弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
合集下载
弹性力学_第四章 本构关系
弹性力学
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
7
x
ν
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
E0 ; G 0 ; K 0
19
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
20
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
7
x
ν
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
E0 ; G 0 ; K 0
19
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
20
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性力学第四章
x
y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
2019/7/26
31
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
2019/7/26
16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
2019/10/18
28
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
2019/10/18
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/10/18
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
2019/10/18
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
2019/10/18
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
弹塑性力学-弹塑性本构关系
0 0 p
W D ( ij ij ) d ij 0
0 p
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1
d
p
d
p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
WI WD 1 2 d ij d
d
p
2 3
d e ij d e ij
p
p
m ises : q s H ( d W
p
)[ 或 H ( d
p
p
)] 0
p
tresca : m ax s H ( d W
)[ 或 H ( d
)] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
0
p
ij
0
ij
0
W D ( ij a d ij ij ) d
0
p
ij
0
1 a
1 2
当 ij ij时 , 略 去 无 穷 小 量
0
( ij ij ) d ij 0
0 p
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
当
0 ij
( ij , H ) F ( I 1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
p p
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M － C K H ( d W ) 或 H ( d
W D ( ij ij ) d ij 0
0 p
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1
d
p
d
p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
WI WD 1 2 d ij d
d
p
2 3
d e ij d e ij
p
p
m ises : q s H ( d W
p
)[ 或 H ( d
p
p
)] 0
p
tresca : m ax s H ( d W
)[ 或 H ( d
)] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
0
p
ij
0
ij
0
W D ( ij a d ij ij ) d
0
p
ij
0
1 a
1 2
当 ij ij时 , 略 去 无 穷 小 量
0
( ij ij ) d ij 0
0 p
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
当
0 ij
( ij , H ) F ( I 1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
p p
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M － C K H ( d W ) 或 H ( d
塑性力学第四章塑性本构关系
ii
1 2
E
ii
eij
1 2G
Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0, 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3i 再代回上面第
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
即
i
A
m i
这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-6 卸载定律
• 从单向拉伸实验的应力应变曲线
A
看:加载至过弹性极限达到A点,然后
ij
1 E
1
ij
ij kk
• 也可以表示为:
ii
1 2
E
ii
eij
1 2G
Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ijm
代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 21
法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
在线性强化时 H 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性
应变增量强度
d
p i
的公式得到
弹塑性力学-04
x E y
其中E为弹性常数，这就是熟知的 胡克定律。
在三维应力状态下，描绘一点处的 应力状态需要9个应力分量，与之 相应的应变状态也要用9个应力分 量来表示。在线弹性阶段，应力与 应变间仍有线性关系存在，但在一 般情况下，任一应变分量要受9个 应力分量 制约。
3
由于应力张量与应变张量的对称性
10
x e 2 x , xy xy
y e 2 y , yz yz z e 2 z , zx zx
x x ( y z ) (3 2 ) 2 (3 2 )
正交各向异性的弹性材料的本构关系，可根据任一坐标轴 反转时弹性常数保持不变的要求
c12 x c22 y c23 z c11 , c22 , c33 , c12 , c13 , c23 , c44 , c55 , c66 c13 x c23 y c33 z c44 xy 共9个弹性常数 c55 yz c66 zx
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v z ) E v z ( x y ) E 1 xy xy G
如用应变分量表示应力分量
14
对于平面应变问题
z yz zx 0
E x [(1 v) x v y ] (1 v)(1 2v) E y [v x (1 v) y ] (1 v)(1 2v) vE z ( x y ) (1 v)(1 2v) xy G xy
c 41 x c 42 y c 43 z c 44 xy c 45 yz c 46 zx c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
弹塑性力学第4章
3
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
第4章 弹塑性本构方程
屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为
弹性力学第4章—弹性本构关系
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
塑性力学--第四章 塑性本构关系
2
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
弹塑性力学-本构关系
xx C11 xx C12 yy C13 zz C16 xy C C C C 21 xx 22 yy 23 zz 26 xy yy zz C31 xx C32 yy C33 zz C36 xy yz C44 yz C45 zx zx C54 yz C55 zx xy C61 xx C62 yy C63 zz C66 xy
设弹性体内的位移矢量为：
线弹性本构关系
dA dt
u ui ei 体积力矢量为： f f i ei 面积力矢量为： F X i ei
考察微单元体上的体积力和面积力在单位时间内所 做的功为：
V
dV f u
dS F u
C16 C26 C36 C45 0
xx C11 xx C12 yy C13 zz C C C 21 xx 22 yy 23 zz yy C C C zz 31 xx 32 yy 33 zz yz C44 yz zx C55 zx 这种材料称为正交各向异性 材料，有9个独立的材料常数。 C xy 66 xy
S i i S ij j i V ij i , j
w ij dV dV ij 又： U wdV V t V V w w ij dw ij d ij ij ij t ij
dU dA dt dt
(
V
ij , j
i dV f i )u
xy xx , zz , zx , xy xx yy yy , zz yz yz , zx
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
工程弹塑性力学教学课件第四章弹性模型2
1.0之间
Rf
(1 3 ) f (1 3 )ult
b(1 3) f
Duncan-Chang模型
(1 3 )
1 Ei
1
Rf
(1 3 ) f
1
土体切线弹性模量
(1
3)
1
Ei
1/ Ei
Rf 1 (1 3 ) f
2
Et
(1 3) 1
Duncan-Chang模型
土体的初始模量(Janbu，1963)
横观各向同性模型
垂直某一方向的各个平面都是各向同性面：水 平向各向同性，竖向各向异性 弹性矩阵[D]：5个独立变量， EH，Ev，VHH， VHV，VVH
非线弹性模型理论
超弹性模型
通过材料的应变能函数或余能函数建立的本构
Cauchy弹性模型
ij
W
ij
，
ij
ij
与应力路径无关
次弹性模型
ij Fij ( kl )
Duncan-Chang模型
讨论
基于重塑土的三轴试验建立，不能反映天然土 体的变形特性；不能反映压缩与剪切的完全交 叉影响、不能反映土体的软化及各向异性性质； 模型本身不能反映中主应力对E、μ和强度指标 的影响等。 针对上述一些不足，目前有许多相关的修正模 型。
f
D(r )
或
r
f a 1 D a
Duncan-Chang模型
切线泊松比…
侧向应变与轴向应变关系曲线的切线斜率具有 增量泊松比的物理意义
t
(r ) a
f (1 A)2
A
D(1 3)
kpa
3
pa
1
Rf (1 sin )(1 3 2c cos 23 sin
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数 之间存在关系
36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵.
具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数 有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。
• 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对 称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均 匀的木材、叠层胶木、复合材料等
正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为
3.横观各向同性体
如物体内任意一点, 在平行于某一 平面的所有各个方向都有相同的弹性性 质, 这类正交异性体为横观各向同性体。 如不同层次的土壤、复合板材等。
四. 物理方程的其他表示形式
物理方程：
用下标记法可将广义虎克定律表示为
e ij
1
E
s ij
3
E
s mij
s ij
2G
3
E
s mij
由上式可验证
q
ex
ey
ez
3(1
2
E
)
s
m
令
em
q
3
(1 2)
E
sm
K E
3(1 2)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
(4.35)
(4.36) (4.37) (4.38)
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线：
s 塑形变形
s 塑形变形
e 线弹性
e 非线弹性
二. 各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程） • 由材料力学已知，Hooke定律可表示为：
单向拉压
纯剪切 横向与纵向变形关系
E为拉压弹性模量； G为剪切弹性模量
为泊松比
对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 考虑x方向的正应变：
• 弹性矩阵为
• 极端各向异性体的特点:
(1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变
,
还会引起剪应变
。
(2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正 应变。
2.正交各向异性体 如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面,
在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质 都相同。 称为具有一个弹性对称面的各向异性体。 该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方 向称为物体的弹性主方向。
弹性本构关系
第四章 弹性本构方程
§4-1 应力—应变关系的一般表达 §4-2 各向异性线弹性体 §4-3 各向同性线弹性体 §4-4 弹性应变能与弹性应变余能
§4-1 应力—应变关系
一、本构方程
从静力学的角度对应力进行了分析 从几何学的角度对应变进行了分析
平衡微分方程 几何方程和变形协调方程
上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑 性力学。
这些方程还不能解决弹塑性力学问题。
需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。 对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。
• 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。
• 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰 勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中 的第一式展开为：
表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为 零．故
表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零 时的值，等于一个常数
故, 式（１）可用一个线性方程组表示（线弹性体）
式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关 系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应 变的一般关系式．
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
ex
ex
em
(1
E
sx
3
E
sm)
1 3K
sm
1 2G
sx
ey
ey
em
1 2G
sy
ez
ez
em
1 2G
sz
exy
e xy
1 2G
xy
1 2G
sxy
eyz
e yz
1 2G
yz
1 2G
syz
exz
e xz
1 2G
xz
1 2G
sxz
整整理理以以上上六六个个式式子子，，得得
单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。
变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变 分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能 密切相关的，是有限元法的基础。
一、一维状态
细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。
产生的伸长量为DL，外力作的功为：
单位体积的应变能U0为：
单位体积的应变能U0代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。 单位体积的应变余能U0为：
横观各向同性体只有五个 弹性常数, 弹性矩阵为
4.各向同性体
物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。 各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为:
比较: 可见:
§4-3 弹性应变能
弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的 变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所 做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数 之间存在关系
36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵.
具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数 有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。
• 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对 称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均 匀的木材、叠层胶木、复合材料等
正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为
3.横观各向同性体
如物体内任意一点, 在平行于某一 平面的所有各个方向都有相同的弹性性 质, 这类正交异性体为横观各向同性体。 如不同层次的土壤、复合板材等。
四. 物理方程的其他表示形式
物理方程：
用下标记法可将广义虎克定律表示为
e ij
1
E
s ij
3
E
s mij
s ij
2G
3
E
s mij
由上式可验证
q
ex
ey
ez
3(1
2
E
)
s
m
令
em
q
3
(1 2)
E
sm
K E
3(1 2)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
(4.35)
(4.36) (4.37) (4.38)
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线：
s 塑形变形
s 塑形变形
e 线弹性
e 非线弹性
二. 各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程） • 由材料力学已知，Hooke定律可表示为：
单向拉压
纯剪切 横向与纵向变形关系
E为拉压弹性模量； G为剪切弹性模量
为泊松比
对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 考虑x方向的正应变：
• 弹性矩阵为
• 极端各向异性体的特点:
(1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变
,
还会引起剪应变
。
(2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正 应变。
2.正交各向异性体 如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面,
在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质 都相同。 称为具有一个弹性对称面的各向异性体。 该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方 向称为物体的弹性主方向。
弹性本构关系
第四章 弹性本构方程
§4-1 应力—应变关系的一般表达 §4-2 各向异性线弹性体 §4-3 各向同性线弹性体 §4-4 弹性应变能与弹性应变余能
§4-1 应力—应变关系
一、本构方程
从静力学的角度对应力进行了分析 从几何学的角度对应变进行了分析
平衡微分方程 几何方程和变形协调方程
上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑 性力学。
这些方程还不能解决弹塑性力学问题。
需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。 对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。
• 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。
• 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰 勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中 的第一式展开为：
表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为 零．故
表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零 时的值，等于一个常数
故, 式（１）可用一个线性方程组表示（线弹性体）
式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关 系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应 变的一般关系式．
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
ex
ex
em
(1
E
sx
3
E
sm)
1 3K
sm
1 2G
sx
ey
ey
em
1 2G
sy
ez
ez
em
1 2G
sz
exy
e xy
1 2G
xy
1 2G
sxy
eyz
e yz
1 2G
yz
1 2G
syz
exz
e xz
1 2G
xz
1 2G
sxz
整整理理以以上上六六个个式式子子，，得得
单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。
变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变 分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能 密切相关的，是有限元法的基础。
一、一维状态
细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。
产生的伸长量为DL，外力作的功为：
单位体积的应变能U0为：
单位体积的应变能U0代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。 单位体积的应变余能U0为：
横观各向同性体只有五个 弹性常数, 弹性矩阵为
4.各向同性体
物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。 各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为:
比较: 可见:
§4-3 弹性应变能
弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的 变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所 做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。