中学趣味数学-隐蔽的尺寸_题型归纳

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2024年中考复习-专题13隐圆问题3种模型(解析版)

专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1）点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

初三隐圆问题的4种模型

初三隐圆问题的4种模型咱来唠唠初三隐圆问题的那四种模型哈。

一、定点定长模型你就想象有这么一个点，它像个圆心一样，然后有个固定的长度，就好比是这个圆的半径。

不管这个点怎么动来动去，只要到某个点的距离始终是这个固定长度，那这些点就能构成一个隐圆。

比如说，一个点A到另一个点B的距离始终是5厘米，那点A运动的轨迹就是一个以B为圆心、5厘米为半径的圆，只不过这个圆有时候不是明明白白画出来给你的，得你自己去发现，这就是定点定长模型的隐圆啦。

二、定弦定角模型这个就像是有一根固定的弦，就像琴弦一样，在这根弦的同侧，有一个固定大小的角。

你想啊，不管这个角的顶点在弦的同侧怎么挪，只要这个角的大小不变，那这个顶点的运动轨迹就是一个圆。

比如说，有一条线段AB，然后在AB同侧有个角∠C，∠C始终是30°，那点C就会在一个隐圆上运动。

就好比是这个角被这根弦给“牵制”着，只能在特定的圆上活动，这就是定弦定角模型的妙处。

三、直角对直径模型这个就特别有趣啦。

你知道圆的直径所对的圆周角是直角吧？反过来，如果有一个直角，它的顶点在运动，但是这个直角的两条边分别经过两个定点，那这个直角顶点的运动轨迹就是一个圆，而且这个圆的直径就是这两个定点所连成的线段。

就好像这个直角被这两个定点“绑架”了，只能在以这两点连线为直径的圆上晃悠，这就是直角对直径模型的隐圆，发现这个模型就像发现了一个隐藏的小秘密一样。

四、四点共圆模型这个模型呢，就是有四个点，这四个点要是满足一些特殊的条件，那它们就在同一个圆上。

比如说，如果四边形的对角互补，那这个四边形的四个顶点就在同一个圆上。

就好像这四个点商量好了似的，它们之间有着一种神秘的联系，让它们能够共同在一个隐圆上存在。

还有一种情况就是，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这四个点也共圆。

这就像是这四个点之间有一种默契，按照一种特殊的规则就可以确定它们在一个隐圆上啦。

初中50道趣味数学题：看看你能不能答得出(附带答案)_题型归纳

初中50道趣味数学题：看看你能不能答得出（附带答案）_题型归纳今天小编就为大家精心整理了一篇有关初中趣味数学题的相关内容，以供大家阅读！1、一个人花8块钱买了一只鸡,9块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10块钱又买回来了,11块卖给另外一个人.问他赚了多少?答案：2元2、假设有一个池塘,里面有无穷多的水.现有2个空水壶,容积分别为5升和6升.问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水.答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里,在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了3、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量.答案：先称3只,再拿下一只,称量后算差.4、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香答案：25根先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下.回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根.再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家.30.桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢5根31.兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱？老大8老二12老三5老四2032.一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？8个头，（半根绳子也是两个头）33.一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟？答：15分钟34.24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？（一个六边形）35.园新买回一批小玩具。

2025高考数学必刷题第62讲、隐圆问题(教师版)

第62讲隐圆问题必考题型全归纳题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，且2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC = ，则2||BM的最大值为（）A B C ．434D ．494【答案】D【解析】由题||||||DA DB DC ==，则D 到A ，B ，C 三点的距离相等，所以D 是ABC 的外心.又2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，变形可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得DA BC ⊥，DC AB ⊥，所以D 是ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 是正三角形，且D 是ABC 的中心；由1||||cos ||||()22DA DB DA DB ADB DA DB ⋅=∠=⋅-=- ，解得||2DA = ，所以ABC 的边长为如图所示，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则(3,B ，C =，(2,0)D ，||1AP =，可设(cos ,sin )P θθ，其中[0θ∈，2]π，而PM MC =，即M 是PC的中点，则3cos sin (,)22M θθ++，2223712sin()cos 33712496||()2444BM πθθ+--+=+== ，当23θπ=时，2||BM 取得最大值为494．故选：D ．例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知,a b 是单位向量，0a b ⋅= ，若向量c满足||1c a b -+= ，则||c b -的取值范围是（）A．1]+B．1]+C ．[0,2]D．1]-【答案】D【解析】单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，即a b ⊥，作,OA a OB b == ，以射线OA ，OB 分别作为x 、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(0,1)a b == ，设(,)c x y = ，则(1,1)c a b x y -+=-+ ，由||1c a b -+=得：22(1)(1)1x y -++=，令1cos (02π)1sin x y θθθ=+⎧≤<⎨=-+⎩，即(1cos ,1sin )c θθ=+-+，||c b -==其中锐角ϕ满足sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，当sin()1θϕ-=-时，max ||1c b -==，当sin()1θϕ-=时，min ||1c b -=-，所以||c b -的取值范围是1].故选：D例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量a 与向量()0,2b = 垂直，若向量c满足1a b c ++=，则c r 的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．⎣⎦C ．1⎤-+⎦D ．⎤⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意不妨设()1,0a = ，设(),c x y = ，则()()()()1,00,2,1,2a b c x y x y ++=++=++．∵1a b c ++= ，∴()()22121x y +++=，即表示圆心为()1,2--，半径为1的圆，设圆心为P ，∴OP =．∵c r P 11c ≤= ，∴c r的取值范围为1⎤-⎦，故选：C ．变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆22()()8x a y a -+-=a 的取值范围是（）A ．()3,3-B ．(1,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】D【解析】问题可转化为圆22:()()8O x a y a -+-=和圆221:2O x y +=相交，两圆圆心距d ||a ，由1||R r OO R r -<<+得||a <，解得1||3a <<，即(3,1)(1,3)a ∈--⋃.故选：D变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．()(0-⋃B ．(-C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣1，1）【答案】A【解析】∵圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O ：x 2+y 2＝4与圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1相交，∵|OC |=由R ﹣r ＜|OC |＜R +r 得：13，∴0a ＜＜∴﹣a ＜0或0＜a ＜．故选A ．变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值为．【答案】494【解析】平面内，||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，∴DA BC ⊥，⊥DB AC ，DC AB ⊥ ，可设(0,0)D ，(2,0)A ，(B -，(1,C -，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，可设(2cos ,sin )P θθ+，1cos (2M θ+，∴3cos (2BM θ+=，∴2223712sin()3cos 496(244BM πθθ+-+=+ ，当且仅当sin()16πθ-=时取等号，2||BM ∴ 的最大值为494．故答案为：494．变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点D 与A 、B 、C 满足||||||DA DB DC == ，8DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=- ，动点P 、M 满足2AP = ，PM MC=，则2||BM 的最大值为．【答案】49【解析】由||||||DA DB DC ==，可得D 为ABC 的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0DB DA DC ⋅-= ，()0DC DB DA ⋅-= ，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有⊥DB AC ，DC AB ⊥，可得D 为ABC 的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC 为正三角形，由8DA DB ⋅=-,即有||||cos1208DA DB ︒⋅=- ,解得||||4DA BD ==，ABC 的边长为24cos30⨯⨯= 由PM MC =，可得M 为PC 中点，22211||()()24BM BP BC AP AB BC =+=-+ ()22212224AP AB BC AP AB AP BC AB BC =++-⋅+⋅-⋅，设,AP AB α〈〉= ，则2,3AP BC πα〈〉=- ，2,3AB BC π<>= ,2122||[4484822222433BM ππαα⎛⎫=++-⋅⋅+⋅⋅--⋅ ⎪⎝⎭ 2125cos()]1237cos )32πααααα=---+=-+-3712cos 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当5(0,)6παπ=∈时，最大值为49,故答案为：49题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，(22),(4,0)P Q -，为两个定点，动点M 在直线=1x -上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为．【答案】5【解析】设点(,)N x y ，由2216NO NQ +=得：2222(4)16x y x y ++++=，即2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(2cos 2,2sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(2cos 4,2sin 2)PN θθ=--，∴(2cos 7,2sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(2cos 7)(2sin 4)8694[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--2(4)53)m θϕ=-++-，其中ϕ为辅助角，t ，sin()a θϕ-=，则7t ≥，11a -≤≤．22||44PM PN t at ∴+=++，令222()44(2)44f t t at t a a =++=++-，7t ≥，11a -≤≤，()f t ∴在[7，)∞+上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值5328a +，再令()5328g a a =+，11a -≤≤，显然()g a 在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，()g a 取得最小值532825-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN + 取得最小值25．故||PM PN +的最小值为5,故答案为：5．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA=，则||BD 的最大值为．【答案】10【解析】设AC m =，由题意可得：3,DC m AB =，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯，ABC 构成三角形，则：2{2m m +>-，解得：24m <<，由余弦定理：BD =当4m =时，BD取得最大值为10.例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆()()22:121C x y ++-=，点()10A -，，()10.B ，设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．【答案】14-【解析】设()00,P x y ，()222001PA x y =++，()222001PB x y =-+，()()222222000011PA PB x y x y +=-++++22220000002121x x y x x y =-++++++2200222x y =++()220022x y =++，当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由圆()()22:121C x y ++-=，则圆心()1,2C -，半径1r =，易知min 11OP OC r =-==，则)2min 212d =+14=-故答案为：14-.变式5．（2024·高二课时练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222PA PB PC +=，则PD 的取值范围为.【答案】22⎡+⎣【解析】如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，设点(),P x y ，则由222PA PB PC +=，得()()()222222111x y x y x y ++-+=-+-，整理得()2212x y ++=，即点P 的轨迹是以点()0,1M -圆心M 到点D 的距离为2DM =，所以min max 22PD PD ==所以PD 的取值范围是22⎡+⎣.故答案为：22⎡+⎣.变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +uu r uu r 2||PC a +=uu u r （a 为常数），满足条件的点P 有无数个，则实数a 的取值范围是．【答案】1a >【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系，如图所示：则11(,0),(,0),222A B C -设(,),P x y 则22222222211||(,||(,||()222PA x y PB x y PC x y =+-=++=-+ 222||||||PA PB PC a++=22222211:(()()22x y x y x y a +++++-+=化简得225330,4x y a +-+-=即221((1).3x y a +=-当1a <时，点(,)P x y 不存在；当1a =时，点(,)P x y 只有一个；当1a >时，点(,)P x y 的轨迹是一个圆形，有无数个；故答案为：1a >变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，点P 在ABC ∆所在的平面内，且222||||PA PB PC a ++= （a 为常数），下列结论中正确的是A ．当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B ．当1a =时，满足条件的点P 有三个C ．当1a >时，满足条件的点P 有无数个D ．当a 为任意正实数时，满足条件的点总是有限个【答案】C【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设(),P x y，可得222PA x y ⎛=+- ⎝⎭，22212PB x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，22212PC x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，∵222||||||PA PB PC a ++=，∴22222211222x y x y x y a ⎛⎛⎫⎛⎫+-++++-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：2253304x y a ++-=，即2205132a x y +-+-=，配方，得()221163x y a ⎛⎫+- =⎪ ⎪⎝⎭…（1）当1a <时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当1a =时，方程（1）的右边为0，表示点06⎛ ⎝⎭，，恰好是正三角形的重心；当1a >时，方程（1）的右边大于0，表示以06⎛ ⎝⎭，为圆心，半径为r =的圆，由此对照各个选项，可得只有C 项符合题意.故选：C ．题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆22:(1)(3)10C x y -+-=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点,A B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是．【答案】15t ≤≤【解析】对于5x =上任意一点M ，当,AM B M '均为圆的切线时AMB ∠'最大，由题意，90AMB '∠=︒，即MA MB '⊥，此时M 为满足题设条件的临界点，如上图，若B '与B 重合，则MA MB ⊥，,AM BM 为圆的切线，此时||||2AC CM =，综上，M 在临界点之间移动过程中，有||||2AC CM ≥2≥，解得2(3)4t -≤，可得15t ≤≤.故答案为：15t ≤≤例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是【答案】[2，6]【解析】因为点M 在圆C 外，当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB 最大，要使在圆C 上存在两点A 和B ，使得MA ⊥MB ，只需当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB ≥90°，即∠AMC ≥45°，则sin ∠AMC≥2，解得2≤t ≤6.故答案为：[2，6].例9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0mx y -=和过定点B 的动直线430x my m +--=交于点P ，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎣D ．[]5,10【答案】C【解析】由已知可得动直线0mx y -=经过定点()0,0A ，动直线430x my m +--=经过定点()3,4B ，且两条直线互相垂直，且相交于点P ，所以PA PB ⊥，即22225PA PB AB +==，由基本不等式可得()()222222PA PB PA PB PA PB +≤+≤+，即()22550PA PB ≤+≤，可得5PA PB ≤+≤故选：C.变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A B C ．5D ．10【答案】C 【解析】显然0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB ==222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB =PA PB ⋅的最大值是5.故选：C变式9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（）A ．5B ．10CD【答案】B【解析】由题意，动直线0x my +=经过定点()0,0，则()0,0A ，动直线30mx y m --+=变形得()()130m x y -+-=，则()1,3B ，由030x my mx y m +=⎧⎨--+=⎩得22233,11m m m P m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∴22||||PA PB +222223311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22222331311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222333131mm m m m m m -+-++++=+()432224322269696161m m m m m m m m m m m-++-+++++++=+()4222102010101m m m++==+，故选：B ．变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设m R ∈，动直线1l ：0x my +=过定点A ，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B ，且1l ，2l 交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是（）AB．C ．5D ．10【答案】B【解析】根据方程推出12l l ⊥，可得1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，可得222||||||10PA PB AB +==，再根据不等式知识可求得结果.动直线1l ：0x my +=过定点A (0,0)，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B (1,3)，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，所以22212||||||1310PA PB AB +==+=，设PA PB +t =||AB ≥=，则222||||2||||PA PB PA PB t ++=，所以22||||10PA PB t =-，因为22||||2||||PA PB PA PB +≥，当且仅当||||PA PB =时等号成立，所以21010t ≥-，即220t ≤t ≤≤.||||PA PB ≤+≤所以PA PB +的最大值是故选：B变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅= ，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（）A ．12B ．12C D ．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎫--⋅---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，12，故选：B变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆C ：2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】根据题意，圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；其圆心为（4，4），半径r=1，设AB 的中点为M ，又由点A （1-m ，0），B （1+m ，0），则M （1，0），|AB|=2|m|，以AB 为直径的圆为（x-1）2+y 2=m 2，若圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，即实数m 的最大值是6；故选C ．变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()(2)0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）AB ．2C D【答案】C【解析】如图，设OA a = ，OB b = ，2OE b = ，OC c =，则a c CA -= ，2b c CE -= ，因为()(2)0a c b c -⋅-= ，故0CA CE ⋅= ，故CA CE ⊥ ，所以C 在以AE 为直径的圆上，故c r的最大值为圆的直径AE =故选：C.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c --=，则c r 的最大值是（）A ．1B ．2C D ．2【答案】C【解析】设OA OB ⊥，且OA a,OB b,OC c === ，D 为线段AB 的中点，因为1a b == ，所以2AB AD =，则2221()()02a c b c CA CB CD DA CD --=⋅=-=-= ，所以2CD = ，所以点C 在以D 为圆心，半径为2的圆，所以c r 的最大值即为该圆的直径，所以c r 故选：C.变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）A 1+B C D 【答案】B【解析】如图所示：设OA a = ，OB b = ，OC c =，则CA a c =- ，CB b c =- ，因为()()0a c b c -⋅-= ，所以0CA CB ⋅= ，即CA CB ⊥ .所以C 在以AB 为直径的圆上.设AB 的中点为D ，因为a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，所以1AB =，OD =所以max1122cOD =+=.故选：B变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()20a c b c -⋅-= ，则c 的最大值是（）A BC ．2D 【答案】B【解析】因为a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y =，则()1,a c x y -=-- ，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-= ，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c r，故选：B.题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量,,a b c 满足=1a b = ，12a b ⋅=- ，,60a c b c ︒--=，则||c的最大值等于.【答案】2【解析】由题设，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，而,[0,]a b π<>∈ ，则2,3a b π<>= ，令,,a OA b OB c OC === ，则,a c CA b c CB -=-= ，又,60a c b c ︒--=，如下图示：所以23AOB π∠=，3ACB π∠=，则AOB ACB π∠+∠=，故,,,A O B C 共圆，而2222||()23AB b a b a b a =-=-⋅+=，即||AB =22sin 3R ==，对于||c，当OC 为直径时最大，即max ||2c = .故答案为：2.例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,8)-【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =- ，(8,4)PM x =-，∴288PM PN x x ⋅=-+ ，∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解；（2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PN y =- ，(8,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解；（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =-- ，(8,4)PM x =--，∴2824PM PN x x ⋅=-+，∵08x <≤，∴824PM PN ≤⋅≤．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解；（4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =-- ，(0,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r成立，那么m 的取值范围是(1,8)-，故答案为：(1,8)-．例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25【答案】A【解析】以D 为坐标原点，DB ,DC 分别为x ,y 轴建立如图所示直角坐标系，则(0,0),(16,0),(0,9)D B C ,因为4sin 5A =，||16BD =，所以由平面几何知识得A 点轨迹为圆弧（因为为平面四边形ABCD ，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E ,则由正弦定理可得圆半径为1||11610(8,6)42sin 25BD E A ⨯=⨯=∴-，因此对角线AC 的最大值为22||108(69)1027,CE +=+--+=故选：A变式17．（2024·全国·高考真题）设向量,,a b c 满足2a b == ，2a b ⋅=- ，,60a c b c --=︒ ，则c v 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A【解析】因为2a b == ，2a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒ .如图所以，设,,OA a OB b OC c === ，则CA a c =- , C B b c=-, 120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =- ,所以222212AB a a b b =-+=.所以AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c取得最大值4.故选A.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A 、B 为两个不同的定点,动点P 满足:2PA PB k ⋅=(k 为实常数)，则动点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不能确定【答案】A【解析】设2AB a =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：则(,0),(,0)A a B a -设(,)P x y 2222(,)(,)PA PB a x y a x y x y a k ⋅=-----=+-=即2222x y a k +=+，表示圆故选：A变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，4CD =，BC AD =E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是A ．59(,420--B ．511(,)44--C ．111(,44-D ．91(,)204--【答案】D【解析】以DC 所在直线为x 轴，DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，2=,∴A (−1,2),B (1,2),C (2,0),D (−2,0),∴33,1,,122E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1)当P 在DC 上时,设P (x ,0)(−2⩽x ⩽2),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.于是23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当51144λ-<时，λ有两解；(2)当P 在AB 上时,设P (x ,2)(−1⩽x ⩽1),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当5144λ-<-时，λ有两解；(3)当P 在AD 上时，直线AD 方程为y =2x +4，设P (x ,2x +4)(−2<x <−1),则33,23,,2322PE x x PF x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是()22332723512224PE PF x x x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+--=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当920λ=-或1944λ-<<时,方程有一解,当91204λ-<<-时，方程有两解；(4)当P 在CD 上时,由对称性可知当209λ=-或1944λ-<<时，方程有一解，当91204λ-<<-时，方程有两解；综上,若使梯形上有8个不同的点P 满足PE PF λ⋅=成立，则λ的取值范围是511519120191,,,,,444420494204⎛⎤⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋂--⋂--⋂--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择D 选项.变式20．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（）A ．(]0,2B ．()0,2C ．(]0,4D ．()0,4【答案】D 【解析】如图所示,设EF 的中点为O ,则2PE PF PO PE PF FE⎧+=⎨-=⎩,两式平方相减得2244PE PF PO EF ⋅=- ,所以24PE PF PO λ⋅=-= ,即24PO λ=+ ,所以PO = 由对称性可知每个边上存在两个点P ,所以点P 在边的中点和顶点之间,故2<<解得04λ<<,故选:D题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值例13．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1)MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1,0,33λ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若点()1,1B ，则3MP MB +的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，由1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以PM =||||MQ MP λ=且3λ=3=，整理可得2223148a a x y x +-++=，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以2304118aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =-，所以()3,0Q -，又=3||MQ MP ，所以3||||||||MP MB MQ MB BQ +=+≥，因为(1,1)B ，所以3||||MP MB +的最小值BQ ==当M 在位置1M 或2M 时等号成立.故选：D例14．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=、点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，M 为圆O 上的动点，则2||||MA MB -的最大值为（）A ．52BC ．32D【答案】B【解析】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n ，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 的位置时，2||||||||MA MB MC MB -=-的值最大，最大为BC =故选：B.例15．（2024·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M 与两定点9,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0B 的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为229x y +=．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点()1,0A -，()1,1B ，则2MA MB +的最小值为（）A ．2BC D【答案】C【解析】如图，点M 在圆22:4O x y +=上，取点(4,0)-N ，连接,MO MN ，有||2||4ON OM ==，当点,,O M N 不共线时，||||2||||OM ON OA OM ==，又AOM MON ∠=∠，因此AOM ∽MON △，则有||||2||||MN OM MA OA ==，当点,,O M N 共线时，有||2||MN MA =，则||2||MN MA =，因此2||||||MA MB MN MB BN +=+≥==当且仅当点M 是线段BN 与圆O 的交点时取等号，所以2MA MB +故选：C变式21．（2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A 、B ，满足()1PA PBλλ=≠的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A ，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知()1,0A ，()4,0B ，()0,3D ，若动点P 满足12PA PB=，则2PD PB +的最小值是．【答案】【解析】由题意知：12PA PB=，即2PB PA =，2222PD PB PD PA AD ∴+=+≥（当且仅当,,A P D 三点按顺序共线时取等号），又AD ==，2PD PB ∴+的最小值为；故答案为：.变式22．（2024·上海·高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，3OM OP OP OS ==，MOP POS ∠=∠，MOP POS ∴，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+===变式23．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB+的最小值为.【解析】设(),0Q a ，(),M x y，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =.因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB +=+，因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ 当且仅当,,Q MB三点共线时取等..变式24．（2024·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点,A B 的距离之比为(()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P 为圆22:4O x y +=上的动点，()()4,0,3,1M N -，则2PM PN +的最小值为.【答案】【解析】假设存在这样的点(),0Q t ，使得2PM PQ=，则224PM PQ =，设点(),P x y ，则()()222244x y x t y ⎡⎤++=-+⎣⎦，即()()222222228164233884160x y x x y tx t x y t x t +++=+-+⇒+-++-=，该圆对照224x y +=，所以1t =-，所以点()1,0Q -，所以()22222PM PN PQ PN PQ PN QN +=+=+≥=故答案为：变式25．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(>0,1)k k k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P 、Q 分别是圆22:(-4)+=8C x y ，圆22:+(-4)=1D x y 上的动点，O 是坐标原点，则||+|2PQ PO 的最小值是．【答案】1【解析】如图所示：取点(2,0)M ，设|||2z PQ PO =+，则min ||1||z PD PO =-，在PMC 和OPC 中，2MC PC PC OC ==，所以PMC 和OPC 相似，且相似比为2，所以OP =，则min ||||1D z P PM +=-，而||||PD PM DM +≥==即||||PD PM +的最小值为所以min 1z -=.故答案为：1-。

2020年中考数学解题技巧专题训练：隐圆问题训练(含答案)

图 F10-4 方法技巧专题：隐圆问题训练巴Q 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系 .解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆，再利用和圆有关的一些知识进行求解 .常见的隐圆模型有：定弦对定角；动点到定点的距离为定长；四点共圆等.1 .[2019徐州一模]在矩形ABCD 中，已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上，按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为A.6 cm 2C.(2+ 兀)crm 2 .如图 F10-1，已知 AB=AC=AD ，/CBD= 2/BDC, / BAC= 44〉贝U/CAD 的度数为图 F10-13 .如图 F10-2 所示，四边形 ABCD 中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD= 2,则 BD 的长为4 .如图F10-3，在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是AB 边的中点，F 是线段CB 边上的动点，将△ EBF 沿EF 所在直线折叠彳#到^ EB'F,连ZB'D,则B'D 的最小值是 .图 F10-35 .如图F10-4，矩形ABCD 中,AB=2,AD=3,点E,F 分别为AD,DC 边上的点，且EF=2,点G 为EF 的中点，点P 为BC 边上一动点，则PA+PG 的最小值为 .B .3 cm 2D.(6-% )crm 图 F10-2图 F10-78.如图F10-7，点A 与点B 的坐标分别是(1,0),(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点 ⑴使/APB=30°的点P 有个；(2)若点P 在y 轴上，且/ APB= 30 °,求满足条件的点 P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，/APB 是否有最大值？请说明理由.9.[2018 广州]如图 F10-8,在四边形 ABCD 中,/ B= 60 , / D= 30 ,AB=BC.(1)求/ A+/C 的度数； (2)连结BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由；⑶若AB=1,点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2=BE 2+CE 2,求点E 运动路径的长度. 图 F10-86 .如图F10-5,正方形ABCD 中,AB=2,动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E,F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF,BE 相交于点为. P,则线段DP 的最小值7 .如图F10-6，在边长为v3的等边三角形 ABC 中，动点D,E 分别在BC,AC 边上,且保持AE=CD ,连结BE,AD,相交于点P,则CP 的最小值为图 F10-5图 F10-6 一10.如图F10-9，已知抛物线y=ax2+bx+c(aw即x轴交于A(1,0),B(4,0)两点，与y轴交于C(0,2)，连结AC,BC.(1)求抛物线解析式；(2)线段BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点，求直线DE的解析式;.(3)若点P在抛物线的对称轴上，且/ CPB= / CAB,求出所有满足条件的P点坐标图F10-9【参考答案】1.D ［解析］如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出P到B点距离始终为1 cm, 则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A,B,C,D为圆心，1 cm为半径的弧.故所围成的图形的面积为：矩形面积-4个扇形面积=6-4X丝需=(6-兀)(cm).2.88° ［解析］如图，•「AB=AC=AD，，点B,C,D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，・ ./ BAC=2/BDC.•••/ CBD= 2/ BDC,. .Z BAC= /CBD,/ CAD= 2/BAC,而/ BAC= 44°,，/ CAD= 88°.3.vl5 ［解析］以A为圆心，AB长为半彳5作圆，延长BA交。

初中数学《隐形圆》模型梳理与题型分类含答案解析

隐形圆(4大模型与6类题型)第一部分【模型梳理与题型目录】隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大模型，供大家参考使用.【模型1】定点定长模型【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB =OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC= 1∠AOC,∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC.2图1【模型2】 90°圆周角模型【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O (不包含A、B两点)．注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【模型3】定弦定角模型【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C >90°时，点C在劣弧上运动．【模型4】‌四点共圆模型【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点共圆.图3应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.【题型1】‌定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;【题型3】‌定弦定角模型.....................................................11；【题型4】‌四点共圆模型.....................................................15；【题型5】直通中考.........................................................20；【题型6】拓展延伸.........................................................23.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)，连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．【433/433【∠BDF +∠BEF =180°，∠DFE =120°，∠AFC =120°，F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，△AOB ≌△COB ，△AOB 为含30度角的直角三角形进行求解即可．解∵等边△ABC ，∴∠ABC =60°，AB =BC ，∵∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE +∠ABC =360°-∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE =120°，∴∠AFC =120°，∴点F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，∵AB =BC ，OB =OB ,OA =OC ，∴△AOB ≌△COB ，∴∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，∠AOB =∠BOC =12∠AOC =60°，∴∠BAO =90°，∴BO =2AO ，AB =3AO =4，∴AO =433，∴BO =2OA =833，OF =AO =433，∴BF ≤433，BF 的最小值为433；故答案为433．【30度角的直角三角形一点到圆上一点的最值F 的运动轨迹．2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P 是边长为1的正方形ABCD 内的一个动点，且满足∠PBC +∠PDC =45°，则CP 的最小值是()A.2-2B.12C.22D.2-1【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形BCDP中，求出∠BPD=135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD=90°，∠PBC+∠PDC=45°，∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，，由解图可得AP+CP≥AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP最小=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为()A.30B.32C.35D.38【答案】D【分析】首先连接AC，BG，证明G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH 上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再进一步解答即可．解：连接AC，BG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，S矩形=48，∵EF=4，G为EF的中点，∴BG=12EF=2，∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于G ，此时四边形AGCD面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，∵1 2AC⋅BH=12AB⋅BC，∴BH=4.8，∴G H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值=12×10×2.8+24=38．故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．【题型2】 90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5-1 a2【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE ≌△BCF SAS ，可证∠AGB =90°，则点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，然后根据勾股定理求出OC 的长即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BCF =90°，AB =BC =a ，∴在△ABE 和△BCF 中，AB =BC∠ABC =∠BCFBE =CF∴△ABE ≌△BCF SAS ，∴∠BAE =∠CBF ，∵∠ABF +∠CBF =90°，∴∠ABF +∠BAE =90°，∴∠AGB =90°，∴点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，设AB 的中点为O ，则当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，∵AB =a ，∴OB =OG =a 2，∴OC =a 2 2+a 2=52a ，∴CG=OC -OG =5-1 a 2，故答案为：5-1 a 2．5.(23-24九年级下·山东日照)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是正方形内一点，连接CF ,DF ，且∠ADF =∠DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ,EF ，则EB +EF 长度的最小值为()A.13-1B.10-1C.10D.5+1【答案】A【分析】根据正方形的性质得到∠ADC=90°，推出∠DFC=90°，得到点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，OF=1，∵∠C =90°,B C =C D =CD=2，∴OC =3，∴OB =B C 2+OC 2=13，∴B F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是()A.52-1 B.5-12C.52D.5-1【答案】B【分析】由SAS可判定△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，同理可证∠DCG=∠DAG，由角的和差得∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，H的运动轨迹为以O为圆心，OH=1 2AB=12为半径的半圆，当O、H、D三点共线时，DH最小，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=1，∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠BAH+∠DAG=90°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，如下图，取AB的中点O，连接OH，∴OA=12，∴H的运动轨迹为以O为圆心，OH=12AB=12为半径的半圆，如图，当O、H、D三点共线时，DH最小，∴OD=OA2+AD2=122+12=52，∴DH=OD-OH=52-1 2=5-12；故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键．【题型3】定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，CD是△ABC的高，若AB=2，∠ACB=45°，则CD长的最大值为()A.1+2B.4-2C.2D.4【答案】A【分析】在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，根据“定线段对定角度”确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，当CD经过圆心时CD最长，再计算即可．解：在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当CD经过圆心时CD最长∵CD是△ABC的高，∴AD=BD=OD=1AB=12此时CD=OC+OD=2+1，故选：A．【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.25D.25+2【答案】A【分析】根据y=x与x轴的夹角为45°，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，则∠DBC= 45°，根据勾股定理求得DB的长，进而证明△DCB是直角三角形，求得DC的长，根据OD+DC≥OC，即可求得OC的最大值解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，∵y=x与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°=1∠ADB2∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4，∠ADB=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠CBA=90°∴∠CBD=45°∴△BCD中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E，如图则BE=CE=2=DE∴CD=CB=2∵OD+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD+DC=DB+DC=22+2故选A【点拨】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC=∠PCA，则线段AP长的最小值为()A.0.5B.2-1C.2-2D.13【答案】C 【分析】先计算出∠PBC +∠PCB =45°，则∠BPC =135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，利用圆周角定理计算出∠BOC =90°，从而得到△OBC 为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA =BC =2，OB =2，根据三角形三边关系得到AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，于是得到AP 的最小值.解：解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，即∠PCB +∠PCA =45°，∵∠PBC =∠PCA ，∴∠PBC +∠PCB =45°，∴∠BPC =135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ =180°-∠BPC =45°，∴∠BOC =2∠BQC =90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA =BC =2，∴OB =22BC =2，∵AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，∴AP 的最小值为2-2．故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【题型4】四点共圆模型10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠D =90°，连接AC ，点F 为边CD 上一点，连接BF 交AC 于点E ，AB =AE ，∠FGC +∠FBG =90°，∠BFG +2∠GFC =180°，若AD =722，BG =4，则CG 的长为．【答案】8【分析】延长BA 与CD 的延长线相交于点H ，证明∠FGC =∠ABF ，∠GFC =∠BFD ，由三角形内角和定理得到∠H=∠ACB，BH=BC，进一步得到∠H=∠DAH=45°，则AD=DH=722，由勾股定理得到AH=AD2+DH2=7，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，证明CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=4+x，AE=AB=x-3，AC=2x-3，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x-32+x+42 =2x-32，解方程即可得到答案．解：延长BA与CD的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°，∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°，∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°，BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠DAH=45°，∴AD=DH=722，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE，∠CEF=∠AEB，∴∠FGC=∠CEF，∴点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，∴∠GFC=∠CEG，∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1(不合题意，舍去)或x=8，∴CG=8，故答案为：8【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与证明四点共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，等边三角形ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD⊥BC ,PE ⊥AC ，垂足分别为D ,E 则DE 的最小值为．【答案】154【分析】如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，首先证明△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，当OE 的值最小时，DE 的值最小，即可求出PC 的最小值．解：如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =BC =AC =5，∵PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴∠PEC =∠PDC =90°，∵OP =OC ，∴OE =OP =OC =OD ，∴C 、D 、P 、E 四点共圆，∴∠EOD =2∠ECD =120°，∴当OE 的值最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短可得，当CP ⊥AB 时，PC =532，此时OE 最小，OE =534，∵OE =OD ，OH ⊥DE ，∴DH =EH ，∠DOH =∠EOH =60°，∴∠OEH =30°，∴OH =12OE =538，∴DH =EH =OE 2-OH 2=158，∴DE =2DH =154，∴DE 的值最小为154，故答案为：154．【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP ⊥AB 时OE 最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =2，点P 是射线AB 上一动点，∠CPD =90°，且PC =PD ，连接AD 、CD ，则AD +CD 的最小值是．【答案】25【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得△ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，推出DH∥BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90°，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，易得∠CHP+∠PDC=180°，由∠ABC=45°，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°，则∠CBD=90°，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设CD中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，∵HC=1AC=1，2在Rt△CHD中，∴CD=CH2+HD2=5，∴AD+CD的最小值为2CD=25，故答案为：25．【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考1.(2023·山东泰安·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，根据点A 的坐标为(-6，4)得到BE =8，再证明AM 是△BCE 的中位线，得到AM =12CE ；解Rt △COD 得到OC =4，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，∵Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)，∴AB =4，OB =6，∴AE =AB =4，∴BE =8，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是△BCE 的中位线，∴AM =12CE ；在Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，∴OC =33OD =4，∵将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵OE =BE 2+OB 2=10，∴CE 的最小值为10-4=6，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2.(2022·广西柳州·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】25-2【分析】如图，由EG=2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明△ADE≌△CDF (SAS)，可得AE=CF，可得当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利用勾股定理可得答案．解：如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=22+42=25，此时AE=25-2，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．2、拓展延伸3.(2022·辽宁抚顺·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型(比如将军饮马模型)；④定线段；⑤求线段长(勾股定理、相似或三角函数)，结合题意求解即可得到结论．解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示=SΔEDG+SΔBCG+根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-5，故答案为：55-5．【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．4.(2024·内蒙古兴安盟·二模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM= BN，DM，AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF，若AB=4，则PE +PF的最小值为．【答案】210-2【分析】证明△DAM≌△ABN SAS，则∠ADM=∠BAN，∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，则PF = PF，由PE+PF=PE+PF ，可知当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=210，根据E F =OF -OE ，求解作答即可．解：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，又∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN SAS，∴∠ADM=∠BAN，∴∠ADM+∠DAE=∠BAN+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，∴PF =PF，∴PE+PF=PE+PF ，∴当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=62+22=210，∴E F =OF -OE =210-2，故答案为：210-2．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．。

隐圆问题的十大类型：高考数学微专题

隐圆问题的十大类型：高考数学微专题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．1124．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB的中点M 的轨迹方程是__________.类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD 中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD =则CD 的最小值为（）B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．214已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.隐圆问题的十大类型（解析版）隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.解析：转化为4)3()2(22=--+-a y a x 与圆122=+y x 有两个交点，求a 的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：)0,56(-∈a .类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0解析：设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-，半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选B.例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．112解析：由动直线方程()30mx ny m n +-+=得()()130m x n y -+-=，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 为直径的圆上，5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最大值为5113+22=.故选：D.4．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．解析：圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r 依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 始终与圆C 相切，即圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最1r ==AB 的最小值是2⨯=.故选：A5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+解析：由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d =，所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.解析：由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+类型4.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(≠=⋅→→λλPB P A .分析：由于||AB 定值，设AB 中点为M ，根据平面向量部分极化恒等式可得：222||41||)0(41AB PM AB PM PB P A +=⇒≠=-=⋅→→→→λλλ，故动点P 是以AB 中点M为圆心，半径为2||41AB +λ的圆.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6解析：由上述分析可知，故动点P 是以EF 中点M 为圆心，半径为2||41EF +λ的圆.故此题中点P 以EF 中点M 为圆心，半径为10的圆，所以，共有4个点满足条件.故选：C类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .解析：由于→→→→⋅-+=+PB P A PB P A PB P A 2)(||||222，设AB 中点为M ，则由向量关系与极化恒等式可知：λ=--=⋅-+→→→→→→→)41(242)(2222AB PM PM PB P A PB P A ，整理可得：→→+=22412AB PM λ，显然动点P 以M 为圆心，→+2412AB λ为半径的圆.类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.解析：由2,AB AC ==，见系代入得22(3)8x y -+=．设圆心为M ，显然当CM x ⊥轴时，ABC 面积最大，此时||CM =．所以()122ABC mx S ∆=⋅⋅=．类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.解析：设点M 的坐标为(,)x y ，点00(,)A x y ，M 为AB 的中点，B 的坐标为(4,3)，004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，点00(,)A x y 满足2200(1)4x y ++=22(241)(23)4x y ∴-++-=，即2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点M 的轨迹是以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，点M 的轨迹方程为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD=则CD 的最小值为（）解析：如图，可设x AB =，则x BC x AC 3,2==，则由托勒密不等式可得：BD AC AB CD BC AD ⋅≥⋅+⋅，代值可得：362233≥⇒⋅≥⋅+⋅CD x x CD ，等号成立当且仅当D C B A ,,,四点共圆.B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.解析：依题→→b a ,夹角为43π，而向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，故由四点共圆结论可知，向量→c 的终点C 与B A O ,,四点共圆，则||→c 的最大值即为圆的直径，由于5||||=-=→→b a AB 则由正弦定理：1043sin||||max ==→πAB c .13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．2解析：设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴= ，由2430be b -⋅+= 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离2321，为1.-选A.14已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2解析：在平面内一点O ，作OA a = ，OB b = ，OC c = ，则0a b OA OB ⋅=⋅=，则OA OB ⊥，因为1a b ==，则1== OA OB ，故AOB为等腰直角三角形，则AB =uu u r取AB 的中点E ，则()()()11112222OE OA AE OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+，所以，()22222a ba b a b +=++⋅=，所以，2122a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()()212c a c b c c a b -⋅-=-⋅+= ，所以，()()()22222142a b a b c c a b c OC OE EC +⎛⎫+-⋅++=-=-== ⎝⎭，则1EC = ，所以，12c a OC OA AC AE EC AE EC -=-==+≤+=+.11当且仅当AE 、EC 同向时，等号成立，故c a -1.故选：B.类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.。

中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧

中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧一、圆的两个定义:1、圆的描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、集合性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的的图形（形成的轨迹）叫做圆.二、利用圆的概念“找定点寻定长现圆形”题目：（2018西工大附中七模14）例1.如图1-3所示，在¨ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔAB’P,当DB’最小时，线段CP长为.方法：找定点寻定长现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点，而翻转后AB的长也固定不变，所以AB为定长.则B’的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆，如图1-3-1所示，当点A、B’、D在一条直线上时DB’最小，最小值为DB’’.可计算得：DB’的最小值为2二、共点的两条线段为定长问题例2.如图2-1所示，点A为线段BC外一动点，且BC=8，AB=5.（1）当点A位于时，线段AC的长取得最大，最大值为.（2）当点A位于时，线段AC的长取得最小，最小值为.（3）当线段BC和AB满足什么位置关系时，S面积最大.ΔABC方法总结：当两条线段定长共点时，可固定其中一线段，然后以公共点为圆心，以另一定长线段为半径画圆.简析：如图2-1-1点，为8+5=13（1）线段AC最大时，点A在A1（2）线段AC最小时，点A在A点，为8-5=32（3）因为BC固定，点A位于A时，点A到BC之间的距离最大，所以当3面积最大.AB⊥BC时，SΔABC巩固练习：1.已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为.2.（1）发现如图2-2，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.当点A位于时，线段AC的长取得最大，最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2-3所示，分别以AB，AC 为边，作等边△ABD和等边△ACE,连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出BE长的最大值.（3）拓展如图2-4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0）点B的坐标（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.3.如图2-5,如果四边形ABCD中，AD=BC=6,点E、F、G分别是AB、BD、AC 的中点，那么ΔEGF面积的最大值为.三、共点的三条线段为定长问题1、如图3-1所示，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,则∠CAD的度数为.2、如图3-2所示，在四边形ABCD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,BD= .提示：如图3-2-1所示.四、见直角找斜边（定长）想直径定外心显圆形知识联想：直径所对的圆周角等于90o；反过来90o的圆周角所对的弦是直径.故取斜边中点O为圆心，以OC长为半径作圆.直角顶点的运动轨迹是圆.例1：（2018西工大附中六模14）如图4-2，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且AF⊥EF,则AE的最小值.对应练习：1.如图4-3，在等腰RtΔABC中，∠ACB=90o,AC=BC=4,点D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为.五、定角定边模型——构造圆问题：如图5-1所示，已知定线段AB，在平面上找到所有的点C，使∠ACB=60o.（请用尺规作图，保留痕迹）作图方法：1、作AB的垂直平分线2、再作∠ABD=30o,连接AO.（其实质是作圆心角∠AOB=120o）3、以点O为圆心，以OA为半径画圆,除过A、B两点外圆上任意一点即为C 点.即∠ACB=60o.例：（2018交大附中七模14）如图5-2,已知四边形ABCD中，AD=2,∠B=∠D=60o，对角线AC⊥AD，则BD 的最大值为.对应练习：1.如图,在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60o,∠ADC=75o,对角线BD=2,则四边形ABCD的面积的最小值为.（此题为旋转+定边定角）六、对角互补的四边形构造圆若平面上四点连成四边形的对角互补则这四点共圆.例：1（2018西工大附中四模14）如图6-2，在边长为12的菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAO=60O,点E为AB上一动点，过点E作EP⊥AD于点P，EQ//AC交BD于点Q，连接PQ，ΔDPQ周长的最小值是.对应练习：1.如图，在ΔABC中，∠ACB=120o,AC=BC=2,点D是AB边上动点，连接CD，将ΔBCD绕点C顺时针旋转至ΔACE，连接DE，则ΔADE面积的最大值是.。

隐形圆最值问题初中题型

隐形圆最值问题初中题型隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，它涉及到圆的最值问题，需要通过分析，计算得出圆的最大或最小值。

这个问题一般涉及到最大面积、最小周长或最小直径等方面，下面我将以最大面积为例来详细介绍。

我们来解释什么是隐形圆。

隐形圆是指在平面上已知一个角度和一个弦长，需要求得这个角度上的圆的最大面积。

我们可以先确定圆心在这个角的端点上，然后通过圆心和角的端点来画圆。

这个圆称为隐形圆，因为它不是直接给出的，而是需要我们通过问题的条件来确定。

解决隐形圆最值问题的关键是画出合适的图形并找到相关的性质和定理。

在求解最大面积问题时，我们可以使用面积公式S=πr²来表示圆的面积，其中r是半径。

由于隐形圆的圆心位于角的端点上，因此圆心和角的两个端点构成一个等腰三角形，这是求解问题的关键。

为了方便分析，我们可以将该等腰三角形的一个顶点放在坐标系的原点，另一个顶点放在x轴上，并设该顶点的坐标为(1, 0)。

由于是等腰三角形，所以圆心的坐标也可以设为(a, b)，其中a和b是待定的参数。

假设圆的半径为r，则圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²根据等腰三角形的性质，我们可以得到圆心的另一个坐标(a, b)满足a² + b² = 1。

这个条件可以用来确定圆心的位置。

接下来，我们要利用已知的角度和弦长的信息来确定圆心和半径。

设角的顶点坐标为(cosθ, sinθ)，其中θ是已知的角度。

根据弦长的性质，我们可以得到圆心到角的顶点的距离为r，即(a - cosθ)² + (b - sinθ)² = r²将圆心的坐标代入上式，得到(cosθ - a)² + (sinθ - b)² = r²综合以上两个方程，我们可以得到关于a和b的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到圆的半径r。

“隐圆问题”

“隐圆问题”“隐圆问题”是中考常考的一部分内容。

这部分重点是要把题目中隐藏的圆给找出来。

只要“隐圆”一出，所有的问题就迎刃而解。

01【理论准备】一：定弦定角根据圆心角和圆周角的大小关系可以确定圆心的位置，以及半径的大小二：动点到定点距离为定长当OA=OB=OC时候，则点A在以OA为半径，O为圆心的圆上三：直角所对的是直径若线段AB固定，且∠ACB=90°，则点C在以AB为直径的圆上四：四点共圆可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。

△ABE∽△DCE,△ADE∽△BCE02【例题精讲】类型一：定弦定角1.如图，∠MON= 45°，线段AB=10，且A,B 分别在OM、ON 上移动，那么点O到AB的距离的最大值为__________．3.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为__________类型二：动点到定点距离为定长1.如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？类型三：直角所对的是直径1.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________．2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP长的最小值为_________类型四：四点共圆1.如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AF与BD交于N，AE与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，P D⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为？03【总结】隐圆问题经常涉及和最值问题联系在一起。

隐藏条件的问题数学

隐藏条件的问题数学隐藏条件的问题在数学中是一个重要的概念。

所谓隐藏条件，指的是在问题中没有明确给出的条件，但是却对问题的解答产生了影响。

在解决数学问题的过程中，我们常常需要通过分析和推理来揭示这些隐藏条件，从而找到问题的正确解答。

隐藏条件有时会让问题变得复杂，需要我们仔细思考和分析。

举个例子，假设有一个问题是求解一个等边三角形的边长。

看起来这个问题很简单，因为等边三角形的三条边是相等的，所以我们可以直接得到答案。

但是如果问题中加入了隐藏条件，比如说“这个等边三角形的面积是9平方单位”，那么情况就变得复杂起来。

在这个问题中，隐藏条件是等边三角形的面积。

我们知道等边三角形的面积公式是面积=底边长度/2 * 高。

根据这个公式，我们可以得到等边三角形的高是6单位。

由于等边三角形的三条边是相等的，我们可以得到等边三角形的边长是2 * 高，即12单位。

所以，考虑了隐藏条件后，我们得到的答案是12单位。

隐藏条件在数学问题中起着重要的作用。

有时候我们需要通过分析问题的背景和条件来寻找隐藏条件，有时候我们需要通过逻辑推理和数学知识来揭示隐藏条件。

只有充分理解了隐藏条件，我们才能找到正确的解答。

除了在数学问题中，隐藏条件在现实生活中也随处可见。

比如说，当我们在解决实际问题时，常常会遇到一些看似简单的情况，但是实际上却存在着隐藏的条件。

只有通过仔细观察和分析，我们才能发现这些隐藏条件，从而更好地解决问题。

隐藏条件是数学问题中一个重要的概念。

通过揭示问题中的隐藏条件，我们可以更好地理解问题的本质，从而找到正确的解答。

无论是在数学问题还是现实生活中，我们都需要注意和分析隐藏条件，才能做出准确和全面的判断。

高三数学隐藏题型归纳总结

高三数学隐藏题型归纳总结在高三数学的学习过程中，我们不可避免地会遇到一些隐藏题型。

这些题型可能在考试中出现的频率较低，但对于我们提高数学解题能力和应对考试至关重要。

因此，本文将对高三数学中的隐藏题型进行归纳和总结，帮助同学们更好地备考。

一、证明题1. 几何证明题几何证明题通常要求我们根据已知条件，通过推理和运用几何定理，证明一个结论。

在解决这类题目时，我们首先要明确所需证明的结论，然后利用已知条件和所学的几何知识，进行推理和演绎。

2. 数学归纳法证明题数学归纳法是通过证明从某个自然数n开始成立，再证明对于该自然数n成立时，与之相邻的下一自然数n+1也成立，从而得出所需证明的结论。

这种证明方法常见于数列、不等式等题型。

二、填空题填空题在高考中占据了很大比重，但其中也有一些隐藏题型需要我们掌握和熟练运用。

1. 函数性质判断题此类题目通常给定一个函数的定义域和值域的范围，我们需要根据这些条件判断函数的性质，如奇偶性、单调性等。

解决这类题目时，我们需要熟悉各种函数的性质，并通过分析给定条件来得出结论。

2. 空间几何题空间几何题中常涉及到平行四边形、多面体等几何图形的性质和计算空间中的距离、面积、体积等。

解决这类题目时，我们需要理解几何图形的性质，善于利用空间几何知识，按照给定的条件进行推理和计算。

三、选择题选择题是考试中常见的题型，但有时也包含一些隐藏题型。

1. 组合数学题组合数学题中包括排列组合、概率等内容。

这种题型需要我们通过分析和计算，选出符合条件的答案。

在解决这类题目时，我们需要对组合数学的性质和计算方法有一定的了解，并能将问题转化为排列组合的计算。

2. 函数图像题函数图像题通常给定一个函数的表达式，我们需要根据该函数的性质和给定的条件，选择正确的图像。

在解决这类题目时，我们需要对各种函数的图像有所了解，并通过分析函数的性质和给定的条件来确定正确的选项。

四、应用题应用题是数学学科中的实际问题解决题目，其中也存在一些隐藏题型。

初中数学试题中隐含条件的隐含形式

初中数学试题中隐含条件的隐含形式江苏省海安县李堡镇初级中学(226631)数学试题中的隐含条件,是指数学题目中那些不易察觉,但又直接影响解题思路甚至解答结果的已知条件.许多学生在解题时,往往极易忽视它,出现错解误证,甚至解不出来的现象.如能明确隐含条件的隐含形式,那么对正确揭示隐含条件,解答含有隐含条件的题目,将大有帮助,本文拟谈谈初中数学试题中常见的隐含条件的隐含形式,一、隐含在题中涉及的数学概念中例1 已知132=-a a ,132=-b b ,并且b a ≠,那么22baa b +=______. 分析直接求a 、b 过程冗长,且为无理数运算.而把已知条件132=-a a ,132=-b b 变成形为0132=--a a ,0132=--b b 后,根据一元二次方程的定义,不难发现a 、b 是方程0132=--x x 的两相异实根这一隐含条件,则由一元二次方程根与系数的关系得3=+b a ,1-=ab .因此22b a a b +=2233b a b a +=22)(]3))[((ab ab b a b a -++=1)33(32+=36. 二、隐含在问题的存在性中例2 等腰三角形两边长分别为5cm 、11cm,则它的周长是______ cm.分析由三角形的存在性知,三角形任两边之和必大于第三边是本题的隐含条件,忽略了这一点,就会得出“21或27”的错误结果.本题的正确答案是27.三、隐含在公式、定理、性质中例3 已知0≠abc ,并且p b ac a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过( ). (A)第一、二象限 (B)第二、三象限 (C)第三、四象限 (D)第一、四象限. 分析由等比性质得2)(2=++++=cb ac b a p ,则直线22+=x y 过一、二、三象限.此解的隐含条件是0≠++c b a .又由0≠abc 知0≠a ,0≠b ,0≠c .因此还应考虑0=++c b a 的情形,此时a c b -=+,1-=-=aap ,则直线1--=x y 过二、三、四象限.故应选(B). 四、隐含在关键词、句中例 4 已知a 为整数,方程0)12(22=+-+a x a x 的两实根为1x 、2x ,则21x x -=________.分析 “两实根为1x 、2x ”隐含着方程0)12(22=+-+a x a x 的判别式04)12(22≥--=∆a a .即41≤a .又a 为整数,则2,1,0--=a ,….设21x x -=m ,两边平方得221212m x x x x =-+,由根与系数的关系得a x x 2121-=+,221ax x =.则222)21(m a a =--,2221m a a =+-∴,则)0(1>=m m .即21x x -=1.五、隐含在数值特征中例5 已知)(0)()(5)(5b a a c c b b a ≠=-+-+-.求2)())((b a a c b c ---的值.分析直接求有一定难度,注意到隐含条件2)5(5=,所以题设条件在形式上与一元二次方程的一般形式类似,显然5是方程0)()()(2=-+-+-a c x c b x b a 的一个根,且由方程的系数和为零可知1是它的另一个根这一隐含条件,从而有b a b c --=+15,ba ac --=⨯15.∴原式=555)15(+=+.六、隐含在结构特征中例6 a 、b 、c 为互不相等实数,若0))((4)(2=----c b b a a c .求证:c a b +=2.分析题设条件中隐含着具有042=-ac b 的结构形式,因此可联想到构造一个一元二次方程来证明.证明设方程0)()()(2=-+-+-c b x a c x b a (*) 由题设知,方程的判别式∆=0.∴方程有两相等的实根,即21x x =.又方程(*)的系数和0=-+-+-c b a c b a . 故1=x 为方程(*)的根.121=--=∴ba cb x x ,即b ac b -=-. c a b +=∴2七、隐含在求解过程中例7 已知方程0152=++x x 的两根为α、β,求αββα+的值. 分析由1,5=-=+αββα知方程的两实根为负数,因此题中隐含条件是0,0<<βα.∴原式=5=+-=-+-αβαββαβαβααβ. 八、隐含在问题的结论中例8 已知0)1()1()1(,3333=-+-+-=++z y x z y x .求证: x 、y 、z 中至少有一个等于1.分析转化结论,它隐含着0)1)(1)(1(=---z y x 的条件.联想到))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++,只要把a 、b 、c 分别换成)1(-x 、)1(-y 、)1(-z ,由已知条件0)1()1()1(,3333=-+-+-=++z y x z y x 即可得0)1)(1)(1(=---z y x .九、隐含在图像图表中例9 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图1所示,则下列6个代数式ab 、ac 、c b a ++、c b a +-、b a +2、b a -2中,其值为正的式子的个数为( )(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)4个以上分析本题只有一个特定位置的抛物线.观察这一特定位置,图2隐含了抛物线的一些特点,包括开口向下、与y 轴交点在x 轴的下方、顶点横坐标大于0且小于1、1=x 时0>y ;1-=x 时0<y 等等,简解:易知0,0<<c a ,故0>ac ;1=x 时,0>y ,即0>++c b a ;1-=x 时0<y ,即0<+-c b a ;120<-<ab,即02<+b a ;由0<a 知0>b ,从而02,0<-<b a ab ,归纳得值为正的式子有2 个,故选(A).十、隐含在图形的特征和特殊性中例10 如图2,在ABC Rt ∆中,090=∠BAC ,2==AC AB ,以AB 为直径的圆交BC 于D ,求图中阴影部分的面积.分析等腰直角三角形是一个特殊的三角形,具有许多特殊性.连结AD 后,弓形BmD 与弓形AnD 全等.这一隐含条件就显露出来了,所以阴影部分的面积等于ABC Rt ∆面积的一半,即1.十一、隐含在实际意义中例11 某工厂现有一个长方形的储料场,面积为100平方米,它的一边靠墙(墙可用长度最大为13米,这一边不埋篱笆),已知篱笆的总长为30米.(1) 求此储料场的长和宽;(2) 若所用的竹篱笆长度不变,要使储料场的面积为最大,储料场的长和宽各为多少米?最大面积为多大?分析本题等量关系明显,列方程及函数解析式均较简单.若设储料场的长为x 米,则宽为230x -米, (1)据题意可列方程为x ·100230=-x ;(2)x s =·(230x-s 为面积).但题中“墙可用的长度最大为13米”这一实际意义隐含x 的取值范围,即130≤<x .因此在解(1)、(2)时,均要考虑x 的取值范围.解略.。

初中隐圆问题经典题型

初中隐圆问题经典题型
1. 有一圆心角为60°的圆，半径为5cm，求圆心角所对的弧长。

解析：由圆心角的定义可知，它所对应的弧长等于圆周长的60/360，即1/6。

所以弧长为1/6 × 2πr = 5π/3 ≈ 5.24cm。

2.若一圆的圆心角A比B小90°，则弧AB的长度是弧BC的的2倍，求A的大小。

解析：设圆心角A的大小为x，则圆心角B的大小为x+90°。

又因为
弧AB的长度是弧BC的2倍，所以：
2x/360×2πr=(x+90)/360×2πr/3。

化简得：
4x=x+90。

x=22.5°。

所以圆心角A的大小为22.5°。

3.垂直于直线AB，在其上选一点C，将圆O截得弧AC和弧BC。

若
AC=BC，则圆心O在直线AB上。

解析：考虑圆O的直径线段DE与直线AB的交点F，连接OF。

可知弧AC和弧BC所对圆心角相等，即∠AOC=∠BOC。

又因为AC=BC，所以OF垂
直于AC、BC的平分线，即OF为圆O的切线。

由切线定理可得，DE垂直
于OF，所以DE//AB。

而圆O的直径线段DE必过圆心O，所以圆心O在直
线AB上。

初中数学解题秘籍——隐藏的秘密

初中数学解题秘籍——隐藏的秘密
下面的方法1用到的知识有：等边对等角、三角形内角和定理之推论“8字模型”、代数方法中的“设而不求”，这种方法具有朴素平和之美，展示如下：
上图中的绿色部分就是我们熟悉的“8字模型”，为突破此题起到了关键的作用。

下面的方法2则显得眼光深邃，发现了背后隐藏的圆，当隐藏的圆浮出水面显露原形的时候，此题豁然开朗，脑洞大开，数学之美迎面扑来！
上面的方法2，在发现了隐藏圆之后，运用圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，轻松得解。

这就是知识的力量，其实这道题在八年级上学期学习三角形内角和定理时就可以运用方法1进行解答，但是到了九年级上学期，时隔一年，我们学习了圆的知识以后，更加漂亮的解法2呈现在我们面前，让我们觉得，前方的数学之路非常美好，我们将拥有更强大的力量，当下一些看似枯燥难解的题目会随着我们知识的增多，而变得更加轻松，更有趣味。

让我们充满期待，稳步前行吧！。

初三专题——隐圆

一、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例1如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______练习如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为________二、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例1木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）练习： 1如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为________中，，当最大时，的长是( )2如图，在ABCA ．1B ．C ．13D ．53如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.三、过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．练习：1如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在直线折叠得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________2如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE 沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.四、90o的圆周角所对的弦为直径（动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径）例1等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．练习：1如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________2（2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_______.3如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（）A． B． C．2 D．4如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F （0，254 ）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为______．5如图，半圆的半径BC 为2，O 是圆心，A 是半圆上的一个动点，连接AB ，M 是AB 的中点，连接CM 并延长交半圆于点D ，连接BD ，则BD 的最大值为__________6（2016黄冈模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90∘，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E. 若AC =6，BC =8，则DEAD的最大值为（） A.12 B. 13 C. 34D. 22四、对角互补的四边形可用圆；角度存在一半关系的可用圆例1平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是__________练习1如图，AB 为直径，AB=4，C 、D 为圆上两个动点，N 为CD 中点，CM ⊥AB 于M ，当C 、D 在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD 的长（）A ．随C 、D 的运动位置而变化，且最大值为4B ．随C 、D 的运动位置而变化，且最小值为2 C ．随C 、D 的运动位置长度保持不变，等于2D ．随C 、D 的运动位置而变化，没有最值DOMCBADECBA五、一边固定及其所对角不变可用圆（定弦定角角）（圆心在弦的垂直平分线上且和弦的两端点形成的圆心角等于圆周角的两倍）例1已知在ABC ∆中，=2AC ，=45o ABC ∠，则ABC ∆的最大面积为_____________例2如图，边长为3的等边ABC ∆，D E 、为AB BC 、上的点，且CE BD =，AD 与BE 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为__________:练习1如图,的半径为1,弦,点P 为优弧AB 上一动点,交直线PB 于点C,则的最大面积是___________2如图，半径为，圆心角为的扇形OAB 的上有一运动的点P 从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ，设的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为。

专题11 隐圆问题(解析版)

专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________【答案】605a -<<【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解2121-<<+∴605a -<<类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例 2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，()(),2C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-⋃+∞【解析】由题意得2OM ==， ∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则()1N a +，且2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以()1N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>，整理得()211a +>，解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．类型三两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PAPBλλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 5.7446︒≈≈ ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2,B ，设缉私艇在P (x ，y )处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PAPB=3=,229944x y ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎝⎭⎝因为圆心94⎛⎝到领海边界线l ：x = 3.8的距离为1.55，大于圆半径32所以缉私艇能在领海内截住走私船．1．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PC PA +==，得222((3{ (1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤≤-+即()()2222272323223232a a a a a ---≤-≤-+-，解得234a ≤，即2241523233216ABC S a a a a ∆=⨯⨯-=-≤，即ABC ∆面积的最大值为52316.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______ 【答案】[62,62]-+ 【解析】设BC 的中点为M (x,y)，,因为22222OB OM BM OM AM =+=+，所以22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭32为半径的圆，所以AM 的取值范围是6262-+⎣⎦，所以BC 的取值范围是[62,62]．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(22:161C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________．【答案】17117a ≤+【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点，AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径1R = 且圆C 的圆心为(，半径为21R =，两圆的圆心距为： 5d ==，结合1a >可得关于实数a 的不等式组：15 15≤≥，求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为11a ≤≤4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．【答案】4【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点P 满足AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为M,则M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2，则圆M 的方程为221x y +=，若圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切，则有5=，解可得r=4.5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．【答案】104λ-<≤ 【解析】以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()()(()10,10,,,A B C P x y -，，，AC：()10y x =-≤≤由•PA PB λ=得221x y λ-+= ，()22111,1010044λλλ∴>-=-≤-+-=∴-<≤⎝⎭6.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB＝60°，则实数a 的取值范围为____________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．【答案】364【解析】∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a)2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a≥3，所以a 的最小值为3.10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．【答案】－34【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．【答案】10【解析】OC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54OA →＋34OB →2＝2516OA →2＋2·54OA →·34OB →＋916OB →2，即r 2＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD ＝22＝2，所以cos 2∠AOD ＝15＝OD 2r 2＝2r 2，所以r 2＝10，r ＝10.12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．【答案】[1，5]【解析】圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT＝45°，则实数a 的取值范围是________________．【答案】3－1≤a＜1【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即AM≤2a，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．【答案】855－ 6【解析】设圆O 1的方程为(x －a)2＋(y －ka)2＝k 2a 2①，圆O 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －6k a 2＝36k2a 2 ②，②－①，得2ax －12a x ＋2aky －12a ky ＋36a 2－a 2＝0，即2x ＋2y －a －6a ＝0.设P(x 0，y 0)，则(x 0－a)2＋(y 0－ka)2＝k 2a 2，即x 20＋y 20＝2ax 0＋2ay 0－a 2，又2x 0＋2y 0－a －6a＝0，可得2ax 0＋2ay 0－a 2＝6，故x 20＋y 20＝6，即点P 的轨迹是以原点为圆心，半径为6的圆，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为855－ 6.15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0【解析】由S △ABC ＝12×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1＝0满足题意．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．【答案】2【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－22，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022＝4.又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．【答案】[5，55]【解析】在圆C 2上任取一点P ，过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，当AB 过圆心时，此时PA 在该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在P 点情况下PAPB 最小，当P ，A ，B 三点共线时，如图1，2，PA 为所有位置最小，且PA AB 是所有位置中最小，所以只要满足PAAB ≤2，即满足题意，错误! 5≤r ≤55.18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1≤1，解得k ≤－34.19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】设M(x ，y)，由MA 2＋MO 2＝10，A(0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．【答案】(x －1)2＋y 2＝1【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。

中学趣味数学隐蔽的尺寸

中学趣味数学隐蔽的尺寸在城市广场的中央有一片很大的圆形憩息地。

市议会拟在该地建造一个菱形浅水池。

多里斯。

莱特市长看到这一方案，她找来了修建师。

莱特市长：我喜欢呈菱形的水池，用红瓷砖砌成，不知道这水池的每边有多长？修建师弗兰克。

劳埃德。

朗被问住了。

朗先生：从A至B是5米，从B至C 是4米。

唔，应求出BD。

也许我需求运用毕达格拉斯定理。

朗先生正困惑不解，市长阁下突然叫起来。

莱特市长：啊哈！水池每边长为9米，这是毫无疑问的。

朗先生：我的天哪！怪不得你姓莱特〔Wright〕我姓朗〔Wrong〕呢。

有了什么好主意使这个效果迎刃而解？既是对角线又是半径莱特夫人突然悟到水池每边即为矩形的对角线。

这个矩形的另一条对角线就是圆形栖息地的半径。

而矩形的两条对角线是相等的，所以水池每边边长就是圆半径的长度。

半径是5+4=9米，因此水池每边也是9米，无需运用毕达格拉斯定理。

你再找一种更简便的方法试试看，这样你就更能体会我们这种解法的优点。

假设你仅运用毕达格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗长，繁琐。

但你假设想到以下平面几何定理：一个圆的两条外部相交的弦，一条弦的两局部之积等于另一根弦两局部之积，那么就可以得出稍微冗长的解法。

依据这一定理，可以求得直角三角形的高为56，在运用毕达格拉斯定理，算出直角三角形的斜边为9。

有一个与此亲密相关的效果，那就是诗人亨利。

朗非罗在其小说«卡瓦诺»中所提出的有名的水仙花效果。

当水仙花花茎垂直时，花朵伸出水面10厘米。

假设把水仙花拉向一边，使花茎坚持直线，花朵沾水的位置离原来的位置是21厘米，问水深多少厘米？要解这个效果，可以先画一张草图，此图与水池效果的图相似。

我们要确定的就是x的长度。

与水池效果一样，这个效果也不止一种解法。

假定你还记得两弦相交的定理，解这个效果是轻而易举的。

还有一个幽默的游泳池难题，心血来潮那么迎刃而解。

一条海豚位于一个圆形水池的西边A点，它蜿蜒地游了12米，鼻子触到水边的B点，转过身后，又蜿蜒地游了5米，抵达水池边上的C点，此位置正好与水池边上的A点遥遥相对，试问假设它直接从A点游向C点，需求游多长距离？啊哈！要处置这个效果只需知道以下定理：半圆上的圆周角是直角，所以三角形ABC是直角三角形。

初中数学隐身知识点

初中数学：这些在课本上隐身的知识点几何篇● 平行四边形（实用度：★ ★）两边长为a和b，两对角线长为m和n，可以拿这个公式和托勒密定理对比记忆。

● 三角形A.勾股数（实用度：★ ★）常见的最简勾股数有：3、4、55、12、138、15、177、24、259、40、41B.面积公式（实用度：★ ★）边角边公式：利用两边及其夹角求面积。

S=1/2SinB*ac。

两边对应于ac,夹角是B,边边边公式公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。

PS：几何中的三角形面积公式只需要记这两个个，其他的公式连竞赛都很难用得上。

C.三角恒等式（实用度：★）这几个公式对于初中来说确实没什么用，很少能用到。

不过如果有兴趣，记下来了，高中需要背的时候就会少一些麻烦。

D.正余弦定理（实用度：★ ★）在遇到45度、60度、75度之类的非直角三角形题目时，我们可以用上这两个公式。

其他时候很少能用得上。

所以要记得：E.重心（质量法）（实用度：★ ★ ★）三角形的重心将中线分为2：1的两段。

质量法：（填空压轴题重点！！）两个小球A、B，如果质量相等，如（1），那么它们的重心是AB 的中点D。

如果质量不等，质量比为m/n，如（2），那么重心D仍在AB 上，而AD/DB=n/m。

（即杠杆原理）如果三个质量相等（都等于1）的小球A、B、C构成三角形ABC 要求它们的重心可以分为两步：先求出B、C的重心，即B、C的中点D，可以用质量为2（=1+1）的小球放在D点，以取代B、C两个小球。

再求A、D的重心，由于D处的质量为2，A处的质量为1，所以重心G在AD上，且分AD为2：1（即AG：GD=2：1）。

下面，我们举一个简单的例子。

例：如图△ABC，AB上有一点E，BC上有一点D，AD交CE于点G，当AE：EB=1：2，BD：DC=1：2时，AG：GD等于多少？解：我们在C处放质量为1的小球，B处放质量为2的小球，A处放质量为4的小球。

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中学趣味数学:隐蔽的尺寸_题型归纳
在城市广场的中央有一片很大的圆形憩息地。

市议会拟在该地建造一个菱形浅水池。

多里斯。

莱特市长看到这一计划，她找来了建筑师。

莱特市长：我喜欢呈菱形的水池，用红瓷砖砌成，不知道这水池的每边有多长？建筑师弗兰克。

劳埃德。

朗被问住了。

朗先生：从A 至B是5米，从B至C是4米。

唔，应求出BD。

也许我需要应用毕达格拉斯定理。

朗先生正疑惑不解，市长阁下忽然叫起来。

莱特市长：啊哈！水池每边长为9米，这是毫无疑问的。

朗先生：我的天哪！怪不得你姓莱特（Wright）我姓朗（Wrong）呢。

有了什么好主意使这个问题迎刃而解？
既是对角线又是半径
莱特夫人忽然悟到水池每边即为矩形的对角线。

这个矩形的另一条对角线就是圆形栖息地的半径。

而矩形的两条对角线是相等的，所以水池每边边长就是圆半径的长度。

半径是5+4=9米，因此水池每边也是9米，无需应用毕达格拉斯定理。

你再找一种更简便的方法试试看，这样你就更能体会我们这种解法的优点。

如果你仅应用毕达格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗长，繁琐。

但你如果想到下列平面几何定理：一个圆的两条内部相交的弦，一条弦的两部分之积等于另一根弦两部分之积，那么就可以得出稍微简短的解法。

根据这一定理，可以求得直角三角形的高为56，在应用毕达格拉斯定理，算出直角三角形的斜边为9。

有一个与此密切相关的问题，那就是诗人亨利。

朗非罗在其小说《卡瓦诺》中所提出的有名的水仙花问题。

当水仙花花茎垂直时，花朵伸出水面10厘米。

如果把水仙花拉向一边，使花茎保持直线，花朵沾水的位置离原来的位置是21厘米，问水深多少厘米？
要解这个问题，可以先画一张草图，此图与水池问题的图相似。

我们要确定的就是x的长度。

与水池问题一样，这个问题也不止一种解法。

若你还记得两弦相交的定理，解这个问题是轻而易举的。

还有一个有趣的游泳池难题，灵机一动则迎刃而解。

一条海豚位于一个圆形水池的西边A 点，它笔直地游了12米，鼻子触到水边的B点，转过身后，又笔直地游了5米，到达水池边上的C点，此位置正好与水池边上的A点遥遥相对，试问如果它直接从A点游向C点，需要游多长距离？
啊哈！要解决这个问题只需知道下列定理：半圆上的圆周角是直角，所以三角形ABC是直角三角形。

已知两直角边长分别为12米和5米，所以斜边为13米。

上述问题都给我们以启示：在许多情况下，如果思路正确，几何问题的求解会变得极其容易。

而要做到这一点，这取决于你是否想到了欧几里德几何的某个基本定理。