2.9 函数模型及其综合应用-5年3年模拟北京高考

2.9 函数模型及其综合应用

五年高考

考点 函数的实际应用

1．（2013天津，8，5分）已知函数|).|1()(x a x x f +=设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ．若

,]21

,21[A ⊆-则实数a 的取值范围是( ) )0,251.(-A )0,231.(-B )231,0()0,251.(+- C )2

51,.(--∞D

2．（2012北京，8,5分）某棵果树前n 年的总产量S 。与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( )

5.A 7.B 9.C 11.D

3．（2013湖南．16,5分）设函数,)(x

x x c b a x f -+=其中.0,0>>>>b c a c

(1)记集合c b a c b a M ,,1),,{(=不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则M c b a ∈),,(所对应的

)(x f 的零点的取值集合为

(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

;0)(),1,(>-∞∈∀x f x ①

,R x ∈∃②使c b a xx x ,,不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC 为钝角三角形，则),2,1(∈∃x 使.0)(=x f

4．（2013课标全国I ．21，12分）设函数)(,)(2x g b ax x x f ++=).(d cx e x +=若曲线)(x f y =⋅和曲

线)(x g y =都过点P(O ，2)，且在点P 处有相同的切线.24+=x y (1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若2-≥x 时，),()(x kg x f ≤求k 的取值范围．

5．（2012江苏，17，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程k x k kx y <+-

=22)1(20

1

)0>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

6．（2012上海．21,14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线;49

122

x y =

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ． (1)当t=0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

智力背景

上帝之数—— 神秘的完美数 所谓的上帝之数就是这样的一些完美数，它的所有的真因予（包括1， 但是不包括本身）之和正好等于这个数本身．例如：;3216;3216++=⨯⨯=142174128⨯⨯=⨯⨯= 且,28147421=++++6和28是最小的两个完美数，这在古希腊就已经被发现了，由于6是古时传说中上帝创造世界所用的天数，而28是月亮绕地球一周所需的天数，这使得完美数充满了神秘的色彩，现在以我们人类的认知水平还无法揭开这些数的神秘面纱， 7．（2011湖北．17,12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度”（单位：千米／小时）是车流密度x （单位：辆／千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O ；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为60千米／小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度w 是车流密度x 的一次函数． (1)当2000≤≤x 时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆／小时）

)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆／小时）

8．（2011江苏，17，14分）请你设计一个包装盒，如图所示，AB-CD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两 个端点，设⋅==)(cm x FB AE

(1)某广告商要求包装盒的侧面积)(2cm s 最大，试问x 应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积)(3cm V 最大，试问x

应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比

值．

解读探究

知识清单

2．三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数)1(>=a a y x 与幂函数)0(>=αα

x y

在区间),0(+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内x

a 会小于,αx 但由于x

a y =的增长度

⑧ αx y =的增长速度，因而总存在一个,0x 当0x x >时有⑨

(2)对数函数)1(log >=a x y a 与幂函数)0(>=ααx y 不论a 与α值的大小如何，对数函数

)1(log >=a x y a 的增长速度总会⑩ αx y =的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数,0x 使0x x >时有

由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在),0(+∞上，总会存在一个,0x 使0x x >时有

智力背景

不可能的三接棍 许多图案和实例，一旦熟悉起来便觉得想当然．在1958年英国的《心理学杂志》 上.R ．朋罗斯发表了他的不可能的三接棍，他称之为立体的矩形构造：三个直角显示出垂直，但它是不可 能存在于空间的．这里三个直角似乎形成一个三角形，但三角形是一个平面而非立体的图形，它的三个

角的和为,180o

而非.2700

【知识拓展】

1．函数的应用是数学应用问题的主要类型之一，教材中介绍了函数知识在增长率、物理等方面的应用，首先要深刻理解、准确把握题目中的概念和公式，把以上类型摘清搞懂，由此初步掌握解决函数应用问题的基本方法，为逐步提高解答应用问题的能力打下良好的基础．

2．解函数应用题关键是建立数学模型，要顺利地建立数学模型，重点要过好三关：

(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．

(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化．

3．学习过程中要注意从数学的角度理解、分析、研究、把握问题，先独立尝试，后对比验证，特别要强调开展自主的、独立的探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力，有助于提高对数学思想方法的认识，有利于培养数学意识，

·知识清单答案

突破方法

方法 函数模型的应用

函数应用的基本过程：