数值分析李庆扬第五版第三章数值积分
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b
求解
f ( x )dx 的方法：
第一类换元（凑微分）、第二类换元、分部积分 有理函数。
F ( x ) C f ( x )dx
如果 F ( x ) 为初等函数，能得到 F ( x ) 的 f ( x ) 远远少于得不到 F ( x ) 的 f ( x )
理论求解定积分基本看运气
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完 全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题
b
y=f(x)
a
b
问题的提出和解决办法 :
I = f ( x)dx f ( )(b a).
a
b
左矩形公式 右矩形公式
I (b a) f (a) I (b a) f (b)
ab ) 中矩形公式 I (b a ) f ( 2 (b a ) I [ f (a ) f (b)] 梯形公式 2 (b a) ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] Simpson公式 I 6 2
微积分理论严谨性论证的杰出贡献者有：黎曼、波尔查诺、柯
西、阿贝尔、狄利克莱、维尔斯特拉斯等等。柯西证明连续函 数必定可积，黎曼指出可积函数不一定连续。黎曼推广了博里 叶展开式成立的狄利克莱条件，即三角级数收敛的黎曼条件等 等。
■ 解析数论、与复变函数的里程碑
■ 组合拓扑的开拓者 ■ 代数几何的奠基人 ■ 在数学物理、微分方程等领域贡献卓著
2、积分的计算 Riemann积分从定义上基本不可算
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi , max{xi }
0
i 0
n1
Newton-Leibniz公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
其中 F ( x ) C f ( x )dx
回顾我们高等数学所学定积分的求取 求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk )xk wk f k
k 0 k 0
n
n
xk wk
n
f ( xk ) fk
求积系数 求积节点值
Rn f ( x)dx wk f ( xk )
b a k 0
为截断误差,又称求积余项.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式 都准确成立, 而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度.
依次取ƒ(x)=1,x,x2…验证求积公式是否成立, 若第一个不成立 的等式是ƒ(x)=xm+1,则其代数精度是m.
即满足
1 dx
的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许
多奠基性、创造性的工作，直接影响了19 世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下
数学许多分支取得了辉煌成就。
■ 黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人 爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化；黎曼几何是现代 理论物理必备的数学基础。
■ 完善微积分理论的出杰人物之一
Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题，这时需
要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分，在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分
是本章讨论数值积分的主要内容。
一、数值积分的基本思想
积分值 I a f ( x)dx 在几何上可以解释为由 x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯 形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算 是因为它有一条曲边 y=f(x)
第三章
§3.1 引言
数值积分
Biblioteka Baidu
§3.2 牛顿—柯特斯公式 §3.3 复化求积公式 §3.4 龙贝格求积公式
§3.1 引言
1、积分的概念
设 f ( x ) C[a, b], a x0 x1 xn b
任取 i [ xi , xi 1 ], i 0,1,2,, n 1. 做
极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下
三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了 (2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，被 积函数表达式不太复杂， 但积分后其表达式却很复杂。 例如函数
n 1 i 0
f ( )x ,
i 0 i i
n 1
如果 lim f ( i )xi , max{xi } 存在，
0
则称 f ( x ) 可积，极限值称为函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的 定积分，记为:
b
a
f ( x )dx
Riemann积分
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家 之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念
a
b
x dx
a
b
如梯形公式
ba a f ( x )dx 2 [ f (a ) f (b)] b ba [ f (a ) f (b)] b a a 1dx b a 2 b 1 2 ba ba 2 x dx ( b a ) [ f (a ) f (b)] (a b) a 2 2 2 b 2 1 3 3 ba ba 2 2 x dx ( b a ) [ f ( a ) f ( b )] ( a b ) a 3 2 2
f ( x) x 2 2x 2 3
积分后其原函数F(x)为：
1 2 3 9 2 2 F ( x) x 2 x 3 x 2 x 3 ln( 2 x x 2 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式，其函数
关系由表格或图形表示。 对于这些情况，要计算积分的准确值都是十分困难 的。由此可见，通过原函数来计算定积分有它的局 限性，因而研究一种新的积分方法来解决Newton-
求解
f ( x )dx 的方法：
第一类换元（凑微分）、第二类换元、分部积分 有理函数。
F ( x ) C f ( x )dx
如果 F ( x ) 为初等函数，能得到 F ( x ) 的 f ( x ) 远远少于得不到 F ( x ) 的 f ( x )
理论求解定积分基本看运气
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完 全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题
b
y=f(x)
a
b
问题的提出和解决办法 :
I = f ( x)dx f ( )(b a).
a
b
左矩形公式 右矩形公式
I (b a) f (a) I (b a) f (b)
ab ) 中矩形公式 I (b a ) f ( 2 (b a ) I [ f (a ) f (b)] 梯形公式 2 (b a) ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] Simpson公式 I 6 2
微积分理论严谨性论证的杰出贡献者有：黎曼、波尔查诺、柯
西、阿贝尔、狄利克莱、维尔斯特拉斯等等。柯西证明连续函 数必定可积，黎曼指出可积函数不一定连续。黎曼推广了博里 叶展开式成立的狄利克莱条件，即三角级数收敛的黎曼条件等 等。
■ 解析数论、与复变函数的里程碑
■ 组合拓扑的开拓者 ■ 代数几何的奠基人 ■ 在数学物理、微分方程等领域贡献卓著
2、积分的计算 Riemann积分从定义上基本不可算
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi , max{xi }
0
i 0
n1
Newton-Leibniz公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
其中 F ( x ) C f ( x )dx
回顾我们高等数学所学定积分的求取 求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk )xk wk f k
k 0 k 0
n
n
xk wk
n
f ( xk ) fk
求积系数 求积节点值
Rn f ( x)dx wk f ( xk )
b a k 0
为截断误差,又称求积余项.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式 都准确成立, 而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度.
依次取ƒ(x)=1,x,x2…验证求积公式是否成立, 若第一个不成立 的等式是ƒ(x)=xm+1,则其代数精度是m.
即满足
1 dx
的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许
多奠基性、创造性的工作，直接影响了19 世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下
数学许多分支取得了辉煌成就。
■ 黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人 爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化；黎曼几何是现代 理论物理必备的数学基础。
■ 完善微积分理论的出杰人物之一
Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题，这时需
要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分，在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分
是本章讨论数值积分的主要内容。
一、数值积分的基本思想
积分值 I a f ( x)dx 在几何上可以解释为由 x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯 形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算 是因为它有一条曲边 y=f(x)
第三章
§3.1 引言
数值积分
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§3.2 牛顿—柯特斯公式 §3.3 复化求积公式 §3.4 龙贝格求积公式
§3.1 引言
1、积分的概念
设 f ( x ) C[a, b], a x0 x1 xn b
任取 i [ xi , xi 1 ], i 0,1,2,, n 1. 做
极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下
三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了 (2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，被 积函数表达式不太复杂， 但积分后其表达式却很复杂。 例如函数
n 1 i 0
f ( )x ,
i 0 i i
n 1
如果 lim f ( i )xi , max{xi } 存在，
0
则称 f ( x ) 可积，极限值称为函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的 定积分，记为:
b
a
f ( x )dx
Riemann积分
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家 之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念
a
b
x dx
a
b
如梯形公式
ba a f ( x )dx 2 [ f (a ) f (b)] b ba [ f (a ) f (b)] b a a 1dx b a 2 b 1 2 ba ba 2 x dx ( b a ) [ f (a ) f (b)] (a b) a 2 2 2 b 2 1 3 3 ba ba 2 2 x dx ( b a ) [ f ( a ) f ( b )] ( a b ) a 3 2 2
f ( x) x 2 2x 2 3
积分后其原函数F(x)为：
1 2 3 9 2 2 F ( x) x 2 x 3 x 2 x 3 ln( 2 x x 2 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式，其函数
关系由表格或图形表示。 对于这些情况，要计算积分的准确值都是十分困难 的。由此可见，通过原函数来计算定积分有它的局 限性，因而研究一种新的积分方法来解决Newton-