类比思想在解题中的应用

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类比思想在高中数学教学中的应用

中,教师应注重给予学生类比的点拨,引导学生能够
转化为熟悉问题,从而促进学生解题能力的提高．
为
透过现象看本质,在类比过程中少走弯路,从而高效
教师可结合具体例题,讲解类比思想的应用,使学生
借助线性规划可求得可行域中相关参数的取值
使学生掌握这一重要思想,提高其应用意识,教学中
体会类比思想应用的过程,把握该思想应用的关键．
１注重对类比思想知识的讲解
为使学生灵活运用类比思想解答高中数学试题,
授课中应注重对类比思想知识的讲解．
(m ≥ ０),则
y０
＝
x０
e
x０＋m
m
＝e＋ ,要使
x０
x０
图１
y
它最小,则 m ＝０,所以的最小值在 P (
x０ ,
y０ )处为
x
x
当
e,此时点 P (
x０ ,
B 之间．
y０ )在 y ＝e 上的点 A ,
５y＝２０－５x,
y＝４－x,
(
即
x,
y )对应点 C 时,
．
等差与等比数列的类比一直是高考的热点．
正如
该题要求类比等差数列的性质,推测等比数列的类似
性质．
解答该题时,可先通过类比写出结论,即bm ＋n ＝
m －n
a
,而后应用等比数列知识进行推理、验证,以保

类比思维在高中数学教学和解题中的运用

类比思维在高中数学教学和解题中的运用摘要：类比思想能开阔学生视野，提升学生创新思维能力。

随着苏教版新课程标准的推行，类比思想在高中数学教学中的应用也得到了广泛关注。

本文作者根据自身多年的教学经验，对类比思想在高中数学教学与解题中的重要作用进行了详细分析，并对其具体应用进行了深入探讨。

关键词：高中数学教学类比思想应用引言类比思想作为一种重要的数学思想，对揭示数学知识之间的内在联系、拓展学生解题思路等发挥着非常重要的作用。

同时，随着苏教版新课程标准的不断实施，越来越注重教学方法的选择，对教师的综合素质与教学方法的灵活运用提出了更高层次的要求。

类比思想在高中数学教学过程中的应用不仅能有效强化学生对所学知识点的理解，还能有效增强学生的学习积极性，为促进学生学习效率的提升发挥着不可替代的作用。

1.类比思想在高中数学学习方法中的重要作用根据笔者多年实践教学经验及在对其他学习方法之间关系分析之后，笔者就类比思想在高中数学教学及学生学习中的重要作用归纳为以下几点。

1.1能引导学生由浅入深地学习。

类比思想的运用通过对一些相似事物或规律的类比，能引导学生循序渐进地投入到数学学习中去。

如在学习高中立体几何“点线面”相关知识内容学习时，可引导学生将生活中具体的事物抽象成数学知识中的抽象概念，以生活事物与学习内容的有效结合来强化学生对于所学内容的理解与记忆。

如在学习平行公理与空间中直线之间的关系时，可引导学生将生活中的具体事物当成知识点的具象模型，以生动形象的实体元素让学生明确不同平面、直线在二维空间及三维空间中的转换关系；在学习正余弦函数性质时，可引导学生将其函数图像性质与波浪、声波图像等因素结合起来，并引导学生通过对生活中生动形象事物的体验来明确各种函数图像的性质。

1.2能整合知识点，形成统一的知识结构。

在高中数学学习过程中，经常会遇到周期函数证明问题等类似问题，并且这部分题目多以复合函数的形式出现，给学生解题带来了一定困难。

浅谈类比思想在数学教学中的作用

浅谈类比思想在数学教学中的作用类比思想在数学教学中扮演着重要的角色，它能帮助学生理解和应用抽象的数学概念，促进他们的数学学习，并激发他们的数学兴趣。

本文将从类比思想的意义、类比思想在数学教学中的应用、类比思想的优缺点等几个方面来深入探讨类比思想在数学教学中的作用。

首先，类比思想的意义在于帮助学生理解抽象概念。

在数学教学中，有很多抽象的概念，比如函数、集合、向量等。

这些概念对于学生来说往往是比较晦涩的，难以直接理解。

而通过类比思想，教师可以将这些抽象的概念与学生生活中的具体经验相联系，比如用图形、实物、日常生活中的现象来类比数学概念，使学生能够通过具体的经验来理解抽象的概念，帮助学生更好地理解数学概念，增强学生对数学的兴趣和信心。

其次，类比思想还可以帮助学生应用数学知识。

数学是一门实用的学科，它的应用性非常广泛。

而通过类比思想，教师可以将数学知识与学生生活、社会实践相联系，使学生能够在日常生活中找到数学的应用，从而增强学生对数学的兴趣和学习动力，并激发他们对数学的创造性思维。

再者，类比思想还可以帮助学生建立数学学习的框架。

在数学学习中，很多概念之间存在着内在的联系和相互影响，不同的数学内容之间也有着某种内在的类比关系。

通过类比思想，教师可以将不同的数学知识相联系，形成一个完整的数学知识体系，帮助学生建立起对数学的整体认识和理解，从而促进他们的数学学习。

类比思想在数学教学中的应用非常丰富。

首先，教师可以在课堂教学中通过引入具体的例子或生活中的场景来说明抽象的数学概念，帮助学生理解和应用数学知识。

其次，教师可以设计一些生动、有趣的教学活动，比如数学游戏、数学竞赛等，让学生在参与活动的过程中体会数学的乐趣，从而增强对数学的兴趣和热爱。

此外，教师还可以通过多媒体教学手段，比如动画、视频等，将抽象的数学概念形象化，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

虽然类比思想在数学教学中有很多优点，但同时也存在一些缺点。

首先，类比思想有时候可能会误导学生，比如在引入类比例子时未能充分体现问题的本质，导致学生对问题的理解变得模糊。

类比思想在中学数学中的应用

数学专业毕业论文类比思想在中学数学中的应用类比思想在中学数学中的应用前言大数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。

”[]1所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。

类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。

中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。

由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。

这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。

除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。

因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。

[]2伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。

[]3古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。

学知识，更要学方法。

类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。

[]4下面我将分四部分：第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现。

类比在数学教学中的应用

在数学教学中的类比思想类比法是人们思考与学习的基本的思维方法，在数学教学中，类比法有着非常广泛的应用，不仅在日常的新知识的讲授方面，而且在学生解题思维方式的培养方面都经常会应用到类比的思维方法。

下面我们分别看看类比法在教学中的几例应用。

一、在新知识的学习方面的类比1、解一元一次不等式与解一元一次方程类比教过解一元一次方程后，再去教解一元一次不等式，老师如果能很好的将两个类比起来进行教学，就会感到轻松很多，因为解一元一次不等式与解一元一次方程有许多共通的地方，其思维的方式基本相同，学生在原有的基础上只需要再注意不等号的方向就可以了，例如：首先带学生复习回顾解一元一次方程：2x+6=3-x解：移项得： 2 x+ x=3-6合并同类项得： 3 x=-3系数化为1得：x =-1类比解一元一次不等式：2x+6<3-x解：移项得： 2 x+ x<3-6合并同类项得： 3 x<-3系数化为1得：x <-1通过以上，学生能发现解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤都是分成移项、合并同类项、化系数化为1三步，这时老师可以再举一例系数为负的例子5-3x<2x+15解：移项得：-3x-2 x<15-5合并同类项得：-5 x<10系数化为1得：x >-2通过此例，一方面可以巩固刚刚讲解的解一元一次不等式的方法，另一方面向学生指出当x的系数为负数时，不等式两边同时除以负数不等号方向改变。

通过这种类比教学，学生掌握起来就容易得多了。

2、相似三角形与全等三角形类比相似三角形的证明方法与全等三角形的证明方法也有许多相似之处，全等是一种特殊的相似，三角形全等是在三角形相似的基础之上要求更高一些，因此，在已经学习了三角形的全等之后讲解相似三角形可将两者之间类比起来进行讲解。

(1)两角相等，夹边相等——两三角形全等两角相等——两三角形相似;(2)两边相等，夹角相等——两三角形全等两边成比例、夹角相等——两三角形相似;有些类似全等的SAS(3) 三边对应相等——两三角形全等三边对应成比例——两三角形相似有些类似全等的SSS在教学中此类运用类比的思想进行教学的例子还有很多，例如：在为新名词下定义时也经常用到类比的思想，如：类比三角形的定义为四边形下定义；类比一元一次方程的定义为一元二次方程下定义等等。

类比法在初中数学解题教学中的应用技巧

㊀㊀㊀解题技巧与方法１４３㊀数学学习与研究㊀２０２３０７类比法在初中数学解题教学中的应用技巧类比法在初中数学解题教学中的应用技巧Һ杨㊀梅㊀（毕节市第一中学，贵州㊀毕节㊀５５１７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门实用性较强且较为抽象的学科，对学习者的逻辑思维能力具有较高要求．现阶段在初中数学解题教学中，大部分学生缺乏完善的思维体系，在解题时思路较为混乱，因而导致其学习成绩迟迟无法得到提升．为帮助学生掌握良好的解题技巧，文章对类比法在初中数学解题教学中的应用意义进行了总结，从结构化类比㊁模式化类比㊁特殊化类比㊁跨学科类比㊁降维化类比等角度出发，阐述了类比法的实际应用策略，旨在为学生搭建良好的学习生态环境，让学生通过类比梳理解题思路，养成良好的解题习惯，提高自身问题解决能力．ʌ关键词ɔ类比法；初中数学；解题技巧；教学策略‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中指出，帮助学生建立数学对象之间，数学与现实世界之间的逻辑联系，构建数学逻辑体系是初中数学教学中的核心任务．由此可见，培养学生思维能力已经成为广大教师关注的重点．教师应充分关注类比法的应用价值，帮助学生突破固有学习思维模式，促进自身多元发展，通过解题训练深入感受知识的本质，从而有效提高学生的解题能力，构建更加完善的知识体系．一㊁类比法简介由两类对象具有的某些相近特征和其中一类对象的已知特征所推理出的另一类对象也具有此种特征的推理被称之为类比．例如学生在数学学习中通常会经历推测与联想，这种学习行为便是类比思想从特殊到一般的体现．学生可以根据两个对象之间的相似属性，猜测它们之间所存在的关联，进而通过类比寻求解决数学问题的新方法与新途径．二㊁类比法在初中数学解题教学中的应用意义类比是一种对某些方面存在相似性的不同个体的对比㊁引申㊁演化推理活动．解题是初中数学教学中的重点内容，通过解题训练能够帮助学生掌握解题技巧，避免学生在考试或练习中出现低级错误，在潜移默化中帮助学生养成良好的学习习惯，从而助力其学习水平的提升．首先，将类比法引入初中数学解题教学能够有效帮助学生获得解题灵感及思路，让学生在趣味化的解题过程中，提高自身创新能力．借助两种事物之间的相似之处进行推理，在提高解题效率的同时，也能够帮助学生通过长期训练养成独立自主的探究习惯，有效促进其核心素养的发展．其次，类比法能够进一步促进学生对知识的全面理解．在这样的解题过程中，学生经过推理，会发现自己在过往知识学习中存在的漏洞，不断完善，并通过类比搭建新旧知识之间的桥梁，构建更加完整的知识体系．最后，利用类比法进行解题教学，区别于传统机械刻板的课堂讲授，能够充分激发学生的主观能动性，有助于其从多角度更为全面地对数学问题进行思考，进而有效实现思维品质的发展．由此可见，类比法对提高初中数学解题教学质量，促进学生核心素养的发展具有积极作用．因此教师要充分挖掘数学知识之间的内部联系，在开展解题教学的过程中，为学生渗透类比思想，引导学生借助类比优势提高解题质量，在长期训练中养成良好的思考习惯，有效提高自身学习能力，为后续深度学习奠定坚实基础．三㊁类比法在初中数学解题教学中的应用技巧如何发挥类比法的优势帮助学生顺利提高解题质量，已经成为广大教师所关心的焦点问题．笔者结合多年实践教学经验，对类比法在初中数学解题教学中的应用技巧进行解读，并提出合理化建议，以供广大教师借鉴参考，共同推动初中数学教学的可持续发展．（一）结构化类比，探求数学解题本质在传统的解题教学过程中，大部分教师通常会采用理论知识讲授的教学方法，反复强调此道题目中所蕴含的公式㊁定理，忽视了知识点之间的内在联系，并未引导学生采用类比的方式开展训练．为解决这一问题，教师可以在解题教学中采用结构化类比的方式，引导学生基于问题的结构特征，将其转化㊁引申为自己较为熟悉的题目，并进行比较，从中获取解题灵感，探究题型结构，追寻数学解题的本质．以北师大版八年级上册勾股定理的应用这一课的教学为例，在课程开始前教师首先带领学生回顾勾股定理的定义，唤醒学生的已有学习经验．在活跃的课堂氛围下，教师提出了这样的一道例题：例１㊀如图１，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝７，ＡＣ＝５，那么øＡ的值为多少？图１解题思路：在已知三边长度后，此类问题可以采用正弦或余弦定理轻松解决．然而这对于初中刚接触勾股定理学习的学生而言较为困难，许多学生都不知该如何入手．这时，教师可以采用结构化类比的方式，引导学生尝试思考，结合直角三角形知识，将øＡ与直角联系起来．在教师的引导下，学生先延长ＢＡ作辅助线，再过Ｃ点作ＢＡ延长线的垂线，设垂足为点Ｄ，并将ＡＤ的长设定为ｘ，如图２．图２在这一环节中，学生利用所学知识并借助辅助线，将㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２３０７ＣＤ边长表示为２５－ｘ２．根据勾股定理得出ＢＣ＝（３＋ｘ）２＋２５－ｘ２()２＝４９，从而借助等式推断出未知数ｘ的值为５２，根据直角三角形性质及ＡＤ＝１２ＡＣ，易得øＢＡＣ＝１２０ʎ．与此同时，在成功解决问题后，为发展学生的创新思维，教师可以尝试引导学生在三角形内构造直角三角形，并探索这两种解题方式的差异．设计说明：上述例题中，学生由于并未接触过正余弦定理，难以顺利完成解题．教师借助结构化类比的优势，引导学生将难以求解的图形类比为已经学过的直角三角形，从而通过直角三角形知识以及勾股定理解决问题．如上，结构化类比的方式能够帮助学生建立知识点之间的内部联系，寻找部分关联或结构相似的问题，让学生在比较和分析中，求出答案，感受类比在解题过程中的应用优势．（二）模式化类比，寻找数学解题路径区别于结构化类比，模式化类比是指根据待解决问题的表象，寻找可以类比的相同性质的问题，其关联表现在解题方法以及解题策略上，例如最为常见的行程问题及工程问题．在模式化类比的导向下，教师可以带领学生在解题过程中进行总结与概括，寻找最优解题路径，通过模式的类比感受数学知识之间的内部联系．以北师大版八年级下册不等式的解集这一课的教学为例，在教学环节，教师搜集资源后向学生分享了这样的一道竞赛题目：例２㊀实数ａ，ｂ，ｃ满足ａɤｂɤｃ，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０，ａｂｃ＝１．求最大实数ｋ，使得不等式ａ＋ｂȡｋｃ恒成立．解题思路：首先根据条件不难看出，题目中给出了两个方程及三个变量，学生在解题的过程中极易受到已知线索的干扰．在模式化类比过程中，教师可以引导学生由已知条件出发，得到一个与其等价的条件，由ａｂｃ＝１可知，ａ，ｂ，ｃ均不等于０，且其中有０个负数或２个负数，又因为ａｂｃ＝１，所以ａｂ＝１ｃ＞０，代入ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０就可得出ａ＋ｂ＝－１ｃ２＜０，故ａɤｂ＜０．后续步骤，教师可以引导学生基于基本不等式的性质进行类比，根据一元二次方程根与系数的关系构造以ａ，ｂ为两根的一元二次方程并建立不等关系，类比推理得出ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２＋１ｃ２ｘ＋１ｃ＝０的两个实数根，于是ａ＋ｂ＝１ｃ２ȡ４ｃ＝４ｃ，不等式对满足题设条件的实数ａ，ｂ，ｃ恒成立，因此最大实数ｋ的值为４．设计说明：此道题目具有一定的难度，学生需要根据问题的表象寻找可类比的相同性质的问题，此题中表象为不等式的关系，将其与一元二次方程进行类比创建不等关系，能够帮助学生求得问题的答案，找到解决问题的最优路径．如上，模式化类比的引入能够帮助学生建立更为完整的知识体系，让学生在总结与概括中掌握解题模式，从而最大限度地提升自身的解题质量，实现学习能力的提升与发展．（三）特殊化类比，捕获数学解题灵感特殊化类比是将原命题中较为复杂的元素进行精简，运用多维化的诉求方式将复杂问题类比为简单问题进行求解的一种方法．在传统的解题过程中，部分教师为学生提供的题目信息较为复杂，且由于新高考改革，类似于情境化的试题也随之增多，部分思维能力较弱的学生在解题过程中极易受到复杂的条件线索的影响从而降低解题质量．因此教师可以采用特殊化类比方法，引导学生简化问题内容，捕获数学解题灵感，提高自身解题水平．以北师大版九年级下册弧长及扇形的面积这一课的教学为例，通过本单元的学习，学生已经进一步掌握了弧长公式以及扇形面积的表达方法．结合本章重点内容，教师为学生带来了这样的一道例题：例３㊀如图３，在ＲｔәＡＢＣ中，已知øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，分别以ＡＣ，ＢＣ为直径画半圆，则图中阴影部分的面积应为多少？图３解题思路：面对此问题，大部分学生都不知道如何入手，陷入了思维的停滞状态．此时，教师应引导学生进一步梳理解题思路，采用特殊化类比的方式观察图中的阴影部分，并将其类比为两个半圆的面积，将此问题转化为两个半圆的面积减去三角形的面积．将图中各部分阴影面积分别设为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５，如图４所示．图４由此得出两个半圆的面积和为Ｓ１＋Ｓ５＋Ｓ４＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４，әＡＢＣ的面积是Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５，阴影部分的面积为Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ４，图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，经过计算最终求出结果为１０π－１６．设计说明：此类题目能够帮助学生在巩固扇形面积计算方法的同时，有效帮助学生复习三角形的面积相关知识．将原命题中较为复杂的内容化简，能够使学生轻松求得问题答案．教师通过特殊化类比的化简方法，能够有效培养学生的思维能力，帮助其在解题过程中养成举一反三的良好习惯．如上，教师通过特殊化类比的方式能够有效帮助学生捕获数学解题灵感，让学生在类比的过程中提高自身思维能力，构建新旧知识之间的联系，更好地实现核心素养的提升．㊀㊀㊀解题技巧与方法１４５㊀数学学习与研究㊀２０２３０７（四）跨学科类比，开阔数学解题视野设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求，是当前初中数学教育改革的大方向．在进行类比解题教学的过程中，教师要及时突破自身固化思维模式，注重数学知识与其他学科的关联，为学生设计内容㊁形式丰富多样的数学例题，促使学生在类比的过程中找寻知识内所存在的同一性与关联互补性，进而有效拓宽学生的解题思路，帮助其在掌握数学知识的同时了解更多丰富的学习内容．以北师大版八年级上册一次函数的应用这一课的教学为例，结合本章学习内容，教师将数学与物理知识进行融合，为学生带来了这样的一道例题：例４㊀已知甲㊁乙两地相距３００ｋｍ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，如图５，线段ＯＡ表示了货车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系，折线ＢＣＤＥ则表示了轿车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系．根据图像内容，回答以下问题：图５（１）线段ＤＥ对应的函数解析式；（２）计算轿车从甲地出发后需要经过多长时间才能够追赶上货车．解题说明：此类问题为路程问题，学生需要结合所学物理知识进行求解．首先观察第一个问题，教师引导学生结合物理知识进行类比可知，行程问题中路程＝速度ˑ时间，根据对图像内容的观察可知横轴为时间㊁纵轴为路程，通过对Ｄ点坐标以及Ｅ点坐标的分析，教师可以引导学生类比待定系数法，设ＤＥ所对应的函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（２．５ɤｘɤ４．５），在确定Ｄ点坐标后代入求解，得出线段ＤＥ对应的函数解析式．在第二个问题的求解过程中，教师同样要指导学生基于问题的关键信息寻找其与所学知识的联系，类比待定系数法求出ＯＡ的解析式ｙ＝６０ｘ（０ɤｘɤ５），再继续解题即可．设计说明：跨学科类比的方式能够帮助学生进一步巩固物理中所学的路程知识，深化对理论知识的理解．与此同时，将其融入数学题目，能够帮助学生开阔数学解题视野，借助其他学科的特性类比，有效提高学生的解题能力，实现类比教学的真正目标．如上，跨学科类比的方式能够帮助学生在掌握数学知识的同时，了解数学与其他科目的关联性，更好地适应此类情境化试题的解决方法，为后续参与中考㊁高考做好准备．（五）降维化类比，突破数学解题难点降维化类比能够帮助学生简化问题所运用的知识，降低思考的难度．从近年来的中考题型中不难发现，其所呈现的问题更加注重对学生核心素养的检测，学生不仅要具备良好的知识能力，还要具有对题目线索㊁题目信息的分辨能力．目前，部分教师在集体教学中仍旧过于重视对学生知识能力的培养，忽视了对其思维能力的训练．为解决这一问题，教师应充分发挥类比法在数学解题过程中的重要价值，帮助学生掌握化简技巧，运用类比手段降低题目难度，帮助学生更好地理解数理概念的内部关系．以北师大版七年级上册整式的加减这一课的教学为例，该部分内容是初中数学学习中的重点，在中考的简答㊁选择题型中均有涉及．因此，教师结合教学内容为学生带来以下例题：例５㊀计算：１１ˑ２＋１２ˑ３＋１３ˑ４＋＋１２０２１ˑ２０２２．解题说明：此道题目中分子都是１，分母从１ˑ２２ˑ３一直到２０２１ˑ２０２２，倘若学生采取常规的计算方法将浪费较多时间．因此，秉持着降维化类比的理念，教师可以引导学生结合所学知识内容进行简化类比．在对原式的观察中不难发现，每一项的分母中后一个乘数都比前一个大１，基于这一发现，可以将１２０２１ˑ２０２２类比为１ｎｎ＋１()，故通过所得公式，根据分解原则可以将其转化为１ｎ－１ｎ＋１．在此环节结束后，教师指导学生尝试对原式进行转化．在解题过程中，学生发现每一项都与前一项互为相反数，经过抵消最终得出计算结果为２０２１２０２２．设计说明：此道题目的重点在于类比化简，学生需要细致阅读题目线索，找出其内在联系，发现每个加数都可以分裂为两个数的差，最终相互抵消求出正确答案．如上，降维化类比的方式能够有效降低题目难度，在后续几何学习中应用此种方法能够在极大程度上提高学生对于知识的理解程度，对提升解题教学质量具有积极的促进作用．结㊀语综上所述，在初中数学解题教学中应用类比法，能够启发学生的类比推理㊁知识迁移思维，对于增进学生对知识的理解㊁提高学生的综合应用能力有着积极意义．因此，教师应充分关注类比法的重要教学价值，在解题教学中渗透类比思想，帮助学生通过训练养成良好的类比习惯，找寻各知识点之间的内部联系，从而更好地实现自身解题能力的提升与发展，有效实现高效解题课堂的构建．ʌ参考文献ɔ［１］陈拾英．巧妙运用类比法㊀高效解答数学题［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３５）：４６－４７．［２］刘鹏．初中数学教学中对学生核心素养的培养浅析［Ｊ］．学周刊，２０２１（３６）：１３９－１４０．［３］包五弟．例谈类比教学在初中数学教学中的应用策略［Ｊ］．考试周刊，２０２１（９０）：４９－５１．［４］陈贇．初中数学课堂教学中渗透数学思想的策略［Ｊ］．新智慧，２０２１（２９）：１００－１０２．。

浅谈类比思想在数学教学中的作用

浅谈类比思想在数学教学中的作用类比思想是一种重要的教学方法，它在数学教学中起着至关重要的作用。

类比思想是将一个概念或问题与另一个概念或问题进行比较，找出它们之间的相似之处，以便更好地理解和解决问题。

在数学教学中，类比思想可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念、加深对数学知识的理解和掌握、激发学生的学习兴趣、培养学生的逻辑思维能力以及提高学生的解决问题的能力。

本文将从以下几个方面来探讨类比思想在数学教学中的作用。

首先，类比思想在数学教学中可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

数学是一门抽象的学科，其中的概念和理论往往比较晦涩难懂。

例如，对于初学者来说，理解集合、函数、极限、导数、积分等概念常常是十分困难的。

通过类比思想，教师可以将这些抽象的概念与学生已有的知识和经验进行比较，找出它们之间的相似之处，使之变得更具体、更直观。

例如，当教师讲解集合的概念时，可以借助日常生活中的例子，比如把班级里的学生、某个学校的所有学生、某个城市的所有学生都当作集合，这样学生就可以更容易地理解集合的概念。

通过类比思想，教师可以把抽象的数学概念与学生熟悉的事物进行对比，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

其次，类比思想在数学教学中可以加深对数学知识的理解和掌握。

在学习数学的过程中，很多数学概念和定理非常抽象，并且很难理解。

许多学生在学习过程中遇到困难，怀疑自己是否适合学习数学。

而通过类比思想，可以帮助学生把抽象的概念和理论与实际生活中的事物进行对比，找出它们之间的相似之处，通过具体的例子来理解抽象的概念。

通过类比思想，学生可以更容易地理解这些抽象的概念和理论，从而加深对数学知识的理解和掌握。

例如，当教师讲解直线与平面的交点的问题时，可以通过比喻的方式，让学生想象两条铁轨在无限远处相交的场景，从而更容易理解直线与平面的交点的概念。

通过类比思想，学生可以更轻松地理解数学知识，提高学习效果。

第三，类比思想在数学教学中可以激发学生的学习兴趣。

类比思想在高中数学教学中的应用探讨

类比思想在高中数学教学中的应用探讨类比思想是一种教学方法，通过将一个概念或问题与学生已经熟悉的内容相类比，来帮助学生理解和解决新的问题。

在高中数学教学中，类比思想可以被广泛地应用，以提高学生对数学知识的理解和应用能力。

类比思想可以用来引入新的数学概念。

在引入一个抽象的数学概念时，教师可以使用一个与学生熟悉的现实生活中的情景相类比。

在教学代数中的方程解法时，可以通过与寻找未知数的过程类比，将方程的求解过程形象化，使学生更易于理解。

类比思想的运用可以帮助学生从具体的操作中逐步抽象出数学概念，从而提高学生的学习效果。

类比思想可以用来解决复杂的数学问题。

在高中数学中，许多问题是比较抽象和复杂的。

通过将这些问题与学生熟悉的简单问题相类比，可以帮助学生找到解决问题的方法。

在教学三角函数的应用时，可以将三角函数问题类比为直角三角形的问题，以帮助学生理解和解决更复杂的三角函数问题。

通过类比思想，学生可以从已经学过的知识中找到启发，将问题归结为已经解决过的形式，从而更容易解决问题。

类比思想可以用来创设数学问题。

在教学中，教师可以通过将数学概念与学生熟悉的情境相结合，创设出有趣和具有挑战性的数学问题。

在教学几何中的角度问题时，可以让学生通过观察日常生活中的景物，发现并解决相关的几何问题。

通过类比思想的运用，教师可以激发学生的兴趣，提高他们的自主解决问题的能力。

类比思想还可以帮助学生建立数学知识的联系。

在数学教学中，许多知识点之间存在着内在的联系和逻辑关系。

通过类比思想，可以帮助学生发现这种联系，并将不同的知识点相互联结起来。

在教学数列时，可以通过将数列问题与数学函数的图像进行类比，帮助学生理解数列的性质和规律。

类比思想的应用可以加深学生对数学知识的理解，并帮助他们建立起全面而深入的数学知识结构。

类比思想在高中数学教学中的应用可以帮助学生理解和解决数学问题，激发学生的兴趣，提高他们的学习效果和自主学习能力。

在数学教学中，教师应该充分发挥类比思想的作用，创设类比情境，引导学生进行类比思维，从而提高他们的数学素养和问题解决能力。

类比法在数学解题中的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６㊀类比法在数学解题中的应用类比法在数学解题中的应用Һ陈镇伟㊀（福建仙游华侨中学，福建㊀莆田㊀３５１２００）㊀㊀ʌ文摘ɔ类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识．ʌ关键词ɔ类比；合情推理；数学问题；新旧问题；核心素养在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法类比法解决．什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过，在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解决原来问题的途径．这是一个最独特的智力活动一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义．实际上类比法的实质就是如此．它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：研究对象㊀㊀㊀㊀属性ȵ甲㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤ㊀乙㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣʑ乙也有属性Ｄ．类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法．但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓．正如康德所说的：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进．应用类比法解题，首先必须全面㊁细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．一㊁把新问题和旧问题相类比已有的知识㊁经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法．例１㊀解方程ｘ３＋（１＋２）ｘ２－２＝０．分析㊀这是以ｘ为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把ｘ视为已知数，把２看作未知数，则原方程便可以看作关于２的一元二次方程．解㊀设ｙ＝２，则原方程可化为ｙ２－ｘ２ｙ－（ｘ３＋ｘ２）＝０，解方程得：ｙ＝－ｘ或ｙ＝ｘ２＋ｘ，ʑｘ＝－２或ｘ２＋ｘ－２＝０，ʑｘ１＝－２，ｘ２＝－１＋１＋４２２，ｘ３＝－１－１＋４２２是原方程的解．例２㊀已知ｘ，ｙ，ｚ均为实数，且ｘｙʂ－１，ｙｚʂ－１，ｚｘʂ－１，求证：ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．分析㊀此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：在әＡＢＣ中，求证：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．这道题的证法是：ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ʑＡ＋Ｂ＝π－Ｃ，等式两边取正切得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，去分母整理得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：ｔａｎＡ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ．经过分析研究，证法如下：令ｘ＝ｔａｎα，ｙ＝ｔａｎβ，ｚ＝ｔａｎγ，Ａ＝α－β，Ｂ＝β－γ，Ｃ＝γ－α，则ｔａｎＡ＝ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα㊃ｔａｎβ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，同理ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ，ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝（α－β）＋（β－λ）＋（λ－α）＝０，ʑＡ＋Ｂ＝－Ｃ，取正切得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，ʑｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ，即ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．二㊁把复杂问题和简单问题相类比面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据．例３㊀已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α＋β＋γ＋θ＝π，求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的最大值．分析㊀这里的ｙ是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α＋β＝Ａ（Ａ为定值且０＜Ａ＜π），求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的最大值．ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎ（Ａ－α）＝１２ｃｏｓ（２α－Ａ）－ｃｏｓＡ[]，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀㊀依题设条件可知：当且仅当α＝Ａ２，即α＝β＝Ａ２时，ｙ取得最大值ｓｉｎＡ２()２．这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α＝β＝γ＝θ＝π４时，ｙ取得最大值ｓｉｎπ４()４，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值就无法取到最大．有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设αʂβ，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化．则有α＋β＝π－（γ＋θ）为定值，且０＜π－（γ＋θ）＜π．ȵαʂβ，ʑｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的值不是最大，从而ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决．例４㊀解方程组ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，（１）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３，（２）ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＝３．（３）{分析㊀粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组ｘ＋ｙ＝３，（４）ｘ２＋ｙ２＝５，（５）{虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等．根据ｘ＋ｙ＝３，再由（４）２－（５）２，求出ｘｙ＝２，根据韦达定理得方程ｘ２－３ｘ＋２＝０，ʑｘ＝１或２，ʑ方程组的解为ｘ１＝１，ｙ１＝２，{或ｘ２＝２，ｙ２＝１．{类比于上述解法，在原方程组中已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，同样设法求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ和ｘｙｚ的值，最后用韦达定理求解．具体解法是：由（１）２－（２）２得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３２－３２＝３，由（１）３－（３）得（ｘ＋ｙ＋ｚ）３－（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３）＝２４，ʑ（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝８，即（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）＝８，ʑｘｙｚ＝１．根据韦达定理得ｕ３－３ｕ２＋３ｕ－１＝０，ʑ（ｕ－１）３＝０．从而可知ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝１是原方程组的解．三㊁把抽象的问题和直观的问题相类比直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题．图１例５㊀已知ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝１，求证ａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．分析㊀我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ()２，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的．如图１所示，ʑｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ȡｆａ＋ｂ２()，ʑａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．四㊁把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的．正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展．例６㊀从四面体的四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别向所对的平面引垂线，其长分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ，ｈｄ，Ｐ为四面体内任一点，从Ｐ向Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所对的平面作垂线，垂线长分别为ｐａ，ｐｂ，ｐｃ，ｐｄ，求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝１．分析㊀立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发．设әＡＢＣ的三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的高分别为ｈｃ，ｈｂ，ｈａ，并且三角形内任一点Ｐ到这三边的距离分别为ｐｃ，ｐｂ，ｐａ．求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝１．图２证法为：如图２，连接ＰＢ，ＰＣ，ｐａｈａ＝１２ＢＣ㊃ｐａ１２ＢＣ㊃ｈａ＝ＳәＰＢＣＳәＡＢＣ．同理ｐｂｈｂ＝１２ＡＣ㊃ｐｂ１２ＡＣ㊃ｈｂ＝ＳәＰＡＣＳәＡＢＣ，ｐｃｈｃ＝１２ＡＢ㊃ｐｃ１２ＡＢ㊃ｈｃ＝ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝ＳәＰＢＣ＋ＳәＰＡＣ＋ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ＝１．原题与上题类比可得证法如下：ｐａｈａ＝１３ＳәＢＣＤ㊃ｐａ１３ＳәＢＣＤ㊃ｈａ＝ＶＰ－ＢＣＤＶＡ－ＢＣＤ，同理ｐｂｈｂ＝ＶＰ－ＡＣＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｃｈｃ＝ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＢＣＶＡ－ＢＣＤ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＣ＋ＶＰ－ＢＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ＝１．可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质㊁必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论．正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径．ʌ参考文献ɔ［１］吴卓．类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究［Ｄ］．长春：东北师范大学，２０１１．［２］陈慧敏．把握问题结构叩开解决问题大门用连除解决问题教学思考［Ｊ］．教育界：基础教育研究（中），２０１６（０６）：５７－５９．。

例谈类比思想在数学解题中的应用

中学教学2021年第1期一、数学中类比思想概述数学中类比思想主要有以下几种，第一，质料类比。

对于质料类比的理解，即根据类比的性质所进行的类比。

跟其他几种类比相比，这种类比是比较简单的，只是根据两者性质进行一些简单的类比，这样就使得类比结果存在较大的偶然性。

第二，形式类比。

根据两个物质的因果关系和规律进行类比，这种类比具有一定的依据，因此在类比结果方面，可靠性也比较高。

第三，综合类比。

这种类比方法是通过数学模型，根据数学模型所表现出来的一些相似性来进行类比。

比如，数学中生物器官技术的模拟设计就是应用了这种类比方法。

类比在数学学习中具有重要的应用价值。

首先，通过类比思想的应用有利于激发学生的学习兴趣。

传统的数学教学只是简单地在进行知识传授，而通过类比就可以引导学生主动地去发现知识，以及学习知识。

这种学习方法将会给学生带来良好的学习体验，提高学生在这方面的兴趣。

其次，对于学生的数学思维能力也能够进行提升。

类比可以让学生根据自己熟悉的问题或者方法，对陌生问题进行一定的推理。

在推理过程中，学生的思维就会得到相应的训练，从而促使学生在这方面能力的提升。

二、类比思想在数学解题中的应用（一）数列中类比作为数学中重要组成部分，数列的学习需要应用到类比思想，比如，和—积、差—商等。

在解决这些习题时，就需要学生根据以前学过的知识，对现有的问题进行一定的联想和类比，通过知识的迁移来达到解决问题的目的。

以等差数列学习为例，在等差数列{an}中，已知条件an=0，a1+a2+……an=a1+a2+……a19-n（n＜19，n∈N+）成立，让学生根据这个条件求解等比数列{bn}，如果b9=1，则等式成立。

在这过程中，学生需要对已知的条件进行处理，将已知条件转化为a1+a2+……a19-n =a1+a2+……+an+an+1+an+2+……a19-n，而通过an=0可以知道an+an+1+an+2+……a19-n=0，所以上述条件的等式成立。

类比思想在解题中的应用

浅谈类比思想在解题中的应用（泾川县荔堡中学闫天虎）数学家皮利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人”.的确从初中到高中我们学过的定理，公式很多，这些定理，公式是产生类比型问题的“沃土”.而且在许多高考试题中对类比思想的考查也是屡见不鲜.只要考生能及时发现所给问题与所学知识的相似之处，有意识地与大脑中贮存的知识，方法，技巧，习题挂钩，通过类比联想，归纳演绎，就能很快解决新问题，或得到新结论.那么什么是类比呢？类比就是根据两个对象具有某些相同属性，并且其中的一个对象还有另外的属性作为前提，推出另一个对象也有相同或类似的属性.比如，我们由分数的运算法则可以推出分式的运算法则就是类比.又比如我们把“四个二次”放在一起类比，等等.值得注意的是，类比是不严格的，得到的结论也不一定正确.但类比推理能启发思路、触类旁通.下面我就简单谈谈用具体例子说明类比思想如何在解题中的以应用案例1. 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，球的体积函数的导数等于球的表面积函数.解析:半径为r 的圆的面积2)(rr S ⋅=π，周长rr C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量,则rr ⋅='⋅ππ2)(2①由①类比联想:半径为R 的球，体积334)(RR V ⋅=π，球的表面积为24)(RR S ⋅=π，若将R看作),0(+∞上的变量，则234)34(RR ⋅='⋅ππ ②案例 2.b a ,是正常数，ba ≠，),0(,+∞∈y x ，则yx b a ybxa++≥+222)(，当且仅当yb xa =时上式取等号，利用这一性质结论可以得到函数xxx f 2192)(-+=，)21,0(∈x 的最小值为_______取得最小值的x 值为_______解析: ∵ 25)21(1)32(219242192)(2=-++≥-+=-+=x xxxxx f ，当且仅当xx21322-=,时上式取等号，即当51=x 时，∴ 25)51()(min==f x f .案例3.在平面几何里有勾股定理“设ABC ∆的两边AC AB ，互相垂直,则有222BCACAB =+”.拓展到空间,类比平面几何的勾股定理.研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥B CD A -的三侧面ABD ACD ABC ，，两两互相垂直,则有B CDA B DA CDA B CSSSS∆∆∆∆=++2222解析:在平面上是线的关系，在空间里呢？假若是面的关系，类比一下，直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆猜想: BCDABDACDABC SSSS ∆∆∆∆=++2222事实上，如图1-2作CDAE⊥交CD 于点E ，连结BE ，则CDBE⊥）（2222224141AE ABCD BECDSBCD+⋅=⋅=∆A C DSABAD AC ∆++=222241）（ ABDACDABCSSS∆∆∆++=222AD图1-1 图1-2 案例4. 如图2-1有面积关系:PDPC PB PA S S PCDPAB ⋅⋅=∆∆，通过类比则图2-2有体积关系:PFPE PD PC PB PA V V DEFP ABC P ⋅⋅⋅⋅=--PD图2-1 图2-2 解析:设θ=∠P，∵θsin 21⋅⋅=∆PB PA S PAB ，θsin 21⋅⋅=∆PD PC S PAB，∴PDPC PB PA S S PCDPAB ⋅⋅=∆∆.类比一下，设θ=∠=∠DPE APB，分别过F C ，作PACFH PAC CG底面，底面⊥⊥，垂足分别为H G ，，再连结PH PG ，，则CPG ∆与FPH ∆相似， ∴FH CGPFPC = ①∵θsin 21⋅⋅=∆PB PA S APB ,θsin 21⋅⋅=∆PE PD S DPE ，∴θsin 6131⋅⋅⋅=⋅=∆-CG PB PA CG S V APB ABC P ②∴θsin 6131⋅⋅⋅=⋅=∆-FH PE PD FH S V DEF DEF P ③则由①②③联立解得:PFPE PD PC PB PA V V DEFP ABC P ⋅⋅⋅⋅=--.案例5.在任意DE∆中有余弦定理:DEFEF DF EF DFDE ∠⋅⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱MGHABC -的第三个侧面面积与另外两个侧面所成的二面角之间的关系式:2222cos AM H CAM G BC H G BAM G B C H G B SSSS S D FE=+-⋅⋅∠ ，即三棱柱的余弦定理.解析:如图3-2所示，设F 为斜三棱柱MGHABC -的侧棱BG 上的任意一点，作BGFD ⊥交AM 于点D ，BGFE⊥交CH 于点E .∵BGFD ⊥，BGFE⊥，FFE FD = ，∴DFEBG 平面⊥ ，∵BG C H，∴DFECH平面⊥，∴DE CH⊥，又∵DEF ∠是二面角CBGA --的平面角，在DEF ∆中由余弦定理得:DEFEF DF EF DFDE∠⋅⋅-+=cos 2222，∴DEFEF DF BGEFBGDFBGDE BG ∠⋅⋅⋅-⋅+⋅=⋅cos 22222222，∵CHBG AM==∴2222cos AM H CAM G BC H G BAM G B C H G B S SSS S D FE=+-⋅⋅∠ .EE图3-1 图3-2案例7.在平面几何中有：“正三角形中任意一点到三边的距离之和为一定值”；拓展到空间,类比平面几何中正三形这一性质.研究正三棱锥的侧的几何特性,可以得出的相似的结论: “正三棱锥上中任意一点到四个面的距离之和为一定值”。

类比思想在初中数学解题教学中的应用

类比思想在初中数学解题教学中的应用韩㊀颖(江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校㊀２１４５００)摘㊀要:数学是初中课程的重要组成部分ꎬ其具有较强的应用性㊁逻辑性与抽象性.初中数学教学质量的高低会直接影响学生的数学逻辑思维培养ꎬ因此ꎬ教师应积极更新教学理念ꎬ以提升数学教学质量.类比思想属于重要的数学思想ꎬ其在归纳知识㊁形成知识体系㊁解决问题方面有着重要作用.故教师要不断探索类比思想在初中数学解题教学中的应用策略ꎬ以借助类比思想的优势来提升数学教学质量.关键词:初中数学ꎻ解题教学ꎻ类比思想ꎻ应用策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１１－００１０－０２收稿日期:２０２１－０１－１５作者简介:韩颖(１９８３.１－)ꎬ女ꎬ吉林省公主岭人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀数学是初中阶段一门十分重要的课程ꎬ其对学生逻辑思维㊁解决问题能力的提升具有重要意义.在数学解题教学中ꎬ教师除了在思想上重视该教学ꎬ还应积极创新教学方法ꎬ以借助有效的教学方法来提升数学教学整体质量.类比思想属于创新型思维模式ꎬ主要是指通过对比相似事物来发现或总结出相似事物的异同点.由于数学解题教学会涉及大量的数学定理㊁公式与运算法则等ꎬ且这些内容多是通过类比推算所得ꎬ故在初中数学解题教学中应用类比思想具有重要意义.类比思想的应用ꎬ不仅能激发学生对数学解题的兴趣ꎬ还能丰富课堂教学手段ꎬ使数学教学质量得以提升.基于此ꎬ教师应积极进行探索与实践ꎬ以获得类比思想在初中数学中的有效应用策略ꎬ帮助学生寻找更多解题途径ꎬ并提升其分析㊁归纳总结㊁解决问题的能力.㊀㊀一㊁类比思想在初中数学解题教学中的应用价值㊀㊀１.有利于激发学生的探究欲在数学解题中ꎬ类比思想属于最为常用的一种思想方法.数学学科的教学目的在于通过对一道题进行讲解ꎬ使学生能掌握该类型的题目.以往初中数学解题教学多采用单一的灌输式教学方法ꎬ而这样的教学方法极易导致学生对数学学习失去兴趣ꎬ并丧失探究欲ꎬ最终影响教学质量.然而ꎬ将类比思想应用到初中数学解题教学中ꎬ能为学生提供丰富的类比案例ꎬ使学生拥有足够的探究条件.这一教学能打破传统的单向教学ꎬ并侧重于引导学生自主探究ꎬ有利于激发学生对数学解题的探究欲ꎬ使其在探究欲的驱使下更好地学习数学知识.２.有利于提升数学教学质量在传统的初中数学课堂中ꎬ大部分教师多采用单一的讲教式教学方法ꎬ而对于授课技巧的应用十分缺乏.随着新课改的进一步推进ꎬ单一的讲教式教学方法已无法满足现阶段的教学需求ꎬ故教师必须创新自身的教学方法与授课技巧ꎬ以此在提升学生学习成绩的同时培养其良好的综合素养.类比思想在初中数学解题中应用ꎬ能为学生提供引导式教学ꎬ使其在教师的引导下充分发挥主观能动性ꎬ从而更好地掌握数学知识.同时ꎬ借助类比思想ꎬ让学生将学习内容与其他相似内容进行对比思考ꎬ能在一定程度上锻炼其逻辑思维能力ꎬ并探索出多途径的解题方法ꎬ这对数学教学整体质量的提升具有重要意义.㊀㊀㊀㊀二㊁类比思想在初中数学解题教学中的应用策略㊀㊀１.借助实验操作ꎬ发现解题规律数学是一门逻辑性㊁抽象性极强的学科ꎬ而大部分数学知识点的定理㊁性质均能通过实验操作获得.在实验操作下ꎬ学生不仅能获得数学知识ꎬ还能加深学习记忆ꎬ使所学知识更为牢固.若教师想在初中数学解题中应用类比思想ꎬ则可借助实验操作ꎬ让学生将新知识与旧知识进行类比ꎬ使其发现其中规律ꎬ从而提供数学解题效率.以«多边形及其内角和»教学为例ꎬ在该节课的教学中ꎬ教学主要采用实验操作教学方法ꎬ并引导学生温习旧知识来探究多边形的定理与性质.在教学开始前ꎬ教师让学生复习多边形的定理与性质ꎬ如多边形是一种在平面内由几条线段首尾顺次连接而成的封闭图形. 当学生完全掌握多边形的定理与性质后ꎬ开展实验操作.让学生在一张平面纸上绘制五边形㊁六边形等多边形ꎬ绘制后ꎬ使用剪刀将多边形进行裁剪.完成上述实验操作后ꎬ教学提问学生: 什么是多边形内角和?多边形内角和如何计算? 同时引导学生回忆三角形的知识点 ꎬ并让学生进行类比.０１随后指导学生将多边形进行划线分割ꎬ学生发现ꎬ四边形可以分为２个三角形ꎬ五边形可以分为３个三角形ꎬ此时引导学生结合三角形的内角和为１８０ʎ 这一知识点进行思考㊁类比ꎬ从而得出四边形内角和为３６０ʎ 五边形内角和为５４０ʎ 等等.通过这样的类比ꎬ学生发现多边形的内角和与边的数量存在着某种规律ꎬ此时教师引导学生进行深入探究ꎬ学生发现将多边形的边数减去２再乘以１８０ʎ则能得到多边形的内角度ꎬ从而也通过实验操作验证了多边形内角和的公式:Ｓｎ＝(ｎ－２)ˑ１８０ʎ.借助实验操作进行类比思考ꎬ能让学生在解题中发现数学规律ꎬ从而提升其数学解题效率与质量.２.进行知识归纳建构ꎬ形成知识体系在初中数学解题教学中应用类比思想ꎬ能让学生将新旧知识知识联系ꎬ而这一联系有利于学生对知识结构进行归纳ꎬ从而形成自己的知识体系ꎬ提高后续的解题效率.同时ꎬ通过类比思想的应用ꎬ能让学生在学习新知识后ꎬ不会与以往的知识混淆.因此ꎬ教师在初中数学解题教学中应用类比思想ꎬ能帮助学生归纳数学知识结构ꎬ并形成知识体系ꎬ使其数学解题效率得以提升.以«三元一次方程组»教学为例ꎬ在该节课中ꎬ教师选择之前学过的«二元一次方程组»进行类比.例题: 小李共有１２张纸币ꎬ纸币面额分别为１元㊁２元㊁５元ꎬ合计２２元ꎬ而在所有纸币中ꎬ１元纸币的数量是２元的４倍ꎬ请问ꎬ这三种纸币分别有几张? 针对这一例题ꎬ教师引导学生回顾二元一次方程组的相关知识ꎬ并进行解题.通过类比㊁思考后ꎬ学生将所求量分别设置为ｘ㊁ｙ㊁ｚꎬ并寻求等量关系ꎬ随后根据题目中的已知条件建立方程组:ｘ＋ｙ＋ｚ＝１２ꎬｘ＋２ｙ＋５ｚ＝２２ꎬｘ＝４ｙ.在学生解这一三元一次方程组时ꎬ教师要求学生将其与二元一次方程组进行类比ꎬ随后学生发现ꎬ解决这类问题需要先进行消元 ꎬ再通过代入消元法㊁加减消元法将三元一次方程组转换为二元一次方程组ꎬ最后利用二元一次方程组的相关知识进行解题.通过这一类比教学ꎬ能让学生借助旧知识快速解出与新知识有关的数学题ꎬ并构建三元一次方程组的解题知识体系ꎬ这不仅能提升学生的解题效率ꎬ还能让学生更好地掌握数学知识ꎬ最终实现数学教学质量的提升.３.推广数学命题ꎬ探究解题途径推广数学命题是引导学生探究不同解题途径的重要手段ꎬ其不仅能加深学生对数学知识的理解ꎬ还能让学生充分掌握数学类比思想.因此ꎬ在初中数学解题教学中ꎬ若遇到推广命题ꎬ教师可积极引导学生应用类比思想ꎬ使学生在不断类比下探究解题途径ꎬ并提升其数学逻辑思维.以«反比例函数»教学为例ꎬ针对该节课的教学内容ꎬ教师所应用的类比对象为之前学过的正比例函数等相关知识.提出反比例函数例题:ｙ＝６/ｘ㊁ｙ＝－６/ｘꎬ随后引导学生回顾正比例函数 ꎬ在解正比例函数问题过程中均会进行图像描点ꎬ教师告知学生ꎬ反比例函数与正比例函数均具有变量与常量的相似点.故待学生回顾完成后ꎬ要求学生利用图像描点知识解上述反比例函数例题ꎬ当学生绘制出两个函数图像后ꎬ学生发现ꎬ这一图像属于曲线ꎬｙ＝６/ｘ的图像位于第一㊁第三象限ꎬｙ＝－６/ｘ的图像则位于第二㊁第四象限.通过这样的学习ꎬ学生发现ꎬ正比例函数与反比例函数的ｙ值都会随着ｘ值的改变而改变.在此类数学题中ꎬ教师借助类比思想ꎬ引导学生进行类比学习ꎬ能让学生在与正比例函数的类比中快速掌握反比例函数的相关知识点.同时ꎬ在此类数学解题中ꎬ通过类比ꎬ能让学生进行全面的自主探究ꎬ使其能探究出多种解题途径ꎬ这对逻辑思维的培养具有重要意义.４.联系生活实际ꎬ解决数学问题在初中数学解题教学中应用类比思想ꎬ其主要目的在于提升学生的解题能力与效率ꎬ而在这一过程中ꎬ会体现出许多与生活实际有关的内容.因此ꎬ在数学解题时ꎬ教师既要应用类比思想ꎬ也要积极联系生活实际ꎬ以借助生活实际来提升学生对类比思想的理解ꎬ从而最大程度上提升其解题效率.同时ꎬ联系生活实际除了能提升学生的解题效率ꎬ还能活跃课堂教学氛围ꎬ使学生对数学学习充满热情.以«轴对称»教学为例ꎬ根据教学内容ꎬ教师积极选择与生活实际相关的类似对象ꎬ例如生活中常见的轴对称建筑物㊁窗花㊁绘画作品等.在指导学生学习轴对称的相关知识时ꎬ让学生找出生活中的轴对称图形ꎬ如窗花ꎬ并类比窗花的制作过程ꎬ在类比中学生了解对称轴的知识点和生活中轴对称物体的垂直平分线的知识点.随后ꎬ转移到解决数学问题上ꎬ提出例题: 已知直线Ｌ与三角形ＡＢＣꎬ尝试画出三角形ＡＢＣ关于直线Ｌ的对称图形. 在上述类比中ꎬ学生已经来了解垂直平分线的知识点ꎬ随后是使用三角尺㊁直尺画出点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ直线Ｌ的对称点Ａᶄ㊁Ｂᶄ㊁Ｃᶄꎬ并将相应的点进行连接ꎬ最终得出三角形ＡＢＣ关于直线Ｌ对称图形.通过联系生活实际的事物进行类比ꎬ能让学生将解题思维扩散到生活实际中ꎬ使其解题效率得到进一步提升.总而言之ꎬ类比思想能将教学内容与其他相似的内容进行详细对比ꎬ在初中数学解题教学中应用类比思想ꎬ不仅能提高学生的解题能力ꎬ还能培养其创新思维ꎬ使初中数学教学效率最优化.本文认为类比思想在初数学解教学中具有激发学生的探究欲㊁提升数学教学质量的作用ꎬ故通过实验操作㊁归纳建构㊁推广数学命题㊁联系实践活动等策略ꎬ在初中数学解题教学中全面融入类比思想ꎬ使初中数学教学整体质量得到了进一步提升.㊀㊀参考文献:[１]贾保柱.类比思想教学实践的思考[Ｊ].江苏教育ꎬ２０１３(１４):９４.[责任编辑:李㊀璟]１１。

初中数学类比思想方法的探究与应用

初中数学类比思想方法的探究与应用一、引言数学是一门基础学科，也是一门充满了抽象思维和逻辑推理的学科。

为了更好地理解和应用数学知识，学习者常常需要从日常生活中寻找与数学问题相关的类比，从而更容易理解数学概念和定理。

本文将探究初中数学中的类比思想方法，并探讨其在实际生活中的应用。

二、初中数学类比思想方法的探究1.类比思想方法的定义类比思想方法是指将一个问题或现象与另一个问题或现象进行比较或类比，从中找出共同之处或相似之处，以便更好地理解和解决问题。

在数学中，类比思想方法可以将抽象的数学问题与生活中的具体事物进行联系，以加深对数学知识的理解和应用。

2.类比思想方法的特点（1）具体性：类比思想方法将抽象的数学问题与生活中的具体事物相联系，使问题更加具体明确，更易于理解。

（2）生动性：通过类比思想方法，数学问题与生活中的实际情况相结合，使问题更生动有趣，激发学生的学习兴趣。

（3）启发性：通过类比思想方法，可以启发学生发散思维，从不同的角度思考问题，并寻找解决方法。

3.类比思想方法的应用（1）在数学概念的理解中，通过类比思想，可以将抽象的数学概念与生活中的具体事物相联系，使学生更易于理解和掌握。

例如，在教学“平行四边形”的概念时，可以通过比喻类比，将平行四边形比作飞机的机翼，以便学生更加形象地理解。

（2）在解决数学问题中，类比思想方法可以帮助学生从不同的角度考虑问题，并找出解决方法。

例如，解决一个代数方程的过程可以类比成找寻一把钥匙去打开一扇锁。

（3）在应用数学知识解决实际问题中，通过类比思想方法可以将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

例如，在解决一个实际生活中涉及比例关系的问题时，可以将问题与类比的实际情境相联系，使问题更加具体化，易于理解和解决。

三、初中数学类比思想方法的应用案例1.类比思想在数学概念理解中的应用在教授初中数学中的平行四边形概念时，可以通过将平行四边形与飞机的机翼进行类比。

浅谈类比思想在数学教学中的作用

浅谈类比思想在数学教学中的作用类比思想是一种重要的思维方式，它在数学教学中发挥着重要的作用。

类比思想可以帮助学生理解抽象概念和复杂问题，促进他们的数学思维能力和解决问题的能力。

在数学教学中，教师可以通过引导学生进行类比思维，使他们更深入地理解数学知识，提高学习效果和学习兴趣。

第一、提高学生的理解能力类比思想可以帮助学生将抽象的数学概念和原理与现实生活中的经验和事物联系起来。

通过类比思想，教师可以引导学生将所学数学知识与日常生活中的实际问题相联系，从而使学生更加深入地理解数学概念。

例如，在教学中可以通过类比将平面几何与立体几何联系起来，让学生通过观察实际物体和场景来理解抽象的数学理论，从而加深对数学知识的理解。

第二、激发学生的学习兴趣数学作为一门抽象的学科，往往给学生一种枯燥和乏味的感觉。

通过类比思想，教师可以引导学生利用生活中的例子和情境来理解数学概念，从而激发学生的学习兴趣。

通过将数学问题转化为生活中的实际问题，使学生觉得数学知识与他们的生活息息相关，从而增加他们的学习动力。

第三、促进学生的数学思维能力类比思想不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以促进学生的数学思维能力。

比较与类比是数学思维的重要组成部分，通过类比思想，学生可以从不同角度去理解和把握数学问题，培养他们的比较与类比能力，提高他们的数学思维能力。

第四、拓展数学教学的方式在数学教学中，类比思想可以帮助教师拓展教学的方式和方法，使教学过程更加生动有趣。

教师可以通过引导学生进行类比思维，利用身边的事物和情境来解释和呈现数学知识，从而打破教学的单一形式，让学生更加愿意参与到教学中来。

第五、促进学生的创新思维在数学教学中，类比思想可以帮助学生培养创新思维。

类比思想可以激发学生的联想和想象能力，使他们能够从不同的角度来理解和解决数学问题。

通过类比思想，学生可以学会将已有的数学知识与新的情况相结合，从而产生新的理解和解决问题的方法，培养他们的创新思维能力。

浅谈类比思想在数学教学中的作用

浅谈类比思想在数学教学中的作用类比思想在数学教学中起着非常重要的作用，它能够帮助学生更快地理解和掌握数学知识，提高数学学习的效率和质量。

类比思想通过将抽象的数学概念与具体的日常生活经验相联系，能够激发学生的学习兴趣，激发他们的思维，提高他们的理解能力和运用能力。

本文将从类比思想在数学教学中的作用、类比思想在数学教学中的应用以及如何有效运用类比思想进行数学教学这三个方面进行深入探讨。

1.类比思想在数学教学中的作用（1）激发学生兴趣。

数学作为一门抽象的学科，很多学生对于它的学习兴趣不高。

通过类比思想，将数学与生活实际联系起来，能够让学生更容易地接受并理解数学知识，从而激发学生的学习兴趣。

比如，通过将数学问题与日常生活中的实际问题相类比，学生可以更容易地理解数学概念，感受到数学在生活中的应用价值。

（2）增强学生的思维能力。

通过类比思想，在数学教学中引入一些具体的事物或情境，能够帮助学生建立直观的印象，加深对抽象概念的理解。

这样能够促进学生的思维活动，培养他们的逻辑思维能力和创造力，提高他们的理解能力。

在解决数学问题时，学生可以借助类比思想，将抽象问题转化为具体的情境或图像，从而更好地理解和解决问题。

（3）提高教学效果。

类比思想能够帮助教师更好地进行教学，使得抽象的数学概念更容易被学生理解和接受。

通过引入具体的事物或情境，教师可以向学生展示数学知识在实际生活中的应用，从而使得学生更容易接受和理解数学内容。

同时，类比思想也能够帮助学生将数学知识与实际问题相联系，提高他们的运用能力，从而提高教学效果。

2.类比思想在数学教学中的应用（1）引入具体的事物或情境。

在数学教学中，教师可以通过引入一些具体的事物或情境，使得抽象的数学概念更具体化，更容易被学生理解。

比如，在教学几何学时，教师可以引入一些实际的几何图形或实际生活中的几何问题，让学生通过观察、比较和推理，感受几何知识在实际生活中的应用。

（2）将数学问题与日常生活相类比。

浅谈类比思想在数学解题中的应用

正确结论．
ｄ＞Ｒ＋ｒ
ｄ＝Ｒ＋ｒＲ—ｒ＜ｄ＜ｒ尺＋ｄ＝兄一ｒ
０
ｌ２１
个” 的形式，至
少给出一个关于“ ０与正方形的公共点个数” ３（的
内含
０＜Ｒ—ｒｄ＜
０
类比例题：
设边长为２０的正方形的中心Ａ在直线Ｚ，上它
分析：对于ｒ０的情形，＞主要研究以下两个特
殊图形。
・
４７・
《数学之友》
２１年第２期０１Ｏ
，，＼．＼
２－ｒＡａ－０
。
。
／ ’
ｒ、０＝／ＯＱ＝Ｍ￣Ｏ２Ｑ＋Ｍ２＿
ｒ￣２－）２＋（ａｒ＝
对于（）３要注意掌握ｒａ与在分类时的数量关系，求出ｒａ满足的特殊数量关系后，能正确得出ｒ与方＞ａ的分类情形．由于只需写出一种结论，所以难度适当降低了．本题来源于Ｏ６年宿迁市中考试题，体现了考查内容源于课本又高于课本的特点，有助于培养学生的分析能力、归纳能力和创新能力．
’ ．。
・
当口ｒ ÷。公共点个数可能有—０１２＜＜４时，，，，
．
．
４，，８个；６７，
如图② 、， ③ 连接００并延长交．交００于点Ｄ连接ＢＤ，连接Ｏ，Ｃ仍有ＬＣＯＤ＝０，ＡＯ＝Ｂ９。
ＯＣ＝ＯＢ， △ＯＣ △ＯＢ，ＡＤ则ＡＤ
公共点的个数
Ｏ１２１

高考数学解题有关类比思想的应用

高考数学解题有关类比思想的应用类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能具有相同或相似的思维方法，它既是研究和学习的重要方法，又是一种寻找解题思路、猜测问题答案或结论的有效方法。

近年来，高考数学命题突出了对思维能力和创新意识的考查，类比思想正在成为高考试题的新亮点。

此类题旨在考查学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力及运算能力；根据提供信息，让考生通过类比，自己找到所面对问题的答案，又考查了学生的探究能力、创造能力和合理推理能力。

本文根据近年的高考试题及高考模拟题予以分类剖析，旨在探索解题规律，揭示解题方法。

一、函数中的类比例1：如图，对于函数f(x)=ax(a>1,x>0)上任意两点A(x1,f(x1))、B(x2,(f(x2))，由函数图象可得不等式，试分析函数g(x)=logax(a>1,x>1)图象，类比上述不等式可以得到不等式是__________解析：首先弄清不等式的来龙去脉，按图提供信息表示自变量为的函数值，而自变量为的恰好为A、B两点中点C的横坐标。

由图像知点C在点C’上方，从而不等式成立。

类似作出g(x)=logax(a>1,x>1)图像，由图像知点C在点C’下方，从而有不等式成立。

点评：指数函数y=ax(a>1)图像向下凹yc>yc’，而对数函数y=logax(a>1)图像向上凹，本题通过观察图形yc<yc’，类比关系式找出规律，得出结论。

二、数列中的类比例2：在等差数列中，则有等式a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n成立。

类比上述性质，相应地，在等比数列中，若b9=1则有等式______成立。

解析：在等差数列中，a1+a19=a2+a18=……=2a10=0，从而有等式成立。

类似在等比数列中，b1·b17=b2·b16=……=b92=1从而有等式(n<17且n∈N)成立。

类比推理法在高中数学中解题的应用

在这里，如果尝试传统的代数法，利用 x 去表示 y 进行
计算的话，等式会变得非常繁杂，在应用上类比思想后会变
得简单许多，我们可以看到 x²+y²=1 的条件，将未知数类比
与三角函数，有 sinα+cosα=1，即令 x=sinα，y= cosα，可
以将所求式转化为f(x)=√1 − 2 +√1 − 2 ，化简
作单位元和直线 x+2y=1 交于 A,B 两点，过 O 向 AB 作
OM⊥AB，设 A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则α
1
−
-β=∠BOA， 2 =∠MOB，因为 tan∠MOB=
∠
=2，
所以
2
− 2
=
2 ∠MOB=15 .
类比思想便是如此，在日常学习中时常会看到类比的影
子，但总是容易被忽略。根据上述的两道问题我们可以看到，
l2:Dx+Ey+F=0 ，有另一个一次方程 λ （ Ax+By+C ） + μ
（Dx+Ey+F）=0。通过带入λ和μ的具体数值，即可表示一
条通过两条已知直线焦点的新的直线。此外，当确定所求直
线非已知的两条直线时，设置一个参数即可（通常为μ）。
例如：已知直线 l1:2x+y+3=0 和直线 l2:3x-y-2=0，求经过
. XA2+l（ly-aR）i2=gRh²t，s由于ReAsB，eCrDv都ed为.二次曲线且都交于该圆，
所以由曲线系规律有 AD BC：λ（y-kx）(y-Kx)+ μ[X2+(y-a)
²-r²]=0，当 y 等于 0 的时候可得 F，E 的坐标中的 x 符合