双曲线的几何性质(二)
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双曲线的简单几何性质(二)(2)
四、点拨升华：
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)(精)
对 称 性
顶 点
标 x a 轴和 y a 原点 都对 或 称 y a
制作 09 2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
制作 09 2009年下学期
例题讲解
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
[例1] 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图2.3-8(1)), 它的最小半径为12m, 上口半径为13m, 下口半 径为25m, 高为55m, 试选择适当的坐标系, 求出 此双曲线的方程(精确到1m)。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
图 象
范 围
xa 或 x a
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或 x a
ya 或 y a
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或
对 称 性
2.3.2双曲线的几何性质2
F1
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)
；
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)()
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
双曲线的简单几何性质 (二)
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
双曲线的简单几何性质(第二定义)
点，焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的？ 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
高中课件 双曲线简单的几何性质 (二)
y2 16
1 的左焦点
பைடு நூலகம்
F1 作倾角为
4
192
交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
的直线与双曲线
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
D 所得弦长为 8 3 ，则该双曲线的方程为（ ） 3
(A) x2 y2 1 (B) x2 y2 1 (C) x2 y2 1 (D) x2 y2 1
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P(x0, y0 )的坐标.
3、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
l:x y 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
弦长问题
例、如图，过双曲线
x2 3
y2 6
1的右焦点
F2 ,
倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
练习:
1.过双曲线
x2 9
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
2.双曲线的简单几何性质PPt
双曲线的 简单几何性质(2)
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
双曲线简单的几何性质2
§2.2.1双曲线简单的几何性质 ( 第2课时)[自学目标]:掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质，并运用有关性质解决实际问题。
[重点]:直线与双曲线问题。
[难点]:相关弦长、中点问题。
[教材助读]:1、直线与双曲线位置关系代数法：由直线方程与双曲线的方程联立消去y 得到关于x 的方程．(1)△ 0 ⇔直线与双曲线有两个公共点； (2)△ 0 ⇔直线与双曲线有一个公共点； (3)△ 0 ⇔直线与双曲线无公共点．1、若设直线与双曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与双曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、已知双曲线方程为1422=-yx ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条2、过点(2，－2)且与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.x 22－y 24 3、双曲线13622=-y x的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ）A 、3B 、2C 、3D 、6 4、已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，带课堂上与老师和同学探究解决。
双曲线几何性质2
双 曲 线
2 2
性 质
图象
y
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0)
b
o a x
xa
x a
ya
或
或
y x 2 1 2 a b (a 0, b 0)
2
2
y a o bx
y a
关 于 坐 标 轴 和 原 点 都 对 称
( a, 0) y b x e c
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC
A
o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
课堂练习:
1. 过点（1_______. 9 x
P( 1,－3 ) 且离心率为
2
3 y x 4 2
55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
2的双曲线标准方程.
2
y x 1 8 8
2013-12-10
学习小结:
b 渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写 a x2 y2 成 2 2 ( 0) 的形式. a b 巧设方程形式将使问题解决变得简洁.
2 2
性 质
图象
y
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0)
b
o a x
xa
x a
ya
或
或
y x 2 1 2 a b (a 0, b 0)
2
2
y a o bx
y a
关 于 坐 标 轴 和 原 点 都 对 称
( a, 0) y b x e c
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC
A
o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
课堂练习:
1. 过点（1_______. 9 x
P( 1,－3 ) 且离心率为
2
3 y x 4 2
55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
2的双曲线标准方程.
2
y x 1 8 8
2013-12-10
学习小结:
b 渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写 a x2 y2 成 2 2 ( 0) 的形式. a b 巧设方程形式将使问题解决变得简洁.
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49 25
分析：把方程化为标准方程，即可利用相关关系式求解.
解：(1) 把方程 x2 8 y 2 32 化为标准方程
x 2 y 2 1. 32 4
由此可知，实半轴长a= 4 2 ，虚半轴长b=2；
c a2 b2 32 4 6
顶点坐标为 (4 2，0), (4 2，0).
焦点坐标是（0，一6），（0，6）； 离心率
设c2 a2 b2 , 化为：
x2 y2 a2 b2
1(a b 0).
所以M的轨迹是实轴长为2a, 虚轴为2b的双曲线.
这个例题告诉我们：
y
当点M与一个顶点的距离和它
M
到一条定直线的距离之比是常数
e c (e 1)时， a
O
Fx
这个点的轨迹是双曲线 .
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，
渐近线方程为 y 5 x.
a5
7
(0,a)
数学定义式
双曲线的图像和性质
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
a、b、c的关系
实、虚轴长 对称轴 离心率
渐进线方程
c2 a2 b2
实轴长2a，虚轴长2b
两坐标轴
e c (e 1) a
曲线x2 y2 1的实轴长、虚轴长、焦 距、离心率、 16 9
(3 10，0)
离心率 e c a
10.
渐近线方程为 y 3x.
解：(3)把方程 x2 y 2 1化为标准方程 49 25
y 2 x2 1. 25 49
由此可知，实半轴长a=5，虚半轴长b=7；
c a2 b2 52 72 74.
焦点坐标是（0，一5），（0，5）；
顶点坐标为 (0， 74 ), (0， 74 ); 离心率 e c 74 .
x a2 的距离的比是常数 c (c a 0), 求点M的轨迹.
c
a
解：设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹
是集合：P
M
|
|
MF d
|
c a
,
于是
（x c）2 y2 | a2 x |
c, a
c
y
M
O
Fx
两边平方：（ c2 a2）x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ),
顶点坐标、交点坐标和渐近线方程. 解：根据双曲线 x2 y2 1的标准方程，得 16 9 a 4,b 3,所以c2 a2 b2 16 9 25,
故c 5. 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6， 焦距为10，离心率为e c 5 ,
a4 顶点坐标为 A（1 4,0）, A（1 4,0）, 渐近线方程为y 3 x.
e c 6 3 2 a 42 4
渐近线方程为 y 2 x. 4
解：(2)把方程 9x2 y2 81 化为标准方程
x 2 y 2 1. 9 81
由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=9；
c a2 b2 9 81 3 10
顶点坐标是（-3，0），（3，0）；
焦点坐标为
(3 10，0),
常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 x2 y2 1, a2 b2
相应于焦点 F（c,0）的准线方程是 x a2 ;
由对称性相应于焦点
F（
c c,0）的准线方程是
x
a2
.
c
所以，双曲线有两条准线.
练习：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点坐标和离心 率及渐近线：
(1) x2 8y2 32; (2) 9x2 y2 81; (3) x2 y2 1.
双曲线的几何性质（二） ——例题讲解
填写下表，并比较异同:
双曲线的图像和性质
数学定义式
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
标准方程
焦点坐标 焦距
顶点坐标
x2 a2
y2 b2
1
(c,0),(c,0)
y2 x2 a2 b2 1
(0,c),(0, c)
| F1F2 | 2c
(a,0)
4
例2 :已知双曲线的离心率是 e 3,虚半轴长为 2 2，焦点 在x轴上，求双曲线的标准方程.
解：根据已知，得
c ba
3 2
2
a2 b2 c2
解得a2 1.
所以，双曲线的标准方程为 x2 y2 1.
8
如果将例2中的“焦点在x轴上”去掉，那么
结果是怎样的？
例3:点M (x, y)与定点F（c,0）的距离和它到定直线 ：
分析：把方程化为标准方程，即可利用相关关系式求解.
解：(1) 把方程 x2 8 y 2 32 化为标准方程
x 2 y 2 1. 32 4
由此可知，实半轴长a= 4 2 ，虚半轴长b=2；
c a2 b2 32 4 6
顶点坐标为 (4 2，0), (4 2，0).
焦点坐标是（0，一6），（0，6）； 离心率
设c2 a2 b2 , 化为：
x2 y2 a2 b2
1(a b 0).
所以M的轨迹是实轴长为2a, 虚轴为2b的双曲线.
这个例题告诉我们：
y
当点M与一个顶点的距离和它
M
到一条定直线的距离之比是常数
e c (e 1)时， a
O
Fx
这个点的轨迹是双曲线 .
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，
渐近线方程为 y 5 x.
a5
7
(0,a)
数学定义式
双曲线的图像和性质
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
a、b、c的关系
实、虚轴长 对称轴 离心率
渐进线方程
c2 a2 b2
实轴长2a，虚轴长2b
两坐标轴
e c (e 1) a
曲线x2 y2 1的实轴长、虚轴长、焦 距、离心率、 16 9
(3 10，0)
离心率 e c a
10.
渐近线方程为 y 3x.
解：(3)把方程 x2 y 2 1化为标准方程 49 25
y 2 x2 1. 25 49
由此可知，实半轴长a=5，虚半轴长b=7；
c a2 b2 52 72 74.
焦点坐标是（0，一5），（0，5）；
顶点坐标为 (0， 74 ), (0， 74 ); 离心率 e c 74 .
x a2 的距离的比是常数 c (c a 0), 求点M的轨迹.
c
a
解：设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹
是集合：P
M
|
|
MF d
|
c a
,
于是
（x c）2 y2 | a2 x |
c, a
c
y
M
O
Fx
两边平方：（ c2 a2）x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ),
顶点坐标、交点坐标和渐近线方程. 解：根据双曲线 x2 y2 1的标准方程，得 16 9 a 4,b 3,所以c2 a2 b2 16 9 25,
故c 5. 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6， 焦距为10，离心率为e c 5 ,
a4 顶点坐标为 A（1 4,0）, A（1 4,0）, 渐近线方程为y 3 x.
e c 6 3 2 a 42 4
渐近线方程为 y 2 x. 4
解：(2)把方程 9x2 y2 81 化为标准方程
x 2 y 2 1. 9 81
由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=9；
c a2 b2 9 81 3 10
顶点坐标是（-3，0），（3，0）；
焦点坐标为
(3 10，0),
常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 x2 y2 1, a2 b2
相应于焦点 F（c,0）的准线方程是 x a2 ;
由对称性相应于焦点
F（
c c,0）的准线方程是
x
a2
.
c
所以，双曲线有两条准线.
练习：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点坐标和离心 率及渐近线：
(1) x2 8y2 32; (2) 9x2 y2 81; (3) x2 y2 1.
双曲线的几何性质（二） ——例题讲解
填写下表，并比较异同:
双曲线的图像和性质
数学定义式
|| MF1 | | MF2 || 2a
y
图形
x
y
x
标准方程
焦点坐标 焦距
顶点坐标
x2 a2
y2 b2
1
(c,0),(c,0)
y2 x2 a2 b2 1
(0,c),(0, c)
| F1F2 | 2c
(a,0)
4
例2 :已知双曲线的离心率是 e 3,虚半轴长为 2 2，焦点 在x轴上，求双曲线的标准方程.
解：根据已知，得
c ba
3 2
2
a2 b2 c2
解得a2 1.
所以，双曲线的标准方程为 x2 y2 1.
8
如果将例2中的“焦点在x轴上”去掉，那么
结果是怎样的？
例3:点M (x, y)与定点F（c,0）的距离和它到定直线 ：