黄昆版固体物理学课后答案解析答案
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章
黄昆 固体物理 习题解答第二章 晶体的结合2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有α= ∑ ′ ( 1)=2[1 1 1 1 −+−+ ...]r jr ijr 2r 3r 4r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i1 1 1故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234α = 2[1− + − + ...] 2 3 4xx xQl n(1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有12 3 4 1 1 1...− + − + = l n2∴ =α 2 2n2 3 42.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）α2e C解： u r ( )= −α2+rrnα2nC1du e nCenC 由| =−= 0 解得=+r e−1 r2n +12n 1( ) (=2)ndrrrrr 0nC11α e于是当 e 变为 2e 时，有 r−1= 4 −1 r e( )(2 ) (=2)nn= − α214α e结合能为 u r( )e (1−) 当 e 变为 2e 时，有4α e 2r0 1nnu e(2 )= −r (2 ) (1 −) = u e( ) 4 −n 1nu r( )= − α+βm n 2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算: 1) 平衡间距r0解答（初稿）作者季正华- 1 -r r黄昆固体物理习题解答2) 结合能W（单个原子的）3) 体弹性模量4) 若取m = 2, n = 10, r= 0.3 , = 4 eV计算αβ, 的值解：1) 平衡间距r0的计算NαβdU= mαnβU r ( ) = (−+m n) dr0 −r m+1 + r n+1 = 0晶体内能nβ 12 r r平衡条件r r0 即0 0r0= ( )n m所以mα2) 单个原子的结合能W = −1u( )r u r( ) (0= −α+βm n) r nβ 1r r0=( ) n m2 0β−m r r0 αmW = 1 α(1−)( )m n n m2 n mα3）体弹性模量K = ∂2U(2)V⋅V0∂V0晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目NαβU r ( ) = (−+m n)晶体内能∂=α2nβr rU∂U r∂N m− 1∂V ∂∂r V= 2 ( r m+1 r n+1 ) NAr23∂2 = ∂∂mαnβU N r[( −) 1 ]∂V 2 2 ∂∂V r rm+1 r n+1 3 N Ar2∂2U∂2UN1[2αmn2βmαnβK = (2)V⋅V0 ∂V2= 2 9V2−r m+ r n−r m+ r n]体弹性模量由平衡条件∂U∂V=N mα−V Vnβ 1= 00 0 0 0∂V 2 ( r m+1 r n+1 ) 3NAr2V V0解答（初稿）作者季正华0 0 0- 2 -α=n β∂2UN黄昆 固体物理 习题解答m 2αn 2βm r 0mr 0n ∂V 2V V=1[− 2 9V 02r 0m + r 0n ]体弹性模量 K= ∂2U(2)V⋅V 0∂2U=mn(−U )∂ V∂ V2 V V 9V 2mn K = U 0V 904）若取 m =β12, n = 10, r 0=0.3 ,= 4 eVβ−m计算 α β,的值r = n( ) −n mW = 1 α (1− )( )m n n mαm2 αn mβ =Wr 10α = r 2β+W 2[r 102 ]β =1.2 ×10-95eV ⋅m 103α =−7.5 ×1019eV ⋅ m 22.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹角。
(完整word版)黄昆固体物理课后习题答案4
第四章 晶体的缺陷思 考 题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /∆与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /∆存在差异， 是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式L L Δ>a aΔ.3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+K 离子的半径(1.33oA )小得不是太多, 所以+2Ca 离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca比+K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+K 离子的一个+2Ca 将引起相邻的一个+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, -+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+v A ν和+i A ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+v A E 和+i A E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为-v B ν和-i B ν, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别-v B E 为-iB E , 则由(4.47)矢可得 Tk E B A A B v A v v e T k ea /2+++-=νμ,T k E B A A B i A i i e Tk ea /2+++-=νμ, T k E B B B B v B v v e Tk ea /2----=νμ, Tk E B B B B i B i i e T k ea /2----=νμ.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+v A E <+i A E ,-v B E <-i B E . 由问题 1.已知, 所以有+v A ν<+i A ν, -v B ν<-i B ν. 另外, 由于+A 和-B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般-+≠B A E E , -+≠B A νν. 也就是说, 一般--++≠≠≠i v i vB B A A μμμμ. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数 Tk E u B ae D /)(0222221+-=ν,空位机构自扩散系数Tk E u B ae D /)(0111121+-=ν.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费T k E u B e n N t /)(0221211+==ντ的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间T k E u u B e n n N P /)(022********++===νττ.由以上两式得2/2n Ne t T k u B ==τ>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时,它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间T k E u B e n N t /)(0111111+==ντ.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成RTN T k e a e a D B /20/2002121εενν--==.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间21τn N后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间21ττn N t +=.因为τ>>21τn N ,所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.-+B A 离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. -+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, -B 填隙离子, +A 空位, -B 空位. 也就是说, -+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. -+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, -B 空位附近都是正离子. 由此可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, -B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +A 填隙离子和-B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而-B 填隙离子和+A 空位的漂移方向与外电场方向相反.。
黄昆固体物理部分习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理学_答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆固体物理习题解答
简单立方： a = 2r
体积为： a3 = 8r3 ，每个晶胞包含一个钢球，体积为： 4π r3 / 3 所以 x = π / 6 ≈ 0.52 体心立方： 3a = 4r
体积为： a3 = (4r / 3)3 ，每个晶胞包含两个钢球，体积为： 8π r3 / 3 所以 x = 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方： 2a = 4r 体积为： a3 = (4r / 2)3 ，每个晶胞包含四个钢球，体积为：16π r3 / 3
子数为 6，次近邻原子间距为 a ；
面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 12，最近邻原子间距等于 2 a ，次近邻原子数 2
为 6，次近邻原子间距为 a 。 1.8 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上的原子排列。 解：对于体心立方晶格， (100) 面上原子排列方式为
右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为
h = a2 − ( a )2 = 2a
3
3
所以
c = 2h = 8a ≈ 1.633a
3
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为
a1
=
a 2
(−i
证明：如果晶体原胞基矢为 a1、a2、a3 ，则原胞体积为
υc = a1 ⋅ (a2 × a3)
根据定义，倒格子基矢为
b1
=
2π (a2 × a3 ) υc
, b2
=
2π
(a3 × a1) υc
, b3
=
2π
(a1 × a2 ) υc
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(2)
1.10——答案在王矜奉《固体物理概念题和习题指导》p10 第 17 题
3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为
1 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E0 就是各振动
1
模零点能之和。 E0
m
0
E0 g d 将E0
将
M
us ueisKa e it , Vs VeisKa e it . 代入上式有
M 2u C 10 e ika V 11Cu , M 2V C eika 10 u 11CV ,
4
是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
2 2 2 2 Kx , 2m 2m a 2m a
2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y 2 m 2 , 所以 B / A 2 2m a a 2m a
所以 B / A 3
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子理
2 2 论，自由电子的能量为 K x2 K y K z2 ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于 2m
4 点的内切球的体积
3
4 3
，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 a
当 K= / a 时
2 20C / M , 2 2C / M ,
当 K=0 时，
2 22C / M , 2 0,
2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2 )晶体
(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆固体物理习题解答-完整版
0⎞ ⎟ 0⎟ ε3 ⎟ ⎠
1.12 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平 移群、点群、空间群。 晶格 面心立方晶格 金刚石晶格 闪锌矿晶格 Nacl 晶格的晶系 晶系 立方 立方 立方 立方 布拉伐格子 面心立方 面心立方 面心立方 面心立方 点群 Oh Oh Td Oh 空间群 Fm3m Fd3m
F43m
Fm3m
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5
《固体物理》习题解答
第二章
习 题
2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 α = 2 ln 2 . 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子 （这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有
3π / 8 ≈ 0.68
2π / 6 ≈ 0.74 2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
解 设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致
密度为: ρ = 结构 简单立方 体心立方 面心立方 六方密排 金刚石
4π nr 3 （设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是 3V
6 a
3a / 2
6 a
2a
1.7
画体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上 解：
原子排列．
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3
《固体物理》习题解答
体心立方
面心立方
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向 解 (111)面与(100)面的交线的 AB－AB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢 RB = −aj + ak （111） 与 （100） 面的交线的晶向 AB = − aj + ak —— 晶 向指数 ⎡011⎤
黄昆固体物理解答
由上式可得 ε 23 = 0, ε 32 = 0, ε11 = 0
0 ⎞ ⎛ ε11 0 ⎜ 可得六角晶系的介电常数为 ε = ⎜ 0 ε 22 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 ε 33 ⎠ ⎝ ⎛ ε1 0 0 ⎞ ⎟ 选择相应的坐标变换即可得到 ε = ⎜ ⎜ 0 ε 2 0 ⎟ ，原命题得证。 ⎜0 0 ε ⎟ 2⎠ ⎝
(2) 体心立方（书P3，图1-3）
r 取 原 子 球 相 切 时 的 半 径 （ 体 对 角 线 的 1/4 ） ， r= 3a / 4 ,n=2, V ＝ a 3 所 以
ρ=
n 4π r 3 3 = 3π / 8 V
(3) 面心立方（书P4，图1-7）
r 取 原 子 球 相 切 时 的 半 径 （ 面 对 角 线 的 1/4 ） r= 2a / 4 ,n=4, V ＝ a 3 ， 所 以
r
r
0 ⎞ ⎛ ε11 0 ⎜ ε = ⎜ 0 ε 22 ε 23 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ε ε 33 ⎟ 32 ⎝ ⎠
将上式代入 ε = Az T ε Az 得
⎛ ⎜ 0 ⎞ ⎜ ⎜ ε 23 ⎟ = ⎟ ⎜− ⎜ ε 33 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 ε11 + ε 22 4 4 3 3 ε11 + ε 22 4 4 3 − ε 32 2 − 3 3 ε11 + ε 22 4 4 3 1 ε11 + ε 22 4 4 1 − ε 32 2 − 3 ⎞ ε 23 ⎟ 2 ⎟ ⎟ 1 − ε 23 ⎟ 2 ⎟ ⎟ ε 33 ⎟ ⎟ ⎠
A
D
C
设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子这样马德隆常数中的正负号可以这样取即遇正离子取正号遇负离子取负号用表示相邻离子间的距离于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子一个在参考离子左面一个在其右面故对一边求和后要乘2马德隆常数为22讨论使离子电荷加倍所引起的对nacl晶格常数及结合能的影响排斥势看作不变ncdr于是当e变为2e23若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为平衡间距r0解答初稿作者固体物理习题解答1003的计算晶体内能dudr为常数n为原胞数目固体物理习题解答1003109510191024经过sp杂化后形成的共价的方向求共价键之间的夹sp轨道杂键其方向沿着立方体的四条对角线化过程形成的共体结构容价键如右图所示
黄昆固体物理习题解答-完整版
⎜⎝ε31 ε32 ε33 ⎟⎠ ⎜⎝ − ε31 ε32 ε33 ⎟⎠
⎜⎝ 0 ε32 ε33 ⎟⎠
⎜⎛ ε11 + 3ε 22
− 3ε11 + 3ε 22 − 3ε 23 ⎟⎞
得
⎜⎛ ε11 ⎜0 ⎜⎝ 0
0 ε 22 ε 32
0 ⎟⎞
⎜ ⎜
ε 23 ⎟ = ⎜ −
ε33 ⎟⎠
⎜ ⎜
⎜⎝
44
3ε11 + 3ε 22
《固体物理》习题解答
第一章 习 题
1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明
结构 简单立方(书P2, 图1-2) 体心立方(书P3, 图1-3)
面心立方(书P3, 图1-7)
六方密排(书P4, 图1-6)
金刚石(书P5, 图1-8)
x
π / 6 ≈ 0.52 3π / 8 ≈ 0.68
最后，感谢各位虫友一直以来对小木虫物理版的支持！同时也希望，今后能 后更多的虫友来加入物理版，把这里建成大家交流的乐园！
zt978031 2010 年 4 月 7 日
目录
第一章 习 题··························· 1 第二章 习 题··························· 6 第三章 习 题···························10 第五章 习 题···························31 第六章 习 题···························36 第七章 习 题···························42
倒格子基矢 b1
=
2π
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
黄昆《固体物理学》习题解析
s
ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ε 31 ε 32
假设六角晶系的介电常数为
ε 11 ε 12 ε = ε 21 ε 22 ε 31 ε 32
则由 ε = A x εAx .
'
得
ε 13 ε 11 ε 31 = − ε 21 ε 33 − ε 31
v v v a2 × a3 2π a v v v a v v v 倒格子基矢 b1 = 2π v v v = ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) a1 ⋅ a2 × a3 v0 2 2 v v v 2π a 2 v v v 2π v v ( j +k) = ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) = a v0 4 v v v a3 × a1 2π v v 同理 b2 = 2π r r r = (i + k ) a1 ⋅ a2 × a3 a v v v v 2π v v b3 = (i + j ) a
v 2π v v 2π v v 2π v b1 = i , b2 = j , b3 = k a b c
-3-
整
v v v a ×a b1 = 2π v 2v 3v a1 ⋅ a2 × a3
v v v a ×a b3 = 2π v 1v 2v a1 ⋅ a2 × a3
理
h k l ( ) 2 + ( )2 + ( )2 ；说明面 a b c
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子
-2-
Jo
体心立方格子原胞基矢 a1 =
ne
v v v a2 × a3 解：由倒格子定义 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 v
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
黄昆固体物理习题解答
因此只要先求出倒格点 Ghkl ，求出其大小即可。
由正格子基矢 a = ai ， b = bj ， c = ck ，可以马上求出：
a∗ = 2π i ， b ∗ = 2π j ， c∗ = 2π k
a
b
c
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为
Ghkl =
(ha∗ )2 + (kb∗ )2 + (lc∗ )2 = 2π
(h)2 + (k )2 + ( l )2 abc
则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为
a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 8，最近邻原子间距等于 3 a ，次近邻原 2
=V0
∂2U ( ∂r2
)r0
=
N 2
[−
m(m +1)α r m+2
0
+
n(n +1)β r n+2
0
=
N 2
{−
1 r02
m2α [( r0m
−
n2β r0n
)
+
(
mα r0m
−
nβ r0n
)]}
=
N 2
[−
1 r02
m2α ( r0m
−
n2β r0n
)]
=
N 2
[−
1 r m+2
0
(m2α
−
n2β nβ
AB = a (i − j − k ) 2
c
B
b
C
O
a
OB ⋅ AB =| OB || AB | cosθ = a2 (−1) 4
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《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1 、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，xnVVc（ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1）a=2r ， V= 4r 3 ， Vc=a 3，n=134 r 3 4 r 3∴ x 3 30.52a 3 8r 3 6（ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a4ra 4 3 xn=2, Vc=a332 4 r3 24 r 3 3∴ x 3 30.68a 3 ( 4 38r )33（ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a4r ,a2 2rn=4 ，Vc=a 34 4 r 34 4 r 32x330.74a3( 2 2r)36（ 4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO6a a sin 60 3 322=a2晶胞的体积： V= SC3 3 a 28 a 3 2a 3 24 2r 323n=12 12 1 21 3=6个626 4 r 32x3 0.7424 2r36（ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= 3a4 2ra8r n=8, Vc=a 338 4 r 38 4 r3x33 3 330.34a8 r 3 63 31.2 、试证：六方密排堆积结构中c ( 8)1/2 1.633a 3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球 A 、 B 、 O 的中心联线形成一个边长 a=2r 的正三角形，第二层硬球 N 位于球 ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中 NABO 构成一个正四面体。
⋯1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
a 1a( j k )2证明：（ 1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： aa(i k )22a 3a(ij )2由倒格子基矢的定义：b 1 2 (a 2 a 3 )0,a , a i ,j , k2 2a 3a 2( i j k )a 1 ( a 2 a 3 )a, 0,a， a 2 a 3 a, 0,a 224224a , a , 0 a , a , 02 22 2b 1 24 a 2( ij k )2( i jk)a 3 4ab 22 (i jk)同理可得：a即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
2b 3(i jk )a所以，面心立方的倒格子是体心立方。
a 1a( ijk )2（ 2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： a 2a (ij k )2a 3a(ijk )2由倒格子基矢的定义：b 1 2(a 2 a 3 )a , a , ai , j , k222a 3a 2( j k )a 1 ( a 2 a 3 )a , a , a ， a 2 a 3 a ,a , a 22 2 22 22 2a ,a , a a ,a ,a22 2 222b 1 22 a 2( j k )2 ( j k )a 3 2ab 22 (i k )同理可得：a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
2b 3(i j )a所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量G hbh bh b 垂直于密勒指数为 (hh h ) 的晶面系。
112 23 31 2 3证明：因为 CAa 1 a 3, CBa 2 a 3 ， G hb h b h bh 1h 3h 2 h 3 1 1 2 23 32ijGh h hCA 0利用 a i b j，容易证明12 3G h 1h 2 h 3 CB 0所以，倒格子矢量G hb 11 h 2b 2 h 3b 3 垂直于密勒指数为 (h 1h 2h 3 ) 的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为( h, k,l ) 的晶面系，面间距 d 满足： d 2 a 2 (h 2 k 2 l 2 ) ，其中 a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
解：简单立方晶格：a 1 a 2 a 3 ， a 1 ai , a 2aj , a 3 ak由倒格子基矢的定义：b 1a 2 a 3 ，b 2a 3 a 1 ，b 3a 1 a 2 2a 2a 2a a a a a a a倒格子基矢： b 12 i , b 2 2 j , b3 2 k aa a倒格子矢量： Ghb 1 kb 2 lb 3 ， Gh2i k2jl 2ka a a晶面族 (hkl ) 的面间距： d21G( h )2 ( k ) 2 ( l )2aa ad 2(h 2a 2l 2 )k 2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格（ 111）面、（ 100）面、（ 110）面，并指出（ 111）面与（ 100）面、（ 111）面与（ 110） 面的交线的晶向。
解： (111)1、 (111)面与 (100)面的交线的 AB ，AB 平移， A 与 O 点重合， B 点位矢： R Baj ak，面与 面的交线的晶向AB aj ak ，晶向指数 [0 11] 。
(111) (100)(111)2、 (111)面与 (110)面的交线的 AB ，将 AB 平移， A 与原点 O 重合， B 点位矢： R B ai aj ， (111)面与 (110)面的交线的晶向 ABai aj ，晶向指数 [110] 。
第二章 固体结合2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数2 ln 2 ，设离子的总数为 2 N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子 （这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有( 1 ) 2[ 1 1 14r1... ]jrijr2r3r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 r i 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为2[11 1 1 ...]2323 4n (14xxx...x)x234当 X=1 时，有 11 1 1 ... n 22 n 22342.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r )mr nr 试求：（1）平衡间距r 0 ；（ 2）结合能 W （单个原子的） ；（ 3）体弹性模量；（ 4）若取 m 2, n 10, r 03A,W 4eV ，计算及 的值。
解：（ 1）求平衡间距 r 0晶体内能 U (r )N ( r n )2r m平衡条件dUmnn10 ，0 ， r 0)nm(dr r rr 0m 1r 0n 1m（ 2）单个原子的结合能1u( r 0 ) ， u(r 0 ) ((n1Wr mr n )， r 0) n m2r r 0mmW1(1m)( n )n m2n m2U)V V 0（ 3）体弹性模量 K (晶体的体积 V NAr 3 ， A 为常数， N 为原胞数目 晶体内能 U (r )N ( r mr n )2UU r N ( m n1Vr V 2 r m 1 r n 1 )3NAr 22UNr[(m n 12 ]V 22 V r m 1r n 1 )r3NAr2UN 1[m 2n 2mn]V2 2mn mn V V 2 9V 0r 0r 0r 0r 0由平衡条件UN (mn )10 ，得mnVVV 02 r 0m 1 r 0n 1 3NAr 02r 0mr 0n2UN 1m 2n 2]V 22 [m nV V2 9V 0r 0r 02UN 1[ m mn N nm 2 [ mn ]V 22mn n ]V V2 9V 0r 0r 02 9V 0r 0r 0U 0N ( mn )2r 0 r 02Umn( U 0)V 2VV9V 02体弹性模量（ 4）若取KUmn0 9Vm2, n 10, r 0 3A , W 4 eV(n11 (1 m )( nmr 0) n m ， W ) n mm 2 n mWr 010 ，r 02[102W ]2r 01.2 10-95 eV m 10 ，9.0 10 19 eV m 22.6、bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯 (Lennard — Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值．＜解＞ u(r ) 4 ( )12( )6 , u(r ) 1N(4 ) A ()12A () 6 rr2rrdu(r )0r62A126u 1 N A62rA62A12 rbcc u( r0 )bcc( A62)/(A6)12.252 / 9.110.957fcc u( r0 ) fccA12A1214.452 /12.132.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard — Jones参数为50 10 6 J , 2.96 A.计算fcc结构的H2的结合能 [以 KJ/mol 单位 )，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ ／ mo1，试与计算值比较．＜解＞以 H 2为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard— Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：126U 2N P ij12R P ij6.i j R614.45392;P12P ij12.13188,ijj i5010 16 erg, 2.96 A, N 6.0221023 / mol.将R0代入 U 得到平衡时的晶体总能量为。
126因此，计28/ mol 501016erg 12.13 2.96 2.96 2.55KJ / mol.U 2 6022 1014.453.163.16算得到的 H 2晶体的结合能为2． 55KJ ／ mol，远大于实验观察值0.75lKJ ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．第三章 固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链， 其中第 j 个格波， 在第 n 个格点引起的位移为，nja j sin( j t _ naq j j ) ，j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。