排列组合1
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合的常见模型(1)
4 n 4 3 34 排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。
例如：用0,1, 2,3, 4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 N = 4 ⨯ A 4= 96种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。
从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
N = C 3 - C 3 = 85 （种）1073、先取再排（先分组再排列）：排列数 A m是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生， 共有 C 2C 1 种可能， 然后将选出的三个人进行排列： A 34 33C 2C 1 A 3 = 108 种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 A 4种位置，第二步考虑。
3、组合数学第三章排列组合(1)
P（5，3）
（2）同（1），若不限制每天考试的次数，问有多 少种排法？
53
例3.8 排列26个字母，使得在a 和 b之间正好有7个 字母，问有多少种排法？
例3 用26个字母排列，是元音 a,e,i,o,u 组不相继 出现，有多少种排法？
（1）排列所有辅音：P(21,21)=21！ （2）在辅音前后的22个空档中排元音:
n2 +... + nk .
2若r=n,则N= n! ; n1 !n2 !...nk !
3若r < n且对一切i,i =1, 2,..., k,有ni ? r,则N=kr ; 4若r < n,且存在着某个ni < r,则对N没有一般的求解公式。
§3.5 多重集的组合
多重集S中r个元素进行无序选择，构成一个多重 集的r-组合。 篮子里有2个苹果，1个桔子，3个香蕉，篮子里 的水果构成“多重集”。
解1 (1)任意坐： n=9! (2)不相邻：A先就坐，B不相邻：7 其余8人排序：8！ m=7*8！ (3) P=m/n=7*8!/9!=7/9
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
解2 (1)任意坐： n=9! (2)A,B相邻：A先就坐，B左右相邻：2 其余8人排序：8！ k=2*8！ (3)不相邻：m=9!-2*8! (4) 两人不相邻的概率 P=m/n=（9!-2*8!)/9!=1-2/9=7/9
证明
(1) 从{ 1,2,…,n }中选出2-组合有
C
2 n
(2) 另一种选法：
最大数为k的2-组合共有k-1个，k=1,2,…,n
有加法原理，共有 0+1+2+…+(n-1) 个2-组合
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合1. 排列组合公式quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!begin{aligned}amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}end{aligned}Anr=n(n1)(nr1)=(nr)!n!Cnr=r!Anr=r!(nr)!n!quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=12. 二项式及公式推广quad二项式展开公式为：(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?iquad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。
由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。
quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；quad(2)Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j)∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
1.排列(permutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的⽆重排列。
排列的个数⽤P(n,r)表⽰或P r n n>=r //⾼中的时候教材教我们A r n ，跟这⾥的⼀样。
P(n,r) = n!/r!
排列的基本问题是“n个不同球放r个不同盒”问题。
2.组合(conmutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素组成⼀个⼦集⽽不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的⽆重组合。
组合的个数⽤C(n,r)表⽰或C r n n>=r
C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]
组合的基本问题是“n个不同球放r个相同盒”问题。
两个性质：
|—— C(n,r) = C(n,n-r) //C(8,3)=C(8,5)
|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)
3.格路模型与组合恒等式：
组合数学有⼀个研究⽅向就是研究组合恒等式。
格路模型
我们把从（0，0）到（m，n）的路径⽤⼀个形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表⽰。
则字符串长度为m+n，有m个‘x’，n个‘y’。
杨辉三⾓⽤于格路模型
在杨辉三⾓中，第n⾏对应着(a+b)n的系数，第n⾏第r列的数值是C(n,r)
范德蒙德恒等式。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：排列组合法1
排列与组合是数学的一个重要内容,主要研究完成某项工作的方法 数量,如从l ～9中选出两个不同的数组成一个两位数的个数,等等。
排列与组合虽然都是从某些事物中选出一部分,但是,排列和组合又 有着本质的区别,排列是有序的,而组合却是无序的,比方说北京、上海和 广州三地之间的飞机票。
如果问这三地间的飞机票价种数,那么它就是 一个组合问题,因为从北京到上海和从上海到北京的票价是一样的,也就 是说与飞机的起飞地点和降落地点没有关系,但是如果问三地间的飞机 票的票样,那就是排列问题,因为它与出发地和目的地有关,从北京到上 海和从上海到北京是不同的票样。
排列组合所用的基础原理是乘法原理和加法原理。
所谓乘法原理是 指：完成一项工作需要两步,已知完成第一步有m 种方法,完成第二步有 n 种方法,那么完成这项工作一共有m*n 种不同的方法；所谓加法原理 是指：完成一项工作有两类不同的方法,其中第一类中有a 种方法,第二 类中有b 种方法,那么完成这项工作的方法一共有a+b 种。
乘法原理 和加法原理最大的区别就是：一个是分步,一个是分类。
另外,解决此类问题还需要理解和掌握组合数和排列数的公式。
经典例题[例l 】 从甲地到乙地有3条路可走,从乙地到丙地有2条路可走, 从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法? 思路剖析从甲地到丙地,需要先经过乙地,那么从甲地到丙地要分两步：从甲 地到乙地,从乙地到丙地。
从甲地到乙地有3种走法,从乙地到丙地有2 种走法。
于是可根据乘法原理得出从甲地到乙地不同的走法数量,如图1可以验证上面得出的结果,从甲地到丙地的不同走法分别有：1—4、 l 一5、2—4、2—5、3—4、3—5,其中1—4中的数字1表示从甲地到乙地走 第l 条线路,第二个数字4表示从乙地到丙地走第4条线路,一共有6种 不同走法。
解答由乘法原理得,从甲地到丙地共有走法为3×2=6(种) 答：从甲地到丙地有6种不同走法。
[精品]一年级排列组合1
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人教版一年级数学——数学广角──排列组合（一）教材分析：“数学广角”是义务教育课程标准实验教科书从二年级上册开始新增设的一个单元，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。
排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透数学思想方法方面做了一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。
教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，例1给出了一幅学生用数字卡片摆两位数的情境图，学生可以进行小组合作学习，然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复不遗漏。
教材以学生熟悉而又感兴趣的生活场景为依托，重在向学生渗透这些数学思想方法，将学习活动置于模拟情景中，给学生提供操作和活动的机会，初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，为学生今后学习组合数学和学习概率统计奠定基础。
学生分析：在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。
如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数等等，作为二年级的学生，已有了一定的生活经验，因此在数学学习中注意安排生动有趣的活动，让学生通过这些活动来进行学习，经历简单的排列组合规律的数学知识探索过程，让学生在活动中探究新知，发现规律，从而培养学生的数学能力。
教学目标：1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程；2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力；3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。
设计理念：根据学生认知特点和规律，在本节课的设计中，我遵照《课标》的要求和低年级学生学习数学的实际，着眼于学生的发展，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、实物投影、动手操作、游戏活动等方式组织教学，做到：a、创设情境活用教材我对教材进行了灵活的处理，创设了“六一”参观体育馆这样一个情境，在一个又一个的活动情境中渗透排列和组合的思想方法，让学生亲身经历探索简单事物排列和组合规律的过程，在活动中主动参与，在活动中发现规律。
精英班教案--排列组合1
将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222 种.［解法一］用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额•如1 1 KI 1 1表示第一、二、三个学校分别有4, 18 , 2个名额.若把每个“ ”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“| ”，故不同的分配方法相当于24 2 26个位置（两端不在内）被2个”占领的一种占位法”.每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“I ”，故有C： 253 种.又在每校至少有一个名额的分法”中至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253 —31 = 222种.［解法二］设分配给3个学校的名额数分别为X i,X2,X3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1 x2 x324.的正整数解的个数，即方程x1 x2 x3 21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：H? C；；C：253 .又在每校至少有一个名额的分法”中至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253 —31 = 222种.一条走廊宽2 m,长8 m,用6种颜色的1 1 m 2的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多）,要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有A. 308个B. 30 257个C. 30 207个D. 30 217个•解：铺第一列（两块地砖）有30种方法；其次铺第二列•设第一列的两格铺了A、B两色（如图），那么，第二列的上格不能铺A色.若铺B色，则有（6 1）种铺法；若不铺B色，则有（6 2）2种方法.于是第二列上共有21种铺法•同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法.因此，共有30 217种铺法.故选D.直线l i 与直线丨2平行，l l 上有5个不同的点，丨2上有10个不同的点，将l i 上的点与12上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有_____ 个.1 a i <a 2<a 3 15， a s a ： 6，那么满足条件的子集的个数为 ___________________ .答案：371.2解：当2 a 2 9时，ai,a 2有C g 种选择方法，a s 有6种选择方法，所以&82怎 共有6 C ； 216种选择方法；当10 a 2 14时，一旦a ?取定，a 1有a ? 1种选择 方法，a s 有15 a 2种选择方法，所以选择a 1, a 2, a 3的方法有14a 2 1 15 a 29 5 10 4 11 3 12 2 13 1 155种.a 2 10综上，满足条件的子集共有371个.有6本不同的书，其中一本数学书，两本英语书，三本音乐书，将他们排成一排，若英语书 不相邻，音乐书也不相邻的不同排法数为 ____________ 120 ________1.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2, ,9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的) 小正方形所涂颜色都不相同，且“ 3、5、7 ”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 108 __________种。
排列组合[1]
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7、错位排列
满足 i1 ≠ 1, i2 ≠ 2, ⋅⋅⋅in ≠ n 则称 ｛ i1 , i2 , ⋅⋅⋅in ｝为｛ 1，2，∙ ∙ ∙ n｝的一个错位排 列 其所有的错位排列数为：
若｛1，2，∙ ∙ ∙n ｝的一个排列为｛1
i , i2 , ⋅⋅⋅in
｝
1 1 1 (−1) n 1 − + − + ⋅⋅⋅ + Dn = n! ） n!（ 1! 2! 3!
竞赛中的排列组合问题
安庆一中Βιβλιοθήκη 程乐根一、出题情况
排列组合出题，主要在第一试中 出题，大多以客观题形式呈现，但这 一内容是抽象数学的基础，渗透性很 强，在其它分支里用得很多，特别是 在组合数学和数论中应用更为广泛。
二、常见定义公式：
1、排列 从n个不同元素中，任取m个不同元素的排列数是: n! m A = n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − m += 1) n ( n − m)! 2、组合 从n个不同元素中，任取m个不同元素的 n! m 组合数是：
(a1 − 1) + (a2 − a1 − 3) + (a3 − a2 − 3) + (14 − a3 ) = 7
其中 a1 ≥ 1, a2 − a1 ≥ 3, a3 − a2 ≥ 3,14 − a3 ≥ 0, 将上 变形为
3 C 这个方程的正整数解的个数是 10=120种 点评：奇特方法，贵在发现
3 C 解：由题设知，在xy平面上有16个整点，共 16 = 560
个三点组，要从中减去那些三点共线的。平面上 有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8 条线上含有 8C43 = 32 个三点共线的三点组。 类似地，在斜率为±1的线上共线的三点组 3 3 2 C + 4 C 有4 3 =8+4=12（个）。 此外，没有其他的三点共线的三点组，组 成的三角形的个数是560-32-12=516（个）
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
（完整word版）排列组合1.
（完整word版）排列组合1.专题⼆⼗三排列组合知识概要P-Probability 排列 C-Combination 组合排列公式m n P 是指，从n 个元素取m 个进⾏排列(即有次序排序)。
组合公式mn C 是指，从n 个元素取m 个，不进⾏排列（即⽆次序分别，不排序）。
C —组合数； P —排列数； n —元素的总个数；m —参与选择的元素个数；!—阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120 ;3!=3×2×1=6。
m n P =n ×(n-1)×(n-2)×…×(n －m ＋1)m n C =mn P ÷m!排列组合知识，⼴泛应⽤于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在⽣产⽣活中，解决许多实际应⽤问题。
同时排列组合问题历来就是⼀个⽼⼤难的问题。
因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题⽅法作⼀点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
排列组合解题策略排列组合问题的⼀般解题规律: 1）使⽤“分类计数原理”还是“分步计数原理”。
要根据我们完成某件事时采取的⽅式⽽定，可以分类来完成这件事时⽤“分类计数原理”（加法原理），需要分步来完成这件事时就⽤“分步计数原理”（乘法原理）；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何⼀类均可独⽴完成所给的事件，⽽“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成⼀件事情的⼏类办法互不⼲扰，相互独⽴，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺⼀不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步⽤什么⽅法不影响后⾯的步骤采⽤的⽅法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等⼿段使问题直观化，从⽽寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要⽤不同的⽅法求解来获得检验。
数学排列组合公式[1]
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排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
一排列组合
一：楼主应该是问：解题过程中如何判断是组合还是排列.我的经验是,先根据题目构造出一个解,然后改变这个解中元素的顺序,如果此时得出满足题目的另一个不同解,说明该题是排列问题；否则,得出的解还是原先的那个解,说明该题是组合问题.二. 这是数学题吧…………一对同类的东西分组一般是无序的要是用不同类的东西配对分组一般是有序的…区别有序还是无序主要看元素之间是否有区别若没有区别，则为无序只要有能影响题目的区别，就是有序例：一群男人和女人排成一队，如果题目没有告诉你每个人的名字或编号，则认为人只有两种：男人和女人，因此男人和男人之间的排列就是无序的；如果题目告诉了你每个人的名字或编号，则男1站在男2的左边还是右边就有区别了，此时男人之间的排列就是有序了明白了么三.排列与组合的共同点是从n个不同的元素中,任取m（m≤n）个元素,而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数．（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商,可以有多少个不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关,是排列；②由于每两人互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题,共通了=110（封）；②是组合问题,共需握手==55（次）（2）①是排列问题,共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题,共=45（种）不同的选法；（3）①是排列问题,共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题,共有=28（个）不同的积；（4）①是排列问题,共有=56（种）不同的选法；②是组合问题,共有=28（种）不同的选法．【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”四... 排列组合是组合学最基本的概念.所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序.组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序.排列有序,组合无序.用0,1,2,3,4.五个数组成没有重复的三位数为偶数则这个三位数的个位只能为0,2,4三中可能. 当个位为0时百位4种可能,十位数则只有3种可能当个位为2时百位只有3种可能,十位数则只有3种可能当个位为4时百位只有3种可能,十位数则只有3种可能用0,1,2,3,4.五个数组成没有重复的三位数,偶数的个数为30个（4*3+3*3+3*3=30 ）.*五. 取且排,与元素的顺序有关是排列,取不排,与元素的顺序无关是组合.排列与组合的综合题一般是先选后排.六. 这是排列与组合问题,怎么区分?有一种四位数,由1个奇数数字和3个互不相同的偶数数字组成,例如2304,5682等,那这样的四位数一共有多少个?解答：间接法：算出所有的情况,再减去千位上是0的情况.(1)首先放奇数,选出一个数位和一个奇数：c(4,1)*C(5,1)=20剩下3个位置放偶数,放法种数为：A(5,3)=60所有的情况数为：60*20=1200(2)千位是0的四位数个数：首先千位放0.让后在剩下的数位里面选一个地方放奇数,再在剩下的地方放偶数.由于0被选了,所以剩下的偶数必须从2 4 6 8这四个数里选C(3,1)*5*A(4,2)=180(3)综上,这种四位数的个数为：1200-180=1020七.已知一个箱子里有2个红球和4个白球，从中随机地连取3个球，记事件A=“恰有一个红球"，事件B="第三个球是红球"。
1排列组合(一)
网络课程内部讲义排列组合教师：李永乐“在线名师”→ 资料室免费资料任你下载（一）排列组合一、两个基本原理加法原理_____________________________________________________________ 乘法原理_____________________________________________________________二、排列数与组合数排列数mnA的含义_____________________________ 公式______________全排列公式nnA的含义_________________________ 公式______________组合数mnC的含义______________________________ 公式______________ 组合数公式一_________________ 含义___________________________ 公式二_________________ 含义___________________________公式三_________________ 含义____________________________公式四_________________ 含义____________________________公式五_________________ 含义____________________________三、应用题题目类型一：公式的应用和理解题目类型二：桶装信问题桶装信问题的口诀是：_____________________________________方程12...na a a N+++=的正整数解个数_____________________非负整数解个数____________________题目类型三：分类，分步问题分类的重要原则_____________________________________________________分步的重要原则_____________________________________________________题目类型四：分组排序问题问题描述______________________________________________________________ （1）____________________________________________________________________ （2）____________________________________________________________________ “在线名师”→ 答疑室 随时随地提问互动题目类型五：填色问题问题描述：_____________________________________________________ 解题方法：（1）___________________________________________________ （2）___________________________________________________题目类型六：限制条件问题问题描述: ______________________________________________________ 解题方法1．分步讨论法：（1）___________________________________________ （2）___________________________________________ （3）___________________________________________2．作图相减法：（1）___________________________________________ （2）___________________________________________ （3）___________________________________________题目类型七：排队问题基本方法：（1）____________________________ （2）_____________________________题目类型八：树状图问题描述: ___________________________________________ 解题方法：_________________________________________ _________________________________________题目表一、公式的理解和应用题目1：证明：1121...n n n n n n n n n m n m C C C C C ++++++++++=.题目2：（1）求证22223234100101...C C C C C ++++=（2）求和2222123...n S n =++++“在线名师”→ 资料室免费资料任你下载题目3：1440的正约数个数是_______个.题目4：1800的正约数个数为______.题目5：若将10++展开之后，经过合并，一共有多少项？()x y z题目6：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或者负方向跳动一个单位，经过5次跳动，质点落在（3，0）（允许重复经过此处）．则质点不同的运动方法共有______种.二、桶装信问题题目7：5个人分4张同样的足球票，每人最多分1张，票要分完，则不同的方法数为____.题目8：将4封信投入三个邮筒中，不同的投法数为_______.题目9：3个人去旅游，共有4个目的地可供选择，每人只选择一个目的地．那么他们的旅游安排共有______种．题目10：求10+++=的正整数解和非负整数解个数．x y z w题目11：现在组织一个球队共10人，他们由7所中学每所至少选择1人组成．名额分配方案共有______种．“在线名师”→答疑室随时随地提问互动三、分类与分步题目12：（06年北京高考试题）1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？A．36个B．24个C．18 个D．6个题目13：（03年北京高考试题）从黄瓜，白菜，油菜，扁豆四种蔬菜中选择三种，分别种在不同质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有多少种？A．24种B．18种C．12种D．6种题目14：甲乙两人从4门课程中各选出2门，则甲乙所选的课程至少有1门不相同的选法共有___种．题目15：从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选择5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选择方法有____种．题目16：某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现在从中选择6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法共有______种．题目17：某车间有9名工人，其中2人既能当车工又能当钳工，3人只能当车工，4人只能当钳工，现在要抽调6个工作，3名车工3名钳工，问有多少种抽调方法？题目18：（2009年天津高考）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复的四位数，其中个位，十位，百位上的数字之和为偶数的有_____个．题目19：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿种（用数字作答）．题目20：（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.（以数作答） “在线名师”→ 资料室 免费资料任你下载题目21：（07年崇文区一模文）某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行兵乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有A ．50种B ．150种C ．300种D ．600种题目22：（07年海淀区一模理）从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有A ．19种B ．54种C ．114种D ．120种题目23：（07年西城区一模理）若集合A 1，A 2满足1212,[]A A A A A ∪=则记，是A 的一组双子集拆分.规定：[A 1，A 2]和[A 2，A 1]是A 的同一组双子集拆分，已知集合A ={1，2，3}，那么A 的不同双子集拆分共有A ．15组B ．14组C ．13组D ．12组题目24：（2006年全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =．选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种问题类型：分组排序问题题目25：（02年北京高考试题）有12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方法有多少种？A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A题目26：（全国高考试题）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和两名护士．不同的分配方法有多少种？A ．90B ．180C ．270D ．540题目27：如果把6个人分成3组，每组2个人，组间不排序，有多少种排法？题目28：如果把四个人分成三组，组之间不排序，每组分别有2人，1人，1人，有多少种分组方法？“在线名师”→答疑室随时随地提问互动题目29：如果把11个人分成6组，分别有3人，2人，2人，2人，1人，1人，分组不排序，问有多少种方法？题目30：如果把11个人分成6组，分别有3人，2人，2人，2人，1人，1人，分别派到6个路口进行检查，问有多少种方法？题目31：（07年全国高考试题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A．40种B． 60种C．100种D．120种题目32：已知集合{1,2,3,4},{5,6,7}==A B（1）映射:f A B→可以构成函数的个数为__________________（2）映射:f A B→可以构成值域为B的函数的个数为___________________题目33：将甲乙丙丁四名同学分到3个不同的班，每个班至少分到1名学生，且甲乙不能分到同一个班，则不同的分法数为______.题目34：将9个人（含甲，乙）平均分成3组，甲，乙分在同一组，则不同的方法数为______.题目35：（2006年重庆卷）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有A．30种 B．90种C．180种 D．270种题目36：（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．题目37：（2006年湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有A．16种B．36种C．42种D．60种 “在线名师”→ 资料室 免费资料任你下载问题类型：填色问题题目38：将4种农作物种植在如图所示的5块试验田里，要求4种农作物都要种植，且每块田种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法有_______种．题目39：如图，一个花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花可供选择，要求在每块地里种1种花，且相邻的2快地种不同的花，则不同的种法数为_____题目40：某人有三种颜色的灯泡，要求在如图所示的六个点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1上各安装一个灯泡，要求同一个线段两端的灯泡不同颜色，则不同的安装方法共有____种．题目41：如图所示，图中的一朵花，有五片花瓣，现在有四种不同的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，若涂完的花颜色相同的恰好有3瓣，那么不同的涂法数是_______.题目42：（北京海淀区模拟题）如图的九方格，填入1，1，1，2，2，2，3，3， 3九个数字，使得每行，每列都不含有相同的数字，那么填法一共有多少种？题目43：（全国高考试题）某城市在中心广场建设了一个花园，花园分为6个部分，现在要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种（用数字作答）题目44：（07年天津高考试题） 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少____种A B C D E “在线名师”→ 答疑室 随时随地提问互动问题类型：限制条件问题题目45：用0，1，2，3，4五个数字能组成多少不重复且3不在十位上的五位数？题目46：（全国高考试题）由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复的4位数中，不能被5整除的数有多少个？题目47：（07年全国高考试题I ） 从班委会5名成员中选出3名，分别担任学习委员，文娱委员，体育委员，其中甲乙两人不能担任文娱委员，那么不同的选择方法有多少____种．问题类型：排队问题 题目48：ABCDEFG 这7个人要排成一队，Ａ和Ｂ不站在一起，有多少种排法？题目49：ABCDEFG 这7个人要排成一队，AB 不站在一起，CD 站在一起，有多少种排法？题目50：（07年北京高考试题）记者要给5名志愿者和他们帮助的2名老人照相，要求排成一排，两名老人相邻并且不排在两端，则不同的排队方法有多少种？A ．1440B ．960C ．720D ．480题目51：书架上有6本书，现在要插入3本书，有多少种不同的插法？A ．37A B ．44AC ．987××D ．332A题目52：（北京高考试题） 某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入到原来的节目单中，则不同的插法的种数是A ．42B ．30C ．20D ．12“在线名师”→ 资料室免费资料任你下载题目53：（07年东城区一模理）8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有A．360种B．4320种C．720种D．2160种题目54：（07年崇文区一模理）有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，在两端都是红球的排列中，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有A．720 B．768 C．960 D．1440题目55：（2006年全国卷I）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_______种．题目56：（2006年上海春卷）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式.题目57：有一排7只发光二极管，每只二极管可以发出红光和绿光，若每次恰好有3只二极管点亮，但是相邻两只不能同时点亮，根据这三只点亮的二极管的不同位置或不同颜色表示不同的信息，则这些二极管能够表达的信息种数共有_________.问题类型：树状图题目58：设有6个元素a，b，c，d，e，f排成一排，按照下列要求各有多少种排法？（1）a排头，且b不排尾（2）a不排头，b不排尾（3）a在b前，b在c前题目59：四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则不同的分配方式共有____种．题目60：五人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则不同的分配方式共有____种．题目61：五个人传球，甲发球，最后又传回给甲，那么传球的路径共有多少种？答案表题目1：解析：左边111212213111............n n n n n n n n mn n n n n n m n n n n mn n n m n m n n m C C C C C C C C C C C C ++++++++++++++++++=++++=+++=++=+=题目2：解：（1）2332332332323334445100100101,,,...,C C C C C C C C C C C =+=+=+=（2）22211(1)2k k k k k k A k C k ++=+−=−=−222323121(1)(21)2(...)(12...)226n n n n n n n S C C C n C n +++++=+++−+++=−= 题目3：解：521440235=××，所有约数都可以写作235,,,,5,2,1a b c a b c N a b c ××∈≤≤≤因此答案为11163236C C C ××=题目4：解：36个题目5：解：212C解析：10i j k ++=求非负整数解得个数，212C ．题目6：解：必然正跳4次反跳1次，因此455C =种题目7：解：5个人中1人分不到票即可，155C =题目8：解：4381=种 题目9：解：3464=题目10：解：利用插棍和选坑的方法，分别是33913,C C题目11：解：127...10a a a +++=的正整数解：71631019984C C C −−===种 题目12：解：24解析：（1）三个数字只有一个奇数，那么由乘法原理：12332318C C A =个 （2）三个数字都是奇数，那么由乘法原理：33336C A =个 两种情况之间是加法关系，因此共24个．题目13：解：B解析：选择蔬菜：12133C C = 排序：336A = 共18种 题目14：解：30种题目15：解：2+3：2365150C C =种．3+2：3265200C C =种，共350种题目16解：按照英语导游的选择进行分类，即m 个人从专职英语里选，n 人从全能人里选，m +n =3若英语导游3+0，方法33C ，日语选择36C ，共333620C C =种方法若英语导游2+1，方法2134C C ，日语选择35C ，共213345120C C C =种方法 若英语导游12+，方法1234C C ，日语选择34C ，共12334472C C C =种方法 若英语导游0+3，方法34C ，日语选择33C ，共33434C C =种方法 综上，一共有216种方法．题目17：解：92解析：（1）车工3+0共333620C C = 种方法 （2）车工2+1共21332560C C C =种 （3）车工1+2共12332412C C C =种 共20+60+12=92种方法题目18：解：因为0不能做首位，因此需要考虑有0和没有0两种情况．若没有0，则个十百三位必须再分为三偶和两奇一偶两种情况．方法数3123133333()180C C C A C +=种若有0，则0必然在个十百三位中的一位，须再分为三偶和两奇一偶两种情况．22313334()144C C A C += 一共324种题目19：解：600解析：先分类（甲去，甲不去），再分步（先选人，后排序）甲去：2454240C A = 甲不去：444646360C A A ==，共600种 题目20：解：48解析：总体分类，然后分步．2名老队员：2112232212C C C A =，1名老队员：12323336C C A = 题目21：解：C解析：分步：先选人，再分队选人：2265150C C =，分队：2， 共300种 题目22：解：C解析：先分步（选人），再排序．选人：122133333319C C C C C ++=排序33A =6，共114种 题目23解：B解析：按照两个集合中元素个数较多的集合的元素个数进行分类： 3+3：1个 3+2：3个 3+1：3个 3+0：1个 2+2：3个 2+1：3个 共14组 题目24：解：B解析：按照A ，B 的最小和最大元素进行分类： 54:18853:144;52:122;51:11143:248;42:224;41:212;32:428;31:414;21:818>×=>×=>×=>×=>×=>×=>×=>×=>×=>×=；以上共有49种题目25：解：A解析：略 题目26：D解析：先分医生，有1113216C C C =种方法．再分护士，有22264290C C C =种方法．乘法原理，共540种． 题目27：解：15解析：略 题目28：解：6解析：246C =种 题目29：解：32221111864213232C C C C C C A A 解析：略题目30：解：32221111864213232C C C C C C A A 66A 解析：分组方法数32221111864213232C C C C C C A A ，只需把组全排列，因此32221111864213232C C C C C C A A 66A 题目31：解：B解析：分组方法：21153222C C C A 排序方法：22A 题目32：解：（1）A 是信，B 是桶，因此4381=（2）每个桶里都要有信，这样必然是2+1+1，需要分组+排序．分组方法：211421226C C C A =， 排序方法336A =，因此36种．题目33：解：分组方法数：2415C −=种方法 排序方法336A =种，一共30种方法题目34：解：甲乙组还需要选1个人，177C =种方法．余下6人分3+3，有33632210C CA =种，共70种题目35解：B 将老师分组：2+2+1：2215312215C C C A =，排序336A =，共90种 题目36：解：1260（1）全排：99A （2）去序992342341260A A A A =题目37：解：D ．每城一个：3424A =；一城2个，一城1个，一城没有：21231436C C A =，共60 题目38：解：分组：5块田分4组，只能是2+1+1+1，要求同组不相邻，方法数为6种排序：每组选择一种农作物，方法4424A =种 共624144×=种题目39：解：分类：若种2种花， 则分地方法为1种，种花方法2412A =种， 共12种 若种3种花，则分地方法为2种，种花方法3424A =种，共48种 若种4种花，则分地方法为1种，种花方法为4424A =种， 共24种 综上，一共84种题目40：解：将6个点分三组，只能是2+2+2，有2种方法．排序方法336A =种，共12种 题目41：解：若两色，则方法数322524120C C A =种方法；若3色，则3354240C A =种方法，共360种 题目42：解：12解析：将9个区域分成3组方法数有2种，组间全排列有6种方法，共2*6=12种 题目43：解：120解析：将6个区域分成4组方法共有5种，组间全排列24种方法，共24*5=120种 题目44：解：390解析：（1）2种颜色，分组方法1种，排序方法26A （2）3种颜色，分组方法3种，排序方法36A 共390种 题目45：解：78解析：略 题目46：解：192解析：略 题目47：解：36解析：322544()36A A A −+= 题目48：解：3600解析：767623600A A −= 题目49：解：960解析：656524960A A −= 题目50：解：B解析：612562252960A C A A −= 题目51：解：C解析：6本书，有7个位置可以放第一本书，共有7种方法放上第一本书之后，有7本书，8个位置可以放第二本书，共有8种方法 放上第二本书之后，有8本书，9个位置可以放第三本书，共有9种方法 乘法原理，共9*8*7种方法 题目52：解：A解析：略 题目53：解：B解析：先排无限制的运动员55A ，插入有限制的运动员：3136A C ，共531536A A C 题目54：解：B解析：先排红球．若甲球在两端，则有44214192A ××= 若甲球不在两端，则有414324576A C ××= 共768种题目55：解：2400解析：（1）排无限制人：55A （2）插入甲：4 （3）插入乙：5 共5545A ××=2400种． 题目56：解：48解析：先排公益广告，再排商业广告．242448A A = 题目57：解：先把4只灭的排一排，然后插入3只亮的，每个空最多放1个，这样一共5个空，有3510C =种位置区分，每个亮的二极管能够表示2种信息，一共可以表示8种颜色区分，共80种．题目58：解：（1）acdef 排序方法4424A =种，插入b ，方法5种，这样共120种（2）先排cdef ，有4424A =种方法，插入a ，b ，方法451121×+×=种，共2421504×= （3）选坑法，abc 选3个坑，36C ，余下随便排，33A ，共333636120C A A ==种 题目59：解：9种题目60：解：设n 人拿错卡的方法数为n a ，则12340,1,2,9a a a a ====推导递推公式111()n n n n n a na na n a a +−−=+=+，得到n =4时，54(29)44a =×+= 题目61：解：树状图，10种．。
排列组合练习1
练习（排列组合1）1. 现从5名男同学，4名女同学中选出3名男同学和2名女同学，分别担任语文、数学、物理、化学、外语的课代表，选派的方法有 ( )(A )2435C C 种 (B )552435P C C 种 (C )2435P P 种 (D )552435)(P C C +种 2. 某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，不同的任课方法的种数为 ( )(A )222426P P P (B )222426C C C (C )33222426P C C C (D )33222426P C C P3. 其小组有10位同学，男女各半，现从中选出4人组成宣传组，规定宣传组必须有男女成员，那么不同的选法种数是 ( )(A )210种 (B )200种 (C )150种 (D )100种4. 四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 ( )(A )30种 (B )33种 (C )36种 (D )39种5. 以正方体的顶点为顶点,作成三棱锥的个数为 ( ) (A )48C (B )3718C C ⋅ (C )3718C C ⋅－12 (D )48C －12 6． 某城新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯的方法199共有A.C 83 B ．P 83种 C ．C 93种 D ．C 113种7.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，不同的种植方法有( )种A ． 4B ．12C ．24D ．728. 甲、乙、丙、丁四个公司承包七项工程，甲、乙公司分别承包三项、二项，丙、丁公司各承包一项，共有_____种不同的承包方案。
9. 从0,1,3,2,2π,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y = x tg α＋B 的倾斜角和截距,共组成：(1)________条不同的直线；(2)________条平行于x 轴的直线。
排列组合精讲[1]
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排 列 组 合 原 理 ——思维方法的衍生法或派生法 我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。
宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 !为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识 元 素 通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。
如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素…… 排 列 那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。
例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。
对于初学者可以先画下图来算出： 看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)： 有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。
数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×m n种不同的方法。
据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。
排列组合1
1.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内；（1）共有几种放法？ 44（2）恰有一个空盒，有几种放法？ Ｃ24Ａ34＝144（3）恰有两个空盒不放球，有几个放法？ Ｃ34Ａ24+Ｃ24Ｃ24＝842.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中；（1）共有多少种放法？ 44（2）每盒至多一球，有多少种放法？ Ａ44（3）恰有一个空盒，有多少种放法？ Ｃ42Ａ43＝144（4）每盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？Ｃ14×2＝8（5）把4个不同的球换成相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？Ｃ34Ｃ13＝123．把7大小完全相同的小球，放置在3个盒子中，允许有的盒子一个也不放；（1）如果3个盒子完全相同，有多少种放法？ 8（2）如果3个盒子完全不相同，有多少种放法？Ｃ92＝364.以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A A.58 B.70 C.106 D.118 Ｃ84-6-6=585.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线共有 C 对A.18B.24C.36D.48 （Ｃ63-3）×12 = 366.由0,1，2，3，4，5六个数所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有192个7.7个相同的球，任意放入4个不同的盒子中；（1）共有多少种不同的放法？ Ｃ103（2）每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？Ｃ638.用012345这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数；（1）不含数字0，且1，2不相邻的数9.某小组6个人排队照相留念；（1）若排成一排照相，6个人中有3个男生和3个女生，且男生不相邻，有多少种不同的排法？Ａ33Ａ34=144 或 Ａ33Ｃ34Ａ33=144（2）若排成一排照相，甲乙两个人必须相邻，有多少种不同的排法？Ａ55Ａ2210.4个相同的白球和三个相同的黑球，随机地排成一行，不同的排法有m 种，其中有且仅有2个黑球相邻的排法为n 种，则m ／n = AA.7／4B.7／5C.7／10 D .5／7 (Ｃ53+2Ｃ52 +Ｃ51)／2Ｃ52=7／411.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法总数为 DA.240B.300C.360D.420 5﹒4﹒3﹒2﹒2 +5﹒4﹒3﹒3 = 42012.有6个人排成一排，其中甲乙两个人中间至少有一人的排法种数是 AA.480B.720C.240D.360 Ａ66—Ａ55Ａ22 = 48013. 有6个人排成一排，其中甲乙丙三人两两不相邻的排法有 B 种A.30B.144C.5D.4 Ａ33Ａ3414.从集合﹛1,2,3,…,10﹜中，选出由5个数组成的子集，使得这五个数中任何两个的和不等于11，则这样的子集共有D 个A ．10B ．16C ．20D ．3215．设*∍N n ，则=++++-12321666n n n n n n c c c c （7n -1）／616. 从集合﹛1,2,3,…,20﹜中任取三个不同数，是这三个数成等差数列，则这样的等差数列至多有180。
人教A版高中数学选修排列组合新(1)课件
所以共有不同测试方法 C61C43 A44 =576种.
点评：解决排列组合综合问题，应遵循三 大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分 步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与 不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻 与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等. 转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型 相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加 以解决.
的两个数时，重复 A42个.
所以共有C51C51A22 - 4 - A42 =34(个).
2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法?
(1)恰有一个盒子里放2个球；
(2)恰有两个盒子不放球.
解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1， 1的个数分成三组，有 种C42分法；再将三组球
(3)如果每个公司均承包两项，有多少种 承包方式?
解：(1)从6项工程中选一项给甲有 C61种， 从余下的5项中选两项给乙有 C52种，
最后的3项给丙有C33 种，由分步计数原理
共有 C61C52C33 =60种.
(2)将6项工程依条件分为三组共有C61C52C33
种，而将三组分给甲、乙、丙三公司有A33
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
有 A64种不同测试方法，再从4件次品中选2
件排在第5和第10的位置上测试，
有C42 A22 A42种测法，再排余下4件的测试
位置，有A44 种测法.
所以共有不同的测试
方法 A64 A42 A44 =103680种.
(2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
由分类计数原理，共有