自动控制原理(3)

= (1/T)*e
- t /T
# 3—4 二阶系统分析

由二阶微分方程描述的系统——二阶 系统。
一、数学模型 二阶系统传递函数的通式为： s + 2ζwns+wn 1 (s)=――――――― (Ts) 2 +2ζTs +1
2 wn
(s)=――――――― 2 2
T=1/wn
# 3—4二阶系统分析
自动控制原理
第三章
第三章 控制系统的时域分析
研究系统的动态特性，实质就是研究系统在 输入信号作用下，输出量是怎样按输入量的作用 而变化，也即系统对输入如何发生响应。
3—1 控制系统分析的方法

一、控制系统的典型输入
控制系统的输入信号具有随机的性质，往往不能用分析的 方法准确地表示出来。但对同一个系统，各种不同的输入所引起 的过渡过程所表征的系统特性在本质上是一致的，故在比较两个 系统的特性时，采用相同的输入是方便的。 单位脉冲函数：
三、一阶系统的单位斜坡响应
1、响应特性
R(s)=1/s2 C (s)=[1/s2 (Ts+1)]
取C(s）的拉氏反变换，得：

# 3—3 一阶系统分析 --1 2 g(t) = L [1/s (Ts+1)] --1 2 = L [1/s -T/s+ T/(s+1/T)]
- t /T
g(t) =（ t – T）+T*e (t > 0) = Css + Ctt 式中Css=（t-T）为响应的稳态分量， - t /T Ctt=T*e 为响应的瞬态分量，当时间 t 时，Ctt衰减到0。
响应的初始速度为： -t/T de(t)/dt|t=0 =1 – e |t=0 = 0
# 3—3 一阶系统分析

响应曲线图
3T
2T r(t)=t T 0 --T
--t/T
C(t)=t--T+Te
T
2T
3T
4T
# 3—3 一阶系统分析 2、性能指标 稳态误差 ：ess=lim[t—c(t)]
t
wn称无阻尼自然频率或固有频率，ζ为 阻尼比。 R(s) 2 C(s) 结构图 wn ――――――― s(s + 2ζwn)

一、已知一个闭环系统的单位阶跃响应为
C (t ) 1 0.2e
60t
1.2e
10t
1）求系统的闭环传递函数 2）确定系统的 ζ 和 wn
1 解： R ( s ) S 1 0.2 1.2 C (s) S S 60 S 10 C (s) 600 (s) 2 R( s) S 70 S 600
# 3—3 一阶系统分析 可见，一阶系统的单位阶跃响应如果以 初始速度等速上升至稳态值1，所需要的时 间应恰好为T。 2、时间常数T是表征响应特性的唯一 参数，它与输出值有确定的对应关系。 t=T h(T)=0.632 t=2T h(2T)=0.865 t=3T h(3T)=0.950 t=4T h(4T)=0.982 可以用实验方法根据这些值鉴别和确 定被测系统是否为一阶系统。
=lim[t—(t—T+Te
t
--t/T
)]
=T 由特性图可看出，一阶系统在斜坡输入 下的稳态输出与输入的斜率相等，只是滞后 一个时间 T或说存在一个T的跟踪滞后误差。 其数值与时间常数T的数值相等。因此，时间
# 3—3 一阶系统分析 常数T越小，则响应越快。稳态误差越小， 输出量对输入信号的滞后时间也越小。
3—2 对控制系统时域性能的 基本要求

评价系统时域性能的标准：稳定性、稳态特 性、暂态特性 。
一、稳定性 假设当输入为单位阶跃函数时，系统的输出如 图所示
C(t)
1
0
r(t)
t C(t)
C(t)
0
t
0 t
C(t) 1 0 t C(t)
1
0
t
结论：
1、控制系统正常运行的必要条件是必须是 稳定的。 2、线性控制系统的稳定性与输入量无关， 完全由系统的结构和参数决定 。
# 3—4 二阶系统分析

二阶系统的响应特性完全由ζ和wn两 个参数决定，所以ζ、wn是二阶系统的两 个重要参数。
三、单位阶跃响应 1、过阻尼系统 1）响应特性 ζ > 1时，二阶系统闭环特征方程有两个不 等的负实根

# 3—4 二阶系统分析 2 2 s + 2ζswn+wn =(s+1/T1)(s+1/T2) 1 T1=–——————— 2 wn(ζ-√‾‾‾‾‾) ζ -1
# 3—3 一阶系统分析 3、性能指标 1）暂态性能 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 所以性能指标主要 是调节时间ts，它表征 系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输 出响应可达稳定值的95%；t=4T时，输 出响应可达稳定值的98%，故一般取： ts=3T（s）（对应误差带为5%） ts=4T（s）（对应误差带为2%） 显然，系统的时间常数T越小，调节 时间ts就越小，响应过程的快速性也好。
ζ2 -1 T2=1/[wn(ζ+ √‾‾‾)] 且 T1> T2, wn2 =1/T1T2 1/T1T2 (s)=C(s)/R(s)=–––––––––––––––– (s+1/T1)(s+1/T2) 1 = –––––––––––––– (T1s+1)(T2s+1)
# 3—4 二阶系统分析

r K0 – KH G (s)
C(s)
解：
10k 0 ( s) 0.2 S (1 10 K H ) 10 K 0 0.2 S 1 10k H 1
1 10k H
T ' 0.1T 0.2 0.1 0.2 1 10 K H 1 0.1 1 0.1 K H K H 0.9 1 10 K H K0 1 K 0 1 9 10 1 10 K H
n 600 10 6
2
2 n 70 7 2 6
# 3—4 二阶系统分析 二、特征方程式 系统的特征方程式即为闭环传递函数 的分母多项式等于0。 二阶系统的特征方程式为： 2 2 s + 2ζswn + wn =0 2 特征根为：s= -ζwn ± wn√¯ ¯ ζ¯ -1 ζ2 -1 =wn(-ζ±√‾‾‾‾)
δ(t)=
0
t≠0
∞ t=0
L[δ(t)]=1
单位阶跃函数:
0
t<0 t≥0
1(t)=
1
1 L[1(t)]= — S 1 L[r(t)]= — S2 1 L[p(t)]= — S3
单位斜坡函数:
r(t)=
0
t<0
t t≥0
0 t<0 单位抛物线函数: p(t)= 1 2 —t t ≥ 0 2
正弦函数: w(t)=Asin(wt + θ)
# 3—3 一阶系统分析 四、一阶系统的单位脉冲响应 R(s)=1 C(s)=[1/(Ts+1)]*1 -1 Ct(t)=L [1/(Ts+1)] --t/T K(t)=(1/T)*e (t > 0)
响应初始斜率： 1/T dk(t)/dt|t=0 --t/T 2 = --(1/T )*e 1/2T 2 = --1/T
当输入为R(s)=1/s 1/T1T2 C(s)=—————— *(1/s) (s+1/T1)(s+1/T2)
-t/T1 1 h(t)=1 + —————*e (T2/T1)--1 -t/T2 1 +—————*e (t > 0) (T1/T2)--1 可见瞬态分量部分随时间增长而衰减 到0，最终输出稳态值1，所以系统不存在 稳态误差。
以上几种典型输入之间,按顺序前者是后者 的导数,而后者是前者的积分,所以只需要分析其 中一种输入函数的输出响应,就可利用求导数或求 积分的方法来确定 .
二、分析系统动态特性的两种方法
根据输入函数的不同 —— 时域分析、频域分 析。 1、时域分析法 ：在时间域中对系统在前几种典 型函数作用下的响应过程的分析。 2、频域分析法：在频率域中对系统在正弦信号 输入下的响应过程的分析。
0
T 2T 3T 4T 3/2T
# 3—3 一阶系统分析 五、三种响应之间的关系 Ct(t) = ∫ = ∫ (1-e )dt (t > 0 ) 0 --t/T = t – T+Te
t h(t)dt 0 - t /T t
k(t)= dh(t)/dt = d(1-e
- t /T
)/dt (t > 0)
# 3—3一阶系统分析 当时间t ，Ctt衰减为0，显然一阶 系统的单位阶跃响应是一条由零开始，按 指数规律上升并最终趋于1的曲线。如图所 示。 h(t) 2 响应曲线的初始 斜率：
dh(t)/dt|t=0 - t /T = (1/T)*e = 1/T
1 0 T 2T 3T 4T
初始斜率=1/T
则：Tsc(s) +c(s) = r(s) (s) = 1/(Ts+1)

设T=1/k , 则一阶系统可用如下的动态结构图 表示： c(t) K/s r(t) -
# 3—3 一阶系统分析 二、一阶系统的单位阶跃响应 1、响应特性 2、时间常数T 3、性能指标

# 3—3 一阶系统分析 二、一阶系统的单位阶跃响应 1、响应特性： 单位阶跃响应的拉氏变换为： R(s)=1/s C(s)= (s)*R(s) = 1/[s(Ts+1)] 取C(s)的拉氏反变换得： -1 [1/s(Ts+1)]=L-1 [1/s-1/(s+1/T)] h(t)=L h(t)=1-e -t/T (t > 0) 或写成 h(t) = Css +Ctt 式中 Css=1，代表稳态分量 - t /T Ctt=e 代表瞬态分量