数学归纳法

“数学归纳法”教学设计

一、教材与内容解析

（一）内容与内容解析

数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。

由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。

数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。

数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．

（二）地位与作用解析

从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。

从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。

从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。

二、教学问题诊断

1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内

任意一条直线”来代表“平面内所有直线”；在讨论函数奇偶性时，用定义域内任意数x来代表定义域内的所有数。(3)学生具有学习数学归纳法的心理需求，如学生希望证明通过归纳推理得到的与正整数有关的命题。（4）学生基本上都知道多米若骨牌效应，但并不清楚其原理以及与数学归纳法的联系。

2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对数学归纳法产生源头及其所要证明的问题的特征理解不到位。(2)形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替学生会有困难。(3)对数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生往往难以理解。(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数学归纳法的精神实质。(5)学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而对数学归纳法的整体认识不够。

三、教学重难点解析

1．重点

（1）数学归纳法的原理。

（2）数学归纳法证明命题的两个步骤

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学命题

2．难点

（1）对数学归纳法原理的理解，

四、教学目标解析

1．知识与技能

（1）知道由有限多个特殊事例即不完全归纳法得出的结论不一定正确

（2）能从整体上认识数学归纳法的原理，知道无限转化为有限的递推本质。

（3）知道数学归纳法的三个步骤之间的关系，能初步学会用数学归纳法证明简单命题。 2．过程与方法

经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和抽象概括能力

3．情感态度与价值观

（1）培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）感受数学的统一美、思维美，感受数学发展的历程，树立数学文化观。

（3）感悟数学与生活的联系

五、教法学法解析

教法解析

（1）引导发现法：通过问题情境发现不完全归纳法所得结论不一定准确；通过生活情境、实验演示情境发现解决与正整数有关命题的方法。

（2）讲解法：教师讲解归纳法的内涵；讲解数学归纳法证明步骤；讲解数学归纳法的主要发展历程。

学法解析

以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生参与观察、分析、归纳、概括、阅读、探究等学习活动。

六、教具准备

多媒体，黑板

七、教学过程设计

（一）创设情境，引入课题

情景一：历史的实际例子费马猜测

设计意图：感悟历史，体会不完全归纳法得到的结论不一定正确，为引出课题奠定基础。 情景二：证明：当3≥n 时，122+>n n 成立

设计意图：激发学生探究欲望，引出课题。

（二) 实验演示，探究方法

1．视频播放——多米诺骨牌游戏

设计意图：感悟生活之美，设计之美，激发学习兴趣

2．动画演示——多米诺骨牌效应

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

（1）第一块要倒下;

（2）第k 块倒下，则第k+1块也倒下

设计意图：转入理性思维，探究无限过程持续原理，为问题解决奠定基础。

3．思维对接——分析数学问题解决

与命题结合分析：证明：当3≥n 时，122+>n n 成立

（1）当0n n = 时，)(0n p 成立 对接：3=n 时命题成立

（2）由)(k p 成立)1(+→k p 成立 对接：k n =时成立，则1+=k n 时命题成立。

满足这两个条件后，命题对一切n ∈*N 均成立。由此归纳出数学归纳法严格的证明步骤。

设计意图：感悟生活现象与数学问题关联性，揭示数学归纳法两个步骤来源，体会无限化有限的本质。实现化解难点。

（三）总结提炼，理解升华

学生总结用数学归纳法证明命题的三个步骤：

（1）n 取初始值0n (例如01n =)时命题成立;

（2）假设*0(,)n k K N K n =∈≥命题成立，证明1n k =+时命题也成立

（3）当（1）（2）同时成立时，则能证明出命题成立

设计意图：得出结论，进一步整体理解三个步骤关系，进一步突出重点

（四）运用结论，解决问题

师生共同用数学归纳法证明：当3≥n 时，122+>n n 成立

设计意图：初步应用，规范书写，进行解题示范，进一步突出重点

（五）阅读材料，感悟文化

学生阅读数学材料：

古希腊欧几里得证明“素数个数无穷” 已隐含数学归纳法这一推理模式。

证明：设素数个数只有有限多个，由小到大依次为：2，3，5，7，┄，p 。

制造一个新数Q=2﹒3﹒5﹒7 ┄ p + 1,显然Q 大于2，3，5，7┄，p 中的任何一个。

（i ）若Q 是素数，则Q 不同于2，3，5，7，┄,p 中的任何一个，这说明在2，3，5，7，┄,p 之外还有一个素数Q ，与假设矛盾。

(ii)若Q 不是素数，则它一定含有一个素因数设为q ，q 整除Q ，而Q 除以2，3，5，7，┄,p 中的任何一个，均有余数1，可知q 不同于2，3，5，7，┄,p 中的任何一个，即在2，3，5，7，┄,p 外还有一个素数q ，也与假设矛盾。

此证法的关键是制造一个新数Q ，从而推知：若有个k 素数，就必有k+1个素数。当年