分数指数幂及运算
分数指数幂的概念及其运算
,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
分数指数幂的运算
分数指数幂的运算在数学中，指数是一种不同于加法、减法和乘法的特殊运算，它可以将一个数乘以多次的相同的数，即x的y指数次幂，表示为xy，这种运算被称为指数幂。
指数可以以x的y次幂，或者以a的b指数次幂的形式表示，前者表示x乘以自身y次，后者表示a乘以自身b次。
比如x2表示x 被乘以自身两次，即x×x；a3表示a被乘以自身三次，即a×a×a。
分数指数幂的运算是特殊的指数运算，它是一种将分数转换为指数的运算方式。
以x的分数指数次幂表示法来表达，即x的m/n指数次幂，表示为xm/n，m和n是整数，m≥1。
分数指数幂的运算可以用来解决大量具有指数形式的算数题目，比如求解p的1/2指数次幂，即p1/2，可以用分数指数幂运算求解。
计算分数指数幂的方法是将原式中的分数指数次幂，根据a的m/n指数次幂的形式，分解为m/n次方。
即a的m/n指数次幂等价于a的m次方的n次方根。
总的来说，分数指数幂的运算由两个步骤组成：首先将原式中的分数指数次幂分解为m/n次方，其次计算a的m次方的n次方根就可以求出结果。
分数指数幂的运算在实际中也有许多应用，例如在实际生活中，我们往往碰到如下形式的公式：a的1/4指数次幂，即a1/4。
在这种情况下，我们可以使用分数指数幂的运算计算出结果。
此外，分数指数幂可以用来解决绝对值的化简问题。
比如|x2/3|=x2/3，我们可以用分数指数的运算，将|x2/3|分解为x的4次方的3次方根，再求出结果。
从上述介绍中可以看出，分数指数幂的运算是一种非常有用且重要的数学运算。
它可以帮助我们快速求解具有分数指数形式的算数题目，同时也可以用来解决绝对值的化简问题。
因此，分数指数幂的运算在数学中占据着重要的地位，且运用起来也非常简单方便，希望读者在学习数学的过程中，能够运用分数指数幂运算，去解决各种算法题目，提高自己的数学水平。
指数的运算与指数函数
a>1
图 象
定义域
R 值域 （0，+∞） 性 过定点（0，1），即x=0时，y=1
质
在 R上是减函数
在R上是增函数
☆不同底数的图像
a>b>1
0<b<a<1
归纳：在第一象限总是底大图高
讨论 y a (a 0 a 1)的图像
| x|
（1）a>1 (2)0<a<1
1
2
3
n m
④ a ⑤
n
1 * n (n Z ) a
其中均要求
a0 1
a、b 0
☆平方根
如果 x a ,那么 x 叫做 a 的平方根；
2
a0 a
a a
2
a | a |
2
☆立方根 3 如果 x a ,那么 x 叫做 a 的立方根。
0 0
3 3
aR
3
a
3
a a
指数的运算与指数函数 主讲教师 陈利敏
青春是有限的，智慧是无穷的； 趁短暂的青春，学习无穷的智慧
☆指数的运算
知识梳理
分数指数幂
指数的运算
分数指数幂 的性质
☆分数指数幂
规定： a n a m (a 0, m, n N * , 且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 规定:
m n
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N , n 1)
*
注意：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
即x －x ＝± ，
∴x－x－1＝(x －x )(x ＋x )＝±3 .
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴ ＝ ＝4.
能力提升
12．(5分)
的值等于()
A．1－ B．2－
C. － D.
答案：B
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1) 0.5－0.752＋6－2× ；
(2)(0.25) － 2×[(－2)3] ＋10(2－ )－1－10×30.5；
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用分数指数幂表示： ＝________.
答案：x y
解析： ＝ ＝x y ＝x y
8．若10x＝3 ，10y＝ ，则102x－y＝________.
答案：
解析：102x－y＝(10x)10y＝(3 )2÷ ＝3 ÷3 ＝ .
9．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc＝________.
解析：设4x＝6y＝1442＝t，则4＝t ，6＝t ，144＝t ，∴36＝t .又144＝4×36，∴t ＝t ·t ，即 ＝ ＋ ，选D.
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
指数运算规律
指数运算规律一、指数法则1. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；2. 同底数幂的乘法：a^m×a^n = a^(m+n) (m,n都是正数) ；3. 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m,n都是正数，且m>n) ；4. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；5. 积的乘方：(ab)^n = a^n×b^n (n是正整数) 。
二、指数运算性质1. 零指数幂：0^n=1 (n∈Z*)；2. 负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n (a≠0, n∈N*)；3. 特殊值法：令字母取不同的值代入进行验证。
三、指数运算技巧1. 分散注意，将难点各个击破；2. 利用分配律简化运算；3. 利用同底数幂的乘除法法则进行简化；4. 利用幂的乘方运算法则进行简化；5. 利用积的乘方运算法则进行简化；6. 利用非零数的0次幂等于1的性质进行简化；7. 利用整体代入的思想简化运算。
四、指数运算的规律1. 负指数表示的是倒数：a^(-n) = 1/a^n2. 分数指数幂：根号[a^(2n)] = a^n，根号[a^(2n-1)] = |a|^n3. 指数为无理数时，视为实数：例如，e^(πi) + 1 = 04. 指数运算中，负数可以引入：例如，e^(-x) = 1/e^x5. 指数函数与对数函数的互为反函数：指数函数和对数函数具有反函数性质，即如果y=a^x，那么x=log_a y。
五、指数运算的应用1. 在物理学中的应用：指数函数在物理学中有广泛的应用，例如在放射性衰变、电路中的RC或LC振荡器、光的吸收和发射等过程中，都可以看到指数函数的身影。
2. 在金融学中的应用：在金融学中，复利计算就是一个典型的指数问题。
复利是指本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
高三复习-指数是分数怎么算
指数是分数怎么算
分数为指数的运算方式是：a的x分之y次方，也就是a的y次方在开a次根号，例如a^（1/3）也就是a的1次方开3次根号。
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，
即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方
重点：
1、分数指数幂的含义的理解。
2、根式与分数指数幂的互化。
3、有理指数幂的运算性质。
难点：
1、分数指数幂概念的理解。
2、有理指数幂的运算和化简。
分数指数幂的运算
分数指数幂的运算法则如下：
指数相乘底数不变，幂的乘方相乘除。
指数加减底数不变，同底数幂相乘除。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
非零数的零次幂，常值为1不相乘除。
看到分数指数幂，底数必为非负数。
乘方指数是分子，根指数要当分母。
对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)。
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)。
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)。
分数指数幂的意义：
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2，一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。
正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1），0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
《分数指数幂》课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
指数幂运算课件(人教版)
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
第2课时 分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质
22
课时规范训练
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A 基础巩固练
3
1．将 52写成根式的形式，正确的是( D )
A．3 52
B． 3 5
5 C．
3 2
D． 53
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
23
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
1
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
n am
(3)0的正分数指数幂等于___□_3 _0_，0的负分数指数幂___□_4_没__有__意__义____．
4
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
微点拨 分数指数幂 amn是根式的一种新写法，不能理解为mn 个 a 相乘．通过建 立 n 次方根与分数指数幂的关系，把整数指数幂推广到了分数指数幂．
运算．
3
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
必备知识 自主学习
知识点一 分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
amn＝___□_1_n__a_m__(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
m
□2
1
m
a－ n ＝_______a_n______＝
2 2 2.
5 (2)
2
22
（ab）2＝(ab)5＝a5b5.
10
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
3 (3)
5
（x－1）5＝(x－1)3.
(4)
1
2
＝a－3.
3 a2
1
3
分数指数幂的读法
分数指数幂的读法
摘要：
一、分数指数幂的概念
1.分数指数幂的定义
2.分数指数幂与根的关系
二、分数指数幂的性质
1.分数指数幂的乘法
2.分数指数幂的除法
3.分数指数幂的幂运算
三、分数指数幂的读法
1.常规读法
2.简化读法
四、分数指数幂的应用
1.实际问题中的应用
2.分数指数幂在数学公式中的应用
正文：
分数指数幂是数学中一种常见的概念，它涉及到指数与根的运算。
分数指数幂可以用于表示一些特殊的情况，例如，当一个数的幂等于一个分数时，我们可以使用分数指数幂来表示。
分数指数幂不仅具有自身的性质，还可以与常规的指数幂进行运算。
分数指数幂与根的关系密切，可以看作是幂与根的一种相互转换。
例如，
对于一个数a，其平方根可以表示为a^(1/2)，而a 的平方可以表示为
a^2。
这样，我们可以将幂与根相互转换，更方便地进行计算。
分数指数幂具有许多性质，可以方便地进行运算。
例如，分数指数幂的乘法可以表示为底数不变，指数相加；分数指数幂的除法可以表示为底数不变，指数相减。
此外，分数指数幂还可以进行幂运算，即一个分数指数幂的幂可以表示为底数不变，指数相乘。
在实际问题中，分数指数幂也有广泛的应用。
例如，在物理学中，电场强度E 与电荷密度ρ的关系可以表示为E = ρ^(-1/2)，这里的指数-1/2 就是一个分数指数幂。
在数学公式中，分数指数幂也有广泛的应用，例如对数函数、指数函数等。
虽然分数指数幂的概念相对复杂，但其性质和应用使其在数学领域具有重要的地位。
指数与指数幂的运算分数指数幂课件
课堂小结
分数指数概念
m
(1) a n n am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(2)
a
m n
1
m
an
1; n am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂
没有意义.
有理指数幂运算性质
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
② 若 a2 2a 1 a 1,求a的取值范围
3
二、讲授新课
❖ 1. 复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0)
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
, 00无意义
(an )m amn , (ab)n anbn
6
二、分数指数
❖ 规定：
分数指数幂只是根式的一
❖ 1、正数的正分数指数幂的意义为： 种新的写法
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
❖ 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相
同
即：a
m n
1
m
an
1 (a 0, m, n N *, n 1) n am
❖ 3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
4
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律: a＞0
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
8
a8 (a4 )2 a4 a2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
(1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？ 由此可得：当根式的被开方数的指数被根指数整除时，
人教A版高中数学必修1课件：2.1.1指数与指数幂的运算—分数指数幂(共17张PPT)
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
分数指数幂
3
6
1
分数指数幂的意义可得出不同的结果: 13 3 1 1 ，
2
1 6
6
12
6
1
1
这就说明分数指数幂在底数小于0
时无意义.
分数指数幂
【定义】 2、负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表 示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上. 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂 的意义相仿，就是： 规定：0的a正mn 分 数a1mn指数n幂a1m等(于a>00；,m0,n的∈负N分*,且数n指>数1).幂没 有意义.
4a
13
(2)(m 4 n 8 )8
1
(m 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3
m2 n3
分数指数幂
【变形训练】
1、计算下列各式：
(1)
a2 (a 0);
a 3 a2
(2)( 3 25 125 ) 4 5
分析： （1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式， 然后计算 .
16 3 ( )4
2 4( 3 ) ( ) 4
( 2 )3
27
81
3
3
8
分数指数幂
【典型例题】
例2、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
13
(2)(m 4 n 8 )8 .
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系
分数指数幂
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复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
（1） aman amn (a 0, m, n Z);
（2） (am )n amn (a 0, m, n Z);
（3）（ab)m ambm (a 0, m, n Ζ)
2.根式的运算性质
(1) ( n a )n a
(2) 如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
1
56 5 6 5 5;
(2)
a2 a 3 a2
a2
12
a2 a3
2 1 2
a 2 3
5
a6
6 a5 .
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2 ;
1491 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
(2) 2 3 3 1.5 6 12;
(4)
2x（13 1
1
x3
2
x
2
3）.
解：
2
(1)（
36
3
）2
（
6
）2
3 2
（6）3
216 ;
(2)
49
2 3
7
3 1.5
6 12
7
113143 1 1 1
2 3 3 32 3 6
6;
1 1 1
111
5
(3) a 2 a 4 a 8 a 2 4 8 a8 ;
(4)
2x（13 1
m
a n
1
m
，零的正分数指数幂是零，负分数指数幂没
有意义。a n
2.有理数指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 分数指数幂及运算
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意
义相仿，我们规定：
m
an
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N*, n 1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a;
3
a4 4 a3 ;
3
a5
1
;
5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
2.用分数指数幂表示下列各式：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指
数推广到了有理数指数。
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1) ar as ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s Байду номын сангаасrs (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
1
x3
2
x
2
3）
1
4.
2
x
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a (a 0,是无理数）
是一个确定的实数，无理数指数幂可以由有理数指 数幂无限逼近而得到，有理数指数幂的运算法则对 无理数指数幂也成立。
5 观察下表： 2 的是否表示一个确定的实数？
2 的过剩近似值 1.5 1.42
解析答案
条件求值问题
通法提炼
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条
件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若
通过a
1 2
＋a－
1 2
＝3解出a的值代入求值，则非常复杂.
——易错警示系列——
1
忽视a n (n为偶数)中a的取值范围导致出错
n an a (n为奇数）
如果n为偶数， n an 表示an的正的n次方根，所以当 a 0 ，
这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n
an
a
a, (a 0), a (a 0).
(3)
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0.
探究点1 分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
由上可以看出：5 2可以由 2的不足近似
值和过剩近似值进行无限逼近。
1.分数指数幂是根据根式的意义引入的，正数的正分数
指数幂的意义是
m
an
n
am
，负分数指数幂的意义是
（ 2）3
27 .
81
3
38
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a2 3 a2 ; a 3 a .
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
解： a3
a
1
a3 a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
例2
求值：
8
2 3
;
25
1
2（;
1
）5（, 16
） 34
.
2 81
解：
2
83
2
(23)3
3 2
2 3
22
4;
1
25 2
(52
)
1 2
2( 1 )
5 2
51
1;
5
（1）5 (21)5 25 32; 2
（16 ） 34
（
2
）4(
3 4
)
(3)已知
x
12＋x
1
x2＋1
2＝5，求 x 的值.
解
由
x
1
2＋x
-12＝5，两边同时平方得
x＋2＋x－1＝25，
整理得：x＋x－1＝23，则有x2＋x 1＝23.
解析答案
成功和失败本是同一片旷野，它是会令你 溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。
4ab0
4a;
(2)
(m
1 4
n
3 8
)8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3
m2 n3
.
例5.计算下列各式：
(1) ( 3 25 125) 4 25; (2)
a2 a 3 a2
(a 0).
解：(1) ( 3 25 125) 4 25
2
3
1
2
1
3
1
(53 52 ) 52 53 52 52 52
(1)
21
11
15
(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)
(m
1 4
n
3 8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1) (2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a6b6 )
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b2 3 6
2
(1) 3 x2 ;
x3
(2) 4 (a b)3 (a b 0);
3
(a b)4
(3) 3 (m n)2 (m n);
2
(m n)3
(4) (m n)4 (m n);
(5) p6q5 ( p 0);
(m n)2