第三节 二项式定理-高考状元之路
二项式定理一等奖完整ppt课件
在数学中的地位和作用
二项式定理是组合数学中的基本定理之一，它描述了两个向量的和的n次幂的展 开式。
在组合数学中，二项式定理被广泛应用于排列、组合、概率论等领域。同时，它 也是多项式定理的基础之一。
03
二项式定理的证明方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学归纳法
数学归纳法是一种证明二项式定理的有效方法。首先，我们需要证明当n=1时，二项式定理成立。然 后，假设当n=k时，二项式定理成立，再证明当n=k+1时，二项式定理也成立。通过这个递推关系， 我们可以得出结论：当n为任意正整数时，二项式定理都成立。
二项式系数的应用
举例说明二项式系数在解决实际问题中的应用，如概率计算、统计 学等。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和影响
重要的数学工具
二项式定理是数学中重要的工具 之一，在代数学、数论、组合数
学等学科中都有广泛的应用。
解决问题的关键
二项式定理可以解决一些经典的 数学问题，如组合问题、概率问 题等，为人们提供了重要的解题
思路和方法。
对其他学科的影响
二项式定理不仅在数学学科中有 重要的地位，还对其他学科如物 理学、工程学、计算机科学等产
生了深远的影响。
与其他数学分支的联系和相互渗透
01
与代数学的联系
二项式定理与代数学中的多项式理论密切相关，可以看作是多项式的一
种推广和应用。
02
与组合数学的相互渗透
二项式定理与组合数学有着密切的联系，它可以用来解决一些组合问题
数学归纳法的关键步骤是：第一步，证明基础情况（n=1）成立；第二步，假设归纳基础（n=k）成 立，并由此推断归纳步骤（n=k+1）成立。第三步，根据归纳步骤得出结论，证明二项式定理对所有 正整数n都成立。
人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含1 x5ຫໍສະໝຸດ 的项的系数．思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
【创新方案】（浙江专版）2021届高考数学一轮温习 第十章 第三节 二项式定理冲破热点题型 文(1)
第三节 二项式定理 高频考点 考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查要紧有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(2021·江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40(2)(2021·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[自主解答] (1)此二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－1)r 2r x －3r ＝C r 5·(－1)r ·2r ·x 10－5r .因为10－5r ＝0，因此r ＝2，因此常数项为T 3＝C 25·22＝40.(2)T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，假设T r ＋1是常数项，那么有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不知足条件；当r ＝2时，n ＝5. [答案] (1)C (2)B【互动探讨】假设本例(2)中的条件“n ∈N *”改成“n ≥3”，其他条件不变，那么展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n 3n －r xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )． 即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2，即有理项为T 1、T 3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．假设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，那么正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15解析：选C T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2， 当r ＝4时，n －3r2＝0，又n ∈N *，因此n ＝12.2．(2021·昆明模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的项为2x ·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .因此x 的系数为3.答案：3考点二 二项式系数或各项系数和[例2大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，假设13a ＝7b ，那么m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)假设C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，13·2m！m！·m！＝7·2m＋1！m！·m＋1！，因此13C m2m＝7C m2m＋1，∴∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经查验为原方程的解，选B. (2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256【方式规律】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，经常使用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)假设f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，假设a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，那么展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n . 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2．(2014·丽水模拟)假设(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，那么a 0＝1，令x ＝12， 则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.考点三二项式定理的应用[例3] (1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求的近似值．(精准到小数点后三位)[自主解答] (1)∵2n＋2·3n＋5n－a＝4·2n·3n＋5n－a＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n5＋C n n)＋5n－an52＋C n－1＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)＝(1＋8≈C08＋C18·＋C28·＋C38·≈.【方式规律】1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的大体思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判定．2．求近似值的大体方式利用二项式定理进行近似计算：当n不专门大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．证明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C1n8n－1＋…＋C n－1n·8＋C n n·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋…＋C n－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋64n＝64[9(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋n]，显然括号内是正整数，故原式能被64整除．(2)因为n∈N*，且n>2，因此3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋C n－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n －1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．————————————[课堂归纳——通法领会]——————————1个公式——二项展开式的通项公式通项公式要紧用于求二项式的特定项问题，在运历时，应明确以下几点：(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能倒置；(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要明白其中的四个，就能够够求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采纳“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采纳“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一样是不相同的，在具体求各项的系数时，一样先处置符号，对根式和指数的运算要细心，以防犯错．。
新课程2021高考数学一轮复习第十章第3讲二项式定理课件
1
PART ONE
基础知识过关
1．二项式定理
二项式定理
□ (a＋b)n＝ 01 C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn
(n∈N*)
二项展开式的 通项公式
□ □ Tr＋1＝ 02 Crnan－rbr，它表示第 03 r＋1 项
二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数 C0n，C1n，…，Cnn
(4)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n＝___4_____.
解析 (1＋3x)n 的展开式的通项为 Tr＋1＝Crn(3x)r，令 r＝2，得 T3＝9C2nx2. 由题意，得 9C2n＝54，解得 n＝4.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 二项展开式
角度 1 求二项展开式中的特定项或系数
2.若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 a＝___3_____.
解析 展开式的通项为 Tr＋1＝C7r(ax)r，因为 x5 与 x6 的系数相等，所以 C57a5＝C67a6，解得 a＝3.
3.(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是_1_6__2____， 系数为有理数的项的个数是___5_____.
3.求形如(a＋b＋c)n 的展开式中特定项的四步骤
1.(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－ 1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则 a7＝( )
A.9 B．36 C．84 D．243
答案 B 解析 令 t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9 的展开式中含有 t7 项，所以 a7＝C29(－1)2＝36.
高考数学复习 知识讲解 二项式定理(理)(提高)
高考数学复习 二项式定理 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
《状元之路》高考数学理新课标A一轮总复习课件 第3章 三角函数、解三角形-7
如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 CD 的长就是该
河段的宽度．在 Rt△BDC 中，
CD＝BC·sin 45°＝50( 6＋ 2)× 22＝50( 3＋1)(m)． 所以该河段的宽度为 50( 3＋1) m.
考点二
测量高度问题
【例 2】 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后，
∴AC＝AB＝8. 在 Rt△AOC 中，OC＝AC·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行41＝8(海里)．
2
答案：8
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
考点一测量距离问题源自【例 1】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 3 km
的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，
望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．
解析：如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进， CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点 B 作 BE⊥CD 于 E，则∠AEB＝ 30°，
＝sin 60°cos45°＋cos60°sin 45°
＝
23×
22＋12×
2 2
＝
6＋ 4
2 .
(2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，
所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.
由正弦定理，得 sin
∠ABACB＝sin
∠BCCAB，
则 BC＝ABs·isni3n01°05°＝50( 6＋ 2)(m)．
2 个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、 直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原 始数据)，少用间接求出的量．
2013《状元之路》高三数学总复习课件11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情分析
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理仍会与 实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现， 并综合排列组合知识成为能力型题目．从能力要 求上看，主要考查学生分析问题和解决问题的能 力及分类讨论的思想．
2．以实际问题为背景考查排列、组合，同时考查 分类讨论的思想及解决问题的能力．以选择题、 填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合 进行考查．
2．混合问题一般是先分类再分步．
3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更 直观、清楚，便于探索规律．
失误防范
应用两种原理解题：
(1)分清要完成的事情是什么？ (2) 分 清 完 成 该 事 情 是 分 类 完 成 还 是 分 步 完 成 ？ “类”间互相独立，“步”间互相联系；
答案：A
2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目 插入原节目单中，那么不同插法的种类为( )
解析：第一个节目有6种排法，第二个节目有7种 排法，
共6×7＝42(种)．
答案：A
3．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一 个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不 在本班监考，则安排监考的方法总数是( )
(3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．
随堂反馈
1．(2011·荷泽模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意
选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这 样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
解析：当公比为 2 时，等比数列可为 1,2,4；2,4,8.
D．8
当公比为 3 时，等比数列可为 1,3,9.
解后反思：运用分步计数原理时，需要确定分步 的标准．分步必须满足：完成一件事必须且只需 连续完成这几步，即各个步骤是相互依存的，各 个步骤都完成了，这件事才算完成，但要注意 “步”与“步”的连续性．
高二数学二项式定理3
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
n
①项： a n a n1b ankbk bn
②系数： C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a n k bk
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
C
k n
n k个(a b)中选a
③展开式：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N * )
C a b T ④二项展开式的通项:
k1
杨数nk辉学，家n南和k 宋数k时学期教杰育出家的
二项式定理
(a
b)n
C n0a n
C n1a n1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
(a
b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)k
1 x
)3
C
4 6
(2
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(2
x )(
1 x
)5
C
6 6
(
1 )6 x
2021-2022年高考数学 专题51 二项式定理常见的解题策略黄金解题模板
2021年高考数学专题51 二项式定理常见的解题策略黄金解题模板【高考地位】二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数解题模板：第一步首先求出二项展开式的通项；第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；第三步得出结论.例1. 展开式中第3项的二项式系数为（）A．6 B．-6 C．24 D．-24【答案】A【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为．【答案】【解析】试题分析：，所以由得系数为考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．【答案】【解析】试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.考点：二项式定理．【变式演练3】求的展开式中的系数.【答案】．考点：二项式定理．类型二二项式系数的性质与各项系数和使用情景：二项式系数的性质与各项系数和解题模板：第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；第三步得出结论.例2 【xx河北衡水模拟】若的展开式中的二项式系数和为，的系数为，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．【答案】14.考点：1、二项式定理的应用.类型三 二项式定理的应用使用情景：使用二项式定理处理整除问题解题模板：第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；第三步 得出结论.例3 .设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 【答案】D. 【解析】点评：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用． 【变式演练5】S ＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为________． 【答案】7. 【解析】考点：二项式定理． 【高考再现】1. 【xx课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.2．【xx课标3，理4】的展开式中33的系数为A．B．C．40 D．80【答案】C3.【xx浙江，13】已知多项式32=，则=________，=________．【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【xx山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.5.【xx年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A6. 【xx年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.7. 【xx高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理8 【xx高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理9. 【xx高考山东理数】若（a x2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.10.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【反馈练习】1．【xx广西桂梧高中联考】的展开式的第4项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.2. 【xx陕西西安长安区联考】若，则的展开式中常数项为A. 8B. 16C. 24D. 60【答案】C【解析】∵∴的通项公式为令，即∴二项式展开式中常数项是，故选C3. 【xx东北名校联考】若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．4．【xx陕西两校联考】的展开式中的系数是（）A. 56B. 84C. 112D. 168【答案】D【解析】根据和的展开式的通项公式可得，的系数为,故选D.5．【xx广西南宁摸底联考】的展开式中项的系数为（）A. 80B.C.D. 48【答案】B【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.6．【xx云南昆明一中摸底】二项式展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B7．【xx广西柳州摸底联考】的展开式中，的系数为（）A. 60B.C. 240D.【答案】C【解析】，选C.8．【江西省新余市xx届高三第二次模拟考试数学（理）试题】展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 .【答案】考点：二项式定理.9．【xx广西南宁八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（）A. 60B. 160C. 180D. 240【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D10．【xx陕西名校五校联考】的展开式中常数项为( )A. B. C. D. 25【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令; 令;故所求常数项为，故选C.11．【xx江西新余一中二模】在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B12．【xx四川德阳三校联考】已知,则___________. 【答案】【解析】含的项的系数为，故填.13. 【xx福建四校联考】在的二项展开式中，的项的系数是_______.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理, 的通项为，当时,即r=4时,可得.即项的系数为70.14.【xx黑龙江齐齐哈尔一模】在的展开式中，常数项是__________．【答案】【解析】第一个括号取，第二个括号为∴常数项是故答案为：15.【xx江西宜春六校联考】若，且，则的值为__________．【答案】116.【xx山西山大附中四调】，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.17.【xx辽宁凌源三校联考】在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，。
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
高考状元——【人教版】高考数学总复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》[3]
![高考状元——【人教版】高考数学总复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》[3]](https://img.taocdn.com/s3/m/1ebfffed524de518964b7d70.png)
(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的， 一定要注意顺序问题． 2．二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概 念， 前者只指 Cr 而后是字母外的部分， 前者只与 n 和 r 有关， n， 恒为正，后者还与字母的系数有关，可正可负根据n的奇偶性确定， 同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要 取决于a、b的系数．
第三节
二项式定理(理)
[主干知识梳理] 一、二项式定理 1．展开式
n 1 n－1 1 k n－k k n n (a＋b)n＝ C0 a ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C 所表示的 n n n nb
定理叫做二项式定理． 2．通项
n－k k Tk＋1＝ Ck a b 为第 k＋1 项． n
r r r r B [∵Tr＋1＝Cr (3 x ) ＝ 3 Cnx ， n 6 6 由已知条件 35C5 ＝ 3 Cn， n
)
即
6 C5 ＝ 3C n n，∴
n！ n！ ＝3× 5！（n－5）！ 6！（n－6）！
∴n＝7.]
4．设二项式 x－
a 6 3 ( a ＞ 0) 的展开式中 x 的系数为 A，常数项为 x
8－r
1 r 2 x ＝
414 C8
2
4－r＝0 时，r＝4，所以展开式中的常数项为
2
35 ＝ . 8 答案 B
a x＋ (2)(2013· 安徽高考)若 3 8的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 x a＝________． a 1 x＋ 8 r r 8－r r [听课记录] ∵ 3 的通项为 C8x a x－3 x r r r r 8－r r r ＝C8a x x－ ＝C8a x8－r－ ， 3 3
高考数学第一轮知识点总复习 第三节 二项式定理
举一反三 2. （2008·天津） x 2的x 二5 项展开式中， 的系x数2 是——（用数字作答）.
解析:
Tr 1
C5r
x5r
2 x
r
， 所2以rr=C25r .x5
3 2
r
所以x2的系数为 22 C52 40
答案: 40
题型三 求展开式中的特定项
【例3】(12分)在二项式 列.
3
C，2r0得1 4r-1=r+1，即r=
.因为2 项数r+2必为整数 3
而r+2=8 是分数，所以此题无解.
3
错解分析 以上解答错误的原因在于，由 m1 可m推2 出 C，nm1 但 Cnm2
其逆命题不成立，即
C m1 n
是Cnm2
m的1 必m要2 不充分的条件，错解中
用必要条件当作充要条件，因此做出错误的结论.
a5 a4 a3 a2 a1 31 答案: 31
易错警示
【例】设 a 的b2展0 开项中第4r项的系数与第r+2项的系数相等，求r的值.
错解 设 a 的b展20 开式的通项是 Tk1 ，C2k则0a2第0k4brk项的系数为
C240r，1 第r+2项的系数为 C. 2r01
由题意可知: C240r=1
解析: 设第r+1项含 x的2 项，
∵
Tr1 C6r
2
x
6r
1 x
，r
1 r C6r 26r x3r
∴3-r=2,解得r=1，
∴ T2 C61 25 x2 192x2
答案: D
题型四 求和问题
【答）例4. 】 x2 x的22 展6 开式中常数项为——，各项系数之和为——（用数字作
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第三节 二项式定理
预习设计 基础备考
知识梳理
1．二项式定理
=+n b a )(
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；=
+1r T
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.1+n
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为
(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．
(4)二项式的系数从 ,,1
n C 一直到,1-n n C
3．二项式系数的性质
(1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=
(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式
系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：
n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
=+++=+++ 42531
n n n n n C C C C c α
典题热身
1．在62)1(x x
-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D
答案：C
2．已知n
ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D
答案：B
3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )
20.-A 15.-B 15.c 20.D
答案：C
4．（2011．山东高考）若6)(x a x -
展开式的常数项为60，则常数a 的值为 答案：4
5．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,2
5则=a （用数字作答）． 答案：2
课堂设计 方法备考
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例l 】已知在n x x )21(33-
的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含2x 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项，
题型二 求三项展开式中的指定项
【例2】求8)11(x x +
+展开式中的常数项，
题型三 求展开式中二项式系数或系数最大项
【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n
x )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n x
x 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，
题型四 求展开式中各项或部分项系数和
【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：
;)1(721a a a +++
;)2(71a as as a +++
;)3(8420a a a a +++
.||||||||)4(7210a a a a ++++
题型五 应用二项式定理证明整除或求余数问题
【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；
(2)求27
27227127C C C s +++= 除以9的余数． 技法巧点
(1)通项公式最常用，是解题的基础．
(2)对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、
配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．
(3)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数
及项数的整数性．
(4)性质1是组合数公式r n n
r n C c -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．
(5)因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开
式各项系数和的一种重要方法．
(6)二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及
二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用， 失误防范
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格
地区别开来．
2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．
3．通项公式是第1+r 项而不是第r 项．
随堂反馈
1．(2010．陕西高考))()(5R x x
a x ∈+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( ) 1.-A 2
1.B 1.C
2.D 答案：D
s x x )1()21.(233-+的展开式中x 的系数是 ( )
4.-A 2.-B 2.c 4.D
答案：C
3．(2011．南昌模拟)若n n n n n x C x C x C +++ 221能被7整除，则x ，n 的值可能为( )
3,4.==n x A 4,4.==n x B 4,5.==n x c 5,6.==n x D
答案：C
4．(2010．安徽高考)6)(x y
y x
-的展开式中，3x 的系数等于
答案：15（只写26C 或46c 也可）
5．若9)(x
a x -的展开式中3x 的系数是-84，则=a 答案：1
高效作业 技能备考
一、选择题
10463)1
1()1.(1x x ++展开式中的常数项为 ( )
1.A 46.B 4245.C 4246.D
答案：D
2．若n x
x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 10.A 20.B 30.C 120.D
答案：B
3．在*)()1(N n x n ∈+的二项展开式中，若只有5
x 的系数最大，则=n ( ) 8.A 9.B 10.C 11.D
答案：C
4．（2011．辽宁实验中学月考）已知n x x 23)3(+
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )
4.A 3.B 6.C 7.D
答案：B
5．若π)1
3(x x -的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
540.-A 162.-B 162.C 540.D
答案：A
6．若n 为奇数，则7...77712211⋅++⋅+⋅+---n n n n n n C C C π被9除所得余数为（ ）
8.A 7.B 2.C 0.D
答案：B
二、填空题
7．(2011．南通市九校联考)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+
x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos 答案：22±
8．(2010．辽宁高考)62)1)(1(x x x x -
++的展开式中的常数项为 答案：5-
9．(2011．浙江高考)设二项式)0()(>-
a x a x s 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若,4A B =
则a 的值是
答案：2
三、解答题
10．已知n a )1(2+展开式中各项系数之和等于52)1516(x
x +的展开式的常数项，而n a )1(2+的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．
11．若.)23(1010221052x a x a x a a x x ++++=+-
(1)求,.2a
(2)求;...1021a a a +++
(3)求.)()(29753121086420a a a a a a a a a a a ++++-+++++
12．(2011．郑州质检)设数列}{n a 是等比数列，.3321m m C a +=,21-m A 公比q 是42
)41(x x +的展开式中的第二项．
(1)用n 、x 表示通项n a 与前n 项和;n s
(2)若,...2211n H n n n n S C s C s C A +++=用n 、x 表示⋅n A。