双曲线的几何性质(二)

渐近线方程为 y 5 x.
a5
7
(3 10，0)
离心率 e c a
10.
渐近线方程为 y 3x.
解：(3)把方程 x2 y 2 1化为标准方程 49 25
y 2 x2 1. 25 49
由此可知，实半轴长a=5，虚半轴长b=7；
c a2 b2 52 72 74.
焦点坐标是（0，一5），（0，5）；
顶点坐标为 (0， 74 ), (0， 74 ); 离心率 e c 74 .
x a2 的距离的比是常数 c (c a 0), 求点M的轨迹.
c
a
解：设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹
是集合：P
M
|
|
MF d
|
c a
,
于是
（x c）2 y2 | a2 x |
c, a
c
y
M
O
Fx
两边平方：（ c2 a2）x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ),
顶点坐标、交点坐标和渐近线方程. 解：根据双曲线 x2 y2 1的标准方程，得 16 9 a 4,b 3,所以c2 a2 b2 16 9 25,
故c 5. 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6， 焦距为10，离心率为e c 5 ,
a4 顶点坐标为 A（1 4,0）, A（1 4,0）, 渐近线方程为y 3 x.
常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 x2 y2 1, a2 b2
相应于焦点 F（c,0）的准线方程是 x a2 ;
由对称性相应于焦点
F（
c c,0）的准线方程是
x
a2
.
c
所以，双曲线有两条准线.
练习：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点坐标和离心 率及渐近线：
(1) x2 8y2 32; (2) 9x2 y2 81; (3) x2 y2 1.
49 25
分析：把方程化为标准方程，即可利用相关关系式求解.
解：(1) 把方程 x2 8 y 2 32 化为标准方程
x 2 y 2 1. 32 4
由此可知，实半轴长a= 4 2 ，虚半轴长b=2；
c a2 b2 32 4 6
顶点坐标为 (4 2，0), (4 2，0).
焦点坐标是（0，一6），（0，6）； 离心率
4
例2 :已知双曲线的离心率是 e 3,虚半轴长为 2 2，焦点 在x轴上，求双曲线的标准方程.
解：根据已知，得
c ba
3 2
2
a2 b2 c2
解得a2 1.
所以，双曲线的标准方程为 x2 y2 1.
8
如果将例2中的“焦点在x轴上”去掉，那么
结果是怎样的？
例3:点M (x, y)与定点F（c,0）的距离和它到定直线 ：
e c 6 3 2 a 42 4
渐近线方程为 y 2 x. 4
解：(2)把方程 9x2 y2 81 化为标准方程
x 2 y 2 1. 9 81
由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=9；
c a2 b2 9 81 3 10
顶点坐标是（-3，0），（3，0）；
焦点坐标为
(3 10，0),
双曲线的几何性质（二） ——例题讲解
填写下表，并比较异同:
双曲线的图像和性质
数学定义式
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
标准方程
焦点坐标 焦距
顶点坐标
x2 a2
y2 b2
1
(c,0),(c,0)
y2 x2 a2 b2 1
(0,c),(0, c)
| F1F2 | 2c
(a,0)
Hale Waihona Puke Baidu
设c2 a2 b2 , 化为：
x2 y2 a2 b2
1(a b 0).
所以M的轨迹是实轴长为2a, 虚轴为2b的双曲线.
这个例题告诉我们：
y
当点M与一个顶点的距离和它
M
到一条定直线的距离之比是常数
e c (e 1)时， a
O
Fx
这个点的轨迹是双曲线 .
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，
(0,a)
数学定义式
双曲线的图像和性质
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
a、b、c的关系
实、虚轴长 对称轴 离心率
渐进线方程
c2 a2 b2
实轴长2a，虚轴长2b
两坐标轴
e c (e 1) a
ybx a
yax b
例1 : 求双曲线x2 y2 1的实轴长、虚轴长、焦 距、离心率、 16 9