北航弹性力学复习整理

370511班弹性力学复习整理一、基本概念弹性力学与材料力学的区别(研究对象、研究方法、应力应变定义应力符号定义等）弹性力学基本原理1、迭加原理：某物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且与加载顺序无关。

2、解的唯一性定理（基尔霍夫唯一性定理）：线性弹性问题的解是唯一的3、圣维南原理，两种表述：局部影响原理：由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。

（局部平衡力系对远离作用区域影响可忽略）静力等效原理：若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。

应力不变量与应变不变量（这部分可能不会以概念题的形式出，但个人认为比较重要，而且由于推导过程比较复杂，大家可能往往忽略。

至少说，这个结果是值得记住的）应力不变量是在推导主应力方向时得出的一组不随坐标改变而改变的有量纲量，其一般公式为：1112233ii σσσσ=++I ＝1112133212223123313233ijk i j k e σσσσσσσσσσσσ==I22233331111223233131121221)2ii jj ij ij I σσσσσσσσσσσσσσσσ-=++＝（这个表达式还是比较繁，下面给出用主应力表示的公式：321332312123211σσσσσσσσσσσσ=++=++=I I I ，321σσσ、、分别为三个主应力的大小完全类似的，可得到应变不变量公式：()11232122331312312312ii ii jj ij ij ijk i j k e θεεεεθεεεεεεεεεεθεεεεεε==++=-=++==，各符号意义与应力相似二、基本公式推导 本构关系（本构关系中有比较多的公式，再次就不一一列举了。

我只是想说一点心得，关于将平面应力问题转化为平面应变问题，只需将公式中的21,1,υυυυ-→-→→EE G G ；反过来，将平面应变问题转化为平面应力问题，只需将公式中的2)1()21(,1,υυυυυ++→+→→EE G G ）L-N 方程（用位移表示应变，代入本构关系，进而表示应力，最后代入平衡方程，即可得到L-N 方程。

这也就是所谓的位移解法。

此方程中包含了平很方程，使用时起自身的三个方程就是全部域内方程！）几何方程： )(21)(21,,i j j i i j j i iju u x u x u +=∂∂+∂∂=ε 第一应变不变量：i i ii u ,==εθ 代入本构方程：ijk k i j j i ijij ij u u u G G δλλθδεσ,,,)(2++=+=（这里)21)(1(,)1(2υυυλυ-+=+=EE G ） 再代入平衡方程：0,=+i j ij f σ得： 0)(,,,=+++i kj k ij ij j jj i f u u u G λδ其中，ij j ji j ki k kj k ij u u u u ,,,,===δ（双下标是哑指标，求导顺序可换） 进一步得到： 0)(,,=+++i ij j jj i f u G Gu λ（这就是L-N 方程的最终形式）继续变形 0)(0)()(,22=+++∇⇒=+++∂∂++∇⇒i i i i z y x ii f G u G f x G u G θλεεελ无体力情况下：)(0)(,,,2=++⇒=++∇⇒ii jji i i i G Gu G u G θλθλ由于，jj jj i i jji i u u ,,,,)(θ==所以有， 000)2(422=∇⇒=∇⇒=∇+i u G θθλ044=∇⇒=∇⇒ij ij σεB-M 方程（*）（此推导过程的精髓在于，用应力表示应变，代入应变表示的变形协调方程，进而得到应力表示的变形协调协调方程，再代入平衡方程整合，最终得到所谓的B-M 方程。

由于变形协调方程不独立，六个B-M方程也只有三个独立方程。

故使用时，再与三个平衡方程共同组成域内方程！）变形协调方程：0,,,,=--+ik jl jl ik ij kl kl ij εεεε代入本构方程：ij ij ij EE δυσυεΘ-+=1，其中第一应力不变量kk σ=Θ )())(1(,,,,,,,,jl ik ik jl kl ij ij kl ik jl jl ik ij kl kl ij δδδδυσσσσυΘ-Θ-Θ+Θ=--++⇒在这里，令k l =，不丢失独立方程的个数ij ij ikjk jk ik ij ij ji ij ij ik jk jk ik ij kk kk ij δυυυσσσδυυσσσσΘ∇+=Θ++--∇⇒Θ-Θ-Θ+Θ∇+=--+⇒2,,,2,,,2,,,,111)3(1代入平衡方程：i k ik f -=,σ)(111,,2,2i j j i ij ij ij f f +-=Θ∇+-Θ++∇⇒δυυυσ 令j i =，将三方程加和得到：kk kk f f ,2,2221121311υυυυυ-+-=Θ∇⇒-=Θ∇+-Θ∇++Θ∇ 代回原方程)(111,,,,2i j j i ij k k ij ij f f f +---=Θ++∇⇒δυυυσ （这便是B-M 方程的最终形式，考虑到推导过程较繁，考的可能性比较小，大家自己感觉吧）试用最小势能原理推导平面应力问题的基本方程和边界条件。

并进一步导出用瑞次法和伽辽金法求解平面问题的基本方程（这算是公式推导，又算是一道大题，大家注意一下） 对于平面应力问题，设其为厚度单位，则形变势能可以写为：()12x x y y xy xy U dxdy σεσετγ=++⎰⎰（一般变形体的形变势能写为：dxdydz U xy xy xz xz yz yz z z y y x x )(21γτγτγτεσεσεσ+++++=⎰⎰⎰， 平面应力问题中，0===yz xz z ττσ，沿z 方向积分为1，故有上式） 其一阶变分为：()x x y y xy xy x y xy x y xy U dxdyu vu v dxdyx w y x u v u v dxdyx w y x δσδεσδετδγσδσδτδσδσδτδδ=++⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰（这里有两点注意：1、x σ与x ε之间是线性关系，所以在做变分时跟求导一样，21便被消去了。

2、变分跟偏导运算时刻调换顺序的，故第二个等号能够实现。

） 对上式第一项使用奥高公式（奥高公式平面形式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂=∂∂dsy x f dn dydxdy y x f y dsy x f dn dx dxdy y x f x ),(),(),(),(）()x x x xx udxdy u dxdy udxdyx x x l uds udxdyx σσδσδδσσδδ∂∂∂=-∂∂∂∂=-∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 同理可对其他项进行处理，整理得：()()x xy y xy xy y xy x U l m u m l v dsu v dxdyxy yx δστδστδτστσδδ⎡⎤=+++⎣⎦⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂-+++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰外力做功：()()V Xu Yv dxdy Xu Yv ds=-+-+⎰⎰⎰一阶变分：()()V X u Y v dxdy X u Y v dsδδδδδ=-+-+⎰⎰⎰由最小势能原理：()()x xy y xy xyy xy x V U l m X u m l Y v dsX u Y v dxdy x y y x δδστδστδτστσδδ⎡⎤+=+-++-⎣⎦⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂-+++++=⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰又因为u δ与v δ的任意性，上式成立的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+00Y m l X m l y xyxy x σττσ，在边界上满足，是边界条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y xX y xy xy xyx σττσ，在域内满足，是平衡方程 瑞次法：设平面问题的位移场方程形如：00,m m m mmmu u A u v v B v =+=+∑∑以平面应力状态为例，形变势能为：()222212221E u v u v v u U dxdy x y x y x y υυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-∂∂⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰（在平面应力问题中，xyxy x y y y x x EEEγυτυεευσυεευσ)1(2)(1)(122+=+-=+-=，代入上式中，得： ⎰⎰-+++-=dxdy E U xy yx y x )212()1(22222γυευεεευ，继而可以得到上面的式子） 将位移场代入：()()221222221121m m m m m m m U E u u v u v u u dxdy A x A x y A x x y A y u u u E u v v u dxdy x x y x x y y υυυυυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰()2121m m m m v v v U E v u v u dxdy B y y x y x y x υυυ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂-∂∂=+++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰由于瑞此法有关系式：d d d d d d m m m m m mUXu x y Xu s A UYv x y Yv s B ∂∂∂∂=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰得到平面应力问题的瑞此法表达式为：()()221d d d 211d d d 21m m m m m m m m m m u u u E u v v u dxdy Xu x y Xu s x x y x x y y v v v E v u v u dxdy Yv x y Yv s y y x y x y x υυυυυυ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂⎛⎫+++=+⎢⎥ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂-∂∂+++=+⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰迦辽金法：同样，设平面问题的位移场方程形如：00,m m m mmmu u A u v v B v =+=+∑∑在位移边界条件和应力边界条件都满足的情况下，将位移变分，有：∑∑==mm m mm m B v v A u u ,,δδδδ代入迦辽金方程：0)()(=+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂∑⎰⎰∑⎰⎰m m y xy m m m xyx m dxdy v Y y x B dxdy u X y x A στδτσδ进一步由m m B A δδ,的任意性，可得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰0)(0)(dxdy v Y y x dxdy u X y x m y xy m xyx σττσ通过几何方程和本构方程，用位移替换应力，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂∂-++∂∂++∂∂-=+∂∂∂-++∂∂++∂∂-⎰⎰⎰⎰0))1(2)1()1(21(0))1(2)1()1(21(222222222222dxdy v Y yx uE x v E y v Edxdy u X yx vE y u E x u Em m υυυυυυυυ三、大题猜测 应力理论图示变宽度薄板，轴向拉伸载荷P 。