2013届高考数学一轮复习讲义：12[1].5 独立性、二项分布及其应用

由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. 1 1 3 ＝ ； P(ξ＝0)＝P( A 1 A 2 A 3)＝ 3 27 P(ξ＝1)＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A 2A3) 2 12 1 2 1 12 2 2 ＝ ×3 ＋ × × ＋3 × ＝ ； 3 3 3 3 3 9
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条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率．
[难点正本
疑点清源]
1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事 件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可 以互斥． 2．条件概率 条件概率通常是指在事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概 PAB 率． 放在总体情况下看： 先求 P(A)， P(AB)再求 P(A|B)＝ . PB 关键是求 P(A)和 P(AB)．
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解
(1)方法一
设“甲投一次球命中”为事件 A， “乙投一次
2 2
球命中”为事件 B.
1 由题意得(1－P(B)) ＝(1－p) ＝ ， 16 3 5 解得 p＝ 或 p＝ (舍去)， 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 方法二 设“甲投一次球命中”为事件 A，“乙投一次球命 中”为事件 B.
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(4)设 E＝{至多有 1 人击中目标}， ∵E＝A B ＋B A ＋ A B ， 且 A 与 B 、B 与 A 、 A 与 B 独立， A B 、B A 、 A B 彼此互斥，
∴P(E)＝P(A B ＋B A ＋ A B ) ＝P(A B )＋P(B A )＋P( A B ) ＝P(A)P( B )＋P(B)P( A )＋P( A )P( B ) ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.1×0.2＝0.28.
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要点梳理
3．二项分布
忆一忆知识要点
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的， 各次之间 相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有 两 种 结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的 概率都是一样的．
k Cnpk (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为
方法一 ∵D＝A B ＋B A ＋AB，且 A 与 B ，B 与 A ，A 与 B 相互独立，A B 、B A 、AB 彼此互斥， ∴P(D)＝P(A B ＋B A ＋AB) ＝P(A B )＋P(B A )＋P(AB) ＝P(A)P( B )＋P(B)P( A )＋P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＋P(A)P(B) ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.8×0.9＝0.98， 即目标被击中的概率是 0.98.
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(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手 在 5 次射击中有 3 次连续击中目标， 另外 2 次未击中目标”为 事件 A，则 P(A)＝P(A1A2A3 A 4 A 5)＋P( A 1A2A3A4 A 5) ＋P( A 1 A 2A3A4A5) 2 1 1 23 1 12 23 8 3 2 ＝3 ×3 ＋ ×3 × ＋3 ×3 ＝ . 3 3 81 (3)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3)．
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相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 1 1 中率分别为 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
故至多有 1 人击中目标的概率为 0.28.
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独立重复试验与二项分布
2 例 3 某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结 3 果互不影响． (1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另 外 2 次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分， 未击中目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中， 而另外一次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则 额外加 3 分． ξ 为射手射击 3 次后的总分数，求 ξ 的概 记 率分布表．
解 设事件 A＝{甲射击一次，击中目标}，事件 B＝{乙射击一
次，击中目标}，A 与 B 相互独立． 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，
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(1)两人都击中目标的事件为 AB， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72， 即两人都击中目标的概率为 0.72.
(2)设事件 C＝{两人中恰有 1 人击中目标}， 则 C＝A B ＋B A ∴A B 与 B A 互斥，且 A 与 B 独立， ∴P(C)＝P(A B ＋B A )
1 由题意得：P( B )P( B )＝ ， 16 1 1 于是 P( B )＝ 或 P( B )＝－ (舍去)． 4 4
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3 故 p＝1－P( B )＝ . 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4
1 1 (2)方法一 由题设知，P(A)＝ ，P( A )＝ . 2 2 故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 3 1－P( A · )＝ . A 4 1 1 方法二 由题设知，P(A)＝ ，P( A )＝ . 2 2
故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )＋P(A)P(A)＝ . 4
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1 1 (3)由题设和(1)知，P(A)＝ ，P( A )＝ ， 2 2 3 1 P(B)＝ ，P( B )＝ . 4 4
甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各 中一次；甲中 2 次，乙 2 次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次．
事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． 4 2 1 P(B)＝ ＝ ，P( B )＝1－P(B)＝ ， 3 2＋4 3
3＋1 4 (1)P(A|B)＝ ＝ . 8＋1 9
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3 1 (2)∵P(A| B )＝ ＝ ， 8＋1 3 ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 9 3 3 3 27
解 2 1 (1)①P(A)＝ ＝ . 6 3
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②∵两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果，点数之和大于 8 的结果共 10 个． 10 5 ∴P(B)＝ ＝ . 36 18
③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 5 的结果有 5 个，故 P(AB)＝ . 36 5 PAB 36 5 (2)由(1)知 P(B|A)＝ ＝ ＝ . 1 12 PA 3
一轮复习讲义
独立性、二项分布及其应用
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要点梳理
1．条件概率及其性质
忆一忆知识要点
(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的概率，称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条
PAB 件概率，用符号 P(A|B) 来表示，其公式为 P(A|B)＝ PB .
(1－p)n k(k＝0,1,2，„，n) (p 为事件 A 发生的概率)， 事件 A
－
发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为 P(X＝k)＝Ck pk n qn－k，其中 0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，„，n，则称 X 服 从参数为 n，p 的 二项分布 ，记为 X～B(n，p) ．
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变式训练 1
1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个 红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号 箱随机取出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的 概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；
概率分别为：C1P(A)P( A )C1P(B)P( B )＝ 2 2 1 P(A)P(A)P( B )P( B )＝ ， 64 9 P( A )P( A )P(B)P(B)＝ . 64 3 ， 16
所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 ＋ ＋ ＝ . 16 64 64 32
＝P(A B )＋P(B A ) ＝P(A)P( B )＋P(B)P( A ) ＝P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)] ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＝0.26， 即两人中恰有 1 人击中目标的概率为 0.26.
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(3)设 D＝{目标被击中}＝{两人中至少有 1 人击中目标}， 本问有三种解题思路：
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方法二
利用求对立事件概率的方法．
两人中至少有 1 人击中的对立事件为两个都未击中，
所以两人中至少有 1 个击中的概率为 P(D)＝1－P( A B )＝1－P( A )P( B ) ＝1－0.2×0.1＝0.98. 即目标被击中的概率是 0.98.
方法三 ∵D＝A＋B，且 A 与 B 独立． ∴P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝0.8＋0.9－0.8×0.9＝0.98. 故目标被击中的概率是 0.98.
在古典概型中，若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数， nAB 则 P(A|B)＝ . nB (2)条件概率具有的性质： ①
0≤P(A|B)≤1 ；
②如果 A 和 C 是两互斥事件，则 P(A＋C|B)＝ P(A|B)＋ P(C|B) ．
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要点梳理
2．相互独立事件
忆一忆知识要点
Leabharlann Baidu
(1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响， 则称 A、B是相互独立事件 ． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(A|B)＝ P(A) ， P(B) ． P(AB)＝P(A|B)· P(B)＝ P(A)· (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都 相互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 ．
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(1)击中目标次数
2 X～B5，3；(2)用
Ai(i＝1,2,3,4,5)表示事件
“第 i 次射击击中目标”，则 Ai 相互独立，再用 Ai 表示出所 求事件后，由概率加法公式和概率乘法公式求解；(3)确定出 总得分数 ξ 的所有可能取值及相应的概率值后列表．
解 (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～ 2 B5，3.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率为 2 23 40 2 2 P(X＝2)＝C5×3 ×1－3 ＝ . 243
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探究提高
条件概率的求法： PAB (1)利用定义， 分别求 P(A)和 P(AB)， P(B|A)＝ 得 .这是通 PA 用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数， nAB 即 n(AB)，得 P(B|A)＝ . nA
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探究提高
(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不 影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时 发生； (2)求用“至少”表述的事件的概率时， 先求其对立事件的概 率往往比较简单．
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变式训练 2
设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分 别为 0.8、0.9，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)两人中恰有 1 人击中目标的概率； (3)在一次射击中，目标被击中的概率； (4)两人中，至多有 1 人击中目标的概率．