-z+D=0与x轴有交点，则D=.2x-2y+2z-6=0⎩3、平面x+y=0是().A、与oz轴垂直的平面；B、与xoy平面平行的平面；C、通过oz轴的平面；D、不是前三种平面.三、计算题1.过点M(1,-2,3)作平面，使它与两平面π1:x+y-z-3=0和π2:2x+y+z-1=0都垂直.2、求过直线⎨⎧3x+2y-z-1=0且垂直于已知平面x+2y+3z-5=0的平面方程.⎩2x-3y+2z+2=0复习题四第三篇：高等数学极限复习题高等数学复习资料二川汽院专升本极限复习题一极限计算二两个重要极限三用无穷小量和等价第四篇：天津理工大学文件天津理工大学文件津理工人事…2005‟26号关于印发《天津理工大学福利费管理办法》的通知各学院、机关各处室、各直属单位：《天津理工大学福利费管理办法》已经2005年12月8 日第23 次校长办公会审议通过，现印发执行。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

12高数A期末一真题与答案

淮海工学院11 - 12 学年第 2 学期高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ）（A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ）（A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ）（A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。

高等数学A1期末考试试卷.

天津理工大学考试试卷2009～2010学年度第一学期《高等数学 AI》期末考试试卷课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009年 12月 1日答题时限： 120 分钟考试形式：闭卷、笔试得分统计表：大题号总分一二三四五核查人签名阅卷教师一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分1、设在的某邻域内有定义，且，则在（）A、有极大值；B、有极小值；C、无极值；D、不能判定是否取得极值.2、设，则在内，是(A、有界函数；B、单调函数；C、周期函数；D、偶函数.3、由两条曲线和所围成的图形的面积为（）A、 B、 C、 D、4、设函数在上连续可导，且，则当时（）A. ；B. ；C. ；D. .5、设，则在区间内适合(A、只有一个；B、不存在；C、有三个；D、有两个.6、设空间曲面与yoz面相截，截线的方程为(A、；B、；C、；D、.7、下列反常积分收敛的是（）A、；B、；C、；D、；8. 若，则为(A、；B、；C、；D、.9、若则（）A、；B、；C、；D、.10、直线与平面的关系是(A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上；C、垂直相交；D、相交但不垂直.二、填空题（每空3分，共30分）得分1、，且，则；2、；3、设连续，且=；4、；5、由定积分的几何意义知；6、由曲线及直线所围成图形的面积是；7、设，则；8、设有点A（2 ，3，1），B（1，，2）和C（1，4，2），且，则= ；9、若在内连续，则;10、函数的极小值是.三、计算题（每小题7分，共28分）1、已知函数由方程确定，求.2、已知，求.3、求由曲线及所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积.4、求.四、解下列各题（每小题8分，共16分）得分1、已知的一个原函数为，求.2、求过点,且与直线垂直的平面方程.五、证明题（本题6分）得分设在上连续，在内可导，且，，证明，使.。

高数理工复习试题及答案

A 卷一、选择题1. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列结论正确的是( ).A. 11()n n n u u +∞+=+∑一定收敛. B.1lim1n n nu u ρ+→∞=<. C. 1n ρ<. D. n +∞=. 2.设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（） A. 0(,)f x y 在0y y =处导数大于零. B. 0(,)f x y 在0y y =处导数等于零. C. 0(,)f x y 在0y y =处导数小于零.. D.0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 3.设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<<⎩，则以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于( ).A.21π+ B.1-. C.22π. D.2π. 4.设D 为由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成，则D2d σ=⎰⎰( ). A. 2. B. 3. C. 4. D.1.5.若函数(,)x f x y ，(,)y f x y 连续是(,)f x y 可微的（）.A.必要条件B.充要条件C.既不是充分又不是必要条件D.充分条件二、填空题1.微分方程26(1)x y y y x e -'''--=+的特解形式为 .(不求特解)2.二重积分222316(cos 1)x y x y yx d σ+≤++=⎰⎰.3.若级数1(1)nn n a x +∞=-∑在5x =-处收敛，则级数1(1)n n n a x +∞=-∑在6x =处 .（绝对收敛，条件收敛，发散）4.函数22u x yz =-在点(1,2,2)-处的梯度(1,2,2)gradu - .5. 2y x =在空间几何中表示图形. 三、计算题1.求曲线x t =，2,y t =-3z t =与平面24x y z ++=平行的切线方程。

高数练习题答案(天津理工大学)

同步训练1-1题解（基本题）一、填空题1、],0[],4(ππ⋃--；2、21x +.二、选择题 1、C ；2、A.三、计算题1、1||110[()]0||1001||110x x x e x f g x e x e x ⎧<-∞<<⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->-<<+∞⎩⎩， ()1||1[()]1||1||1f x e x g f x e x e x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩. 2、111()()111x x x x x x a a a f x x x x f x a a a ------=-=-==+++，()f x ∴在(,)-∞+∞是偶函数.同步训练1-2题解（基本题）一、填空题1、略；2、n 从[]125aε+开始；二、选择题1、A,B ；2、B.三、1、0ε∀>，绝对值不等式226|1|5n n n ε++-<+，22226122|1|55n n n n n n n n +++-=<=++，只须22,n n εε<>，取正整数2[]N ε=，则当n N >时，226|1|5n n n ε++-<+，证毕.2、n x Q 有界，∴存在0M >，对一切n ，||n x M <，又lim 0,0n n y ε→∞=∀>，对Mε存在正整数N ，当n N >时恒成立，|||0|n n y y M ε=-<，||||||n n n n x y x y M Mεε∴⋅=⋅<⋅=，证毕.同步训练1-3题解（基本题）一、填空题1、略；2、充分必要；3、1,1-,不存在.二、选择题 1、A ； 2、B,A,D ； 3、C.三、1、0ε∀>为使11|sin 0|,|sin |||x x x x x ε-<<，只须|0|||x x ε-=<，取δε=，则当0|0|x δ<-<时，恒成立1|sin 0|x x ε-<，01lim sin 0x x x→∴=.2、0ε∀>，为使|ε<，|=<<Q ，∴ε<，21x ε>，取21X ε=，则当x X >恒成立|ε<，0x →+∞∴=.3. 0ε∀>，为使24|(4)|2x x ε---<+，24|4||24||2|2x x x x -+=-+=++Q ，只须|(2)||2|x x ε--=+<，取δε=，则当0|(2)|x δ<--<时恒成立24|(4)|2x x ε---<+，224lim 42x x x →--∴=-+.同步训练1-4题解（基本题）一、填空题1、0；2、无穷小乘有界变量是无穷小；3、略；4、,0x k k z π→≠∈；5、A.二、选择题1、A ；2、D.同步训练1-5题解（基本题）1、原式＝32232(3)27lim 34(2)x x x→∞+=+； 2、原式＝11()22112n-=-； 3、原式＝1lim(1)11n n →∞-=+； 4、原式＝1x →=；5、原式＝1lim2x =； 6、由题设知21lim 0x x ax b →++=，即10,1a b b a ++==--，代入原式2111lim lim(1)251x x x ax ax a a x →→+--=++=+=-，3,4a b ∴==-.同步训练1-6题解（基本题）一、填空题1、13；2、12-；3、3；4、1-.二、选择题1、D ；2、A.三、1、原式＝221332122lim{[1]}21x xx x e x +-⋅--+→∞-+=+；2、原式30sin (1cos )1limcos 2x x x x x →-==；3、原式＝13tan cot 3tan 0lim[(13tan )]x xx x x ⋅→+3e =；4、33,3n <∴=；5、222222111()121n n n n n n n n n n <+++<+++++L ； 2222lim lim 11n n n n n n n →∞→∞==++Q ，∴原式＝1；6、原式＝1sin lim11x x x =.同步训练1-7题解（基本题）一、选择题1、B ；2、D.二、1、原式＝000lim lim 1n n m m x x n mx x n m x n m -→→>⎧⎪===⎨⎪∞>⎩；2、原式＝330lim 1x x x →=；3、原式＝220sin lim 1x xx →-=-.同步训练1-8, 1-9题解（基本题）一、填空题1、(,0)(0,)-∞+∞U ；2、9；3、(,2)(2,3)(3),2x -∞--+∞=-U U .二、选择题 1、A ；2、B.三、22||11()lim0||11||1nnn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===⎨+⎪->⎩，()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U 连续， 1x =±为跳跃间断点.四、1、原式＝2x →=；2、原式＝2sincos 22limcos 22x ax a x aa x a →-+⋅=-； 3、lim lim1x x →+∞==；4、原式631336223lim[(1)]6x x x x e x +---⋅-+→∞=-=+.同步训练1-10题解（基本题）一、1、原式2ln 300022()1ln 1233lim3lim limln 3x x x x x x x e x x x →→→--====. 2、原式3sin (1cos )cos x x x x x→-==2001sin 1cos limlim cos x x x x x x x →→-=⋅=二、设()21x f x x =-在[0,1]连续，(0)10,(1)2110f f =-<=-=>，由函数取零值定理，至少存在(0,1)ξ∈，使()0f ξ'=，即210ξξ-=，即至少有(0,1)ξ∈，使x ξ=是方程21x x =的根.三、设()()F x f x x =-在[,]a b 连续，()()0,()()0F a f a a F b f b b =-<=->，由函数取零值定理在(,)a b 内至少存在ξ，使()0F ξ=，即()f ξξ=.四、()f x Q 在0(,)x a b ⊂连续，0()0f x A =>，00lim ()()x xf x f x A →∴==，对102A ε=>存在0δ>，使当0||x x δ-<时，即存在0x 的邻域0(,)(,)x a b δ⊂U 内，使11|()|,()222A f x A A A A f x A -<-<<+，即有1()2f x A >. 同步训练第一章检测题题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、15；3、2611x x ++；4、e.二、选择题1、C ；2、C ；3、B ；4、B. 三、1、原式111lim(1)2212n n →∞=-=+.2<L1n n ==，∴原式＝1.3、原式2cos (cos 1)2limlimcot ln cos sin 0lim 1x x x x x x x x xx e e e →→--→====.四、间断点0,1x x ==，1(00)0,(00),0f f e x --=+=∴=Q 是跳跃间断点，(10)0,(10),1f f x -=+=+∞∴=Q 是无穷间断点.五、lim ()1,0,1x f x a b →∞=∴==Q ，又221lim 02x x cx dx x →++=+-， 21lim0,1,1x x cx d c d d c →∴++=∴+=-=--， 2111(1)(1)(1)lim 0lim 0(2)(1)(2)(1)x x x cx c x x c x x x x x →→+--+-+-⇒=⇒=+-+-，即0(1)(1)1lim(2)0,2,1(2)(1)3x x x c c c d x x →-++=+==-=+-，即当0,1,2,1a b c d ===-=时，lim ()1x f x →∞=，即1lim ()0x f x →=.六、任取x 及[,]x x a b +∆∈，由题设00|()()|||0x f x x f x L x ∆→≤+∆-≤∆−−−→，lim ()()x f x x f x ∆→∴+∆=，即()f x 在[,]x a b ∈连续，由x 的任意性知()f x 在[,]a b 内连续，又()()0f a f b ⋅<，()f a ∴与()f b 异号，由函数取零值定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.同步训练2-1题解（基本题）一、填空题1、04()f x '；2、必要，充分；3、!,(1)!n n --.二、选择题1、C ；2、B.三、1、为使()f x 在1x =连续，由(10)(10)(1)1f f f a b -=+=⇒+=，为使()f x 在1x =可导，由(1)(1)f f -+''=，计算211()(1)1(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→--'===--，111()(1)1(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b ax af a x x x ++++→→→-+--'====---， 2,1a b ∴==-，即21()211x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩在1x =连续可导.2、11||x e x e y x e =='==，切线方程1()1y x e e =-+，即xy e=. 3、22()()()()()lim lim lim()()2()x a x a x a f x f a x a g x f a x a g x ag a x a x a→→→--'===+=--.同步训练2-2题解（基本题）1、12arcsin 222xx y '==. 2、12ln y x x '=⋅=3、1ln ln ln y x x x'=.4、22222111111tan cos33sin3tan (cos33sin3)22x x xy e x e x e x x x x x x '=++⋅-=+-.5. arcsin 2xy '=+arcsin 2x =arcsin 2x =.6、222(cos )(cos )2cos sin (cos )sin 2df x f x x xg x x dx'=-⋅=⋅. 7、2222(sin )sin 2(cos )(sin 2)sin 2[(sin )(cos )]dyf x x f x x x f x f x dx''''=⋅+-=-.同步训练2-3题解（基本题）一、1、y '=23/2(1)x y x -''==+.2、22()1,{()()[()]}()[()]f x y y f x f x f x f x f x '''''''==-. 3、()()n x y n x e =+ 4、设2sin ,u x v x ==，(100)(100)1(99)2(98)100100y u v c u v c u v '''=⋅++2100991009998sin()1002sin()2sin()2222x x x x x πππ⋅=++⋅+++ 23sin 200sin()9900sin()2x x x x x ππ=+⋅++⋅+2sin 200cos 9900sin x x x x x =--.同步训练2-4题解（基本题）一、填空题1、12；2、33(1),24(1)t t +-.二、选择题1、D ；2、C.三、1、2223320,3(1)ay y y a y y '''-+==-,2222323222483(1)33(1)9(1)a y y a ay a yy y y y '⋅''===---.2、当0x =时y e =, 2110y xy y x e y''+++=+，将0,x y e ==代入2110e y e e '++=得21(0)()y e e'=-+.3、122ln 1(ln 1)()x x x y x x x x x '=++-+. 4、22cos sin cos 1,csc sin sin dy t t t t d y t t dx t dx t--====---.5、1ln [ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)]3y x x x x =+++-+--11111[]31234y y x x x x'=+-++++-111]234y x x x '--++-.同步训练2-5题解（基本题）一、填空题1、c ；2、cos sin ln x x x x -. 二、选择题1、A ；2、A.三、1、[2[(2)](2)3[(3)](3)]dy f x x f x f x dx ϕϕϕ''''=+；2、[(1ln )cos sin ]x x dy x x x x x dx =+-；3、sin (1)sin()()0,sin x y x yx y e y xyey xy y xy dy dx e x xy++++''+++==-+.同步训练第二章检测题题解（基本题）一、填空题1、sin cos x x -；2、2(())[()()][()][2()()]f x x x x x f x x x x x ϕϕϕϕϕϕ'''''''+++；3、2cos sin x x x-+；4、1x =.二、选择题1、B ；2、C ；3、B ；4、C.三、1、sin cos tan cos |cos |x x x x xe x y e e e ex -'=⋅=-. 2、ln ln ,ln ln x yx y y x y y y x y x''=+=+,(ln )ln x y x y y y x '-=-，ln (ln )(ln )ln yyy y x y x y x x x y x x y--'==--. 3、2()2()()()(),()0f x x a x x a x f a ϕϕ'''=---=,2()()2()()()()()limlim 2'()x ax a f x f a x a x x a x f a a x a x aϕϕϕ→→'''----''===--. 4、21ln [ln 3ln(1)3ln(1)]2y x x x =+--+236]11xy x x '=--+. 四、22()0x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩，当0x <时，()2f x x '=-，当0x >时，()2f x x '=，当0x =时，200()(0)(0)lim lim 00x x f x f x f x x---→→--'===-，20(0)lim 0x x f x ++→'==，(0)(0)0f f -+''==，(0)0f '∴=，总之20()20x x f x x x ≥⎧'=⎨-<⎩. 五、1°(0,1]α∈时，当x a →时，()x a α-是无穷小1|sin |1x a≤-， 1lim ()lim()sin0()x ax af x x a f a x aα→→∴=-==-， ()f x ∴在x a =连续，但1()()1()lim lim()sinx ax a f x f a f a x a x a x αα-→→-'==---不存在. ()f x ∴在x a =不可导.2°(1,2]α∈，显然()f x 在x a =连续，又()()()limx af x f a f a x a →-'=-11lim()sin 0x a x a x aα-→=-=-， ()f x ∴在x a =可导，且()0f a '=，此时1211()()sin()cos (0)f x x a x a x x a x aααα--'=---≠--，当12α<≤时，lim ()x af x →'不存在，()f x '∴在x a =不连续.3°当[2,)α∈+∞时，lim ()0()x af x f a →''==，()f x '∴在x a =连续.六、()f x Q 以T 为周期，()()f x T f x ∴+=，00()()()()()limlim ()x x f x T x f x T f x x f x f x T f x x x∆→∆→++∆-++∆-''+===∆∆，()f x '∴是以T 为周期的周期函数.同步训练3-1题解（基本题）一、填空题1、2π； 2、3. 二、选择题 1、D ；2、C.三、1、设231120()23n n a a a F x a x x x x n-=++++L ， ()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0F F ==， ∴至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，即2101210n n a a x a x a x --++++=L 在(0,1)内至少有一根.2、()f x Q 在(,)a b 二阶可导，()f x ∴在1223[,],[,]x x x x 连续，在1223(,),(,)x x x x 内可导， 123()()()0f x f x f x ===，由罗尔定理在12(,)x x 及23(,)x x 内分别至少存在12,ξξ，使12()()0f f ξξ''==，由题设()f x '在12[,]ξξ连续，在12(,)ξξ可导，12()()f f ξξ''=， ∴至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，使()0f ξ''=.3、设()ln f x x =，它在[,]b a 连续在(,)b a 可导，由拉格朗日定理至少存在(,)b a ξ∈，使1ln ln (),ln ln 3a b a ba b a b b a a b a bξ---=-<<⇒<-<. 4、分析：欲证()()0f kf ξξξ'+=，即1()()0k k f k f ξξξξ-'+=，即[()]|0k x x f x ξ='=，从而可引入辅助函数()()k F x x f x =，证：设()()k F x x f x =在[,]a b 连续在(,)a b 可导，()()0,()()0k k F a a f a F b b f b ====，由罗尔定理至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即1()()0()()0k k f k f f kf ξξξξξξξ-''+=⇒+=.同步训练3-2题解（基本题）一、填空题1、1；2、0. 二、选择题1、B ；2、C.三、1、原式20011lim lim 366x x x x x xe e xe x x →→+-===；2、原式22cos3cos 3sin3sin limlimtan 22tan 2sec 22x x x x x xxx x ππ→→--+==⋅⋅ 213sin3sin 19cos3cos lim lim4tan242sec 2x x x x x x x xππ→→-+-+==191142-==；3、原式00ln 1limlimln(1)x xxx x xe exe e e e →→--===；4、原式33330000tan sin tan sin sin (1cos )12limlim lim lim tan sin cos 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→⋅---=====. 四、原式00()11()(0)1limlim (0)1222x x f x f x f f x x →→'''--''====. 同步训练3-3题解（基本题）一、填空题1、234561(01)2!3!4!5!6!x xx x x x e e x xθθ=++++++<<；2、341sin 1sin (01)3!4!x x xx θθ=-+<<.二、原式2232330[10()1]2[0()]2!2!3!lim x x x x x x x x x x→++++-+++= 3323233010()20()2!3lim x x x x x x x x x x x→+++++----= 33300()16lim 6x x x x →+== 三、()(),()(1),,()()x x n x f x xe f x x e f x x n e '==+=+L ,(0)0,(0)1,f f '==()(0)2,,(0)n f f n ''==L .()(1)21(0)(0)()()(0)(0)2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''∴=++++++L2311(1)2!(1)!(1)!n x n x x n x x x e x n n θθ+++=+++++-+L(01)θ<<.同步训练3-4题解（基本题）一、填空题1、(0,)(,0)+∞↑-∞↓；2、1230,1,1x x x ==-=. 二、选择题1、A ；2、C ；3、B.三、()(2)(1)x f x e x x -'=-+-，令()0f x '=得驻点2,1x x =-=，列表(,2)-∞-， 2-， (2,1)-， 1， (1)+∞()f x ' - 0 + 0 - ()f x ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓(2)f - (1)f 极小值22(2)(461)0f e e +-=-++=，极大值1212(1)(131)5f e e e e --=+++=+四、设2()sin 12xx f x e x -=+--，()cos x f x e x x -'=-+-，()(1sin )0,(0,)x f x e x x π-''=-+<∈，()f x '∴单调减少，又(0)0f '=， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f ''<=， ∴当0x π<<时，()f x 单调减少，又(0)0f =， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f <=，即2sin 12xx e x -+<+.五、由322(),()32f x x ax bx f x x ax b '=++=++(1)123(1)32023f a b a b f a b a b =++=-+=-⎧⎧⇒⇒⎨⎨'=++=+=-⎩⎩0,3a b ⇒==-同步训练3-5题解（基本题）一、填空题1、52055(,),[,),(,)32733+∞-∞；2、13()28f =.二、选择题 1、C ； 2、B.三、1、322,32,62y ax bx y ax bx y ax b '''=+=+=+，(1,3)Q 是曲线32y ax bx =+的拐点，3,620a b a b ∴=++=，39,22a b ⇒=-=.2、设底面三角形边长为x ，柱体高为h ，则2V h =，于是h =，表面积22(0)S x x =+=>，由34)0dS x V dx =-=得唯一驻点x =，又2234)0d S Vdx x+>，故当x =时表面积最小. 3、横断面面积2122S r rh π=+，得24S h r r π=-，断面周长()22()024S f r r r r r r ππ=++-<≤，2()22Sf r r π'=+-，令()0f r '=得唯一驻点24Sr π=+，且32()0Sf r r ''=>，∴当24Sr π=+时()f r 最小，此时24Sh π=+，故当r h =时，建沟所用材料最省.同步训练3-6题解（基本题）一、1、14,4；2、0；3、水平，2y π=-.二、经讨论：0y =是水平渐近线.同步训练第三章检测题（基本题）一、填空题1、(1,)+∞；2、1；3、(,)-∞+∞；4、()af a '.二、选择题1、D ；2、C ；3、D ；4、D.三、1、原式500lim 0t t t e →+∞==（令21t x=）；2、原式232000cos sin cos sin cos sin cos 1limlim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-====； 3、原式22ln[1(1cos3)]1cos33sin 39limlimlimln(1)22x x x x x xx xx e eee →→→+--+====；4、原式112(ln 2ln(1))11lim2lim()11x x x x x x x x eee →→-+--+===.四、2ln ,2ln ,2ln 21y x x y x x x y x '''==+=++, 令2ln 30y x ''=+=得323ln ,2x x e -=-=，当32,0x e y -''>>，凹区间32(,)e -+∞，当320,0x e y -''<<<凸区间32(0,)e -，拐点是3323(,)2e e ---五、设()(1)()x F x e f x =-在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)(1)(1)0F F e f ==-=，o x1 2 -1由罗尔定理，至少存在一点(0,1)ξ∈使()0F ξ'=，即()(1)()0f e f ξξξ-'+-=.同步训练4-1题解（基本题）一、填空题 1、22sin con x x x x +； 2、2()f x x x c =-+； 3、2323x c +.二、选择题 1、B ； 2、D ； 3、D.三、计算题1、C x e x dx x e x xdx x e x x x x x ++--=+-=+----⎰⎰||ln 32)()(23125323； 2、222222222121111()arctan (1)(1)1x x x dx dx dx x C x x x x x x x+++==+=-+++++⎰⎰⎰； 3、C e dx e dx e x x x x x ++==⎰⎰313ln 1)3(3； 4、C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰sin )cos 1(2sin 22；5、C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22. 同步训练4-2题解（基本题）一、填空题 1、arcsin ()f x c +； 2、arctan ()f x c +. 二、选择题1、D ；2、D.三、计算下列各题1、原式＝2C =-⎰； 2、原式＝444313(1)ln |1|414d x x C x --=--+-⎰； 3、原式＝11112()ln ||32131x dx C x x x --=+-++⎰；4、原式＝1313()arcsin 33C x x-=-+； 5、C ==；6、⎰⎰⎰--=-=x d x x xdx x x xdx x cos )cos (cos sin cos )cos 1(cos sin 755253C x x ++-=8cos 6cos 86；7、C x tg tgx dtgx x tg xdtgx xdx ++=+==⎰⎰⎰322431)1(sec sec .四、计算下列各题1. 2(0)a > 解：令sin ()22x a t t ππ=-<<，原式＝222sin cos (1cos 2)cos 2a ta t a dt t dt a t =-⎰⎰22(sin cos )arcsin 22a a x t t t c c a =-+=. 2、222cos sin sin sec sin sin dt tdt d tt t t t===⎰⎰⎰ C xx C t ++-=+-=21sin 1.3、21sec tan 1cos 9sec tan 9t t dt tdt t t ==⎰⎰1sin 9t C C =+=. 同步训练4-3题解（基本题）一、选择题 1、C2、B二、填空题1．⎰+-'=''c x f x f x dx x f x )()()( 2.c x x x f +-=)1(ln 2)( 三、计算题1、()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C -------=-=-+=--+=-++⎰⎰⎰；2、⎰⎰---=-)11ln()11ln()11ln(xd x xx dx xC x xx x dx xx +---=---=⎰|1|ln )11ln(1)11ln(；3、C x x dx xx x x d x x x x xd dx xx +-=-=-==⎰⎰⎰⎰)2(ln 2)1ln (2)ln ln (2ln 2ln ；4、令udu dx u x u x 2,,2===,⎰⎰⎰⎰-===)sin sin (2sin 2cos 2cosudu u u u ud udu u dx xc x x x c u u u ++=++=)cos sin (2)cos sin (2.四、22()()()()(tan )tan sec 2222x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x x x C C ''==-=-+=+⎰⎰⎰五、⎰⎰⎰-----+=-==xdx x n n x nx x x xdx x n x x x d x I n n n n n n n cos )1(cos sin sin sin )(sin 21121)1(cos sin ----+=n n n n I n n x nx x x I ⎰-+==3455520cos 5sin cos I x x x x xdx x IC x x x x x x x ++-++-=cos )120605(sin )12020(2435同步训练4-4题解（基本题）一、选择题1、C2、D二、填空题1、211A B Cx Dx x x x ++++++； 2、2ln |310|x x C +-+； 3、ln |1sin |x C ++.三、计算题1、⎰⎰⎰⎰++-++++=++-+=+++134134)134(2113424221134122222x x dxx x x x d dx x x x dx x x x C x arctg x x x x d x x ++-++=+++-++=⎰)32(31134ln 219)2()2(|134|ln 21222； 2、21111()(ln |1|ln |2|)23123dx dx x x C x x x x =-=--+++--+⎰⎰11ln ||32x C x -=++； 3、解：令tan 2x t =，则221cos 1t x t -=+，221dtdx t=+，22222222113cos 3(1)(1)231dt dx dt dt t c t x t t t t+====-+++-+++⎰⎰⎰⎰；4、⎰⎰⎰+-+=+=+22325631)11(6)1(6)1(t dt t t t dt t t x xx dx =+-=C arctgt t )(6C x arctg x +-)(666.同步训练第4章检测题题解（基本题）一、1、C ；2、C ；3、C ；4、D.二、1、C x ++234)1(61；2、C x arctg +-cos .三、1、原式=C x xx d dx xx ++=++=+⎰⎰|22sin |ln 2sin 2)22(sin 2sin 22cos 2 2、令221x t +=，原式⎰=+-=-=C t t dt t t 35)1(3522C x x ++-+232252)1(31)1(513、原式=⎰⎰=+--=++2)1()1(1112222x x x x d dx xx x C x x arctg +-2121 4、原式⎰⎰⎰+++-=++=++=------1)1()1(1)1(22222x x x x x x xe e d e dx e e e e dx C e e x x +++++-=--]1)1(1ln[25、由212)11ln(xx x -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+知原式⎰=-+-+=)11ln()11ln(21x x d x x C x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2)11ln(41 6、令t x cos =，原式=⎰⎰⎰-==-tdt t t t td ttdt ctg ctg ctg sin 2C x x xx c t t t +---=+-=221ln arccos 1|sin |ln ctg 7、令arcsin t x =，则sin ,cos ,cos t x t dx tdt ==，原式＝22111cos (1cos 2)cos 2242t tdt t t dt t t tdt =+=+⎰⎰⎰22111(arcsin )424x x x C =+-+. 四、C x x x x x dx x f x xf x xdf dx x xf ++-+=-==⎰⎰⎰ln )sin 1(]'ln )sin 1[()()()()('C x x x x x +-++=)ln 1)(sin 1(ln cos五、⎰+-=-=-='=-=='c u u du u u f u u f x u x x x f 2222)21()(,21)(,sin ,sin 212cos )(sin 则令故c x x x f +-=2)(，代入(0)0f =，得0c =，则2()f x x x =-. 六、()(sin )(sin )cos f x x c x x ''=+==Q ，()()()(cos )cos()2n n n f x x x π∴==+ ()()cos()sin()22n n n f x dx x dx x c ππ∴=+=++⎰⎰同步训练5-1题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、10ln ()f x dx ⎰3、是介于x 轴，ππ-==x x ,及x x f sin )(=围成的两块面积大小相同(符号相反)的两部分的代数和.二、选择题 1、A ；2、C ；3、C.三、1、x x f 2cos 1)(+=Θ在]45,4[ππ上连续，]45,4[,2)(max ,1)(min ππ∈==x x f x f ，2cos 112≤+≤∴x ，524455()(1cos )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，即5244(1cos )2x dx ππππ≤+≤⎰2、设()()F x xf x =，1201()2()2f xf x dx =⎰Q ，又由积分中值定理，11(0,)2ξ∃∈，使12110()()xf x dx f ξξ=⎰，11111()()()22F f f ξξξ∴==，由罗尔定理，11(,)2ξξ∃∈，使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.同步训练5-2题解（基本题）一、填空题 1、yex cos ； 2、⎰-04222sin 2sin x x x dt t ；3、3x <.二、选择题1、A ；2、B.三、1、证：2)()()()()('a x dtt f x f a x x F x a---=⎰，令()()()()xa G x x a f x f t dt =--⎰，b x a x f a x x G a G ≤≤≤-==0)(')()(',0)(，由0)('≤x G 知)(x G 单调下降，因此0)(≤x G ，从而0)('≤x F .2、222000|sin ||sin ||sin |sin (sin )x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰4)(cos )cos (2=+-=0πππx x3、22()22x f x x x +'=++，当[0,1]x ∈时()0f x '>，即()f x 在[0,1]上单调增加，最小值(0)0f =，最大值211122200021(22)(1)(1)22222(1)1t d t t d t f dt t t t t t ++++==+++++++⎰⎰⎰15ln arctan 2224π=+-4、原式＝22011lim 33x x e x →-=同步训练5-3题解（基本题）一、填空题 1、0 ； 2、23；3、1.二、选择题1、B ；2、B.三、1、令t a x sin =，则tdt a dx cos =，当2,00π====t a x t x 时当时⎰-a dx x a x0222⎰⋅=2022cos cos sin πtdt a t ta a ⎰=⋅⋅⋅⋅=-=204422416)22143221()sin 1(sinππππa a dt t t a2、00022222(1)|221(1)dx dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰arctg1arctg(1)442πππ=--=+= 3、000|cos |x dx ππ==⎰⎰220022cos (cos )|sin |xdx x dx x x ππππππ=-=-=4、方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-+≥≥-=--时即当时即当101111011)1(1x x e x x xx f x⎰⎰⎰-+++=--2010211)1(11)1(x dx e dx dx x f x ⎰⎰++-=+-+-+=----10211011112ln |)1ln(1)1(11x x x x e x dx x d e e e )1ln(2ln )]1ln(2[ln 11e e +=++--=-方法二：令1-=x t ，则11≤≤-t ，dt dx =⎰⎰⎰--+==-21111)()1(t e dt dt t f dx x f ⎰++101t dt⎰--+=++-=+++-+=01110)1ln(2ln |])1[ln(1|)1ln(11e e t dt e e e t tt t 同步训练5-4题解（基本题）一、填空题 1、2π；2、21π+.二、选择题 1、A ；2、B.三、1、原式⎰=--=-=---=434302232)2(6|)12arcsin()21()21()21(πππx x x d 方法二：原式⎰==-=434332|arcsin 212πx xx d 2、原式000ln(1)|ln 211xx x xdx e dx e e e+∞+∞-+∞--===-+=++⎰⎰ 3、102211arctan 11111arctan |()ln |ln 2142142x t dx x dx x x x x t ππ+∞+∞+∞+∞=-+⋅=+=+++⎰⎰ 4、令ln u x =，原式＝1P duu+∞⎰，由P253例3，当1P >时收敛，当1P ≤时发散.同步训练第五章检测题题解（基本题）一、填空题 1、0；2、31；3、)2,(),21,(--∞-∞；4、)3(6sin )(cos 2222x xf x x xf --.二、选择题1、A ；2、D.三、1、由积分中值定理12312(0)3()3()()(1)33f f x dx f f ξξξ==⋅⋅=≤≤⎰，由罗尔定理有(0,)(0,1)C ξ∈⊂，使()0f C '=.2、0lim ()lim sin 2(1)0(0)x x x f x e f ++→→=-=≠，()f x 在0x =处不连续，在0x ≠处均连续. 3、令x t =-1，于是21010110(1)()()()f t dt f x dx f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰20122221011(1)1(1)12424xx e dx dx e e x ππ--=+=--+-=+-+⎰⎰ 4、原式03300(arcsin )arcsin limlim(1~,0)4xx x x t t dtx xe x x x x x→→--==-→⎰ 241241lim 1211lim 12111lim 20220220=-=--=--=→→→x x x xx x x x x x 5、证明：2002sin sin sin nn n xdx xdx xdx ππππ=+⎰⎰⎰，而⎰⎰⎰⎰==--2=2=-=222020sin sin ))((sin 0,,sin ππππππππππxdx tdt dt t t x t x xdx nn n n时当令故sin sin sin 2sin nnnn xdx xdx xdx xdx ππππ2002=+=⎰⎰⎰.同步训练6-1,2（一）面积题解（基本题）一、填空题1、23a π2、462二、计算题1、解：面积33242242220024sin (cos )12sin cos 12sin (1sin )A a td a t a t tdt a t t dt πππ===-⎰⎰⎰2231531312()42264228a a πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=。

历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。

天津理工大学考试试卷 - 天津理工大学教务处

2010～2011学年度第二学期《大学英语I》期末考试试卷课程代码：试卷编号：命题日期：年月日答题时限：分钟考试形式：闭（开）卷笔试Part I Listening Comprehension (20 Points, 1 Points for each)Section ADirections: In this section,……1. A) At a supermarket. B) At a department store.C) At an airport. D) At a restaurant.……Section BDirections: In this section,……Passage OneQuestions 11 to 15 are based on the passage you have just heard.11.A) At a supermarket. B) At a department store.C) At an airport. D) At a restaurant.……Part II Reading Comprehension (30 Points, 1 Points for each)……Passage OneQuestions 21 to 25 are based on the following passage.21. A) At a supermarket. B) At a department store.C) At an airport. D) At a restaurant.……Passage TwoQuestions 26 to 30 are based on the following passage.……Passage ThreeQuestions 31 to 35 are based on the following passage.……Part III Translation (20 Points, 2Points for each)Section A (10 points)Directions: Translate the following phrases into English.36.前进……Section B (10 points)Directions: Translate the following phrases into Chinese.41.当地政府负责运动会的安全。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)YF

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x ) = ln(2+x )； (2)f (x ) = cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2)因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2nnn n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑ ()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e!n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑4．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U∞=∑收敛，211n n∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1nn U n ∞=∑绝对收敛．5．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+6．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰7．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题五8．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰9．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰10．证明下列等式：2321(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立. (2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x+⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+ ⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x =-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++(5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故11ln .22x c x =+13．用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .14．将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数．解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）15．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.3h =时，其体积为最大.16．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h h S S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.17．设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82.18．曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+令0k '=，得π2x =为唯一驻点. 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.19．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+20．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时；解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=21．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅故(0)0f ''=.⑵ 21()2ex f x -'=2121()4e ()8e x x f x f x --''='''=故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+= 故(5)(0)720107200f=⨯=，(6)(0)720f =23．若11()e x x f x+=，求()f x '.解：令1t x=，则 1()e t tf t +=,即1()ex xf x +=121()e(1)x xf x x +'=-24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x xf x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆故(0)0.f '=25．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二26．试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-= 即方程21x x ⋅=有一个小于1的正根.27．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116eee .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+.(3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.30．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)

2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+，或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+，（4分）所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+，（2分）又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅．（2分）解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰，（4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-，（2分）故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅．（2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则（2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+，（2分）又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．）则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少，又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<．（4分）。

微积分期末复习题(天津)

.1 2()2,f x dx x C =+⎰若则(2)x x e f e dx +=⎰()C e x ++222 。

2. 若c e x f(x)dx x 2+=⎰2 则=)(x f )1(22x xe x +3. ⎰+=则若,)()(C x F dx x f ⎰=--dx e f ex x)( C e F x +--)( 。

4. 若C edx ex f xx+=⎰--1 1)(，则)(x f =21x 。

5. 设函数)(x f 连续，且23204(),3x xf t dt x x -=-⎰则(12)f = 8 。

6. 设函数)(x f 连续，且,)(413xdt t f x =⎰-则=)(26f 4 。

7. 设f(x)连续，dt t xf x x ⎰=Φ2)()(，则 =Φ')(x dt t f x f x x ⎰+222)()(28. 设函数)(x f 连续，则=-⎰→ax dtt f x xax 02)(lim)(2a f a9. 2)11(limx dtt t xx ⎰--+→21。

10.()=-⎰+→25201xdt t xx cos lim10111．()21ln edx x x +∞=-⎰-112．设2,y xy z xe =+(1,2)|zy∂=∂ 24e + 13．设2,y xy z x e =+=∂∂)2,1(x z()22112242e ye x y y x xyy +=+==- .14．设2,y xy z x e =+=∂∂-)1,1(x z ()111122--==--=+e ye x y y x xy y15．设D 为10,≤≤≤y x π，则()Dxy d πσ+=⎰⎰22π 16. 设D 为10,≤≤≤y x π，则()=σ-⎰⎰Dd xy 22 π41. 下列广义积分收敛的是（ C ）。

A ．dx x xe⎰+∞ln ， B. dx x x e⎰+∞ln 1, C. ()dx x x e⎰+∞21ln ， D dx xxe⎰+∞ln 12. 下列广义积分收敛的是（ C ）A 、⎰∞+ 12cos xdx ； B 、⎰∞++ 121dx x ； C 、⎰-111dx x ；D 、⎰131dx x ； 3. 由相交于点(x 1, y 1)及(x 2, y 2) (其中x 1<x 2)的两曲线y=f(x)>0，y=g(x)>0所围图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积是（ B ）A 、212[()()]x x f x g x dx π-⎰； B 、2122|()()|xx f x g x dx π-⎰；C 、221122[()][()]x x x x f x dx g x dx ππ-⎰⎰；D 、21[()()]x x f x g x dx ππ-⎰4. 偏导数),(),,(0000y x f y x f x x ''存在是函数),(y x f 在点),(o o y x 连续的（ C ）。

天津理工大学随机数学复习提纲

��(��) ��(��)
, ��(��) = ��(��)��(��|��)
��
全概率公式：��(��) = ∑ ��(�� ) = ∑��=1 ��(�� )��(��|�� ) (全概率公式没有大题). 第二章一维随机变量及其概率分布会用分布函数计算概率P{a < x < b} = F(b) − F(a). 掌握二项分布（会判断和计算概率）在 n 次重复独立试验中， A 发生的次数 ��~��(��, ��) , 其中 �� = ��(��) , ��{�� = ��} = �� (1 �� − ��)��−�� . 对于连续型随机变量R. V. X会由密度求概率:
∞
��[��(��, ��)] = ∬ ��(��, ��)��(��, ��)��
−∞
掌握相关系数的定义: √��(��)��(��) ��(��, ��) = ��(��, ��) 记住常见分布的期望和方差 ��~��(��, �� 2 ) ⇒ ��(��) = ��, ��(��) = �� 2 不相关和随机变量相互独立的关系 X 与 Y 不相关 �� = 0 X 与 Y 相互独立⇒ ��(��, ��) = 0 {��(��) = ��(��)��(��) ��(�� + ��) = ��(��) + ��(��) ��(�� ± ��) = ��(��) + ��(��) ± 2��(��, ��) ��(�� + ��) = ��2 ��(��) + ��2 ��(��) + 2��(��, ��) X 与 Y 独立或者不相关时: ��(��) = ��(��)��(��) ��(�� + ��) = ��(��) + ��(��) ��(�� + ��) = ��2 ��(��) + ��2 ��(��) ��(��) = ��(��)2 − (��(��)) ⇒ ��(�� 2 ) = ��(��) − (��(��)) . 第五章大数定律及中心极限定律会用切比雪夫不等式估计概率： ∀ �� > 0 , ��{|�� − ��(��)| ≥ ��} ≤ ⟺ ��{|�� − ��(��)| < ��} > 1 − 第六章样本及抽样分布总体��，样本��1 , ��2 , ��3 , … , �� 的概念表示��1 , ��2 , ��3 , … , �� 相互独立,同分布,并且与总体同分布常见统计量样本均值： ̅= �� 样本方差： 1 ̅ )2 �� = ∑(�� − �� − 1

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。

A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。

A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。

A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。

A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。

2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。

3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。

4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。

5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。

三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

解：y'=3x^2-6x。

2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。

解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。

天津理工大学期末考试复习题计算题补充练习及答

2013天津理工大学宏微观经济学期末考试复习题计算题补充练习及答均衡价格和数量与弹性1、消费者对某商品的需求方程为P=8-Q d ，厂商对该商品的供给方程为Qs=-40+7P ，试求该商品的均衡价格和均衡数量，以及在均衡点的需求弹性和供给弹性。

解：P=8-Qd 即Qd=8-P ，于是有Qd=8-P=Qs=-40+7P ，P=6，Q=2；在均衡点，Ed=326|)8(|||==∙'-=∙Q P P Q P dP dQ Es=21267)740(=∙=∙'+-=∙Q P P Q P dP dQ 效用的计算2、已知某人的效用函数为TU=4X 十Y ，如果消费者消费16单位X 商品和14单位Y商品。

试求:(1)消费者的总效用；(2)如果因某种原因消费者只能消费4个单位X 商品，在保持总效用不变的情况下，需要消费多少单位Y 商品；(3)如果因某种原因消费者只能消费10个单位Y 商品，在保持总效用不变的情况下，需要消费多少单位X商品。

解：（1）消费者的总效用TU=416+14=30；（2）TU=44+Y=30，Y=22；（3）TU=4X+10=30，X=25。

生产与成本3、某钢铁厂的生产函数为Q＝5LK ，其中Q为该厂的产量，L 为该厂每期使用的劳动数量，K为该厂每期使用的资本数量。

如果每单位资本和劳动力的价格分别为2元和1元，那么每期生产40单位的产品，该如何组织生产解：因为两种生产要素最佳组合条件是：MPL／PL＝MPK／PK分别对生产函数中L和K求导：MPL＝5K ，MPK＝5L ，已知PL ＝1，PK＝2所以，5K／1＝5L／2 ，解得：L＝2K；已知Q＝40代入生产函数得：40＝5×2K×K ，解得：K＝2故由：40＝5×L×2 ，解得：L＝4因此，每期生产40单位，该厂应投入劳动力4个单位，资本2个单位。

利润最大化4、某企业成本函数为TC=52Q+10Q+100，产品的需求曲线为：Q=70-P ，试求利润最大化时的价格和产量，利润是多少？解：MR=MC 时，实现利润最大化。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)UR

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数的高阶微分：⑴y 2d y ； ⑵ xy x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d ny ；⑸ 2323cos sin 0r a θθ⋅-=(a 为常数)，求2d r . 解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+21[(1ln )],x y x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).x y x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n nnn n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x xn n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅- ⑸ 223tan r a θ=两端求导，得2222323tan sec 2rr a r θθθ''=⋅⇒= 等式两端再求导得22232223(2tan sec 4tan sec )r rr a θθθθ'''+=⋅+⋅解得24314sin 4cos r a θθ+''=故2224314sin d d .4cos r a θθθ+=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nnn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+4．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n nn n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．5．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.6．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为 w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪50 =750g (KJ) ．7．已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C xC x C --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.8．已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9．计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰10．作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±，令0y ''=，得x =0，列表讨论如下：函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,⎛ ⎝(0，0)，，作图如上所示.(2) f (x )=x －2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y′=0，可得x =±1，令y″=0，可得x =0.列表讨论如下：又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) ()1x f x x=+；解：函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加；当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少；当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=，且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y =x －1. 综上所述，曲线图形为：(4)2(1)e x y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1. 令0y ''=，得12x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当2(,1[1,)22x ∈-∞-++∞时，0y ''>，曲线是凹的；当[1]22x ∈-+时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1),(1)A B --，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：11．判定下列曲线的凹凸性： (1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1xy x x'=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.12．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h , ，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=, 得.h =时，其体积为最大.13．证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=, 当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+14．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)15．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=,增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==16．判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+,故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.17．设0a >，且b 与n a 相比是很小的量，证明：1.n b a na-≈+11x n≈+，有11(1)n n b b a a n a na-=≈+⋅=+.18．求n 次多项式1101nn n n y a x a xa x a --=++++的n 阶导数.解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n ya x a x a x a a x a n --=++++⋅19．用对数求导法求下列函数的导数： ⑴y =解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+45(3)145[](1)2(2)31x x x x x -=--++-+ ⑵ cos (sin );xy x =解：2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=- ⑶2x y =解：211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-20．试求曲线exy -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-=法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =21．设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++22．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称tθω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻0t 的角速度？解：设此角速度值为ω,则0000()()lim ()t t t t t tθθωθ∆→+∆-'==∆.23．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (),x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=, 当x >时，()2f x x '=,2(((0,x xx f x f-+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+= 故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩24．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆故0()A f x '=-(2) 000()()0,lim ;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- (3) 000()()lim.h f x h f x h A h→+--=解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '=25．利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin 22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==(7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=26．解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=.28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有nx a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21nε>即可.取21Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N>时,有0nxε-<.当0.0001ε=时, 821100.0001N⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数.30．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴21sinlimsinxxxx→；⑵lim(1)xxkx→+∞+；⑶sinlimsinxx xx x→∞-+；⑷e elim.e ex xx xx--→+∞-+解：⑴∵200111sin2sin coslim limsin cosx xx xx x xx x→→-=不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1lim lim sin0sinx xxx xx x→→==,故不能使用洛必达法则.⑶∵sin1coslim limsin1cosx xx x xx x x→∞→∞--=++不存在,而sin1sinlim lim 1.sinsin1x xxx x xxx xx→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷∵e e e e e elim lim lime e e e e ex x x x x xx x x x x xx x x------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2020年天津理工大学应用数学基础期末复习

Smith
标准形
S
(
)
=
dr ()
0
0
定理 2.6 任何一个多项式矩阵 A() S() .
注意： E − A S() ,且 E − A = S() .
§2.4 多项式矩阵的不变因子和初等因子
定义 2.9
多项式矩阵的 k 阶行列式因子 Dk () ：所有非零的 k 阶子式的首 1 的
最高公因式.
定义 1.10 非空数集的上确界：最小的上界
§1.3 线性空间定义 1.11 线性空间：定义了线性运算（加法、数乘）的集合.
4 个例子：向量空间 Rn , C n , 矩阵空间 Rnn ,Cnn ,
连续函数空间 Ca,b , 多项式空间 Pa,b, Pn a,b
（考试不涉及数列空间 l ,l2 ）
定义 2.10 多项式矩阵的不变因子 di ()
定义 2.11 结论 1 结论 2
多项式矩阵的初等因子组：将不为 1 的 di () 分解成一次因式的方
幂的乘积的形式, 这些一次因式的方幂一个一个都拿出来, 就是初等因子组. 对角形矩阵的初等因子组：把对角线上的多项式分解即可---不必
像 Smith 标准形那样要求多项式上的 di () 有前后整除的关系.
.
( −1)( + 2)
7 4 −4
例题
习题 B
6(1)改
求
A
=
4
−8 −1 的 Jordan 标准形和有理标准型.
−4 −1 −8
解：法 1
− 7 −4 4 − 7 −4 4 − 7 −4 8
E
−
A
=
−4
+8
1

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷(A类)

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1. 下列曲线中必有渐近线的是（）（A ）cos =+y x x ；（B ）2cos =+y x x ；（C ）1cos =+y x x ；（D ）21cos =+y x x。

2. 平面221x y z +-=与直线212122x y z ---==-的夹角是（）（A ）8arcsin 9；（B ）8arccos 9；（C ）4arcsin 9；（D ）4arccos 9。

3. 若21()|1|2()d f x x f x x -=-+⎰，则()f x 等于（）（A ）1()|1|2f x x =-+；（B ）()|1|1f x x =--；（C ）3()|1|5f x x =-+；（D ）3()|1|5f x x =--。

4. 下列选项中，肯定不是某个二阶常系数线性微分方程的一组解的是（）（A ）e x x +，22e x x --，2e x x -+；（B ）e e x x x -+，2+e x x xe x -，e e x x x x -+；（C ）e 1x x -+，2x -，e x x -；（D ）(e 1)x x +，e 2e x x x --，+2+2e x x xe x -。

5. 对于命题：① 设函数f 在R 上可积，则f 在R 上连续的充要条件是变上限积分 0()()d xx f t t Φ=⎰在R 上可导； ② 若R 上的单调函数f 有原函数，则对于任意取定的常数a 和b ，必存在 ξ∈R ，使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，下述选项正确的是（）（A ）①错误，②正确；（B ）①正确，②错误；（C ）①和②均正确；（D ）①和②均错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设可导函数()=y f x 由方程cos()ln 1+-=xy y x 确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=___________。

2023-2024学年天津市四校高一上学期期末联考数学试卷含详解

2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.b c a>>6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m 的取值范围________.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R（1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42ff x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x f x mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8【答案】B【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【详解】因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}0,2,4A =所以{}6,8,10U A =ð，又{}0,6,8B =所以(){}6,8U A B ⋂=ð，故选：B 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则πsin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.故选：A.3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项.【详解】“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是720︒”.故选：B4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度【答案】B【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，设某户居民用电量为x 度，本月缴纳的电费为y ，可得0.3,(0,200]600.6(200),(200,400]1800.9(400),(400,)x x y x x x x ∞∈⎧⎪=+⨯-∈⎨⎪+⨯-∈+⎩，当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得600.6(200)150x +⨯-=，解得350x =，即居民本月的用电量为350度.故选：B.5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>【答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知00.9.9144a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，由于4x y =单调递增，所以041a b >>=，而πsin12=，所以4log 10c ==，综上c b a <<.故选：A6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-【答案】D 【分析】由3322f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义城为R 的奇函数，233332332222224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：D7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【详解】将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：1π1ππππ()sin ()sin cos 3233222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭．故答案为：C ．8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a 的取值范围.【详解】因为32219(1)221e()ex x x x a +--+>，所以32219(1)22e e x x x x a +++>，32219(1)22x x x x a ∴+>++，即324(1)x x x a ->+()1,4x ∈ ，241x x a ∴->+当2x =时，24x x -有最小值4-，145a a ∴+<-⇒<-，故选：A9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.【详解】因为()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=++=-=-,所以周期不是π，①错误；πππ1πππ1cos sin cos -sin -444222444222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=-=⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是的单调递增区间，②错误；()1sin2,sin 021sin2,sin 02x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,因为()()121,4f x f x =-设()()121122f x f x ==-，所以111222πππ,Z,π,Z 44x k k x k k ∈∈=+=-+,所以()121212ππ,Z 2x x k k k k ∈-=+--,所以12x x -的最小值为π2，③正确；()πππ22πcos 22πsin 22πcos sin 222f x k x k x k x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+=+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,④正确.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】1(,0)3【分析】根据题意，令310x -=，求得13x =和0y =，即可求解.【详解】由函数311x y a -=-（0a >且1a ≠），令310x -=，解得13x =，则0y =，所以函数恒经过定点1(,0)3.故答案为：1(,0)3.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.【答案】522-【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值.【详解】原式13π32522lg 5lg 2ln e sin 1224222=⨯++-=+-=.故答案为：522-.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.【答案】17【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可.【详解】因为tan 2x =所以3cos sin 3tan 321sin 5cos tan 5257x x x x x x ---===+++.故答案为：17.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.【答案】3+##3【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为250a b +-=，所以()()2121a b -+-=，又实数1a >，2b >，所以10,20a b ->->所以()()()211111221221121212a b a b a b a b a b --⎛⎫⎡⎤+=+-+-=+++ ⎪⎣⎦------⎝⎭()21233312a b a b --=++≥+=+--，当且仅当()21212250a b a b a b ⎧--=⎪⎨--⎪+-=⎩，即2221a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，故答案为：3+14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .【答案】π12【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形OAB 的院校为π25π12518036AOB ∠=⨯=，又因为0.1m OA =，0.4m AD =，所以，该扇环形砖雕的面积为()22125ππ0.50.123612S =⨯⨯-=.故答案为：π12.15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m的取值范围________.【答案】()2,2-【分析】转化为=与22m y =的图象有3个交点，做出=的图象，结合图象可得答案.【详解】若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则=与22m y =的图象有3个交点，()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，ln 10y x =-≥，当0x >时，()2222111y x x x =-+=-+≥，与y 轴的交点为0,2，()f x 的大致图象如下，要使=与22m y =的图象有3个交点，则2122m <<2m <<，或2m -<<.故答案为：()2,2-⋃.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -≤≤（2）4{|}2x x -≤<（3）(,2]-∞【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合{2B x x =<-或5}x >，结合补集的运算，即可求解；（2）当3a =时，求得R {|4A x x =<ð或7}x >，结合集合交集的运算，即可求解；（3）根据题意，得到A 是C 的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数23log (310)y x x =--的定义域为B ，可得23100x x -->，即(2)(5)0x x +->，解得2x <-或5x >，所以集合{2B x x =<-或5}x >，所以{}R 25B C x x ==-≤≤ð.【小问2详解】解：当3a =时，集合{|47}A x x =≤≤，可得R {|4A x x =<ð或7}x >，因为{|25}C x x =-≤≤，所以()R {|24}A C x x ⋂=-≤<ð.【小问3详解】解：若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 是C 的真子集，当121a a +>+时，即0a <时，此时A =∅，满足A 是C 的真子集；当A ≠∅时，则满足21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且不能同时取等号，解得02a ≤≤，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞.17.已知函数()23sin cos 2f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.（2）min ()1f x =-，max ()1f x =（3）23-【分析】（1）化简函数为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数()f x 的单调递增区间，结合π(12f -，5π()12f 和2π(3f 的值，即可求解；（3）根据题意，求得π3sin(2)62α+=，结合4ππ3πcos(2cos[(2)362αα-=+-，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22313sin cos 2sin cos 2cos 1222f x x x x x x x =-+=⨯--1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=-=- ⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤∈，所以()f x 的单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由(1)知，函数的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且π()112f -=-，5π(112f =，2π(03f =，所以min ()1f x =-，max ()1f x =.【小问3详解】解：由函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得ππ2()sin(2463f αα+=+=，因为π4π3π(2(2632αα+--=，所以4ππ3ππ2cos(2)cos[(2]sin(2)36263ααα-=+-=-+=-.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R （1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42f f x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.【答案】（1）1a =，3b =-（2）2b =-（3）答案见解析【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出()()f f x ，再根据代数式恒相等可求b 的值.（3）原不等式即为2(32)60ax a x +--<，就a 不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|1x x <或2}x >，0a ∴>，且220ax bx ++=的两根为11x =，22x =，3b a∴-=，22a =，1a =，3b =-.【小问2详解】()2()(2)(2)22242f f x f bx b bx b x b x =+=++=++=-，得24222b b ⎧=⎨+=-⎩，2b ∴=-.【小问3详解】(2)4220f a b =+-=，21a b ∴+=，12b a∴=-即2(32)60ax a x +--<，(3)(2)0ax x ∴+-<（1）当0a =时，2x <（2）当0a ≠时，则3(2)0a x x a +-<，①当0a >时，32x a -<<；②当0a <时，若32a -<，即32a <-时，3x a <-或2x >，若32a -=，即32a =-时，2x ≠；若32a ->，即302a -<<时，2x <或3x a >-；综上所述：当32a <-时，不等式的解集为3{|x x a <-或2}x >；当32a =-时，不等式的解集为{|2}x x ≠；当302a -<<时，不等式的解集为{|2x x <或3}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <；当0a >时，不等式的解集为3{|2}x x a-<<.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.【答案】（1）1m =，0n =，1()f x x x=+（2）3111[,(,]8448a ∈---- （3）0，4.【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得,m n 的值，得到()f x 解析式，验证()f x 的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得a 满足的条件，进而可求解a 的取值范围；（3）求出()h x 的解析式，依题意求出k ，进而可得ℎ的其他零点.【小问1详解】因为函数()g x 的一个零点是1，所以()10g =⇒(1)2f =，()f x 是奇函数，所以()12f -=-，所以，()()11211121m f n m f n +⎧==⎪⎪+⎨+⎪-==-⎪-+⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，()211x f x x x x+==+，定义域为()(),00,∞∞-⋃+.()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 是奇函数，满足题意，故1m =，0n =，1()f x x x =+【小问2详解】函数()t x 满足()()t x t x -=，所以()t x 是偶函数且在(0,1)单调递减因为不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立所以04111412a a ⎧<+<⎪⎨+≤⎪⎩，11102443188a a a ⎧-<<--<<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩或所以3111[,(,]8448a ∈---- 【小问3详解】()()21ln 1(3)h x k x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，因为函数ℎ的一个零点为2，所以210(23)k -=-，解得1k =.所以()()211ln 1(3)h x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令()0h x =，得2110(3)x -=-或ln(1)0x +=，解得0,2,4x =.所以函数()g x 的其余零点为0，4.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-（2）证明见解析（3）(]1,3【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【小问1详解】()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数所以−=，()()g x g x -=-()()2x f x g x +=①，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=②，由①②可知，()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-【小问2详解】取120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，121102x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，得证；【小问3详解】由已知()()()2449F x f x mf x =-+()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222229x x x x m --=+-⋅++由(2)得()f x 在[]20,log m 上单调递增，1m ∴>，1()1,2m m f x ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦设122=2()2,x x t f x m m -⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，令()2290G t t mt =-+≥0t > ，192m t t ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，12,t m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦而函数192y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上递减，在[]3,+t ∞∈递增①当13m m +≤时，35132m +<≤<，192t t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，显然成立即312m +<≤②当13m m +>时，352m +>，min 193323y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3m ∴≤即353 2m+<≤综上所述，实数m的取值范围是(]1,3.。

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《高等数学AI 》模拟复习题（二）
一、单项选择题
1、设3)]([)(x x f ϕ=' ，其中连续在 ) , (-)(∞+∞x ϕ、可导，且0)('>x ϕ 则必有（）
A 、)(x f 上单调增在 ) , (-∞+∞；
B 、)(x f 上单调减在 ) , (-∞+∞；
C 、)(x f 上是凹的在 ) , (-∞+∞；
D 、)(x f 上是凸的在 ) , (-∞+∞；
2、函数2)(3+=x x f 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的条件，其在（0，1）内适合=-'=-ξξ的)01)(()0()1(f f f ( )
A 、31；
B 、31
； C 、21； D 、2
1 3.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续可导，且)()(x g x f '>'，则当b x a <<时，有（）
A. )()(x g x f >；
B. )()()()(x g a f a g x f +>+；
C. )()(x g x f <；
D. )()()()(x g b f b g x f +>+.
4.若)()(x f x F ='，则⎰=)(x dF ( )
A 、)(x f ；
B 、)(x F ；
C 、C x f +)(；
D 、C x F +)(
5、设函数)(x f y =对任意x 满足[]
45'''1 )()(x x f x x f --=+，若,0)(0='x f 则以下结果正确的是（）
A 、)()(0x f x f 是的极大值；
B 、)()(0x f x f 是的极小值；
C 、)( ))(,(00x f y x f x =是曲线的拐点；
D 、0x 不是)(x f 的驻点。

6、已知⎰⎰=-+=dx x a xf C x F dx x f R x f )( ,)()( )(22则上连续，在（） A 、)(22x a F - B 、C x a F +-)(22
C 、C x a F +-)(2122
D 、C x a F +--)(2
122 二、填空题
1、设c x e dx x f x ++=⎰2sin )(，则)(x f =___________；
2、曲线x x y arctan -=在区间__________上是凹的；
3.若C e dx e x f x x +=⎰--1
1
)(，则)(x f =_______
4、若⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰=dx x xf )(cos sin __________
5、⎰-'dx x f x f )(1)
(2=___________；
6、)(x f 在),(+∞-∞连续，⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=+dx h ax f )(____________.
三、计算题
1. 求dx x ⎰cos
2、已知)(x f 的一个原函数为x x cos e ，求dx x f x )('⎰.
3.
0lim →x 3)(arcsin )1(2)1(x e e x x x --+
4、求函数82y x x
=+的单调区间和极值.
四、解下列各题
1、dx x x x ⎰
+21arctan
2、已知)(x f 的一个原函数为x s x in e ，求dx x f x )(''⎰
五、证明题
1、设)(x f 在]2 , 1 [上有二阶导数，且0)2()1(==f f ，又)()1()(2x f x x F -= 证明：至少存在一点)2 , 1 (∈ξ，使0)(''=ξF .
2、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f
求证：存在),(b a ∈ξ，使得0)()('=+ξξξf f ；。