《反比例函数》中考总复习学习教育教案

x
A ox
提高篇:(1)如图,点P是反比例函数
图象上的一点,过点P分别向x轴、y y
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则
这个反比例函数的关系式
N
p
是提示：S矩.形=|yxy|=3x|k|
则 k=os或M -s x
(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
x
∴持续时间=16-4=12(min)>10(min)
答：此次消毒有效。
练习6：
1、已知甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速 行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为a升,那 么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶 速度v(km/h)的函数图象大致是( C )
Y/L
Y/L
Y/L
Y/L
o
V(km/h) o
的图象上，
那么下列各点中一定也在此图象上的点是( C)
A. (m，n) B. (-m，-n)
C. (m，-n) D. (-n，-m)
3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式
为
y
2 x.
4.如果反比例函数 y 1 的3m图象位于第二、
x
四象限，那么m的范围为
.
m＞
1 3
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
∴
m＞
1 3
7:增减性
k2 1
1、在反比例函数 y x 的图象上有两点
（x1，y1）、（x2，y2）,若x1>x2 >0,则y1与y2 的
大小关系是
。
变：1）将x1>x2 >0变为x1 >0 >x2，则y1与y2 的
大小关系是
。
2）将x1>x2 >0变为x1>x2，则y1与y2 的大小关
系是
。
3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、
B F
x
Ax
五、交点问题
1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
例：已知如图反比例函 数y 8 与一次函数 y x 2的图 x
交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ;(2)AOB的面积.
y A
B
0
x
四、与面积有关的问题：
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点, x
过P作x轴的垂线 , 垂足为 A, 则
SOAP
1 2
OA
AP
1 | m | • | n | 1 mn 1 | k |
2
2
2
面积性质（一）：
y
P(m,n)
oA
x
想一想
y P(m,n)
oA x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
正比例函数
反比例函数
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
y
k x
或y
k x1或x y
k(k
0)
y
y
y
y
图象 及象限
ox k>0
ox k<0
0x k>0
0x k<0
性质
当k>0时，y随x的增大而增大; 在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小;
当k<0时，y随x的增大而减小. 当k<0时，y随x的增大而增大.
(1)求双曲线的解析式;
(2)直线AC与y轴交于点C(0,1), 与x轴交于点D.求AOD的面积.
y
DC
o
A Bx
综合应用：
已的知图点象A上（，3经，过4）点，A、B（B的－一2，次m函）数在的反图比象例分函别数与x轴y 、 xky 轴交于点C、D。 ⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式；
积为3,则这个反比例函数的关系式是
y -3 或 y 3
__________x__________x____.
4.如图,P,P是函数y
1 x
的图
像上关于原点O对称
的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 ,ΔPAP的
面积 S,则_C__.
A.S = 1
B.1<S<2
y
C.S = 2
D.S>2
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低
于1.6 mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，
至少经过多少min后，学生才能回到教室；
y 3 x （ 0≤x≤8） 4
48
y
（x≥8）
x
解：(3)当y=1.6时有
1.6 30
1.6 48 解得x 30 x
答：至少经过30min后，学生才能回到教室；
x
D.S1和S2的大小关系不能确定.
C
D
3、如图 , P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是 _y___ 3 .
x
解:由性质(2)可得
y
S矩形APCO|k|,|k| 3.
PC
又 图像在二 ,四象限,
k 3 解析式为y 3 .
论成立吗?
y A P(m,n)
o
x
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
n
|•|
m |
1 2
mn
1 2
|
k
|
（归个①纳定3任）：值意已（,一1知）组即点两变xA个量y是=定（k反.值或比图例象函上任数一点y 的- 1x坐2 标上）的的乘点积，是一
过点A作 AP⊥ x轴于点p，则△AOP的面积为
1 （②图中BS△）PAO =
y
A
O
C
x
DB
7、四边形ADBC的面积=___2__
y
y
A
D
o
x
C
B
D
A
o
x
B
C
思索归纳 例：(2007武汉市)如图，已知双曲线 y k (x＞0)
x
经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，
且四边形OEBF的面积为2，则k2＝____。
y
C
D
C
E
O
S⊿AOF
=
1 4
A
S矩形AOCB
O
1
S⊿AOF = 2 S四边形EOBF =1
1
y
k 2
S ΔPOD
1 |k | 2
1 2
2
1
P
oD
x
2、如图:A、C是函数
y
1 x
的图象上任意两点，
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线,
垂足为D.记RtAOB的面积为S1,
RtOCD的面积为S2 ,则 __C_ .
y
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
解
:
(1)
y
8 x
,
y x 2.
解得xy
4,2;或xy
2, 4.
y
A
N
M
O
x
B
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一:
y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0). y
OM 2.
作AC x轴于C, BD x轴于D. AC 4, BD 2,
A
N MD
CO
x
B
对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x；对称中心为：原点 y y = —kx
y=-x
y=x
0
12
x
练习3：
1、如图，过原点的一条直线与反比例函数
y k
x
(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)，
则点B的坐标为（
）
A. (b,a) C. (-b,-a)
B. (-a,b) D D. (-a,-b)
x12 3 4 B:
y689 7
x1 2 3 4 C:
y8 5 43
x123 4
D:
y
1
1 2
11 34
4、已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。 请写出y的x函数关系。
5、已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x = 1时，y=－1；x=3时， y=5．求y与x的函数关系式.
V(km/h)
(A)
(B)
o
V(km/h)
(C)
y avS（v 0）
o V(km/h) (D)
SOMB
1 2
OM
BD
1 2
2
2
2,
1
1
SOMA 2 OM AC 2 2 4 4.
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
练：
如图,O是坐原点，直线OA与双曲线y k 在第一象限内交于 x
点A,过A作AB x轴,垂足为B,如果OB 4(AB : OB) 1 . 2
y 0x
y
0
x
同学们努力吧,一切皆有可能﹗
一、有关概念：
1.什么叫反比例函数？
反比形例如函y数。kx (k为常数，k≠0) 的函数称为 其中x是自变量，y是x的函数。
2.反比例函数有哪些等价形式？
y
k x
y=kx-1
xy=k
(k为常数， k≠0)
练习1：
1、下列函数中哪些是反比例函数?
① y = 3x-1 ②
（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不 低于3mg且持续时间不低于10 min时，才能有效
杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请
说明理由。 3 y x （ 0≤x≤8） 4
48 y （x≥8）
x
(4)把y=3代入两函数得
3 4 16
3 3 x解得x 4 3 48 解得x 16
4
⑹ 在y轴上找一点H，使△AHO为等腰三角形，求点H 的坐标;
六、实际问题与反比例函数
例题1：右图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速
前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）这条高速公路全长是多少千米？
（2）写出时间t与速度v之间的函数关系式；
（3）如果2至3h到达，轿车速度在什么范围？
y = 2x2 ③
y=
1 x④
y
=
2x 3
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦
y=
1 3x
⑧
xy=-2
2. 若 y (m 2)x3m是2 反比例函数，
则m＝＿＿＿－＿2＿＿． m-2≠0，3-m2=－1
3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关
系，其中是反比例函数关系的是( D ).
A: x 1 2 3 4 y5 8 7 6
现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药 量为6mg。请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y与x的关系式；
（2）药物燃烧完后，求y与x的关系式；
（3）研究表明，当空气中每立方米 的含药量低于1.6 mg时学生方可进 入教室，那么从消毒开始，至少经 过多少min后，学生才能回到教室；
▏k▕ ,与点A的位置无关。
2
A. 12
B. 6
y
C. 4
D. 3
A
P0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
则S矩形OAPB＝OA• AP m • n mn k
y
面积性质（二）
B
P(m,n)
oA
x
练习4：
1.如图,点P是反比例函数 y 图2象上的 x
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
二、反比例函数的图象和性质:
函数
反比例函数
解析式 图象形状
y
k x
或y kx1或xy k
(k 0)
双曲线
位置
k>0
双曲线两分支分别在 第一、第三象限
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小；
位置
k<0
双曲线两分支分别在 第二、第四象限
增减性 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式
解:设P(m,n),则P(-m,-n).
AP |2m|，AP|2n|；
o
SΔPAP 12| AP AP|
P/
12|2m||2n|
2|k|
P(m,n)
x
A
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
y
m x
的图象交于
A(-2,1),B(1,n)两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求⊿AOB的面积．
解：（1） 300千米
t(h)
（2） t 300
（3）
v 100至150（千米/小时）
3
2
由图象得
O 100150 200 v(km/h)
当2 ≤ t ≤3时， 100≤v≤150
例题2：如图，为了预防“非典”，某学校对教室采用 药熏消毒法进行消毒。
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg) 与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.
（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且 持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那 么此次消毒是否有效？请说明理由。
例题2：如图，为了预防“非典”，某学校对教室采用 药熏消毒法进行消毒。
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg) 与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.
（1）药物燃烧时，求y与x的关系式；
（2）药物燃烧完后，求y与x的关系式；
解：(1)当0≤x≤8时设函数式为 y k1x (k1 0)
∵∴函把数（图8，象6经）过代点入（得8k，1 6）43
∴
y 3 x. 4
当x∵≥8函时数设图函象数经式过为点（y 8，kx26）(k2 0)
∴把（8，6）代入得 k2 48 ∴ y 48 . x
（x3，y3）,且y1>0>y2 > y3,则x1、x2 、 x3的大
小关系是
。
10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象，观察图象写出y1﹥y2时， y
y2
m x
x 的取值范围 X>3或-2<x<0
-2
0
3
x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1.函数 y
1
的图象位于第
2x
象二限、,四
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大,
当x＞0时,y ﹤0,这部分图象位于第 象四限.
2.若点(-m，n)在反比例函数y
k x