第三节 二项式定理-高考状元之路

第三节 二项式定理
预习设计 基础备考
知识梳理
1．二项式定理
=+n b a )(
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；=
+1r T
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.1+n
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为
(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．
(4)二项式的系数从 ,,1
n C 一直到,1-n n C
3．二项式系数的性质
(1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=
(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式
系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：
n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
=+++=+++ 42531
n n n n n C C C C c α
典题热身
1．在62)1(x x
-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D
答案：C
2．已知n
ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D
答案：B
3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )
20.-A 15.-B 15.c 20.D
答案：C
4．（2011．山东高考）若6)(x a x -
展开式的常数项为60，则常数a 的值为 答案：4
5．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,2
5则=a （用数字作答）． 答案：2
课堂设计 方法备考
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例l 】已知在n x x )21(33-
的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含2x 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项，
题型二 求三项展开式中的指定项
【例2】求8)11(x x +
+展开式中的常数项，
题型三 求展开式中二项式系数或系数最大项
【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n
x )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n x
x 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，
题型四 求展开式中各项或部分项系数和
【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：
;)1(721a a a +++
;)2(71a as as a +++
;)3(8420a a a a +++
.||||||||)4(7210a a a a ++++
题型五 应用二项式定理证明整除或求余数问题
【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；
(2)求27
27227127C C C s +++= 除以9的余数． 技法巧点
(1)通项公式最常用，是解题的基础．
(2)对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、
配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．
(3)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数
及项数的整数性．
(4)性质1是组合数公式r n n
r n C c -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．
(5)因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开
式各项系数和的一种重要方法．
(6)二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及
二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用， 失误防范
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格
地区别开来．
2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．
3．通项公式是第1+r 项而不是第r 项．
随堂反馈
1．(2010．陕西高考))()(5R x x
a x ∈+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( ) 1.-A 2
1.B 1.C
2.D 答案：D
s x x )1()21.(233-+的展开式中x 的系数是 ( )
4.-A 2.-B 2.c 4.D
答案：C
3．(2011．南昌模拟)若n n n n n x C x C x C +++ 221能被7整除，则x ，n 的值可能为( )
3,4.==n x A 4,4.==n x B 4,5.==n x c 5,6.==n x D
答案：C
4．(2010．安徽高考)6)(x y
y x
-的展开式中，3x 的系数等于
答案：15（只写26C 或46c 也可）
5．若9)(x
a x -的展开式中3x 的系数是-84，则=a 答案：1
高效作业 技能备考
一、选择题
10463)1
1()1.(1x x ++展开式中的常数项为 ( )
1.A 46.B 4245.C 4246.D
答案：D
2．若n x
x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 10.A 20.B 30.C 120.D
答案：B
3．在*)()1(N n x n ∈+的二项展开式中，若只有5
x 的系数最大，则=n ( ) 8.A 9.B 10.C 11.D
答案：C
4．（2011．辽宁实验中学月考）已知n x x 23)3(+
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )
4.A 3.B 6.C 7.D
答案：B
5．若π)1
3(x x -的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
540.-A 162.-B 162.C 540.D
答案：A
6．若n 为奇数，则7...77712211⋅++⋅+⋅+---n n n n n n C C C π被9除所得余数为（ ）
8.A 7.B 2.C 0.D
答案：B
二、填空题
7．(2011．南通市九校联考)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+
x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos 答案：22±
8．(2010．辽宁高考)62)1)(1(x x x x -
++的展开式中的常数项为 答案：5-
9．(2011．浙江高考)设二项式)0()(>-
a x a x s 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若,4A B =
则a 的值是
答案：2
三、解答题
10．已知n a )1(2+展开式中各项系数之和等于52)1516(x
x +的展开式的常数项，而n a )1(2+的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．
11．若.)23(1010221052x a x a x a a x x ++++=+-
(1)求,.2a
(2)求;...1021a a a +++
(3)求.)()(29753121086420a a a a a a a a a a a ++++-+++++
12．(2011．郑州质检)设数列}{n a 是等比数列，.3321m m C a +=,21-m A 公比q 是42
)41(x x +的展开式中的第二项．
(1)用n 、x 表示通项n a 与前n 项和;n s
(2)若,...2211n H n n n n S C s C s C A +++=用n 、x 表示⋅n A。