数学归纳法

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数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知某个命题成立和成立条件，则可以推导出该命题对所有符合条件的情况都成立。

数学归纳法在数学领域中发挥着重要的作用，本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用。

一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。

1. 基础步骤：首先要证明当n取某个特定值时，命题成立。

这是数学归纳法的起点，称为基础步骤。

通常情况下，我们会取n=1或n=0作为基础步骤。

2. 归纳步骤：接下来，假设当n=k时，命题成立，即我们假设命题对于某个值k成立。

然后，使用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。

这一步骤称为归纳步骤。

3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设命题对于n=k成立，这被称为归纳假设。

通过归纳假设，我们可以推导出命题对于n=k+1的情况也成立。

归纳法的基本原理就是通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。

二、数学归纳法的应用数学归纳法不仅仅是一种证明方法，它也被广泛应用于其他数学问题的解决中。

以下是数学归纳法的一些典型应用。

1. 证明整数性质：数学归纳法常被用来证明某个整数性质对于所有正整数成立。

例如，我们可以利用数学归纳法证明所有正整数的和公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。

2. 证明不等式：数学归纳法还可以应用于证明不等式的成立。

例如，我们可以利用数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。

3. 证明命题等式：除了整数性质和不等式，数学归纳法也可以应用于证明命题等式的成立。

例如，我们可以利用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式：F(n) = (φ^n - （1-φ）^n) / √5，其中φ为黄金分割率。

数学归纳法作为一种重要的证明方法，广泛应用于数学的各个领域。

它能够简化证明过程，使得证明更加直观和清晰。

总结：数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。

数学归纳法

A、1
B、1 a
C、1 a a2
D、1 a a2 a3
2、用数学归纳法证明： 1 1 1
1
24 46 68
2n (2n 2)
n 4(n
1)
时，从k到k＋1时左边需要增添的项为__1_______
4(k 1)(k 2)
3、用数学归纳法证明：当n N时，1 2 22 23 25n1是31 的倍数，当n＝1时，原式为 _____________
7、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 234
1 2n 1
n(n
N
, 且n
1）时，
不等式在n＝k 1时的形式是 ____________
1
1 2
1 3
1 4
1 2k 1
1 2k
1 2k 1
1 2k1 1
共有多少项呢？ 2k 个项
例1已知数列
1 ,1 , 1 , 1×4 4×7 7×10
,
1
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
k
1
3k 1 (3k 1)(3k 4)
3k 2 4k 1 (3k 1)(3k 4)

数学归纳法

用数学归纳法需注意：
1.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础。 2.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。 3.第三步是总体结论，也不可少。
k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ， 3
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 2 2+2k+1 = k ( 2k 1) + 2k2+2k+1 =Sk+2k 3 1 1 3+k+6k2+6k+3) = [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] = 3 (2k 3 = 1 (k+1)(2k2+4k+2+1) = 1 (k+1)[2(k+1)2+1],
3
∴ 当n=k+1时公式仍成立。

3
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有
n( 2n 2 1) Sn 3
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)

数学归纳法

数学归纳法1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2) (归纳递推)假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1) 用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2) 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3) 步骤(2)的证明必须以“假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立”为条件.题型一用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．总结：用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k(k ∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2(k ＋1)＋k 2(k ＋1)综上所述，对于任何n ∈N*，等式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式思考用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例2 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1都成立．证明由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n .下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立．(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1对任意的n ∈N *都成立．总结：用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练2 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1k (k ＋1)k ＋1综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．题型三利用数学归纳法证明整除问题例3 求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k－1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．总结：证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练3 证明x 2n －1＋y 2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x 2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即x 2k －1＋y 2k－1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－1＋y 2(k＋1)－1＝x 2k ＋1＋y 2k ＋1＝x 2k－1＋2＋y 2k－1＋2＝x 2·x 2k －1＋y 2·y 2k －1＋x 2·y 2k－1－x 2·y 2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y 2k －1(y 2－x 2)．∵x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型四用数学归纳法证明数列问题例4 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．总结：归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练4 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．题型五利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例5 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．总结：用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练5 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． ∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．注意：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 练习1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C 解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 答案 C 解析将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．课后练习1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2 (n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4答案 D 解析等式左边的数是从1加到n ＋3. 当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6答案 C 解析当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k－1项B ．2k＋1项C ．2k 项D ．以上都不对答案 C 解析观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C 解析当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A 解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．答案 S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k )＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1)＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案D 解析从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

数学归纳法

数学归纳法4/27数学归纳法是证明与数的无限集合（特别是正整数集合）有关的命题的一种方法．其常见的形式有：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法等．数学归纳法的应用．例1设数列{}n a 满足关系式：（1）112a =，（2）n n a n a a a 221=+++ )1(≥n ，试证数列通项公式为1(1)n a n n =+．说明：本例可以使用第一和第二数学归纳法证明．第二数学归纳法的证明可以概括为：“1对”；假设“k ≤对”，那么“1k +也对”．详细地说，它分为以下三步： (1)奠基：证明1n =时命题成立； (2)归纳假设：设n k ≤时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立．例2 求证：第n 个质数（将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数）n p 小于22n．分析：首先注意到121k p p p + 没有质因数k p p p ,,,21 ，因此它的质因数都不小于1k p +，这就是说1121k k p p p p +≤+ ．于是我们设想通过证明121212k k p p p ++< （1）来达到证明1212k k p ++<的目的，但（1）式的证明必然要用到),,2,1(22k i p ii =<．所以，我们不得不改用第二数学归纳法．因为k p p p ,,,21 都不能整除121k p p p + ，所以121k p p p + 的质因数q 不可能是k p p p ,,,21 ，而只能大于或等于1k p +．121122222211212+122kk k k k p p p p +++++-+≤+<≤<例3 已知n m ,是任意非负整数，证明：若规定1!0=，则)!(!!)!2()!2(n m n m n m +是正整数．分析：命题与两个参数n m ,有关．我们把m 看作常数，对n 进行归纳．就得到以下证法．提示： 0=n 时，原式=mm C m m m 2!!)!2(=是正整数，其中m 是非负整数．设当k n =时命题成立，即)!(!!)!2()!2(k m k m k m +是正整数，其中m 是任意非负整数．则当1+=k n 时，(2)!(22)!(2)!2!(21)(22)(2)!(2)!(22)!(2)!4!(1)!(1)!!!()!(1)(1)!!()!(1)!!(1)!m k m k k k m k m k m k m k m k m k k m k m k m k m k m k ++++=∙=∙-+++++++++++评注：在上面的证明中，我们所用的归纳形式是：“m n ,0=任意时对”；假设“m k n ,=任意时对”，那么“m k n ,1+=任意时也对”．这里，m 被看作常数，但又是一个带有任意性的常数．我们有时把这种常数称为“活化了的常数”．这是多参数处理的一个常用方法．例4 设正数数列{}n a 满足关系式21n n n a a a +≤-，证明:对一切正整数n 有1n a n<．例5 证明：对一切正整数n ，不定方程22n x y z +=都有正整数解．例6 证明:对任何非空有限集合，都可将它的所有子集排成一列，使得每两个相邻的子集，或者是前一个仅比后一个多一个元素，或者是后一个仅比前一个多一个元素．证：当1n =时，{}A a =，它仅有两个子集：A ∅与，怎么排都行，可见断言成立．假设n k =时断言也成立，即可按规则将},,{1k a a A =的所有子集排成一列．下证1n k =+时断言也成立．先考虑n=2，n=3的情形： 2n =时，可将12{,}a a 的所有子集排成：1122,{},{,},{}a a a a ∅．3n =时，可将123{,,}a a a 的所有子集排成：112223123133,{},{,},{},{,},{,,},{,},{}a a a a a a a a a a a a ∅．可以看出，3n =时的前4个子集与2n =时12{,}a a 的全部子集的排法完全相同．再看看3n =时的后4个子集，就可以发现，如果从这4个子集中都划去3a ，则它们刚好就是前4个子集的逆序排列！设已将},,{1k a a 的所有的2k 个子集按照规则排成一列：k A A A 221,,, ．于是，我们只要将},,,{11+k k a a a 的所有子集排列如下：,},{,,,,12221 +k a A A A A k k },{},{1112++k k a A a A则不难验证这种排法确实合乎规则．所以当1n k =+时断言也成立．于是由数学归纳法原理知，断言对一切非空的有限集合都成立．例7 对怎样的正整数n ，集合{1, 2, …, n }可以分成5个互不相交的子集，每个子集的元素和相等．解先找一个必要条件：如果{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，各个子集的元素和相等，那么)1(2121+=+++n n n 能被5整除．所以n ＝5k 或n ＝5k －1．显然，k ＝1时，上述条件不是充分的．下用数学归纳法证明k ≥2时，条件是充分的．当k ＝2，即n ＝9，10时，我们把集合{1, 2,…, 9}和{1, 2, …, 10}作如下分拆：{1, 8}，{2, 7}，{3, 6}，{4, 5}，{9}；{1, 10}，{2, 9}，{3, 8}，{4, 7}，{5, 6}；当k ＝3时，即n ＝14，15时，有{1, 2, 3, 4, 5, 6}，{7, 14}，{8, 13}，{9, 12}，{10, 11}；{1, 2, 3, 5, 6, 7}，{4, 8, 12}，{9, 15}，{10, 14}，{11, 13}．因为若集合{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，并且它们的元素和相等，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}也能分成5个元素和相等但互不相交的子集．事实上，如果{1, 2, …, n }＝54321A A A A A ⋃⋃⋃⋃，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}＝54321B B B B B ⋃⋃⋃⋃，其中⋃=11A B {n ＋1, n ＋10}，⋃=22A B {n ＋2, n ＋9}，⋃=33A B {n ＋3, n ＋8}，⋃=44A B {n ＋4, n ＋7}，⋃=55A B {n ＋5, n ＋6}。

数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法数学归纳法，又称归纳推理法，是数学中一种常用的证明方法。

它基于两个重要的前提：第一，如果证明了某个命题在某个特定情况成立，且能够证明当命题在一个特定情况下成立时，它在下一个情况下也成立，那么可以推断该命题在所有情况下都成立；第二，数列是整数的任意一个子集，并且它包涵了第一个正整数，且对任意的正整数n，满足“n属于该子集，而n+1也属于该子集”。

数学归纳法的运用需要三个关键步骤：首先，我们需要证明当n取某个合适的值时命题成立；其次，假设当n取k时该命题成立，然后证明当n取k+1时该命题也成立；最后，根据数学归纳法的前提，我们可以断定该命题对于所有的正整数n都成立。

以求证一个数学公式为例，我们以斐波那契数列作为研究对象，斐波那契数列的定义如下：F(1) = 1F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n≥3）我们来利用数学归纳法证明斐波那契数列的性质。

首先，当n取1和2时命题成立，因为F(1)和F(2)的值分别为1，满足定义。

假设当n取k时该命题成立，即假设F(k) = F(k-1) + F(k-2)成立。

现在我们要证明当n取k+1时该命题也成立。

将n取k+1代入斐波那契数列的递推公式，得到：F(k+1) = F((k+1)-1) + F((k+1)-2)= F(k) + F(k-1)根据我们的假设，我们可以得到：F(k+1) = F(k-1) + F(k-1) + F(k-2)= F(k-1) + F(k)根据斐波那契数列的定义，我们知道F(k+1) = F(k) + F(k-1)，因此假设成立。

由此可见，当n取k+1时命题也成立。

根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论：对于所有的正整数n，斐波那契数列的定义成立。

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它能够帮助我们建立起基本的数学理论和推导出重要的数学公式。

通过逐步证明命题在不同情况下的成立性，我们可以确保其在所有情况下都成立。

数学归纳法

an an1 (n 1,2,3,...),猜想 1 an 其通项公式并用数学归纳法进行证明！
步骤：递推基础不可少，（基础）
归纳假设要用到，（依据）
结论写明莫忘掉。（结论）
例2：证明方法是否正确？为什么？
n 3 11n 6 ⑴ 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ 6 解：等式成立。证明如下：
1 11 6 ∵n=1时，左边=1，右边= =1 ∴等式成立 6 8 22 6 n=2时，左边=1+3=4，右边= =4 ∴等式成立 6
本节课我们学习的知识： 1、由特殊到一般的归纳思想。
2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。步骤：⑴ 证明当n取第一个值n0时命题成立
⑵ 假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
由⑴ ⑵可知,对n∈N (n≥n0)命题都成立
两个步骤缺一不可
作业
an ，已知a1 1，对于数列
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
1、用数学归纳法证明 3＋5＋…＋(2n－1)＝﹝n＋1﹞﹝n－1﹞时， 2 时，等式成立。第一步应验证n＝___
2、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时， ⑴ 在验证n=1时，左端计算所得项为（ B ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 1＋2＋3 (D) 1＋2＋3＋…＋2· 1 ⑵ 则当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上
有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！”

数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，常用于证明自然数命题的正确性。

它基于两个重要的假设：第一个是基准情形，即当n等于一个特定的值时，命题成立；第二个是归纳假设，即假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。

通过这种递推的思想，我们可以推导出对所有自然数n都成立的结论。

数学归纳法在数学研究和证明中扮演着重要的角色，它具有以下优势：首先，数学归纳法是一种简洁而有效的证明方法。

通过归纳的逻辑推理，可以快速证明数学命题的正确性，减少了繁琐的推导过程。

其次，数学归纳法可以用于证明具有递增性质的命题。

对于这类问题，我们只需要证明基准情形和归纳假设，就能推导出一般情况的正确性。

最后，数学归纳法具有广泛的应用范围。

无论是数学领域还是其他科学领域，都可以使用数学归纳法进行推导和证明。

下面通过一些具体的例子来说明数学归纳法的应用。

例一：证明1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2，其中n为正整数。

首先，我们需要证明基准情形，即当n=1时等式成立。

显然，1 =1(1+1)/2，左右两边相等。

其次，我们假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2。

然后，我们来证明当n=k+1时等式也成立。

当n=k+1时，左边的表达式可以写成1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)。

根据归纳假设，1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2，将其代入原式得：k(k+1)/2 + (k+1)。

进行化简得到：[k(k+1) + 2(k+1)]/2 = (k+1)(k+2)/2。

右边的表达式正好等于n(n+1)/2，因此得证。

例二：证明2^n > n，其中n为正整数且n≥4。

基准情形：当n=4时，2^4 = 16 > 4。

归纳假设：假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。

然后我们证明当n=k+1时不等式也成立。

数学归纳法

数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。

归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。

数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。

归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。

类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。

归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。

归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。

在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。

归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。

1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。

其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。

这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。

最后要注意分类的层次性和关联性。

分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。

其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。

但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。

数学归纳法

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
解题
原理
解题要点
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
数学归纳法
数学证明方法
01 简介
03 合理性 05 发展历程

目录
02 解题 04 变体
数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后一步总结表述。需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号： 1, 2, 3……n, n+1 对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

数学归纳法

例1. 用归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么 an=a1+(n-1)d 对一切n∈N*都成立。
证明：(1) 当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d=a1 等式成立。 (2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k－1)d 则 ak+1=ak+d
=[a1+(k －1)d ]+d
=a1+[(k+1)－1]d
数学归纳法
四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？
思考Βιβλιοθήκη 259每个顶点处有3条对角线，6个顶点，每条对角线都计算了两次。
猜想：n边形（n≥4）有多少条对角线？为什么？
n (n-3) 2
同上述理由，每个顶点处可作(n-3) 条对角线，n个顶点共可作n(n-3)条，重复一次。
这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？
即当n=k+1时，等式也成立。
由(1) (2)可知，等式对任何n∈N*都成立。
用数学归纳法证明命题的步骤:
⑴、证明当n取第一个值n0 (例如n0=1或2)时结论正确；
（递推的基础）
⑵、假设当n=k(kN *,且k ≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。 (递推的依据）
例2. 用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n－1)=n2
则当n=k+1时，左边= 1+2+22+…+2k-1 + 2k
= 2k-1 + 2k
= 2k+1-1
=右边即n=k+1时成立。
由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立
3、首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an= a1 qn-1 证明：（1）当n=1时，左边= a1，右边= a1q1-1 = a1

数学归纳法总结

【数学归纳法】【数学归纳法的基本形式】1. 第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① 当00()n n n N =∈时，()P n 成立；② 假设0(,)n k k n k N =≥∈成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数0n n ≥，命题()P n 成立。

2. 第二数学归纳法（串值归纳法）设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① 当00()n n n N =∈时，()P n 成立；② 假设0(,)n k k n k N ≤≥∈成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数0n n ≥，命题()P n 成立。

3. 跳跃数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① 当1,2,...,n l =时，(1),(2),...,()P P P l 成立；② 假设0(,)n k k n k N =≥∈成立，由此推得n k l =+时，()P n 也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数1n ≥，命题()P n 成立。

4. 反向数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① ()P n 对无限多个正整数n 成立；② 从命题()P n 成立可以推出命题(1)-P n 也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n ，命题()P n 成立。

如果命题()P n 对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：Ⅰ 设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① 1=n 时命题()P n 正确；② 假如由()P n 不成立推出(1)-P n 不成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n ，命题()P n 成立。

Ⅱ 设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果① 1,2,...,=n r 时，命题(1),(2),...,()P P P r 都成立；② 假若由由()P n 不成立推出()-P n r 不成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n ，命题()P n 成立。

数学归纳法

(2)假当 = k(k ≥ 1)时式立即设 n 等成 , −1+ 3− 5+L+ (−1)k(2k −1) = (−1)k k n 当 = k +1时
1 例证 : n3 + 5n(n∈ N+ )能被整 . 明够 6 除
明 n , 证 : (1)当 = 1时 n3 + 5n = 6显能被整 , 命成 . 然够 6 除题立
8.用学纳证 : (1⋅ 22 − 2⋅ 32) + (3⋅ 42 − 4⋅ 52) +L 数归法明 + (2n−1)⋅ (2n)2 − 2n(2n+1)2 = −n(n+1)(4n+ 3)
1 1 1 f 9.设 (n) = 1+ + +L + , 是存 g(n)使式否在等 n 2 3 f (1) + f (2) +L f (n−1) = g(n) f (n) − g(n)对 ≥ 2 n + 一自数立证结 . 的切然成 ?并明论
4.某命与然 n有 ,若 = k(k ∈N+ )时该题立 , 命成 , 个题自数关 n 么推 n , 那可得 = k +1 该题成 , 现已当 = 5时时命也立在知 n 该题成 ,那可得 C ) 命不立么推 ( A当 = 6时命不立 B. n = 6时命成 . n 该题成当该题立 C当 = 4时命不立 . n 该题成 D当 = 4时命成 . n 该题立
3.如命 p(n)对 = k成 ,则对 = k + 2亦立 n 果题立它 n 成 , 若 n 又 p(n)对 = 2成 ,则列论确是 B ) 立下结正的 ( A (n 对有整 n成 .p ) 所正数立 C (n 对有正数成 .p ) 所奇整 n 立 B.p )对有正数成 (n 所偶整 n 立 D (n 对有 1大自数成 .p ) 所比的然 n 立

数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，广泛应用于数论、代数、组合数学等领域。

通过数学归纳法，可以证明一类问题的通用性质，也可以用来构造一类问题的通用解法。

本文将介绍数学归纳法的基本概念、原理和应用，以及一些常见的数学归纳法的例子。

一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明方法，它基于两个基本概念：基本情况和归纳步骤。

基本情况指的是我们需要证明的性质在某个特定情况下成立。

一般来说，基本情况是指当n等于某个特定的值时，我们要证明的性质成立。

归纳步骤是指我们假设某个特定情况下性质成立，然后通过这个假设推导出下一个情况下性质也成立。

通常是假设当n=k时，性质成立，然后通过这个假设证明当n=k+1时，性质也成立。

二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以用以下形式表达：（1）基本情况成立：当n等于某个特定值时，需要证明的性质成立。

（2）归纳步骤成立：假设当n=k时，性质成立，然后证明当n=k+1时，性质也成立。

（3）由（1）和（2）可知，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。

数学归纳法的原理看起来很简单，但它需要严谨的证明。

通常，我们需要首先证明基本情况成立，然后通过归纳步骤证明当n=k时，性质成立。

最后，我们可以得出结论，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。

三、数学归纳法的应用数学归纳法在数学的各个领域都有广泛的应用。

1. 数论数论是研究整数性质和整数之间关系的数学分支。

数学归纳法在数论中得到了广泛应用，例如证明质数的无穷性、证明整数间的除法关系等。

2. 代数代数是研究数学结构、变换和等式的数学分支。

数学归纳法在代数中也有重要的应用，例如证明恒等式、证明等价关系等。

3. 组合数学组合数学是研究离散结构和组合问题的数学分支。

数学归纳法在组合数学中被广泛运用，例如证明组合恒等式、证明二项式系数等。

四、数学归纳法的例子下面是一些常见的数学归纳法的例子：1. 奇数和偶数基本情况：当n=1时，1是奇数。

数学归纳法

即n k 1时等式成立。
根据（ 1 ）、（ 2）可知，对一切 n N ，等式成立
判断下列两例的证明过程是否正确
证明：假设n k时等式成立，即1 3 5 （2k 1 ） k 2 1则n k 1时， 1 3 5 （2k 1 ）（2k 1 ） k 2 1 （2k 1 ） (k 1) 2 1 所以n k 1时等式成立。根据以上可知，对一切 n N ，等式成立
框图表示
验证n n0时命题成立
n 0 即初始值
若n k k n0 时命题成立证明n k 1时命题也成立
归纳奠基：归纳递推

命题对从n0开始所有的正整数n都成立
例1.用数学归纳法证明 12 2 2 3 2 n 2
证明：(1)当n=1时，左边=12 1 1(1 1)(2 1) 右边 1 ，等式成立 6 (2）假设当n k时成立，即
n( n 1)(2n 1) 6
12 22 32 k2 那么当n k 1 时
左边 12 22 32
k (k 1)(2k 1) 6
2
k 2 k 1
k ( k 1)(2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) ( k 1)[(k 1) 1][2 （k 1) 1] 6 6 即当n k 1时等式也成立
练习
1 1 1 1 1 1 2 3 k 1 k ＝1 k 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 那么，当n k 1时， 2 3 k 1 k k 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ＝1 k k 1 ＝1 k 1 ＝1 k 1 2 2 2 2

数学归纳法的基本原理

总结：归纳法的意义与未来
▪ 归纳法的教育推广
1.归纳法作为数学思维的重要组成部分，应当在数学教育中得到更加广泛的推广。 2.通过教育和培训，提高公众对归纳法的认识和掌握程度，有助于提升社会的数学素养和创新能力。
▪ 归纳法与社会科学的交叉研究
1.归纳法在社会科学中也可以发挥重要作用，帮助研究者发现社会规律和解决社会问题。 2.交叉学科的研究将会推动归纳法的发展，并为社会科学的研究提供更加严谨和科学的方法支持。以上内容仅供参考，您可以根据自身需求进行调整优化。
数学归纳法的重要性
1.数学归纳法是数学中的一种重要证明方法，能够确保数学命题的准确性和严谨性。 2.通过数学归纳法，可以推导出许多重要的数学公式和定理，从而推动数学学科的发展。 3.数学归纳法体现了从特殊到一般的推理思想，有助于培养数学思维和问题解决能力。以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化。
基本原理：归纳步骤详解
▪ 归纳法的注意事项
1.在进行归纳步骤的证明时，必须严格利用归纳假设和已知条件，不能引入新的条件和假设。 2.在证明过程中，需要注意保持命题的一致性和严谨性，避免出现逻辑漏洞和错误。
▪ 归纳法的发展趋势和前沿应用
1.随着数学的发展和计算机技术的应用，数学归纳法的应用范围和实用性不断扩大。 2.在人工智能、机器学习等领域，数学归纳法也被广泛应用于数据分析和模式识别等方面，为相关领域的发展提供了有力的支持。
数学归纳法的基本原理
基本原理：基础步骤详解
基本原理：基础步骤详解
数学归纳法的定义和目的
1.数学归纳法是一种用于证明数学命题的方法，其目的是通过有限的步骤证明无限个数学命题的正确性。 2.数学归纳法基于归纳原理，即从有限个特殊情况中推断出一般情况的正确性。

数学归纳法

应用广泛：在数学、计算机科学等领域有广泛应用
数学归纳法的应用范围
证明数学定理解决数学问题证明数学公式证明数学猜想
数学归纳法的证明步骤
初始步骤
基础步骤：证明命题在n=1 时成立
确定命题：明确要证明的命题
归纳假设：假设命题在n=k 时成立
归纳步骤：证明命题在 n=k+1时成立
归纳步骤
THNK YOU
汇报人：
利用数学归纳法求解数列的极限问题
数列的定义：数列是一列有序的数如1, 2, 3, ... 极限的定义：极限是指一个数列或函数在某一点或某一区间上的极限值数学归纳法的应用：利用数学归纳法可以求解数列的极限问题实例：求解数列1/n的极限利用数学归纳法可以证明其极限为0
利用数学归纳法证明不等式
结论推导的严密性
确保每一步推导都有明确的依据注意逻辑的连贯性和一致性避免使用未经证明的假设或结论确保结论的准确性和完整性
应用范围的局限性
数学归纳法只适用于正整数集
不适用于无限集或非整数集
数学归纳法不能证明存在性只能证明唯一性
数学归纳法不能证明非单调性或不可数性
数学归纳法的拓展与提高
理的假设
归纳推理：根据假设和已知条件进行归纳推理得出结论
验证结论：对得出的结论进行验证确保其正确性和有效
性
推广应用：将归纳推理的结果推广到更广泛的问题中解决更复杂的问
题
总结反思：总结归纳推理的过程和结果反思存在的问题和不足提高解决问题的能力
数学归纳法与其他数学方法的结合运用
确定命题：明确要证明的命题基础步骤：证明命题在n=1时成立归纳假设：假设命题在n=k时成立

数学归纳法

数学归纳法
数学归纳法是一种用于证明与数量有关的定理的思想，是数学分析的重要工具。

从经典的数学原理、定理和法则的实质来看，数学归纳
法是一种很常用的封闭演算法，用于正确地说明一组事实或定理。

其
基本思想是：通过将总体中的某些特定情况研究透彻，然后运用“推广”原则，将特定推广到更一般的总体，从而可以最终得出不同问题中通
用的具有普遍意义的总体规则定理。

数学归纳法最基本的步骤就是构造一系列证明例子，并用它们构造出
一个证明步骤，以便以之为基础做进一步的推演。

在首次构造的示例中，要求它的数量足够小，以免证明过程陷入困境，而且它们所说明
的定理必须是显而易见的，以便证明后面推广的定理的正确性。

其理
论框架中的第一步就是要确定定理的范围和条件，因为要对那些外在
条件等信息集成有效地进行观察和分析，以便得出结论并得出更深层
次的结论。

一般来说，数学归纳法的证明过程可以分成五个阶段：基本定义和原理，基本元素的证明，由单个元素的证明而推广，完全证明和推断出
正确的结论。

在证明前，应对定理做出有助于定理证明的正确分析，
尤其要确定定理的依据，并明确各个元素及其相互关系，以确保每项
元素的证明及其推理过程能够得出正确的结论。

最后要指出的是，数学归纳法不仅仅是推导定理所必需的，同时也是
数学发展过程中非常重要的思维工具，也是创新思想的重要基石。

它
培养着学生思考问题的深度、独立思考的能力，有助于学生系统地掌握数学知识，从而为数学发展发挥着重要作用。

数学归纳法

答案 C
二、填空题 7.若 +…+(2n +1)与 7.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推 2+(2k 2 +1)=f )+(2k 关系式是 f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 解析 +…+(2k ∵f(k)=12+22+…+(2k)2， f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2， +…+(2k +(2k +(2k +(2k ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. +1)=f )+(2k
π π π 则0 < ak < ak +1 < . 2 2 2 π π ∴ 0 < sin( ak ) < sin( ak +1 ) < 1, 2 2 0<a 即0<ak+1<ak+2<1, 也就是说n=k+1时，结论也成立. 也就是说n +1时结论也成立. 均有0< 0<a 由(1)(2)可知，对一切n∈N+均有0<an<an+1<1. (1)(2)可知，对一切n 可知
+(k+1)［ -k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］
=(k 1)+2(k )+…+k )+(2k+1)(1+2+…+k =(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+…+k)