第1讲函数概念及特性2009

第1讲 函数概念及函数特性

讲授内容

一、函数概念

（1）函数定义

定义1 给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它相对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作

M D f →:， .y x (1)

数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记为)(x f ．

)}(),(|{)(M D x x f y y D f ⊂∈==称为函数f 的值域．

(1)中第一式“M D →”表示按法则f 建立数集D 到M 的函数关系；第二式“y x ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(x f x ”．习惯上，我们称此函数关系中的x 为自变量，y 为因变量．

（2）函数的表示法

函数的表示法主要有三种，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法．有些函数在其定义域的不同部分用

不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数．例如，函数⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 是分段函数，称为符号函数.

又如函数||)(x x f =也可用如下的分段函数形式来表示：x x x f sgn )(= .

有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示，只能用语言来描述．如定义在R 上的狄利克雷

)(Dirichlet 函数： ⎩⎨

⎧=为无理数

当为有理数当x x x D ,0,,1)(

定义在[)1,0上的黎曼)(Riemann 函数：()⎪⎩

⎪⎨⎧=∈=

=+内的无理数和当为既约真分数当1,01,0 ,0),,,( ,1

)(x q

p N q p q p x q x R （3）函数的四则运算

给定两个函数f ，1D x ∈和2D x ∈，记21D D D =，并设φ≠D ．我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：,),()()(D x x g x f x F ∈+=,),()()(D x x g x f x G ∈-=D x x g x f x H ∈=),()()(.

若在D 中剔除使0)(=x g 的x 值，即令,},0)(|{21*

φ≠∈≠=D x x g x D D

可在*D 上定义f 与g 的商的运算如下：.,)

()()(*

D x x g x f x L ∈=

注：若,21φ==D D D ，则f 与g 不能进行四则运算．例如41)()(2

2

-+-=+x x

x g x f

（4）复合函数

设有两函E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(，记E D x g x E })(|{*∈=．若,*

φ≠E 则对每一个

*

E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y ．这就确定了一个

定义在*

E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作

*

*

))(()),((E x x g f y E x x g f y ∈=∈=，或

称为函数f 和g 的复合函数．并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量．函数f 和g 的复合运算也可简单地写作g f ． 例1 函数),0[,)(+∞=∈=

=D u u u f y 与函数R E x x x g u =∈-==,1)(2

的复合函数为

,1))((1))((22

x x g f x x g f y -=-=

= 或 其定义域E E

⊂-=]1,1[*

.

复合函数也可由多个函数相继复合而成．例如，由三个函数=

=u u y ,sin v 与2

1x v -=(它们的定义

域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y=sin 21x -,x ∈[一1，1]． 注 当且仅当*E ∅≠()()∅≠E g D 即时，函数f 与g 才能进行复合．

例如，以()∈==u u u f y ,arcsin D =[]1,1-为外函数，()x g u =2

2x +=,x =∈E R 为内函数，就不能进行

复合．这是因为外函数的定义域D []1,1-=与内函数的值域()),2[∞=E g 不相交． （5）反函数

设函数()x f y =,D x ∈满足：对于值域()D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(，则按此对应法则得到一个定义在()D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作

1

-f

:()D D f →，x y 或 ()()D f y y f

x ∈=-,1

注1 函数f 有反函数，意味着f 是D 与()D f 之间的一个一一映射．我们称1

-f

为映射f 的逆映射，

它把集合()D f 映射到集合D ，即把()D f 中的每一个值()a f 对应到D 中唯一的一个值a ．这时称a 为逆映射1

-f

下()a f 的象，而()a f 则是a 在逆映射1

-f

下的原象．

注2 函数f 与1

-f 互为反函数．并有x x x f f

∈

≡-,))((1

，()()()D y y y f

f ∈≡

-,1

．

注3 在反函数1

-f

的表示式中，是以y 为自变量，x 为因变量．若按习惯仍用x 作为自变量的记号，y 作

为因变量的记号，则反函数可改写为 ()()D f x x f

y ∈=-,1

．

（6）初等函数

基本初等函数有以下六类:

常量函数 c y = (c 是常数); 幂函数 ();为实数αα

x y =

指数函数 x

a y =()1,0≠>a a ; 对数函数 );1,0(log

≠>=a a x y a

三角函数),cos sin x y x y ==， x y x y cot ,tan ==;

反三角函数x y a r c s i n

=，x y a r c c o s =，x y arctan = ，x arc y cot =. 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数．不是初等函数的函数，

称为非初等函数．如在狄利克雷函数和黎曼函数，都是非初等函数．

二、函数的特性

（1）有界函数

定义 2 设f 为定义在D 上的函数．若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有 M x f ≤)(，则称f 为D 上的有界函数．