平面直角坐标系中的位似变换【公开课教案】
4.8课时2平面直角坐标系中的位似变教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册
5. 位似变换的坐标系中的点的位置变化：在坐标系中，位似变换后的点的位置变化与比例k和平移向量(a, b)有关。如果比例k>1，点向右平移a个单位，向上平移b个单位；如果比例0<k<1，点向左平移a个单位，向下平移b个单位。
6. 位似变换的类型：位似变换可以分为两种类型，即顺时针位似和逆时针位似。顺时针位似是指将图形按照一定的比例顺时针旋转，而逆时针位似是指将图形按照一定的比例逆时针旋转。
7. 位似变换与相似变换的区别：位似变换是一种特殊的相似变换，相似变换不仅可以对图形进行缩放，还可以对图形进行旋转。而位似变换只对图形进行缩放，不改变图形的方向。
4. 例题4：已知点D(1,1)在平面直角坐标系中，求点D关于原点的位似变换后的坐标，且位似比为2。
解答：由位似变换的性质可知，点D关于原点的位似变换后的坐标为(-2,-2)。
5. 例题5：已知点E(2,3)在平面直角坐标系中，求点E关于x轴的位似变换后的坐标，且位似比为1/2。
解答：由位似变换的性质可知，点E关于x轴的位似变换后的坐标为(2,-3)。
6. 课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调位似变换的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括位似变换的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调位似变换在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用位似变换。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于位似变换的短文或报告，以巩固学习效果。
2. 例题2：已知点B(4,6)在平面直角坐标系中，求点B关于x轴的位似变换后的坐标。
平面直角坐标系中的位似变换 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换教学设计可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？讲授新课如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）（1）将O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.O'A'B'△O'A'B'与△OAB位似位似中心是原点相似比为2（2）如果将O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比. 通过小组合作的形式完成前三个问题,给学生充分的思考、交流、展示的时间。
第四个问题让学生完全独立完成,加深理解,掌握作图方法,并进一步归纳出规律(学生用自己的语言描述即可)。
在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。
在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。
O1A1B1△O1A1B1与△OAB位似位似中心是原点相似比为2如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），C（6，10），D（-2，6），将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘12，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘-12，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？【总结归纳】学生动手在直角坐标系中自己创作一个多边形,并将黄纵坐标都乘以一个数,得到新坐标,画出新多边形,判断两个多边形是否为位似图形,并求出位似中心和相似比。
学生在教师的学生很容易将一开始总结出来的方法用在这两个问题上。
课件展示作图的步骤及过程,不仅能吸引学生的注意力,同时,让学生学会听课,观察,对比。
通过仔细观察,对比自己的作图过程,掌握在直角坐标系中做多边形位似图形的方法,并能对作图方法进行初步归纳(用自己的语言描述)。
【教案】 平面直角坐标系中的位似
27.3.2 平面直角坐标系中的位似一、教学目标知识与技能1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．过程与方法了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．情感态度与价值观培养学生从特殊到一般地认识事物，获得数学的经验，激发学生探索知识的兴趣二、重、难点重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换难点：一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律三、课堂引入1．如图，△三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：四、例题讲解例1（教材的例题）解：问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×) 2 1(-，6×) 2 1(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．五、课堂练习1.△的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△放大为△，使△与△的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．2.如图，△缩小后得到△，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．3．如图，将图中的△以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．4．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．六、小结：以原点为位似中心位的似变换中对应点坐标间的关系.七、作业：必做：课本习题T3，5八、课后反思：。
4.8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换教案1
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。
新湘教版九年级上册初中数学 课时2 平面直角坐标系中图形的位似变换 教案(教学设计)
第3章图形的相似3.6 位似课时2 平面直角坐标系中图形的位似变换【知识与技能】1.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.2.能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.3.能运用位似原理作出位似图形.【过程与方法】1.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.2.通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同,进一步理解图形变换的区别.3.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合思想方法在解题中的应用.【情感态度与价值观】1.使学生亲身经历坐标系下位似变换的基本原理,感受数学学习的应用性和挑战性.2.经历坐标系下画位似图形的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.3.进一步体验合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.多媒体课件.导入一:【复习提问】(1)什么是位似图形?位似图形有什么性质?(2)如何把一个图形放大或缩小?(3)作位似图形需要注意什么?【师生活动】学生思考回答,教师点拨并补充.导入二:完成下列作图.如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2,B2,C2的坐标；(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出点A3,B3,C3的坐标.【师生活动】学生通过平移、对称、旋转的规律回答变化后的坐标,教师点评,导入新课.[过渡语]在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平移、旋转、对称等变换,类似地,位似作为一种图形变换,也可以用图形坐标之间的关系来表示,这就是我们今天要探究的内容.[设计意图]通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似的兴趣.一、位似图形的坐标(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?(2)如图,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?思路一【师生活动】学生在课前准备的坐标系下动手画图,然后小组交流结果.教师在巡视过程中及时关注和提醒学生画出的位似图形是否有两种,对学生展示的结果点评.观察各对应顶点坐标之间的关系,小组合作交流,师生共同归纳结论.【问题】运用这个规律时有什么限制?一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).思路二教师引导思考、操作、演示.(1)在坐标系下画以原点为位似中心的图形,你能画出几个?如何画?(如图)（1）（2）(2)在课前准备的坐标系下分别画出位似图形.(3)图(1)中点A',B'的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?(利用相似可得点A',B'的横、纵坐标是点A,B的横、纵坐标的)(4)图(1)中点A″,B″的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?(利用相似可得点A″,B″的横、纵坐标的绝对值是点A,B的横、纵坐标的)(5)在图(2)中点A″,C'的横、纵坐标与点A,C的横、纵坐标之间有什么关系?(6)你能归纳关于原点对称的图形各对应顶点坐标之间的关系吗?【师生活动】学生在教师的引导下,画出图形,证明对应顶点之间的关系,最后归纳总结结论,教师引导学生思考,对画图及回答作出点评,然后课件展示图形变化过程中坐标之间的变化,最后师生共同归纳总结结论.【课件展示】一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).[设计意图]学生通过动手操作画出图形,通过观察、讨论,得出以原点为位似中心的图形的对应点之间的坐标规律,学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,增强学生学习数学的自信心,同时培养学生归纳总结能力,体会从特殊到一般及数形结合在数学中的应用.二、例题讲解如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心,画一个三角形,使它与△ABO的相似比为.【思考】(1)所要画的是三角形,所以解决问题的关键是确定哪些点的坐标?(2)确定这些点的坐标与已知点的坐标之间有什么关系?如何确定这些点的坐标?【师生活动】学生独立思考后,画出图形,小组交流答案,学生展示结果,教师点评.【追加提问】你能总结画一个图形以原点为位似中心的位似图形的步骤吗? 学生小组交流,教师补充,归纳画图步骤:(1)根据以原点为位似中心的图形坐标变化规律,求出各顶点的坐标；(2)在坐标系下根据各顶点坐标描出各点；(3)依次连接各顶点可得所求作的图形.如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),求这两个正方形的位似中心的坐标.【教师引导分析】(1)两个位似图形的特征是什么?(每对对应点与位似中心共线；对应线段平行或在同一条直线上)(2)位似中心的位置有几种?哪几种?(两种,位似图形在位似中心的同侧或异侧)(3)观察图形,当位似中心在位似图形同侧时,位似中心是不是在特殊直线上? (DG,AO在x轴上,故位似中心在x轴上)(4)当位似中心在位似图形同侧时,位似中心还在哪条与已知有关的直线上? (过对应点C,F所在的直线上或过对应点B,E所在的直线上)(5)当位似中心在位似图形同侧时,如何求位似中心的坐标?(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时,位似中心在什么位置?(直线不唯一.直线OC,DE的交点)(7)当位似中心在位似图形异侧时,如何求位似中心的坐标?(求直线OC与直线DE的交点坐标,直线不唯一)解:①当两个位似图形在位似中心同侧时,位似中心就是CF与x轴的交点.设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(-4,2),F(-1,1)的坐标分别代入,得解得即y=-x+,令y=0得x=2,∴位似中心的坐标是(2,0).②当位似中心在两个正方形之间时,可求直线OC的解析式为y=-x,直线DE的解析式为y=x+1,得解得即位似中心的坐标为.∴位似中心的坐标为(2,0)或.[设计意图]通过例题,巩固位似图形对应点的坐标之间的关系,让学生感受运用新知识解决问题的简捷性,从而获得成功感；例题2是用坐标描述位似图形的拓展,让学生体会位似中心不在坐标原点的有关计算,开阔了学生视野,加强学生对前后知识之间的联系,体会数形结合思想在数学中的应用.三、平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同[过渡语]我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式,你能在下图的图案中找到它们吗?四种变换有什么异同?【师生活动】学生小组合作交流后回答,教师对学生的回答点评,观察角度不同,学生的答案也不同.【四种变换的异同】图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的；而图形经过位似变换后,图形是相似的.[设计意图]设计开放性的题目让学生回顾思考各种图形变换,并归纳异同,将平移、旋转、轴对称和位似联系,完善认知结构,与课前导入首尾呼应,使教学过程通顺、流畅.[知识拓展](1)以原点为位似中心的位似变换,其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x,y)位于位似中心同侧的对应点P(kx,ky)；与P(x,y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx,-ky).当k>1时,是将1图形扩大；当0<k<1时,是将图形缩小.(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.②轴对称变换,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数.④位似变换中,当以原点为位似中心时,变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.1.位似变换中对应点坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky). 2.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同.第2课时1.位似图形的坐标2.例题讲解例1例23.平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换的是()A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变B.将各点的横坐标乘2,纵坐标不变C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2D.将各点的纵坐标都减2,横坐标都加22.如图,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大为原来的2倍,得到△OA'B'.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是()A.(2,4)B.(-1,-2)C.(-2,-4)D.(-2,-1)3.如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)4.在平面直角坐标系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是()A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.如图是△AOB和△COD,它们是位似图形,则△COD与△AOB的相似比是.6.△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,则A'点的坐标为,B'点的坐标为.7.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为.【能力提升】8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是.9.如图，在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐标为.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=(不写解答过程,直接写出结果).【拓展探究】11.如图，在△ABC中,BC=1,AC=2,∠C=90°.(1)在图(1)中,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且相似比为2∶1；(2)若将(1)中△A'B'C'称为“基本图形”,请你利用“基本图形”,借助旋转、平移或轴对称变换,在图(2)中设计一个以点O为对称中心,并且以直线l为对称轴的图案.【答案与解析】1.C解析:将各点的纵坐标乘2,横坐标不变,是将图形竖直方向拉伸,将各点的横坐标乘2,纵坐标不变,是将图形水平方向拉伸,图形的形状发生变化,故A,B不属于位似变换；将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2,是将图形平移,故D不属于位似变换；将各点的横坐标、纵坐标都乘2,是以坐标原点为位似中心的位似变换.故选C.2.C解析:根据以原点为位似中心的坐标变化规律,可得△AOB扩大为原来的2倍,对应点的坐标为(2,4)或(-2,-4).故选C.3.A解析:∵线段CD和线段AB关于原点位似,∴△ODC∽△OBA,∴==,即==,∴CD=1,OD=2,∴C(2,1).故选A.4.D解析:根据题意得点E的对应点E'的坐标是(-2,1)或(2,-1).故选D.5.3∶5解析:由图可知=,即为两三角形的相似比.6.解析:∵△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,∴A'点的坐标为,B'点的坐标为.7.(,)解析:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴OA∶OD=1∶.∵点A的坐标为(1,0),即OA=1,∴OD=.∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴E点的坐标为(,).8.(-2a,-2b)解析:根据题意易得两个图形是以原点O为位似中心的位似图形,且大鱼与小鱼的相似比是2∶1,∴对应点的坐标是(-2a,-2b).9.解析:如图,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'F⊥x轴于点F.∵点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),∴==.由题知AE=1,EO=2,BE=3,∴==,∴=,解得AF=.∴EF=,∴FO=2-=.由=,解得B'F=4,则点B'的坐标为.10.解:(1)如图的△A1B1C1即为所求. (2)如图的△A2B2C2即为所求. (3)1∶411.解:答案不唯一.(1)如图(1). (2)如图(2).通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似图形的兴趣.本节课的重点是探究位似图形坐标之间的规律,并能应用规律解决有关问题,通过学生动手操作、小组合作交流,共同归纳出结论,在学生探究过程中突出了学生是课堂的主体,让学生在课堂上展示自己,增强自信心.例题的设计把本节课的内容进行了拓展,即位似中心不是坐标原点的情况,联系了前后知识,开阔了学生的视野,拓展了学生的思维,提高数学思维能力.本节课是位似的第2课时,主要探究位似图形坐标的特征,并能应用探索的规律解决有关问题,在教学设计中关注学生的课堂参与,表面看课堂气氛活跃了,但是只有部分学生积极发言,调动学生的积极性的技巧还存在问题,另外例2的设计目的是把本节课知识进行拓展,但题的难度有点大,给予讨论的时间不够长,有些学生没有真正掌握,在以后的教学中,要注重难易程度的把握.。
2022年人教版《平面直角坐标系中的位似》公开课教案
第2课时 平面直角坐标系中的位似1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)一、情境导入观察如以下图的坐标系．试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．二、合作探究探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，那么端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．应选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，假设位似比是k ，那么原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第3题【类型二】 在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中，△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．解：(1)如以下图，△A ′B ′C ′即为所求；(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第7题 【类型三】 在坐标系中确定位似比 △ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第3题探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，那么△A ′B ′C ′的面积是________．解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32，∴△A ′B ′C ′的面积是6.方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第6题 【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，那么点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，那么点A 2的坐标为(________)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，那么点A 3的坐标为(________)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，假设点B 4在x 轴的负半轴上，那么点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，那么点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，那么点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，那么点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，假设点B 4在x 轴的负半轴上，那么点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，假设位似比是k ，那么原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活泼，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.第2课时百分率和配套问题 教学目标1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。
人教版九年级数学教案-平面直角坐标系中的位似变换2
第2課時平面直角坐標系中的位似變換教學目標1、理解圖形在平面直角坐標系中的相似變換方法與性質；2、會在平面直角坐標系中的進行圖形的相似變換，掌握在平面直角坐標系中相似變換的座標關係；3、瞭解伸縮變換與反向位似圖形的概念；教學重點：圖形在平面直角坐標系中的相似變換方法與性質；教學難點：在平面直角坐標系中的進行圖形的相似變換，以及平面直角坐標系中相似變換的座標關係；教學過程一、回顧與反思1、幾何變換，相似變換，位似變換三者之間有何關係？相似變換是特殊的幾何變換，位似變換又是特殊的相似變換，位似變換是具有特殊位置關係的相似圖形。
2、如何作一個圖形的位似圖形？位似中心可以是平面內任意一點，該點可在圖形的同側，或在兩圖形之間，或在圖形內，或在邊上，也可是頂點。
二、圖形在平面直角坐標系中的相似變換圖形在平面直角坐標系中的相似變換時，它們的座標有何關係嗎？如圖，△ABC的頂點座標分別是A（1，1），B（3，2），C（4，1），以原點O為位似中心，相似比為k=3，作△ABC的位似圖形（學生在草稿本上完成），觀察對應頂點的座標變化，你能有什麼發現？A（1，1）→A’(3,3)；B（3，2）→B’(9,6)；C（4，1）→C’(12,3)，你能證明所得到的結論嗎？由學生依據相似三角形的判定和性質加以證明；以原點O 為位似中心的同向位似變換性質：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點O 為位似中心，相似比為k （k>0），原圖形上點的座標為（x ，y ），那麼同向位似圖形對應點的座標為（kx ，ky ）。
三、應用舉例例1：△ABC 的頂點座標分別是A （1，1），B （3，2），C （4，1），按（x ，y ）→（21x ，21y ）的方式變換，求變換後所得圖形中對應點的座標，畫出變換後的圖形，並比較它與原圖形的關係？（讓學生通過實踐操作、觀察、發現並總結變化規律，加深對位似變換的認識） 思考：在上述圖形變換中，如果取相似比k=-3，對△ABC 進行變換，請動手操作，看看結果如何？它與k=3時的變換結果又有什麼不同？（關於原點成中心對稱）我們把相似比k<0時的變換得到的圖形稱為反向位似圖形。
平面直角坐标系中的位似-北师大版九年级数学上册教案
平面直角坐标系中的位似-北师大版九年级数学上册教
案
一、学习目标
•了解平面直角坐标系中的位似概念及性质；
•掌握计算位似比例及位似中心；
•能够解决位似图形的问题。
二、教学重点
•位似比例的计算；
•位似中心的求解。
三、教学难点
•实际问题中的位似变换。
四、教学内容及进度安排
1.位似的概念及性质（1课时）
–位似的定义；
–位似的性质。
2.位似比例及计算（2课时）
–位似比例的概念及计算方法；
–位似比例的性质。
3.位似中心的求解（2课时）
–位似中心的概念及求解方法；
–位似中心的性质。
4.实际问题中的位似变换（2课时）
–利用位似变换解决实际问题。
五、教学方法
1.板书+导引法
–设计示例，通过导引引导学生对问题进行思考和探究，引导学生感受单位长度的变化。
–联系实际，参考现实中的实例进行讲解。
2.讨论+演示法
–设计问题，在讨论中引导学生探究位似变换的计算方法；
–在演示中，讲解位似中心的求解方法。
六、教学评估
1.课上评估
–提问答题；
–练习题。
2.课后评估
–课后作业；
–综合练习。
北师大版九年级上册数学平面直角坐标系中的位似变换教案
九年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究探究点：平面直角坐标系中的位似变换【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A.（3，2） B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D.方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.第2课时平面直角坐标系中的位似变换教学目标1、理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；2、会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；3、了解伸缩变换与反向位似图形的概念；教学重点：图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；教学难点：在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，以及平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；教学过程一、回顾与反思1、几何变换，相似变换，位似变换三者之间有何关系？相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似变换是具有特殊位置关系的相似图形。
人教版九年级数学教案-平面直角坐标系中的位似变换
第2課時 平面直角坐標系中的位似變換學習目標：1、 瞭解平面直角坐標系下位似變換圖形座標的特點.2、 能夠熟練準確地利用座標變化將一個圖形放大或縮小. 學習重點：歸納總結座標變化規律.預設難點：在坐標系中準確地將一個圖形放大與縮小.【預習案】 一、鏈接1、把一個圖形變成另一個圖形，並保持圖形形狀不變的幾何變換叫做_________.2、如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的直線__________，那麼這樣的幾何變換叫做___________，這樣的兩個圖形叫做___________．3、圖形在平面直角坐標系中作平移變換時座標的變化規律是(h>0)： 向左平移h 個單位→),(b a (_ _,b)，向右平移h 個單位→),(b a (____,b)； 向上平移h 個單位,(),(a b a →___)，向下平移h 個單位,(),(a b a → __).二、導讀閱讀課本中的“閱讀與思考”回答下列問題：1、在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點O 為位似中心，相似比為K （K ＞0），原圖形上點的座標為（x,y ），那麼同向位似圖形對應點的座標為___________（K ＞0）.2、在平面直角坐標系中，在作),(),(by ax y x →變換時，當0≠=b a 時為相似變換；當b a ≠時便不是相似變換，我們稱之為___________ ．3、在問題1中若K ＜0，則與K ＞0時的變換結果有什麼不同？【探究案】1．如圖，△ ABC 三個頂點座標分別為A(2,3)，B(2,1)，C(6,2).（1）將△ ABC 向左平移三個單位得到△ A 1B 1C 1，寫出三點的座標； （2）寫出△ ABC 關於x 軸對稱的△ A 2B 2C 2三個頂點A 2、B 2、C 2的座標； （3）將△ ABC 繞點O 旋轉180°得到△ A 3B 3C 3，寫出三點的座標．2、在平面直角坐標系中有兩點A （6，3），B （6，0），以原點為位似中心，相似比為1:2，把線段AB 縮小方法一： 方法二：探究：（1）在方法一中，'A 的座標是 ，'B 的座標是 ，對應點座標之比是 ； （2）在方法二中，''A 的座標是 ，''B 的座標是 ，對應點座標之比是實驗探究1：如圖，ABC ∆三個頂點座標分別為()2,3A ()2,1B ()3,1C ，以點O 為位似中心，相似比為２，將ABC ∆放大，觀察對應頂點座標的變化，你有什麼發現？歸納：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k ，那麼位似圖形對應點的座標的比等於 ；實驗探究2：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD 的座標分別為A （-6,6），B （-8,2），yxDBACO【訓練案】1、 如圖，ABC △與A B C '''△是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的座標是多少？2、已知：如圖，E （－4，2），F （－1，－1），以O 為位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO 縮小，則點E 的對應點E ′的座標為（ ）． A ．（2，－1）或（－2，1）； B ．（8，－4）或（－8，4）； C ．（2，－1）； D ．（8，－4）.yx FE O3、在平面直角坐標系裏有四個點：A（0，1），B（4，1），C（5，4），D（1，4）．（1）順次連結點A、B、C、D，得到一個怎樣的四邊形？（2）將各點的橫、縱坐標都乘以2，得到點A’、B’、C’、D’，那麼四邊形A’B’C’D’是什麼圖形，它與四邊形ABCD有何關係？。
4.8.2平面直角坐标系中的位似(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“位似变换在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.理论介绍：首先，我们要了解位似变换的基本概念。位似变换是指将一个图形按照一定的比例进行放大或缩小，并保持其形状不变的变换。它是平面几何中非常重要的变换之一，广泛应用于图形设计、地图制作等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了位似变换在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，小组讨论环节中，学生们的参与度很高，他们能够积极思考并分享自己的观点。但我也注意到，有些学生在讨论过程中较为被动，可能是因为他们对位似变换的理解还不够深入。针对这一问题，我打算在接下来的课程中，多关注这些学生，鼓励他们积极参与，提高他们的自信心。
在实践活动方面，我发现学生们对位似变换的实验操作非常感兴趣，他们能够通过动手实践，更好地理解位似变换的性质。但同时，我也发现部分学生在操作过程中，对于位似比的计算和应用还不够熟练。因此，我计划在下一节课的复习环节，加强对这部分内容的讲解和练习。
3.位似变换的应用：运用位似变换解决实际问题，如地图放大与缩小、图形的相似变换等。
。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.空间观念：通过学习位似变换，培养学生对平面直角坐标系中图形的空间想象能力，提高对位似变换中图形大小和位置关系的认识。
2.抽象能力：使学生掌握位似变换的概念和性质，培养从具体实例中抽象出数学规律的能力，提升逻辑思维和推理能力。
27.3.2 平面直角坐标系中的位似(公开课)
6
-5
A
B6Biblioteka -5AA(4,-5), B(6,0) A′(8,-10), B′(12,0) A″(-8,10), B″(-12,0)
至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和 位似等图形的变化方式.你能在下图所示的图案中找 到它们吗？
平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
以x 轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相
轴对称变换 反数;以y 轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互
为相反数
旋转变换 一个图形绕原点旋转180° ,则旋转前后两个图形对应
点的横坐标与纵坐标都互为相反数
位似变换 当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的横
坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比
教 材 习 题 27.3
复习巩固
1.如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形， 求它们的相似比并找出位似中心.
2.如图，以点P为位似中心，将五角星的边长 缩小为原来的 1 .
2
3.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)， C(6，4). 以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到 △DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1:2，这时 △DEF各个顶点的坐标分别是多少？
中点D的坐标是 (-4，-4)或(4，4) .
综合应用
如图所示, 图中的小方格都是边长为1的正方形,
△ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形, 它们
的顶点都在小正方形的顶点上.
y
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′
的相似比;
相似比为2∶1
人教版九年级数学教案-平面直角坐标系中的位似变换(1)
第2課時平面直角坐標系中的位似變換1.理解位似圖形的座標變化規律；（難點）2.能熟練在坐標系中根據座標的變化規律作出位似圖形.（重點）一、情景導入觀察如圖所示的坐標系中的幾個圖形，它們之間有什麼聯繫？二、合作探究探究點：平面直角坐標系中的位似變換【類型一】求在坐標系中進行位似變化對應點的座標在平面直角坐標系中，已知點A（6，4），B（4，－2），以原點O為位似中心，相似比為12，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的座標是（）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根據題意畫出相應的圖形，找出點A的對應點A′的座標即可.如圖，△A′B′O與△A″B″O即為所作的位似圖形，可求得點A的對應點的座標為（3，2）或（－3，－2）.故選D.方法總結：位似圖形與位似中心有兩種情況：（1）位似圖形在位似中心兩側；（2）位似圖形在位似中心同側.若題中未指明位置關係，應該分兩種情況討論，防止漏解.【類型二】在平面直角坐標系中畫位似圖形如圖，在平面直角坐標系中，A（1，2），B（2，4），C（4，5），D（3，1）圍成四邊形ABCD，作出一個四邊形ABCD的位似圖形，使得新圖形與原圖形對應線段的比為2：1，位似中心是座標原點.解析：以座標原點O為位似中心的兩個位似圖形，一種可能是位似圖形在位似中心同側，此時各頂點的座標比為2；另一種可能是位似圖形在位似中心的兩側，此時各頂點的座標比為－2，此題作出一個即可.解：如圖，利用位似變換中對應點的座標的變化規律，分別取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），順次連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.則四邊形A′B′C′D′就是四邊形ABCD的一個位似圖形.方法總結：畫以原點為位似中心的位似圖形的方法：將一個多邊形各點的橫坐標與縱坐標都乘±k（或除以±k），可得新多邊形各頂點的座標，描出這些點並順次連接這些點即可.三、板書設計平面直角坐標系中的位似變換：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數k（k≠0），所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是座標原點，它們的相似比為|k|.位似變換是特殊的相似變換.以學生的自主探究為主線，培養學生的探索精神和合作意識.注重數形思想的滲透，通過座標變換，在平面坐標系中，讓學生畫圖、觀察、歸納、交流，得出結論.在學習和探討的過程中，體驗特殊到一般的認知規律.通過交流合作，體驗到成功的喜悅，樹立學好數學的自信心.。
位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换教案
第3章图形的相似
3.6 位似
【应用举例】
例1 [教材P99例] 如图3－6－44，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，C(1，2)．以坐标原点O为位似中心，将OABC放大为原图形的3倍．
图3－6－44
图3－6－45
解：将平行四边形OABC的各顶点的坐标分别乘3，得O(0，0)，A′(9，0)，B′(12，6)，C′(3，6)，依次连接点O，A′，B′，C′，则四边形OA′B′C′即为所要求的图形，如图3－6－45所示．
变式一如图3－6－46，在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(4，4)， C(－2，3)．画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的位似比是2∶1.
图3－6－46
变式二如图3－6－47，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，用上一节课的方法画出五边形OBCDE的位似图形，使它与五边形OBCDE的位似比为1∶2.比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？。
北师大版九年级上册数学：4.8.2平面直角坐标系中的位似变换教案(1)
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。
北师版九年级上册数学4.8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换2教案
第2课时平面直角坐标系中的位似变换教学目标1、理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；2、会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；3、了解伸缩变换与反向位似图形的概念；教学重点：图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；教学难点：在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，以及平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；教学过程一、回顾与反思1、几何变换，相似变换，位似变换三者之间有何关系？相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似变换是具有特殊位置关系的相似图形。
2、如何作一个图形的位似图形？位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形的同侧，或在两图形之间，或在图形内，或在边上，也可是顶点。
二、图形在平面直角坐标系中的相似变换图形在平面直角坐标系中的相似变换时，它们的坐标有何关系吗？如图，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，2），C （4，1），以原点O 为位似中心，相似比为k=3，作△ABC 的位似图形（学生在草稿本上完成），观察对应顶点的坐标变化，你能有什么发现？A （1，1）→A ’(3,3)；B （3，2）→B ’(9,6)；C （4，1）→C ’(12,3)，你能证明所得到的结论吗？由学生依据相似三角形的判定和性质加以证明；以原点O 为位似中心的同向位似变换性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0），原图形上点的坐标为（x ，y ），那么同向位似图形对应点的坐标为（kx ，ky ）。
三、应用举例例1：△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，2），C （4，1），按（x ，y ）→（21x ，21y ）的方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标，画出变换后的图形，并比较它与原图形的关系？（让学生通过实践操作、观察、发现并总结变化规律，加深对位似变换的认识） 思考：在上述图形变换中，如果取相似比k=-3，对△ABC 进行变换，请动手操作，看看结果如何？它与k=3时的变换结果又有什么不同？（关于原点成中心对称）我们把相似比k<0时的变换得到的图形称为反向位似图形。
最新版初中数学教案《平面直角坐标系中的位似变换 》精品教案(2022年创作)
第2课时平面直角坐标系中的位似变换【知识与技能】1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小.2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的根本性质，会按要求画出经变换后的图形.【过程与方法】在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.【情感态度】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.【教学重点】用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.【教学难点】体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.一、情境导入，初步认识问题如图，点A〔0，3〕，B〔2，0〕是平面直角坐标系内的两点，连接AB.〔1〕将线段AB向左平移3个单位得到线段A1B1，画出图形，并写出A1，B1的坐标；〔2〕作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出A2，B2点的坐标；〔3〕将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出A3，B3的坐标.〔4〕以原点O为位似中心，位似比为12，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出A4，B4坐标.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？【教学说明】问题〔1〕、〔2〕、〔3〕，从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习平移、轴对称、旋转等变换.而问题〔4〕，那么是承上启下为新课的学习做好铺垫，同时，与问题〔1〕、〔2〕、〔3〕一起形成了完整的知识结构，这样以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系.对问题〔1〕、〔2〕、〔3〕的处理，可采用灵活多样形式，既可自主探究，也可小组讨论相互交流，教师也可适时参与讨论.在处理问题〔4〕时，教师可给学生充裕的探讨时间，让学生自己发现结论.二、思考探究，获取新知通过上面的问题〔4〕思考，可以发现：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k 或-k.这一结论是否正确呢？下面我们再通过探究来验证一下.问题 如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A 〔2，3〕，B 〔2，1〕，C 〔4，3〕，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，得到△A 1B 1C 1. 〔1〕请在图中画出所有满足要求的△A 1B 1C 1;〔2〕写出A 、B 、C 的对应点A 1，B 1，C 1的坐标；〔3〕观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？分析与解 〔1〕作直线OA ，OB ，OC ，在射线OA 、OB 、OC 上，截取A 1，B 1，C 1，使1112===OA OB OC OA OB OC，依次连接A 1，B 1，C 1，得△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1是适合要求的图形；类似地，在第三象限可画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2是以O 为位似中心，位似比为2的放大图形，如下列图：〔2〕把△ABC 放大后，A ，B ，C 的对应点为A 1〔4，6〕，B 1〔4，2〕，C 1〔8，6〕；A 2〔-4，-6〕，B 2〔-4，-2〕，C 2〔-8，-6〕；〔3〕观察对应点坐标的变化，可以发现，各顶点的横、纵坐标均是其对应点横、纵坐标的k 倍或-k 倍.【教学说明】通过对上述问题的探究思考，让学生主动参与数学知识的“再发现〞，在动手——猜想——交流——归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.性质 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比为k 或-k.三、典例精析，掌握新知例1 △OEF 是△OAB 以点O 为位似中心；由△OAB 放大而得到的，假设点A、B坐标分别为〔-1，4〕和〔3，2〕，且相似比为3∶1，求点E、F的坐标.分析与解由坐标平面内以原点O为位似中心的两个图形的对应顶点坐标之间的关系可以知道，点E，F的坐标应为〔-1×3，4×3〕和〔3×3，2×3〕或〔-1×〔-3〕，4×〔-3〕〕和〔3×〔-3〕，2×〔-3〕〕，即E、F的坐标为〔-3，12〕和〔9，6〕或〔3，-12〕和〔-9，-6〕.例2如图，四边形ABCD的坐标分别为A〔-6，6〕，B〔-8，2〕，C〔-4，0〕，D〔-2，4〕，画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为12的位似图形.分析与解问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标.根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为〔-6×12，6×12〕，即〔-3，3〕.类似地，可以确定其他顶点的坐标.如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取A′〔-3，3〕，B′〔-4，1〕，C〔-2，0〕，D′〔-1，2〕.依次连接A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求的四边形ABCD的位似图形.【教学说明】这里的两道题都可让学生自主探究，教师巡视，发现问题及时指导，最后教师再展示解题过程，锻炼学生的解题能力.在例2中，还可以画出四边形ABCD类似原点O在第四象限的位似图形，可让学生试一试.四、运用新知，深化理解△AOB和把它缩小后得到的△OCD，求△AOB与△COD的相似比.2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A〔2，-2〕，B〔4，-5〕，C〔5，-2〕，以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍.【教学说明】所选的两道题是前面知识的延续，学生可自主完成，教师巡视，对优秀者应给予鼓励，增强他们学习兴趣.五、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.列举出生活中的位似图案.【教学说明】针对问题1，学生可发表各自看法，这样一方面可提炼本节知识点，另一方面也可对所存在的问题进行探讨，完善知识技能.而问题2那么可让学生感受数学来源于生活，从而更深理解本节知识.1.布置作业：从教材P51习题27.3中选取.2.完成练习册中相应练习.本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系中的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EABCE CDA AB==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 3是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
2022年初中数学精品教案《平面直角坐标系中的位似变换》公开课专用
4.8图形的位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换教学目标1.理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；2.会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系；3.了解伸缩变换与反向位似图形的概念；教学重难点【教学重点】图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质.【教学难点】在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，以及平面直角坐标系中相似变换的坐标关系. 教学过程一、回顾与反思1、几何变换，相似变换，位似变换三者之间有何关系？相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似变换是具有特殊位置关系的相似图形。
2、如何作一个图形的位似图形？位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形的同侧，或在两图形之间，或在图形内，或在边上，也可是顶点。
二、图形在平面直角坐标系中的相似变换图形在平面直角坐标系中的相似变换时，它们的坐标有何关系吗？如图，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，2），C （4，1），以原点O 为位似中心，相似比为k=3，作△ABC 的位似图形（学生在草稿本上完成），观察对应顶点的坐标变化，你能有什么发现？ A （1，1）→A’(3,3)；B （3，2）→B’(9,6)；C （4，1）→C’(12,3)， 你能证明所得到的结论吗？由学生依据相似三角形的判定和性质加以证明；以原点O 为位似中心的同向位似变换性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0），原图形上点的坐标为（x ，y ），那么同向位似图形对应点的坐标为（kx ，ky ）。
三、应用举例例1：△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，2），C （4，1），按（x ，y ）→（21x ，21y ）的方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标，画出变换后的图形，并比较它与原图形的关系？（让学生通过实践操作、观察、发现并总结变化规律，加深对位似变换的认识） 思考：在上述图形变换中，如果取相似比k=-3，对△ABC 进行变换，请动手操作，看看结果如何？它与k=3时的变换结果又有什么不同？（关于原点成中心对称）我们把相似比k<0时的变换得到的图形称为反向位似图形。
2022年初中数学精品教案《平面直角坐标系中的位似变换 (2)》公开课专用
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？ 二、合作探究探究点：平面直角坐标系中的位似变换【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2） 解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D.方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A ′（2，4），B ′（4，8），C ′（8，10），D ′（6，2），顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k （或除以±k ），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.第1课时教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重点难点1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P108练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P112第1、2题．板书设计。
2022年初中数学精品教案《平面直角坐标系中的位似变换》公开课专用
第2课时平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P117的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P117的例题）分析：略（见教材P117的例题分析）解：略（见教材P1173的例题解答）例2在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P117随堂练习2． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO 放大为△EFO ，使△EFO 与△AB ∶1，求点E 和点F 的坐标．3． 如图，△AOB 缩小后得到△COD ，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC 以A ．为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化． 教学反思第2课时 教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
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第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）
2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？
二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标
在平面直角坐标系中，已知点A
（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为1
2，把△ABO 缩小，则点A 的
对应点A ′的坐标是（ ）
A.（3，2）
B.（12，8）
C.（12，8）或（－12，－8）
D.（3，2）或（－3，－2）
解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.
如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为
（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有
两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指
明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.
【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形
如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位
似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.
解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A ′（2，4），B ′（4，8），C ′（8，10），D ′（6，2），顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.
则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形.
方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k （或除以±k ），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.
三、板书设计
平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
位似变换是特殊的相似变换.以学生
的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。