755-量子理论的应用

对于实际系统的哈密顿量，我们可以获得更高阶次的





近似。大多数物理系统的系统哈密顿量可分解为一系 列局部相互作用的叠加。 H=∑Hk 采用Glauber公式： eA+B=eAeBe-[A,B]/2 可以获得量子仿真的高阶近似： e i(A+B)∆t=eiA∆teiB∆t+O(∆t2) 和 e i(A+B)∆t=eiA∆t/2eiB∆t/2+O(∆t3)
经典控制系统→拉格朗日系统→哈密顿控制系 统→量子化→量子控制数学模型
优点：可直接借助与经典控制模型的许多结果
缺点：对未知量子系统较无力 适用范围：具有较明确经典对应的量子系统建
模
量子化建模法三
类比量子化建模 通过与易于量子化的控制系统类比，先经过量子

化建立类比系统量子控制模型，再根据类比关系 获得所需的量子控制系统模型。 给定经典控制系统→易于量子化的类比系统→量 子化→类比系统的量子控制系统→建立类比系统 与给定系统的关系→获得给定系统的量子控制数 学模型 优点：应用范围广 缺点：相比前两种方法计算较复杂 适用范围：大部分已知或未知经典对应的量子系 统建模
量子仿真算法
输入：
（1） N维系统的哈密顿量H=ΣH。其中每个H最多作用 于c个子系统上；(c是常数) （2）系统在t=0时刻的处态|Ψ(0)；（3）给定Fra bibliotek精度δ>0;
（4）到达系统的期望状态的时间tf。
时间复杂度： O（[1/δ]+1）复杂度的操作。 过程：选择一个表示，使得n=位的量子比特的系统状态 |能够近似所需仿真的系统，并使算符e有有效的近似 量子门电路。选择一个近似方程和t，使得期望的误 差可接受，并使最大迭代次数C=tf，同时为迭代运算 构造一个相应的量子门电路U。
的量子系统和量子算法进行模拟和仿真。由于这类系统自身的特殊性
使得能够被它们仿真的系统的范围非常小，但可以用来对某些用经典 计算机无法模拟的量子效应进行仿真研究 。
d 基于量子计算机的仿真：是以量子计算机为仿真平台进行的仿真
研究。量子计算机的功能之一就是可以在其上实现量子系统随着时间 的演化过程，这就为量子物理学提供了新的研究工具。
模型求取相应的量子算符，然后建立对应 量子控制系统的数学模型。
优点：许多量子控制模型可以直接从对应
的经典控制系统中推导得出 缺点：需有已知经典控制系统对应
适用范围：有明确对应经典系统的量子系
统建模
量子化建模法二
间接量子化建模 即量子控制的模型在拉格朗日和哈密顿框架内
间接的从经典控制系统求得。
b 基于元胞自动机的仿真：元胞自动机（cellular automata 或
cellular automaton，CA）是空间和时间都离散，物理参数取有限 值集系统的理想化模型。比较适合用于对量子场进行模拟。
C 基于特殊量子系统的仿真：这类仿真主要是用一些特殊的量子
系统如量子点，量子光学设备，核磁共振，离子阱等对某些简单
直接机理建模法
即直接根据量子控制系统的作用机理，根
据量子力学规律，找出系统相应的哈密顿 算符，从而确定控制系统的薛定谔方程。 优点：直观，物理意义明确
缺点：目前对于量子系统的认识还不够充
分，要直接根据系统作用机理获得哈密顿 算符比较困难。
量子化建模法一
直接量子化建模 我们通过已有对应关系从经典控制系统的
则量子系统有N=2的n次方个状态，需要存储空间是
C=2*4*N Byte 量子计算过程中需要使用m个量子 门，表示这m个量子门的幺正矩阵需要的存储空间是： C=4*m*N*N Byte 从而这个模拟系统所需的存储空间就 为：C=4*m*N*N+8*N Byte 设单机的磁盘容量为160GB 又设m=8，它能够表示16位的量子寄存器的所有的状态。 如果不考虑量子门的表示，那么它能够表示34位的量 子寄存器的所有状态。
量子理论的应用
宋晓亮
物理科学学院
2007级 应用物理学系光子学 技术方向
学号：0710243
住址：南开大学22宿 （高培楼）B204-2
抱歉老师没现成单人 图片，故从其他多人 图片中PS了一个下来
孙刚
物理科学学院
2007级 物理学系凝聚态方向 学号：0710244
住址：南开大学22宿 （高培楼）B204-2
假设m=8，对16个量子位规模的系统进行模拟大约需要
625小时。对12 个量子位规模的系统进行模拟大约需要 9.16分钟。值得注意的是，这些时间估算中没有考虑磁 盘的访问时间。从上面的公式可以看出：要模拟一个32 位的计算机系统，耗费的资源是非常庞大的。如和利用 现有的计算机技术构造更好的量子仿真环境，并使之有 效地与目前的计算机系统相结合将是量子仿真技术的重 要研究内容。
量子系统的仿真
概述 量子仿真的分类
基于经典计算机的量子仿真
量子仿真算法 量子蒙特卡罗方法 前景
一 概述
系统仿真是根据被研究的真实系统的模
型，利用计算机技术进行实验研究的一 种方法，它是建立在系统科学、控制理 论、计算机技术上的一门综合性很强的 实验科学技术，是分析、综合各类复杂 系统，特别是大系统的一种研究方法和 有力工具。
与分析。
量子控制系统的状态空间模型
系统状态空间模型：
Ż（t）=AZ（t）+BZ（t）u Y（t）=Z（t）Y（0） Z表状态矢量（矩阵）Y表输出矢量u表控制矢 量，即得到一个双线性系统模型 优点：数学描述明确 缺点：计算复杂且在起步阶段，问题也较多
使用范围：较简单的物理系统，将来成熟之后
三 基于经典计算机的量子分析
用经典的计算机对量子系统进行仿真是可能的，但通常来说效率
是很低的。对于很对简单的量子系统，其本身的动态方程行为服 从薛定谔方程。对于典型的微观粒子，薛定谔方程是一个椭圆形 方程，因而仅仅对薛定谔方程进行求解并不是量子系统仿真的主 要困难，困难在于仿真过程中需要求解的微分方程数目是指数级 增长的。虽然有时我们可以通过有效的算法减少方程个数来实现 经典仿真，然而有很多实际的物理系统，其方程数目是没有办法 进行有效缩减的。
适用范围：未知信息量子控制系统的初期 分析、量子控制实验研究、对量子反馈龙 之中状态的观测与估计、量子闭环控制学
习算法等
量子控制系统的微分方程模型
用希尔伯特（Hilbert）空间态矢描述系统的量 子态，它随时间的演化遵循薛定谔方程： iħ(∂/∂t)|Ψ(t)>=Ĥ|Ψ(t)>
理论上，我们可将该方程看作量子控制系统的 微分模型 优点：物理意义明确，系统状态演化完全包含 在微分方程中。 缺点：系统方程不易建立也不易求解 适用范围：研究比较透彻的系统和具有比较明 确经典对应的量子系统
二 量子仿真的分类
1 根据仿真所使用的平台不同可以将量子
仿真分为一下几类 a 基于经典计算机的仿真：以经典的数字计算机为仿真平台，
在其上进行量子电路的设计和量子算法的研究。 目前的研究大多 是基于高性能计算机HPC（high performance computers)和集群 计算机平台。
对于量子系统，量子仿真技术中主要存在以下两个困难，一个是
系统的状态表示，另一个是仿真的速度问题。下面我们就分析系 统状态的复杂度和仿真速度与仿真系统的寄存器位数的指数关系。
1 系统表示的空间复杂度
设模拟系统有n 个量子位，使用复数表示其状态。每个复数用两
个浮点数表示，在计算机上一个浮点类型的数据占用四个字节。
2 根据仿真对象的不同可以将量子系统仿真分为
对量子设备的仿真和对量子算法的仿真两类 A 量子设备是指基于电子的量子效应进行运作的设备，常见的量子
设备有量子点（quantum dot）量子阱激光二极管（quantum well laser diode）热电子三极管(hot electron transistor)等
量子控制系统的传递函数模型
通过何时的简化和假设，将量子控制系统看作 一些环节的组合，根据各环节的输入输出关系， 确定各环节传递模型，近似结构模型。 优点：可借用经典分析中的方法理论，并加以 发展，在系统化间、反馈控制分析、控制器设 计等方面很方便。 缺点：量子纠缠态使传递函数应用受很大限制 适用范围：量子反馈控制和系统控制器的实际
2 系统表示的时间复杂程度
量子仿真过程实际上是一系列矢量矩阵相乘的过程。
在计算机中要完成的乘法和加法操作至少有 C=m*2* 2n *22n FLOPS 假设单机的运行速度为2G FLOPS。那么运行时间T（单 位为小时）和量子位数n的关系为： T=m*2 * 2n *22n /(2*109*60*60) (小时)
B 对量子算法的仿真研究是基于量子模拟器的。现在所拥有的量子
计算机只是实验用的两位量子计算原型机，对大多数量子计算研究者 而言，不可能获得真正的通用量子计算机。而量子模拟器
则可以为研究者提供一种基于经典计算机的模拟量子计算
平台，作为进一步研究量子计算的重要工具和手段。量子 模拟器对量子计算理论和量子算法可行性、正确性的研究 具有重要意义。将来，当量子计算机达到实用化的阶段时， 我们就可以将已有的科研成果直接应用到实际的量子计算 机上。
量子控制可借用部分经典控制系统模型的
形式，又由于量子力学系统的观测和实验 据不易进行，故需要通过模型求解来进行 指导。
量子控制系统的结构模型
即将量子控制系统各部分的相互关系用传
递函数模型（经典控制借鉴）、方程、文 字等图示表示。 优点：形象、直观、灵活 缺点：不易直接获得系统统一的数学模型

由于量子系统本身固有的随机性，使得蒙特卡罗 法很适合用于对量子系统进行模拟和仿真，从而发展 出了适用于计算机量子多体系统性质的量子蒙特卡罗 方法 。 量子蒙特卡罗方法适用于个种系统和模型。它有 两种基本类型，一种是零温度法和投影蒙特卡罗法， 这种方法只计算单个波函数的属性；另一个方法叫有 有限温度法，常用于需要遍历温度密度矩阵的场合。