隐函数的微分法习题
隐函数的微分法
事实上， 事实上，这个函数就是 y = 1 − x 2 , ( −1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为 ′ Fx dy x dy =− =− , = 0, y dx x = 0 ′ dx Fy
y − x − 2 d y y − xy′ =− =− 2 2 2 y dx y
x y = − 1 , 3
x
，求
Fx = e − y, Fy = cos y − x x Fx dy =− =− e −y cos y − x x = 0, y = 0 dx x = 0 Fy x = 0
y′ = −1
法一： 法一：公式法
d2 y d ex − y x = 0 ( ) y =0 2 x =0=− dx dx cos y − x
F(x, y)= 0, , y 满足什么条件 可确定函数 = f(x)使得 F(x,f(x))≡ 0?
隐函数存在定理 1 设 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的某 一邻域内满足 满足： 一邻域内满足： (1)具有连续的偏导数 具有连续的偏导数， (1)具有连续的偏导数， (2) F ( x 0 , y0 ) = 0 ， ′ (3) F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内恒能 唯一确定一个具有连续导数的函数 y = f ( x )，它满 足条件 y0 = f ( x0 )，并有
′ Fx ∂z =− Fz′ ∂x
′ Fy ∂z =− Fz′ ∂y
隐函数的求导公式
求导公式推导： 求导公式推导：
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
求导， 两边分别对 x 和 y 求导，得
隐函数微分法
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
(重庆大学高等数学课件)第八章第5节隐函数的微分法
解法2 微分法. 解法2 微分法. 对方程 的两边求微分: 的两边求微分:
F′⋅ d( ) +F2′ ⋅d( ) = 0 1
zdx −xdz zdy − ydz F′⋅ +F2′ ⋅ =0 1 2 2 z z F′⋅ zdx−F′⋅ xdz +F2′⋅ zdy−F2′⋅ ydz = 0 1 1 − xF′dz − yF2′dz = −zF′dx −zF2′dy 1 1
∂z ∂z 其中 F 有连续的 一阶偏导数, 求证 x 有连续的一阶偏导数 一阶偏导数, +y = z − xy ∂y z z ∂x 证明 设 G( x, y, z) = F( x + , y + )
z z 是由方程 F( x + , y + ) y x
所确定
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程 连续偏导数 偏导数, 解法1 解法1 设G( x, y, z) =
1 +y′+z′ +2z ⋅ z′ −1 + 1 + 2y ⋅ y′ z′+3z2 ⋅ z′ −1
13
求导， 解: 方程组两边对 x 求导， 并移项得
∂u ∂u ∂v ∂v 例4. 设 xu − yv = 0, yu + xv = 1, 求 , , . , ∂x ∂ y ∂x ∂ y
∂u ∂v u+ x + −y = −u 0 ∂x ∂x ∂u ∂v − v y + v+ x = 0 ∂x ∂x −u − y ∂u −v x −xu − yv = = x −y ∂x x2 + y2 y x
x x
在点
则方程 F( x, y) = 0
第五节复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有...
第五节 复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.分布图示★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3)★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 全微分形式的不变性★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 隐函数微分法(1)★ 例12 ★ 例13 ★ 隐函数微分法(2)★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题6-5内容要点一、多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （5.1） 公式(5.1)中的导数dtdz称为全导数. 2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =,xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.3) ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,xu u z x z ∂∂∂∂=∂∂ (5.7) .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.8) 注：这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，x z ∂∂是把复合函数],),,([y x y x u f z =中的y 看作不变而对x 的偏导数，x f ∂∂是把函数),,(y x u f z =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与yf∂∂也有类似的区别.在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 ,这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设),(v u f z =, ),(),,(y x v v y x u u ==是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z .dv vz du u z ∂∂+∂∂=由此可见，尽管现在的u 、v 是中间变量，但全微分dz 与x 、y 是自变量时的表达式在形式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F (5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F Fdx dy -= (5.12) 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂ (5.14)例题选讲多元复合函数微分法例1 (E01) 设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz 解dt dz tzdt dv v z dt du u z ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t +-=例2 (E02) 设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 解x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1c o s s i n ⋅+⋅=v e y v e u u )cos sin (v v y e u +=)],cos()sin([y x y x y e xy +++= y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u )cos sin (v v x e u +=)].cos()sin([y x y x x e xy +++=例3 求y x y x z 2422)3(++=的偏导数.解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u vz v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 12422)3)(24(2-+++=y x y x y x y ).3ln()3(2222422y x y x y x ++++例4 设,sin ,),,(2222y x z e z y x f u z y x ===++ 求xu∂∂和.y u ∂∂ 解x u ∂∂xzz f x f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ ,)sin 21(22422sin 22yx y xe y x x +++=y u ∂∂yzz f y f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++ .yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例5 (E03) 设),,(,y x u u xy z ϕ=+= 求.,,222yx zx z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 解),,(y x y xu y x z x ϕ+=∂∂+=∂∂ ),,(2222y x x u x u y x x z x x z xx ϕ=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂).,(1122y x yx ux u y y x z y y x z xy ϕ+=∂∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂例6 设),,(22y x e f z xy-= 其中),(ηξf 有连续的二阶偏导数, 求.,22yz y z ∂∂∂∂解 设,xy e =ξ,22y x -=η则xz ∂∂x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=ηηξξξ∂∂=f ye xy η∂∂+f x 2 y x z ∂∂∂2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=ξf ye y xy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+ηf x y 2 ξ∂∂=f exyξ∂∂+f xye xy 22ξ∂∂+f xye xy ηξ∂∂∂-f e y xy 222ηξ∂∂∂+f e x xy 222224η∂∂-f xy ξ∂∂+=f xy e xy)1(222ξ∂∂+f xye xy 例7 (E04) 设),,(xyz z y x f w ++= 其中函数f 有二阶连续偏导数，求x w∂∂和zx w ∂∂∂2.解 令,z y x u ++=,xyz v =记,),(1uv u f f ∂∂=',),(212v u v u f f ∂∂∂='' 同理记,2f ',11f '',22f ''. x w ∂∂xvv f x u u f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=;21f yz f '+'= z x w ∂∂∂2)(21f yz f z '+'∂∂=;221z f yz f y z f ∂'∂+'+∂'∂= z f ∂'∂1zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=11;1211f xy f ''+''= z f ∂'∂2zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=22;2221f xy f ''+''= zx w∂∂∂2)(222121211f xyf f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=.)(22221211f y f z xy f z x y f '+''+''++''=例8 利用全微分形式不变性解本节的例2.设,sin v e z u = 而,xy u = ,y x v += 求x z 和.y z解 dz )s i n (v e d u =,c o s s i nv d v e v d u e u u+= 因du )(xy d =,xdy ydx +=dv )(y x d +=,dy dx +=代入后归并含dx 及dy 的项,得dz dx v e y v e u u )cos sin (+⋅=,)cos sin (dy v e x v e u u +⋅+即dy yzdx x z ∂∂+∂∂dx y x y x y e xy )]cos()sin([+++=.)]cos()sin([dy y x y x x e xy ++++ 比较上式两边的dx 、dy 的系数,得x z )],cos()sin([y x y x y e xy +++=y z )].cos()sin([y x y x x e xy +++=它们与例2的结果一样.全微分形式的不变性例9 (E05) 利用一阶全微分形式的不变性求函数222z y x xu ++=的偏导数.解du =2222222222)()()(z y x z y x xd dx z y x ++++-++2222222)()222()(z y x zdz ydy xdx x dx z y x ++++-++= .)(22)(2222222z y x xzdzxydy dx x z y ++---+=所以 x u ∂∂,)(2222222z y x x z y ++-+=y u ∂∂,)(22222z y x xy ++-=z u∂∂.)(22222z y x xz ++-=例10 求函数xyyx z -+=1arctan的全微分. 解 设,y x u +=,1xy v -=则,arctan vuz =于是dz dv v z du u z ∂∂+∂∂=du v v u 1)(112⋅+=dv v u vu ⎪⎭⎫⎝⎛-++22)(11).(122udv vdu v u -⋅+= 由,y x u +=,1xy v -=,dy dx du +=),(xdy ydx dv +-=代入上式,得 =dz22)1()(1xy y x -++[)1(xy -)(dy dx +)(y x ++)(xdy ydx +].1122y dyx dx +++=例11 (E06) 已知,02=+--z xy e z e 求x z ∂∂和yz∂∂. 解 ,0)2(=+--z xy e z e d∴,02)(=+---dz e dz xy d e z xydz e z )2(-),(ydx xdy e xy +=- dz .)2()2(dy e xe dx e ye z xyz xy -+-=--故所求偏导数x z∂∂,2-=-z xy e ye y z ∂∂.2-=-z xy e xe隐函数微分法例12 (E07) 验证方程0122=-+y x 在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导 数、当0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =,求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.证 令,1),(22-+=y x y x F 则x F ,2x =y F ,2y =)1,0(x F ,0=)1,0(y F 2=,0≠依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当0=x 时1=y 的隐函数),(x f y =函数的一阶和二阶导数为dx dy yxF F =,y x -=0=x dx dy ,0= 22dx y d 2y y x y '-=2)(yyx x y --=,13y -=022=x dx y d .1-=例13 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dxdydx dy解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. 令,y x e e xy F +-=则x F ,x e y -=y F ,ye x +=dxdy y x F F -=,y x e x y e +-=由原方程知0=x 时，,0=y 所以0=x dx dy 00==+-=y x yx e x y e .1=例14 (E08) 求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 解 设,ln ),,(yzz x z y x F -=则,0),,(=z y x F 且.1,1,1222z zx y z y z x z F y y z z y y F z x F +-=⋅--=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=∂∂ 利用隐函数求导公式，得.)(,2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=-=∂∂+=-=∂∂例15 求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂和.yz ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂zx F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -=y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=例16 (E09) 设,04222=-++z z y x 求 .22x z∂∂ 解 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则x F ,2x =z F ,42-=z∴xz ∂∂z x F F -=,2z x -=22x z ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例17 设),,(xyz z y x f z ++= 求.,,zy y x x z ∂∂∂∂∂∂ 解 z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅=x z xy yz f x z f v u 1x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+= 把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⋅=y x yz xz f y x f v u 1y x∂∂,v u v u y z ff x z f f ++= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂⋅=z y xz xy f z y f v u 1zy ∂∂.1v u vu x z f f xyf f +--=例18 设方程ze z y x =++确定了隐函数),,(y x z z =求.,,22222y zy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解 方程两边分别对x 求偏导和对y 求偏导,得,1xze x z z ∂∂=∂∂+.1x z e y z z ∂∂=∂∂+ 所以,11-=∂∂z e x z .11-=∂∂z e y z 22x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=x z x x z e e z z ∂∂⋅-=2)1(111)1(2-⋅--=z z z e e e .)1(3--=z z e e 同理 22y z∂∂.)1(3--=z z e e课堂练习1.设),(xyz xy x f w ++= 求.,,zw y w x w ∂∂∂∂∂∂ 2.设),sin (sin sin x y F x u -+=其中F 是可微函数, 证明.cos cos cos cos y x x yuy x u ⋅=∂∂+∂∂ 3.设,⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ其中ϕ为可微函数, 求y z y x z x ∂∂+∂∂.。
第章多元函数微分法及其应用习题
∂z = e−x2 = ze−x2 . ∂x 1 + 1 z + 1
z 原等式两边对 y 求偏导, 得
∂z + 1 ⋅ ∂z + e− y2 = 0 , ∂y z ∂y
于是
所以
∂z = −e− y2 = − ze− y2 .
∂y 1 + 1
z +1
z
∂2z
=
∂
( ∂z ) =
∂
ze− x2 (
)
=
e−x2
∂2 z = 2 y2 zez − y2 z2ez − 2xy3z ,
∂x2
(ez − xy)3
又因为 ez = xyz , 所以
∂2z ∂x2
=
2xy3z2 − xy3z3 − 2xy3z (xyz − xy)3
=
z(z2 − 2z + 2) x2 (1 − z)2
.
(2) 令 F (x, y, z) = xy + yz + zx −1, 则
∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = −1 . ∂y ∂z ∂x
5
证 由隐函数求导公式, 得
所以
∂x = − Fy , ∂y = − Fz , ∂z = − Fx , ∂y Fx ∂z Fy ∂x Fz
∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = (− Fy ) ⋅ (− Fz ) ⋅ (− Fx ) = −1 .
∂y ∂z ∂x
第五节 隐函数的微分法
习题 8-5
1. 求下列方程所确定的隐函数 y = y(x) 的一阶导数:
(1) xy − ln y = a ;
(2) ln x2 + y2 = arctan y . x
隐函数微分法
( x0 , y 0 ,u 0 , v0 )
1 ( F1 , F2 ) J ( x, v) 1 ( F1 , F2 ) J ( y, v)
( x0 , y 0 ,u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 ,u 0 , v0 )
,
v x v y
( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 , u 0 , v0 )
1 ( F1 , F2 ) J (u , x ) 1 ( F1 , F2 ) J (u , y )
( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 , u 0 , , v0 )
,
作
业
习 题 5.3（P.46）
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z f ( x , y ) 代 入 F ( x , y ,z ) 0 ，
∵ F [ x , y , f ( x , y )] 0 ，
F
F y Fz z x 0 ，
∴ F x Fz
z x
0 ，
x y z x y
∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 0 ，
2 2 2
4 两边全微分 , 得
2 x d x 4 yd y 6 zd z 0 ,
dz
故
2
x 3z
x
dx
2y 3z
dy ,
2y 3z
z x
3z
,
z y
.
z x 1 z x 2y 2 xy ( ) ( ) ( ) . 2 2 3 xy y x 3 y 3 z 3z z 9z
多元复合函数与隐函数微分法
Fx 2xy,zFysin zx2z, F zcoz sx2y,
所以z Fx x Fzc来自2xyz ， ozsx2y
zyF Fzy cozxs 2zx2y.
24
例11 设 隐 函 数 z z ( x ,y ) 由 方 程 sz ix 2 n y 确 定 z ， 求 z , z . x y
解法2 方程两边关于x求偏导数,
所以
zexy(xyy21), zexy(x2xy1) .
x
y
15
例8 求下列函数的偏导数和全微分.
(2)zxlnx2(2y)
解 dzd[xlnx2(2y)]
ln x 2 ( 2 y )d x x d [lx 2 n 2 y ()]
lnx2 (2y)dxxd(xx2222yy)
[lx n 22 (y)x2 2 x2 2y]d xx22 x 2yd y,
求
z x
z (0,0) , y
. ( 0 , 0 )
解 视 z 为 x ,y 的 二 元 函 数 z z ( x ,y ),
方程两边关于x 求偏导数,
y3z2zz4x4z3z5z4z0，
x
x x
当 xy 0时 , z 1， 代入上式得
1 5 z 0， z 1 ;
x
x (0,0) 5
27
例12 由 方 程 y 3 z x 4 z z 5 1 确 定 隐 函 数 z z ( x ,y ) ，
解得 y y2 ex . cosy2xy
21
二元隐函数存在定理 设 函 数 F (x,y,z)满 足 :
1 )F (x 0,y 0,z0) 0； 2) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
复合函数与隐函数的微分法
5．设
z f (u),
而
u (x)
则有
dz dz du . dx du dx
例如 : 求函数 y ln sin x 的导数.
小结
链式法则（分几种情况）
（特别注意所讲的特殊情况）
思考题
设 w f (t ), t ( xy, x y ) 其中
2 2
f ,
具有连续的二阶偏导数,证明：
2w f11 xyf12 于是 xz
yf 2 yz( f 21 xyf22 )
2
f11 y( x z ) f12 xy zf 22 yf2 .
思考：
解:
z 1 3 x ( f1 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2 , y x
2z 1 1 4 2 x ( f11x f12 ) x ( f 21x f 22 ) 2 y x x
4 2z 2 z ( x f1 x 2 f 2 ) xy yx x
3 4
x f11 2 x f12 xf22 ,
5 3
y y 2 4 x f1 x [ f11 y f12 ( 2 )] 2 xf2 x [ f 21 y f 22 ( 2 )] x x 3 4 4 x f1 2 xf2 x yf11 yf22 .
dz 求全导数 . dt
z
dz z du z dv z dw 解 (其中w sin t ) dt u dt v dt w dt
ve u sin t cos t
t
u v t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
大学高等数学上册：11.4隐函数微分法
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1
dx x0 y1
dy Fx 2x x , dx Fy 2 y y
（x,y都是自变量）
dy 0
dx x0 y1
比较：方程两边对x求导： 2x 2 y dy 0 dx
dy 2x x , dx 2 y y
（x是自变量 y是x的函数）
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
y (
y)
z
,
x
2
(
y z
)
z Fy y Fz
(
z
y
2
)
,
z
(
y
)
x
z
y( y
)
,
z
z
Hale Waihona Puke 于是 x z y z z. x y
练习题
一、填空题:
1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则
x y
x
dy __x____y_____________________. dx
2、设z x y z ,则
整理得 x fu xzfv ,
求
y
:
y 把 y看成
x,
fu yzfv z 的函数，即
z z f ( x y( x, z) z, xy( x, z)z)
对z 求偏导数得: 1
隐函数的微分
§2-3 隱函數的微分(甲)隱函數的微分討論曲線的切線，本是幾何中的一個重要題材；但是，許多曲線並不是函數圖形，對於這類曲線，前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法，無法直接利用在這類的曲線上。
而我們知道基本上求曲線上一個點的切線，只須要這個點附近的圖形即可，因此可將曲線分成若干部分，使每一個部分都是函數圖形，再微分通過這個切點的函數，求出切線斜率，進一步求出切線的方程式。
例：試求x 29 + y 24 = 1以點(125 , −65)為切點的切線方程式。
(一)利用函數圖形：橢圓x 29 + y 24 = 1不是函數圖形，(二)利用隱函數的微分法：顯函數與隱函數：前面所提的函數，都是以x 表示y ，叫做顯函數(explicit function)，例如：y =x 3−x ，y = x 2x +1 都是顯函數。
若方程式F(x ,y )=0，可以定義出函數y =f (x )，而非解出y 以x 表示，則稱y 為x 的隱函數(implicit function)。
如方程式 x 2−xy +y −4=0可定義出一個函數 y =f (x )= x 2−4x −1，x ≠1。
故方程式x 2−xy +y −4=0中的y 為x 的隱函數。
隱函數的微分：一般而言，方程式F(x ,y )=0不一定都可以定義出函數y =f (x )。
縱使可以，想解出y 以x 表示，有時亦很困難，例如：sin y +2y +x =0，甚至不可能。
在此情形下，我們可將y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，即可求得 dydx ，此種方法稱為隱函數的微分法。
若假定y =f (x )存在且可微分，則y =f (x )在曲線上點P(x 0,y 0)的導數，記做),(00|y x dydx或dy dx |P 。
例如：F(x ,y )=x 2+y 2−4=0，將y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，則d dx (F(x ,y ))= d dx (x 2)+ d dx (y 2)− d dx (4)=0，即2x +2y dy dx =0，故dy dx = −xy ，y ≠0。
高数 隐函数的微分法 知识点与例题精讲
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z y
F1
(
F2
1 z
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx
F2FFdxzy)
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a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11Fra bibliotek a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
二阶导数 :
d2 y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
隐函数的微分法11.4.9
第十一章
隐函数的微分法
一、由一个方程确定的隐函数 的微分法
二、由方程组确定的隐函数 的微分法
一、由一个方程确定的隐函数的微分法
1. F ( x, y) 0
问题的提出：
？ F(x, y) 0
y f (x)
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
F(x z , y z ) 0 yx
dF(x z , y z) yx
F1 d( x
z) y
F2
d( y
z) x
F1
[d
x
d(
z )] y
F2
[d
y
d(
z x
)]
F1
[d
x
d(
z )] y
F2
[d
y
d(
z )] x
F1 (d
x
ydz zd y2
y)
F2
(d
y
xdz zd x2
x)
( F1 y
d d
z x
(1 3z)2 3x2
.
(1 3z 2 )3
例6 设 u f ( x, y, z), ( x2,e y , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数)，且 0, 求 du .
z
dx
解 d u f f dy f d z d x x y dx z d x d y cos x,
定理11.8 若 F ( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0, z0 ) 0
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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隐函数微分法
.
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
六、 du dx
f x
f x gx gy
f y gz hx gy hz
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
例5 已知 x 2 e t 2 d t x y sin t d t x y z cos t 2 d t 0
0
0t
0
确定 z = z ( x , y ) ， 求 z , z
x y
解：令
F ( x , y , z ) x 2 e t 2 d t x y sin t d t x y z cos t 2 d t
0
fu
x y
1
fv xz
yz
x y
x y
fu fu
xzfv yzfv
,
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
1
f
u
y z
1
fv xy
xz
y z
例4
设 z f ( x y z, xyz),
求
z x
,
x y
,
y z
.
解
z x
fu yzfv 1 fu xyfv
,
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
9.5 隐函数微分法
教学要求：会求隐函数的导数或偏导数；了解隐 函数存在定理的条件与结论.
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
高等数学第四节 隐函数及由参数方程所确函数微分法
即
2xdx + 2ydy = 0.
由此，当 y 0 时解得
dy x ， dx y
或
y x
x y
.
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 yx .
解 方程两边求微分，得
d(y + x – exy) = d0，
即
dy + dx - dexy = 0，
dy sint , dy 3. dx 1cots dxtπ
3
点 P 处的切线方程为
y1a 2
3x 3a 23a.
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为 x
轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图). 由物理学知道它的运动方程为
所以，在 t 时炮弹速度的大小为
中弹点 x
a |v|vx 2v2 yv0 22v0gstin g2t2，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮 弹的前进方向，其斜率为
dy v0sinagt. dx v0coas
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻
t0
2v0
sina
g
，
所以射 x 程 v02sin2a.
所以
yd y1y 211 . d x 3x1 x1 x2
13 1 x2
例 8 设 y = (tan x)x，求 y .
解 lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)
1 d y x d (lsn ix n lc nx o ) ( slsn ix n lc nx o )d x s y
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隐函数的微分法习题
1. 书上习题8 33.
2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由
0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x
f 。
3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx
du 。
4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：
2=-xy e xy 和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求dx
du 。
5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。
6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。
1. 书上习题8 33.
证明由方程组所⎩⎨⎧'=+-=++)
(cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y
z x z =∂∂+∂∂，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。
在（1）两边同时对x 求偏导数：
x
f x z z x y x x ∂∂'=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到：
αcos 1-=∂∂⋅x
z z 即αc o s z x z -=∂∂ α222cos )(z x
z =∂∂， 同理 可得 α222s i n )(z y
z =∂∂， 故 222)()(z y
z x z =∂∂+∂∂。
2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由
0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x
f 。
x
z yz e yz e f x x x ∂∂⋅+='22， 方程两边同时对x 求偏导：
01=∂∂++∂∂+x
z xy yz x z ∴ xy
yz x z ++-=∂∂11， 当x=0, y=1, z= -1时
0|11|)1,1,0()1,1,0(=++-=∂∂--xy
yz x z 故 1|]2[)1,1,0()1,1,0(2=∂∂⋅+=-'-x
z yz e yz e f x
x x 。
3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy （1）和0=-xz e z （2）所确定，求dx
du 。
dx
dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到
xy
y xe y e dx dy xy xy -=--=112 x
xz z x e z dx dz z -=---= 上两式代入（*）得：
x
xz z z f xy y y f x f dx du -⋅∂∂+-⋅∂∂+∂∂=12。
4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：
2=-xy e xy （1）和dt t t e z x x ⎰-=0sin （2），求dx
du 。
dx
dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到
（1） 0)()(=+-+dx
dy x y dx dy x y e xy
∴ x
y dx dy -= （2） )1()s i n (dx dz z x z x e x ---= ∴ )
sin()(1z x z x e dx dz x ---= 上两式代入（*）得：
))s i n ()(1(z x z x e z f x y y f x f dx du x ---⋅∂∂+⋅∂∂-∂∂=。
5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-（1）所确定，求du 。
dz f dy f dx f du z y x
'+'+'= （*） （法1）
对（1）求微分：
dz e ze dy e ye dx e xe z z y y x x )()()(+=+-+， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y
z x
)1()1()1()1(+++++=
把上式代入（*）得到
dy f e z e y f dx f e z e x f du z z y y z z x x
))1()1(())1()1(('+++'+'+++'=。
（法2） 令z y x ze ye xe z y x F --=),,(，
x x e x F )1(+='， y y e y F )1(+-='，
z z e z F )1(+-='，
z x z x e
z e x F F x z )1()1(++=''-=∂∂， z y z y e
z e y F F y z )1()1(++=''-=∂∂， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y z x )1()1()1()1(+++++=
代入（*）即可。
6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。
令 y x u +=，z y v +=， x z w += ∴ 0),,(=w v u F （*） 在（*）两边对x 求偏导，得
0)1(1=∂∂+'+∂∂⋅'+⋅'x
z F x z F F w v u 得到 w
v w u F F F F x z '+''+'-=∂∂ 在（*）两边对y 求偏导，得
0)1(1=∂∂'+∂∂+⋅'+⋅'y
z F y z F F w v u 得到 w
v v u F F F F y z '+''+'-=∂∂ ∴ dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂= dy F F F F dx F F F F w v v u w v w u '+''+'-'+''+'-=。