七年级新思维28-实验与操作

28.实验与操作

问题解决

例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算．

设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．

【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．

例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）．

图④

（向右对折）

（向上对折）

A B C D

图①

图②

图③

【答案】D

例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：

……

（第3次）

（第2次）（第1次）

第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．

（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数(m )填入下表.

（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？

【答案】（1）当n=3时，13

m=；4

n=时，17

m=；……一般的41

m n

=+．

（2）由41

m n

=+，得1034125.5

n n

=+=

，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．

例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．

【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1

-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997

(1)(1)1

+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．

例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？

分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：

（5）（6）（7）

（4）

由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：

（23）

（22）

（21）

（19）

（18）

（12）（20）

（

9

）

（15）

（7）（8）

俄罗斯方块

例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？

分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．

图①图②图③

数学冲浪

知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中

七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．

（第1题）

图①

图②

如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．

【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5

（第3题）

（第2题）

3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k

n

为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，

则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次

②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．

【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．

图④

（第5题）

图③图②

图①

观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．

请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪

一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：

（第6题①）

第三次对折

第二次对折

第一次

对折

请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．