柯西中值定理

§2 柯西中值定理和不等式极限

一柯西中值定理

定理(6.5) 设、满足

(i) 在区间上连续，

(ii) 在内可导

(iii) 不同时为零;

(iv)

则至少存在一点使得

柯西中值定理的几何意义

曲线由参数方程

给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，

则上存在一点 P处的切线平行于割线.。

注意曲线 AB在点处的切线的斜率为

，

而弦的斜率为

.

受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：

由于，

类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数

容易验证满足罗尔定理的条件且

根据罗尔定理，至少有一点使得，即

由此得

注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成

这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则

. 这恰恰是罗尔定理.

注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，.

三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性

1、利用其几何意义

要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。

可以用这种几何解释进行思考解题：

例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切

有。

证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格

朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以

＜，从而

＜

注意到，移项即得＜，

2、利用其有限增量公式

要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式

进行思考解题：

例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得

证：上式左端

作辅助函数

则上式

=，

=

，其中

3、作为函数的变形

要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上

（介于与

之间）

此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。

例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得

≤在上

成立，试证

证明：在[0，]上连续，故存在] 使得

==M

于是 M=≤A≤≤

。

故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有

=0, 所以=0, 。

利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性:

例 1 设函数在区间

上连续, 在

内可导, 则

,

使得

.

证 在Cauchy 中值定理中取 .

例2 设函数

在区间 上连续, 在

内可导, 且有

.

试证明:

.

2. 证明恒等式:

例3 证明: 对, 有 .

例4 设函数和可导且又 则 .

证明 .

例5 设对, 有

, 其中是正常数.

则函数

是常值函数. (证明

).

3. 证明不等式:

例6 证明不等式: 时, .

例7证明不等式: 对，有.

4. 证明方程根的存在性:

证明方程在内有实根.

例8证明方程在内有实根.

四、小结

本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

1°拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它

的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通

函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。

2°构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手

段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数

学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三

部分的题目仔细体会总结。

二不定式的极限

一. 型:

定理 6.6 (Hospital法则 ) 若函数和满足：

(i)

(ii) 在点的某空心邻域内而这可导，且；

(iii) 可为实数，也可为）

则

( 证 )

注意: 若将定理中的x 换成，只要相应地求证条件(ii)中的

邻域，也可以得到同样的结论。

例1

例2 .

例3 . ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 )

二. 型不定式极限:

定理 6.7 (Hospital法则 ) 若函数和满足：

(i)

(ii) 在点的某右邻域内二这可导，且；

(iii) 可为实数，也可为）

则

例5.

例6.

註: 关于当时的阶.

x=5:0.1:50; y1=log(x);

y2=x.^(1/2);

plot(x,y1,'b',x,y2,'m')

右图看出高于

clf, x=1:0.1:5;

y1=exp(x);

y2=x.^2;

plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘)

右图看出高于