2010届高三一轮复习数学精品资料：2.1 映射、函数及反函数

§2.1 映射、函数及反函数

基础自测

与函数f (x )=|x |是相同函数的是 （ ） A .y =

2

x B .y =x

x 2

C .y =e ln x

D .y =log 22x

答案 A

2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个 答案 C

3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ）

A .A 中的每一个元素在集合

B 中都有对应元素

B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同

C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同

D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素 答案 B

4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）

A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数

B .都表示y 是x 的函数

C .仅②③表示y 是x 的函数

D .都不能表示y 是x 的函数 答案 C

5.已知f （x

1

）=x 2+5x ,则f (x )= .

答案 2

51x x (x ≠0)

例1 给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2

x

;

(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.

解（1）令t =x +1,≨t ≥1，x =（t -1）2.

则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+≦). （2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),

≨f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c , 则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.

≨⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ≨⎩⎨⎧-==1

1b a ，又f (0)=3⇒c =3,≨f (x )=x 2-x +3. 例2 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

<-=>.

0,1,0,

1,0,2x x

x x x （1）画出函数的图象；

（2）求f (1)，f (-1),f [])1(-f 的值.

解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-,11

1

=-f [])1(-f =f (1)=1. 例3（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；

（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，

销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).

故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ), 4分 整理得

y =-60x 2+20x +200

(0＜x ＜1) 6分 （2）要保证本年度利润比上一年有所增加，

则y -(1.2-1)×1 000＞0, 8分 即-60x 2+20x +200-200＞0,

即3x 2-x ＜0 10分 解得0＜x ＜3

1，适合0＜x ＜1.

故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜3

1. 11分 答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1).

（2）投入成本增加的比例x 的范围是(0, 3

1).

12分

1.（1）已知f （

12

+x

）=lg x ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）；

（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x

1

）=3x ，求f （x ）.

解 (1)令x 2+1=t ，则x =

1

2

-t ， ≨f （t ）=lg

12

-t ，≨f （x ）=lg 1

2-x ,x ∈(1,+≦).

（2）设f （x ）=ax +b ，则

3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ≨a =2，b =7，故f （x ）=2x +7.

（3）2f （x ）+f （x

1）=3x ， ①

把①中的x 换成x

1，得2f （x

1）+f （x ）=x

3 ②

①×2-②得3f （x ）=6x -x

3，≨f （x ）=2x -x

1.

2.在同一平面直角坐标系中，函数y =f (x )和y =g (x )的图象关于直线y =x 对称，现将y =g (x )的图象沿x 轴向左平移

2个单位，再沿y 轴向上平移1 个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f (x )的表达式为（ ）

A.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+20,220

1,

22x x

x x B.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--20,

2201,

22x x

x x

C.f(x)=⎪⎩

⎪⎨⎧≤<+≤≤-42,122

1,

22x x

x x D.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-4

2,

3221,

62x x

x x

答案 A

3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.

解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足， 依题意，则有AH =2

a ，AG =2

3a .

（1）当M 位于点H 的左侧时， N ∈AB ，

由于AM =x ，∠BAD =45°.