人教版小学数学五年级上册刘徽的“出入相补”原理
数学视野：经典算法割圆术
数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
刘徽阳马术的直观证明
刘徽阳马术的直观理解
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
（如图1）
图1
刘徽对此的证明运用了出入相补原理和无穷分割求和原理，具体如下：把阳马和鳖臑沿各边的中点做进一步的分割（如图2），这样就把阳马分成了2个小阳马，1个小立方体和2个小堑堵；把鳖臑分成了2个小鳖臑和2个小堑堵。
先把2个小阳马和2个小鳖臑放一边，则各自剩下的部分体积比显然为2：1。
再将放一边的小阳马和小鳖臑做同样的分割，则可得到更小的阳马、立方体、堑堵和鳖臑，把4个小小阳马和4个小小鳖臑放一边，各自剩下的部分体积比仍然为2：1。
此过程可以无限的做下去，直到剩余部分体积为0。
而整个
过程中各自剩下部分体积比总为2：1。
这样刘徽就证明了“不易之率”。
图2
但刘徽出入相补和无穷分割的方法有点难懂，其实，阳马术有一个更直观的理解，方法如下：在阳马的底面再做一条对角分割线，即把阳马分成了三棱锥E-ABC和三棱锥E-BCD两块（如图3）。
再把整个堑堵进行空间旋转得到图4，对比图3和图4，显然有三棱锥E-ABC ≌三棱锥E-BDF，则体积相等。
最后把阳马单独拿出来观察（如图5），显然三棱锥E-ABC与三棱锥E-BCD对称，则两者体积相等。
综上，三块三棱锥体积都相等，则得到刘徽的“不易之率”。
图3 图4 图5。
人教版数学五年级上册《期末检测题》带答案解析
12.小周家到学校有3.6km，他步行每小时行4.2km，0.8小时能从家走到学校.（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】根据路程÷速度＝时间，用小周家到学校的路程除以他步行的速度，求出小周步行需要的时间，再把它和0.8比较大小即可.
【详解】3.6÷4.2≈0.857
【详解】4.5÷0.15＝450÷15；
3.5÷2.5×10
＝1.4÷10
＝14
【点睛】熟记被除数、除数和商的关系、商不变的性质是解答本题的关键.
5.2.3÷0.33的商是一个（ ）小数，用简便形式表示是（ ），商保留到十分位是（ ）.
【答案】①.循环②. ③.7.0
【解析】
【分析】2.3÷0.33＝6.9696…，商是一个循环小数；
C.足球比赛通过掷硬币选正、反面来确定哪队先开球很公平
D.要把7根彩带连成一根长彩带，需要打7个结.
21.下边除法竖式中的“5”表示（ ）.
A.5个一B.5个十分之一C.5个百分之一D.5个千分之一
22.下面每组中的两个式子，结果不一定相同的是（ ）.
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
四、计算题.（共28分）
11.工人们要在一条长1600米的公路一侧每隔40米安装一盏路灯（两端都安装），一共需要安装（ ）盏路灯.
【答案】41
【解析】
【分析】根据题意可知，属于两端都植的情况，棵数＝间隔数＋1，用1600÷40即可求出间隔数，再加1即可.
【详解】1600÷40＋1
＝40＋1
＝41（盏）
【点睛】明确植树问题中，两端都植的特点（棵数＝间隔数＋1）是解答本题的关键.
出入相补原理
出入相补原理我国古代数学历史悠久，内容丰富，有着许许多多的重大成就，不胜枚举，出入相补原理就是中国古代数学，特别是几何学中最基本的原理之一，突出地反映了我国古代数学的博大精深。
出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。
若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
出入相补的名字出自《九章算术注》，三国时期的数学家刘徽在他的《九章算术注》中对勾股定理进行阐述的时候说：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，”出入相补由此得名。
在我国古代许多重要的数学巨著中都涉及出入相补，而出入相补原理的应用最早可以追溯到先秦时期。
出入相补原理的应用最具有普遍意义的就是应用它能够得出三角形的面积等于二分之一倍的底乘高这一基本公式，人们还由此定义出任意多角形的面积。
通过这些可见这一原理应用的广泛性，并且它与人们日常生活联系得也很紧密。
在先秦社会体制由奴隶制社会向封建社会转型的时期，思想领域出现了诸子百家各自著书立说，造就了中国历史上著名的百家齐鸣的辉煌，先秦诸子的世界观、人生观和哲学深深地扎根在了中华民族的土地上，直到今天，他们仍然左右着炎黄子孙的思想。
那时出入相补原理在许多名家的著作里都有影子，可以说出入相补原理的雏形就在诸子百家的字里行间诞生了。
割圆术也是应用了出入相补原理才得出的。
在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆的面积。
而应用了出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。
在这次尝试中，出入相补原理的应用价值得到了淋漓尽致的体现。
除了刘徽，我国古代还有一位数学家对应用出入相补原理解决问题有着突出的成就，他就是赵爽。
赵爽是我国东汉末年至三国时期的人，他的主要贡献是约在公元3世纪深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。
五上数学6单元作业单
订正栏第六单元练习一基础演练场班级姓名学号____一、列竖式计算或列方程1.46×3=8.4÷3=12x+2.4=24二、填空1.在一个底是8cm、高是6cm 的平行四边形的左边沿高剪下一个三角形，再平移到右边，就拼成一个长方形。
这个长方形的面积和原来平行四边形的面积（），长方形的长是（）cm，宽是（）cm，面积是（）c ㎡，所以原来平行四边形的面积是（)c ㎡。
2.平行四边形的面积是3.6㎡，涂色三角形的面积是（）㎡。
3.一个面积是36cm²的梯形，如果上底增加5cm，下底减少5cm，高不变，那么得到的新梯形的面积是（）cm²。
二、选择1.如下图所示，大长方形的长均是40cm，宽均是30cm，A、B 为大长方形内部或边上的任意一点，有（）个图形的涂色部分的面积是600c ㎡A.2B.3C.4D.52.一个三角形的底和面积与一个平行四边形的底和面积分别相等。
平行四边形的高是10cm，三角形的高是（)cm。
A.20B.10C.5D.无法确定3.一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28c ㎡，这个三角形的面积是（)c㎡A.14B.28C.42D.56订正栏第六单元练习一能力提升站班级姓名学号____一、简算2.5×4.9×48.6×99+8.63.6×0.4+6.4×0.4二、计算下面各图形的面积三、生活应用题1.计算下面两种机动车停车位每个车位的占地面积。
（单位：m）2.废品收购站的张叔叔收购了很多啤酒瓶、并把啤酒瓶堆成了下图的形状。
这堆啤酒瓶一共有多少个？（列式计算）订正栏第六单元练习二基础演练场班级姓名学号____一、列竖式计算或列方程1.15×3.2=28÷16=0.3×7+4x=12.5二、填空1.下图这块平行四边形玻璃的高是（)dm。
2.如图，正方形的周长是28cm，平行四边形（涂色部分）的面积是（)c ㎡。
人教版数学五年级上册《期末测试卷》附答案
（2）这个游戏公平吗？（ ）（填“公平”或“不公平）。
（3）如果想让丽丽获胜的可能性比较大可以把上图中的数字5改成（ ）。
三、选择。（20分）
9.下列算式中与96÷0.03结果相等的式子是（ ）。
A.9.6÷0.003B.0.96÷0.003C.9600÷30D.960÷3
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※线下场馆国内唯一
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A. 40B. 42C. 36D. 34
16.一根木头长20米,要把它锯成5段,每锯一次需用3分钟,锯完一共要用（ ）分钟。
A. 15B. 12C. 18D. 9
17.两城相距480km,甲、乙两车同时从两地相向而行,经过4小时相遇,甲车每小时行80km,乙车每小时行（ ）km。
A. 120B. 40C. 80D. 100
（1）请仔细观察里程表中的数字规律,A＝（ ）。
（2）高铁G字头票价的定价标准为：一等座约为0.74元/人千米,二等座约为0.46元/人千米。来参加活动的聪聪的爸爸从郑州东出发,买了一张票价为377.5元的二等座车票,你认为他买的是郑州东到哪个城市的火车票？
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料勾股定理的证明和出入相补原理出入相补原理是我国著名数学家吴文俊先生提出的，他认为这个原理“就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移到他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此”．我们教材中介绍的勾股定理的证明就用到了出入相补原理．下面我们再介绍刘徽的一种证明勾股定理的方法：如下图，正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，在BF上取一点E，使AE=a连结DE、GE，将△ADE移至△CDH，将△EFG 移至△HIG，由此就可以证明勾股定理，你试一试吧!20中学数学教学2020 年第1期勾股定理证明的探讨与教学思考安徽省合肥市第四十五中学李光武孔云( :230001勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:①利用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形,拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法;②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯形(图3是1876年总统Garfield的证明拼图法.教材选用这几种证明方法,都是利用几个简单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角形,拼成一个学生比较熟悉,而且它们的面积也是很容易求解的一种几何图形.够珞图1图2图3然后,教材给出学生比较熟悉的证明方法——面积法,即先算出整个图形的面积,再算出各个部分的图形面积,利用图形分割前后的面积相等,构成一个等式,最后经过整式的化简、整理o,c9c’o'070?o_c'coc,t70’o’o’o’o,o’_。
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小学数学教材中的数学史――数学家刘徽
小学数学教材中的数学史――数学家刘徽【摘要】刘徽的数学成绩在中国乃至世界数学史上都产生了深远阻碍，人教版小学数学教材别离介绍了刘徽在小数、面积计算、圆周率计算和正负数表示方面的成绩，文章对以上内容作了详细介绍，同时还介绍了刘徽的其他数学成绩，为小学数学教师进一步了解刘徽的数学成绩提供帮忙.中国论文网 /9/【关键词】刘徽；小数；割圆术；负数；阳马术刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上都产生了深远影响.他一生取得了许多数学成就，尤其是他在几何、分数、重差术等方面的研究对数学发展具有深刻的意义.基于刘徽对数学发展所做的重大贡献，人教版小学数学教材分别在四年级下册第33页“小数的意义和性质”部分介绍了刘徽对小数发展的贡献（图1）；在五年级上册“梯形的面积”部分介绍了刘徽的“出入相补”原理（图2）；在六年级上册“圆的面积”部分介�B了刘徽的“割圆术”（图3）；在六年级下册“负数”部份介绍了刘徽对负数进展的奉献（图4）.其内容之多仅次于《九章算术》，因此，为了让小学一线数学教师能够更详细地了解刘徽的数学成绩，并将其在教学中进行渗透，以下将结合小学数学教材进一步详细介绍刘徽的数学成绩.一、徽数“徽数”也就是我们今天的小数.公元3世纪左右，刘徽在注解《九章算术》时，我国的长度单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的单位，刘徽在研究中遇到忽以下的数，他没有继续命名，而是创造了十进小数，刘徽称作“徽数”，他在《九章算术注》的方田章圆田术注、少广章开方术注和少广章开立圆术注中分别用到了十进小数.这是世界上对小数的最早认识.[1]二、出入相补原理出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置它处，面积不变.即若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而，图形移置前后各面积间的和、差有简单的相等关系.立体的情形也是这样.刘徽在《海岛算经》的“测望术”中使用这一原理，历史上这一原理至迟在战国时代就已经被广泛认识和应用了.[2]今天的小学数学教材利用出入相补原理进行三角形、梯形等平面图形面积的推导.三、割圆术割圆术是刘徽为《九章算术》方田章“圆田术”作注时引入的.《九章算术》提出了圆田术：半周半径相乘得积步.这就是圆面积公式：其中S，L，r分别是圆面积、周长和半径.在刘徽之前人们用圆内接正六边形的周长代替圆周长.为了证明这一公式，刘徽提出了割圆术，刘徽从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍（图5），并计算逐次得到的正多边形的周长和面积.刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而，三之，得十二觚之幂.若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而，六之，则得二十四觚之幂.割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”也就是说，当分割的次数无限增加时，则存在圆内接正多边形面积的极限，此极限就是圆面积，即刘徽计算到了圆内接正192边形，求得圆周率的近似值.他自己也认为“此率尚微少”.[3]南北朝时期的祖冲之算出了圆周率数值的上下限：592 6<π< 592 7一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术.事实上，如果按刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正24576边形，恰好可以得到祖冲之的结果.[4]四、负数负数一般定义为小于零的数.中国古代没有负数一词，但有“负”（亦作负算）.目前国内外一致公认最早的负数记法出现于中国的《九章算术》.《九章算术》“正负术”中给出正确的负数运算法则，公元263年（魏景元四年）刘徽的《九章算术注》把正与负看成是相对存在的数的两种情况，刘徽指出“正算赤，负算黑.否则以邪正为异”.说明负数可以用黑色算筹或者以斜画的筹表示，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法.[3，5]五、其他成就（一）阳马术《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一，即（二）球体积计算刘徽作球的外切立方体，再在立方体内作两个与球半径相同的互相垂直的圆柱，刘徽称这两个圆柱的公共部分为“牟合方盖”（图7）.他指出用水平面去截球和“牟合方盖”所得的面积比为π∶4，因此，球和“牟合方盖”的体积比也为π∶4，只要能够求出“牟合方盖”的体积即可取得球的体积.[8]但是，刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积.并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖��原理“缘幂势既同，那么积不容异”，[9]即两个等高立体若是在所有等高处的水平截面积相同，那么两个立体的体积相同.（三）重差术刘徽在《海岛算经》中借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”计算山上的松高，这是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比例和重差测量的演化历程.[3] 【。
五年级数学上册拓展. 出入相补法-割补法求图形面积
平行四边形的面积= 底
×高=== Nhomakorabea梯形的面积（= 上底+下底） ×（高÷2）
=
=
=
长方形的面积= 长 × 宽
梯形的面积（= 上底+下底） ×（高÷2）
梯形的面积=（上底+下底）×高➗2
出入相补原理
出入相补原理就 是把一个图形分割、移 补，而面积保持不变， 来计算它的面积。
世界十大数学家之 一、被称作“中国 数学史上的牛顿” 的山东人刘徽
割补法 倍拼法 倍拼法
用割补法把三角形转化成长方形或平行四边形，试一试。
= =
=
= = =
长方形的面积 = 长 × 宽 平行四边形的面积 = 底 × 高
三角形的面积 = 底 ×（高÷2） 三角形的 面积 = 底 ×（高÷2）
倍拼法
割补法
三角形的面积=底×高÷2
三角形的面积=底×（高÷2）
三角形的面积=底×高÷2
五年级上册数学6.3梯形的面积(共19张PPT)
b
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程 无论哪种方法，都是运用转化的方法，把梯形转化成学过的 图形，推导其面积公式。
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点2: 运用公式解决实际问题 我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形(如下图)，求它的面积。
S＝(a＋b)h÷2 ＝(36＋120)×135÷2 ＝156×135÷2 ＝10530(m²)
答：它的面积是10530 m²。
知识梳理 知识点2: 运用公式解决实际问题
小学数学 5年级上册 RJ版
5层
(顶层根数＋底层根数)×层数÷2
10个 (顶层根数＋底层根数)×层数÷2 ＝10×5÷2 ＝25(个)
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易错点睛
1.寻找合适的条件，求出下图中涂色梯形的面积。(单位：cm)
S＝(a＋b)h÷2 ＝(5.2＋6.6)×5.8÷2 ＝34.22(dm2)
小学数学 5年级上册 RJ版
分层练习 （基础练习）
2.如图，汽车的前挡风玻璃近似是一个梯形。这块玻璃的面积是多少 平方厘米？（单位：cm） S＝(a＋b)h÷2 ＝(100＋132)×55÷2 ＝6380(cm2) 答：这块玻璃的面积是6380 cm2。 合理地运用公式能帮我们解
6 多边形的面积
第3讲 梯形的面积
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知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程
上底
下底
高
转化
下底
上底
平行四边形的面积＝底×高
梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程
刘徽原理刘徽
刘徽原理刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。
可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
小学数学课如何渗透思政教育范文
小学数学课如何渗透思政教育范文教师的一举一动，对学生就是一种无形的教育。
作为一名数学教师，如何在数学教学中渗透学生的思想政治教育，培养学生的优秀品质呢？1、数学的教学过程既是说理、训练的过程，学生不仅可以从知识中受到教育，而且可以从教师的教学态度、工作作风和思想情感中潜移默化地受到思想道德教育，在教书的同时达到育人的效果。
可见，教师自身的形象和教师体现出来的一种精神对学生的影响是巨大的，也是直接的。
在实际教学中，教师的板书设计、语言的表达、教师的仪表等都可以无形中给学生美的感染，从而陶冶学生的情操。
例如：为了上好一堂数学课，老师做了大量的准备，采取了灵活多样的教学手段，这样学生不仅学得很愉快，而且在心里还会产生一种对教师的敬佩之情，并从老师身上体会到一种责任感，这样对以后的学习、工作都有巨大的推动作用。
2、充分挖掘教材中德育素材。
在数学教材中，大部分思想教育内容并不占明显的地位，这就需要教师在实际教学中认真钻研教材，充分发掘教材中潜在的德育因素，努力促进数学知识教育与德育教育的有机结合，寓德育教育与教育教学活动的始终，做到既教书又育人的目的。
例如：在学习平移时，让学生感受到平移后图案的美丽，对学生进行审美教育。
又如：在学习圆的周长时，向学生讲述我国古代科学家祖冲之是世界上第一个将圆周率算到小数点后面第七位的人。
这比西方国家要早几百年。
通过这些使学生了解我国古代科学技术的发展水平，激发学生的民族自尊心和自豪感，从而转化为为祖国的建设事业而刻苦学习的责任感和自觉性。
3、我国数学研究的历史源远流长，并有过许多辉煌的成就，通过对我国古今数学成就的介绍，有利于培养学生的民族自尊心和自豪感。
翻开数学史册，是我们祖先最早引进正负数的概念，最先发现数学方程的解法，最早提出并证明了勾股定理，最精确求得圆周率……自新中国成立以来，在党的正确领导和关怀下，数学界人才辈出，我国数学研究取得了举世瞩目的成就，在数论、方程、拓扑、微分、几何等领域都有显著的成果。
2021-2022学年浙江省温州市瑞安市人教版五年级上册期末学业水平适应性测试数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年浙江省温州市瑞安市人教版五年级上册期末学业水平适应性测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下面与6.5×80计算结果相同的算式是（）。
A．0.65×8B．6.5×8C．65×8D．65×802．袋子中有5张10元和1张50元纸币，从袋子中任意摸出两张，下面说法正确的是（）。
A．总钱数—定是60元B．总钱数可能是20元C．总钱数不可能是60元D．总钱数可能是100元3．x＝6是下面（）方程的解。
A．3x－3＝6B．4x＋4＝20C．8－x＝2＋x D．3÷x＝0.5 4．欢欢从A点出发，如图（每个小方格的边长是100m），往正东方向走200m再往正北走200m到达B点。
如果A点所在的位置是（3，2），那么，B点所在的位置用数对表示是（）。
A．（1，0）B．（1，4）C．（5，4）D．（5，0）5．已知1÷A＝0.09，2÷A＝0.18，3÷A＝0.27，4÷A＝0.36，那么（）÷A＝0.63。
A．8B．7C．6D．56．一块平行四边形草坪的面积是240m2，它的底和高分别扩大到原来的2倍，扩大后草坪的面积是（）m2。
A．480B．720C．960D．12007．如图方格中，每个小方格的面积表示1cm2，叶子的面积约是（）cm2。
A．12B．16C．20D．288．下面式子中的a，大于0且小于1，则得数最大的是（）。
A．a÷a B．1÷a C．1－a D．a29．从瑞安到杭州全程350千米。
爸爸开车从瑞安出发2小时共行驶150千米到达服务区，休息0.2小时后继续出发，剩下的路程平均速度为80千米/时，要计算“还需几个小时到达杭州？”需要的值息是（）。
挖掘数学阅读价值，提升学生核心素养——以人教版教材《你知道吗？》栏目为例
《你知道吗？》是人教版教材特意开辟的栏目，具有极高的阅读价值，是培育学生核心素养的重要载体。
但在当前小学数学教学中，不少教师忽略了该栏目的教学价值，局限于引导学生理解浅显的知识点，没有真正发挥该栏目的教学功能。
为此，我进行了相关研究，期望能合理利用该栏目，促进学生掌握知识、形成方法、体验价值、提升素养。
一、深研教材，，挖掘数学阅读价值《你知道吗？》栏目选编丰富的阅读材料，从各个方面展示中国数学教育文化的魅力。
该栏目呈现出以下几个特点，具有以下教学价值：1.补充丰富的数学知识，呈现数学的人文价值。
知识的产生、发展等数学史有助于学生了解数学活动的“原过程”，厚植数学文化底蕴。
《你知道吗？》栏目编排了不少数学史料。
例如，二年级上册第86页介绍了我国两千多年前就出现的乘法口诀“九九歌”名字的由来及发展过程，同时呈现了刻在竹简上的乘法口诀，能让学生了解中华民族的数学教育及历史文化，从而激起他们的民族自豪感和学好数学的信心。
2.蕴含常见的数学思维，体现数学的理性价值。
数学特有的理性精神激发和促进人类思维的发展。
《你知道吗？》栏目多数内容背后都蕴含着数学思维、数学精神，有助于促进学生锻炼思维、积淀素养。
例如，五年级上册第94页介绍了我国古代数学家刘徽的“出入相补”原理，学生通过自主阅读、思考、交流，尝试运用这一原理推导出三角形和梯形的面积计算公式。
这一内容体现了数学思考的重要意义，也彰显了数学思维的哲学内涵。
3.具有鲜明的生活元素，凸显数学的创造价值。
数学来源于实际生活，服务于现实生活。
《你知道吗？》栏目引入生活化的内容，与学生生活实际相对应，不仅能使学生体会到生活中充满了数学，还能打破思维能力不足的限制，凸显数学文化的创造价值。
例如，六年级上册第49页介绍了在实际生活中广泛存在的黄金比。
学生通过阅读该材料，可以拓宽知识面，体会生活中处处有数学。
4.注重知识的迁移运用，彰显数学的应用价值。
数学知识的学习需要学生自主发现、理解、建构，并迁移运用到生活中解决实际问题。
趣味数学130：出入相补原理
出入相补原理人教版小学数学五年级上册第96页“你知道吗？”谈到了我国古代数学家刘徽所首创的“出入相补原理”，并且给出了两个实例。
教参在前面“三角形的面积”和“梯形的面积”的教学建议中，对此已经有所涉及，因此，这部分教学内容究竟是分散提前，还是保持原状，要根据学生的基础情况灵活处理。
出入相补原理是把一个陌生的或者复杂的图形，经过分割、移补，变成熟悉的简单的图形，由于在分割、移补的过程中，变化的只是图形的形状、位置和组成方式，图形的面积并没有改变，所以，最后得到的图形的面积仍然与原来图形的面积相等，而后者可以用已知的方法比较方便地计算出来，这就是出入相补原理的本质特征。
出入相补原理蕴含了转化的思想方法，是一种典型的重要的数学思考。
出入相补原理在我国数学的发展史上产生过重大影响。
以勾股定理的证明为例，三国时期吴国的赵爽在出入相补原理的基础上，创造了“演段算法”，利用“弦图”证明了勾股定理。
到了清代，华蘅芳更是把“演段算法”发展到极致，利用22幅“青朱出入图”对勾股定理进行了别开生面的证明，令人对这种具有中国特色的“演段算法”刮目相看。
用出入相补原理解决求平面图形面积的问题，可以活跃学生的思路，提高思维的灵活性，使学生在潜移默化中掌握转化的思想方法。
为了加强这方面的教育，可以借此机会设计更多的问题供学生思考。
如，1、怎样用与课本不同的方法，把一个平行四边形变成长方形？2、怎样把一个三角形变成平行四边形？3、怎样把一个梯形变成长方形？过去在多边形面积的传统教学中，往往过分侧重于让学生牢记公式进行计算，使数学仅仅停留在工具的层面上，而不大重视数学的基础作用和数学对思维方法的要求，至于数学的文化属性更是无从体现。
随着时代的进步和教育教学改革的发展，人们越来越认识到这种状况必须改变。
多边形面积的教学，为教学思想的转变和升华提供了一个大好机会，一定不要错过。
学生第二小组演示文稿2
青朱出入图
只要把图中朱方的I移至I′，青方的II移至II′，III移至 III′，则 刚好拼好一个以弦为边长的正方形.由此便可证得.
我国数学家华罗庚曾经建议，要 探知其他星球上有没有“人”，我 们可以发射青朱出入图，如果他们 是“文明人”，必定认识这种“语 言”，
勾股定理的验证
出入相补法
刘徽（生于公元三世纪） 三国魏晋时代人。 魏景元四年（即 263 年）为 古籍《九章算术》作注释。 在注作中，提出以「出入相 补」的原理來证明「勾股定 理」。后人称该图为「青朱 出入图」。
青朱出入图
刘徽的《青朱出入图》证法
“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相 补，各从其类，因就其余不动也，合成弦 方之幂．开方除之，即弦也．
出入相补法
=正方形EHIA面积；
即：a²+b²=c²；
∴直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
赞同
41
我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。
∵EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，
∴Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2, FH=BA=a ,
∴Rt△EFH中，
直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c，
∵∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,
∴∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，
∴Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a，
用出入相补法证明勾股定理
三国时期魏国数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出“出入相补法”验证勾股定理，如图请加以说明
点击图片还原到原大小
点击图片还原到原大小
正方形ABCD边长为a，点B在，
正方形EFGB边长为b，点C在EB上，
正方形EHIA边长为c，点H在FG上，
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人教版小学数学
刘徽的“出入相补”原理
在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。
用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。
鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面积的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
举几个简单的例子，如图：。