隐函数的微分法习题

隐函数的微分法习题

1. 书上习题8 33.

2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由

0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x

f 。 3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx

du 。 4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：

2=-xy e xy 和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求dx

du 。 5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。

6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

1. 书上习题8 33.

证明由方程组所⎩⎨⎧'=+-=++)

(cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y

z x z =∂∂+∂∂，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。

在（1）两边同时对x 求偏导数：

x

f x z z x y x x ∂∂'=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到：

αcos 1-=∂∂⋅x

z z 即αc o s z x z -=∂∂ α222cos )(z x

z =∂∂， 同理 可得 α222s i n )(z y

z =∂∂， 故 222)()(z y

z x z =∂∂+∂∂。

2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由

0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x

f 。 x

z yz e yz e f x x x ∂∂⋅+='22， 方程两边同时对x 求偏导：

01=∂∂++∂∂+x

z xy yz x z ∴ xy

yz x z ++-=∂∂11， 当x=0, y=1, z= -1时

0|11|)1,1,0()1,1,0(=++-=∂∂--xy

yz x z 故 1|]2[)1,1,0()1,1,0(2=∂∂⋅+=-'-x

z yz e yz e f x

x x 。

3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy （1）和0=-xz e z （2）所确定，求dx

du 。 dx

dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到

xy

y xe y e dx dy xy xy -=--=112 x

xz z x e z dx dz z -=---= 上两式代入（*）得：

x

xz z z f xy y y f x f dx du -⋅∂∂+-⋅∂∂+∂∂=12。

4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：

2=-xy e xy （1）和dt t t e z x x ⎰-=0sin （2），求dx

du 。 dx

dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到

（1） 0)()(=+-+dx

dy x y dx dy x y e xy

∴ x

y dx dy -= （2） )1()s i n (dx dz z x z x e x ---= ∴ )

sin()(1z x z x e dx dz x ---= 上两式代入（*）得：

))s i n ()(1(z x z x e z f x y y f x f dx du x ---⋅∂∂+⋅∂∂-∂∂=。

5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-（1）所确定，求du 。

dz f dy f dx f du z y x

'+'+'= （*） （法1）

对（1）求微分：

dz e ze dy e ye dx e xe z z y y x x )()()(+=+-+， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y

z x

)1()1()1()1(+++++=

把上式代入（*）得到

dy f e z e y f dx f e z e x f du z z y y z z x x

))1()1(())1()1(('+++'+'+++'=。

（法2） 令z y x ze ye xe z y x F --=),,(，

x x e x F )1(+='， y y e y F )1(+-='，

z z e z F )1(+-='，

z x z x e

z e x F F x z )1()1(++=''-=∂∂， z y z y e

z e y F F y z )1()1(++=''-=∂∂， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y z x )1()1()1()1(+++++=

代入（*）即可。