2010届高三一轮复习数学精品资料：2.1 映射、函数及反函数

§2.1 映射、函数及反函数基础自测与函数f (x )=|x |是相同函数的是 （ ） A .y =2x B .y =xx 2C .y =e ln xD .y =log 22x答案 A2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个 答案 C3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ）A .A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素 答案 B4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数B .都表示y 是x 的函数C .仅②③表示y 是x 的函数D .都不能表示y 是x 的函数 答案 C5.已知f （x1）=x 2+5x ,则f (x )= .答案 251x x (x ≠0)例1 给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.解（1）令t =x +1,≨t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+≦). （2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),≨f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c , 则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.≨⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ≨⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,≨f (x )=x 2-x +3. 例2 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图象；（2）求f (1)，f (-1),f [])1(-f 的值.解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-,111=-f [])1(-f =f (1)=1. 例3（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ), 4分 整理得y =-60x 2+20x +200(0＜x ＜1) 6分 （2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y -(1.2-1)×1 000＞0, 8分 即-60x 2+20x +200-200＞0,即3x 2-x ＜0 10分 解得0＜x ＜31，适合0＜x ＜1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜31. 11分 答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1).（2）投入成本增加的比例x 的范围是(0, 31).12分1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ≨f （t ）=lg12-t ，≨f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+≦).（2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ≨a =2，b =7，故f （x ）=2x +7.（3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ①把①中的x 换成x1，得2f （x1）+f （x ）=x3 ②①×2-②得3f （x ）=6x -x3，≨f （x ）=2x -x1.2.在同一平面直角坐标系中，函数y =f (x )和y =g (x )的图象关于直线y =x 对称，现将y =g (x )的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1 个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f (x )的表达式为（ ）A.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+20,2201,22x xx x B.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--20,2201,22x xx xC.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-42,1221,22x xx x D.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-42,3221,62x xx x答案 A3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足， 依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1）当M 位于点H 的左侧时， N ∈AB ，由于AM =x ，∠BAD =45°.≨MN =x .≨y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG 之间时， 由于AM =x ， ≨MN =2a ，BN =x -2a .≨y =S 直角梯形AMNB =2·21a［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a≤< （3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM =x ，MN =MD =2a -x . ≨y =S 梯形ABCD -S △MDN =).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,0212222一、选择题1.下列函数中，与函数y =x 相同的函数是 （ ） A .y =xx 2 B .y =(x)2 C .y =lg10x D .y =x2log 2答案 C2.设M ={x |-2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是图中的（ ）答案 B 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为（ ）A .1B .2C .3D .4答案 C 4.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式可取为 （ ）A .21x x + B .-212x x + C .212x x + D .-21x x +答案 C 5.函数f (x )=x x -132 +lg(3x +1)的定义域是 （ ）A .（-∞,-31） B .（-31,31）C .（-31，1） D .（-31,+∞）答案 C6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)等于（ ）A .2B .3C .6D .9 答案 C 二、填空题7.已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是 .答案 1 28.已知函数ϕ(x )=f (x )+g(x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16, ϕ(1)=8,则ϕ(x )= . 答案 3x +x5三、解答题9.（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、b ,有f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x ,而f (0)=1,≨f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 2f (-x )-f (x )=lg(1-x )① 又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ② 两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),≨f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).10.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x . （1）求g (x )的解析式；（2）解不等式g (x )≥f (x )-|x -1|.解 （1）设函数y =f (x )的图象上任一点Q (x 0,y 0)关于原点的对称点为P (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,02,020y y xx 即⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x≧点Q （x 0,y 0）在函数y =f (x )的图象上≨-y =x 2-2x ,即y =-x 2+2x ,故g (x )=-x 2+2x . (2)由g (x )≥|1|)(--x x f 可得：2x 2-|x -1|≤0. 当x ≥1时，2x 2-x +1≤0,此时不等式无解.当x ＜1时，2x 2+x -1≤0,≨-1≤x ≤.21因此，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1.11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上， 设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB ， 垂足为E ，连接BD ， 那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD. ≨AD 2=AE ×AB ，即AE =Rx 22，≨CD =AB -2AE =2R -Rx 2，所以y =2R +2x +（2R -Rx 2）, 即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R xx ,解得0＜x ＜2R .所以y =-R x 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）.12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050.所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.。