机械振动9任意周期激励
机械动力学——任意周期激励讲解
振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc
xe
it
,x
H
(
)
F0
,H
(
)
1 k
e
i
•则可以得到：
xc
1 k
ei
F0 e it
F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t)cos ntdt
bn
2 T
T
F (t)sin ntdt
2
2F0 T
T
2 sin ntdt
0
T
T sin ntdt
2
2F0 T
《机械运动》机械振动-周期与频率
《机械运动》机械振动，周期与频率在我们的日常生活和科学研究中，机械运动是一个非常重要的概念。
而机械振动作为机械运动的一种特殊形式，又与周期和频率有着紧密的联系。
让我们一起来揭开它们神秘的面纱，深入了解这些看似复杂却又无处不在的物理现象。
首先，什么是机械运动呢？简单来说，机械运动就是物体在空间中的位置随时间的变化。
比如，一辆汽车在路上行驶，地球绕着太阳公转，这些都是常见的机械运动。
机械运动可以是直线的，也可以是曲线的，可以是匀速的，也可以是变速的。
而机械振动则是机械运动中的一个重要分支。
当一个物体在平衡位置附近做往复运动时，我们就说它在进行机械振动。
生活中，机械振动的例子比比皆是。
比如，荡秋千时，秋千在最高和最低点之间来回摆动；弹吉他时，琴弦的振动发出美妙的声音；钟摆的左右摆动来指示时间等等。
那么，什么是周期呢？周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
假设一个物体在做机械振动，从某一位置出发，经过一段时间后又回到这个位置，并且运动状态（速度、加速度等）也与出发时相同，这段时间就是一个周期。
打个比方，就像一个人绕着操场跑一圈，从起点出发又回到起点，所用的时间就是他跑一圈的周期。
频率则是单位时间内完成振动的次数。
如果一个振动在 1 秒钟内完成了 10 次完整的振动，那么它的频率就是 10 赫兹（Hz）。
频率和周期是相互关联的，它们之间的关系可以用公式表示：频率＝ 1 ／周期。
这就好比跑步，周期是跑一圈所用的时间，频率就是1 秒钟能跑几圈。
让我们通过一个具体的例子来更好地理解周期和频率。
比如一个弹簧振子，它在水平方向上做简谐振动。
假设从平衡位置向右运动开始计时，经过 02 秒到达最右端，再经过 02 秒回到平衡位置，然后经过02 秒到达最左端，最后经过 02 秒又回到平衡位置，完成了一次完整的振动。
那么这个振动的周期就是 08 秒，频率就是 125 赫兹。
机械振动在很多领域都有着重要的应用。
在工程领域，振动分析可以帮助工程师设计更稳定、更可靠的结构。
单自由度振动系统对任意激励响应的仿真分析
（４） 则系统对 ｔ＝０ 时作用的脉冲力的响应可表示为 ｘ（ｔ）＝Ｆｈ（ｔ） 如果单位脉冲在 ｔ＝ τ时刻施加，则 （５）
用， 可以把它分割成无限多个在时间区间 ｄ τ上作用的脉冲 力 Ｆ（τ）。根据式（５） ，对在 ｔ＝ τ作用的单个冲量 Ｆ＝Ｆ（τ） ｄ τ，系统的响应为： ｄｘ＝Ｆ（τ）ｄｔｈ（ｔ－ τ） （７）
单 自 由 度 振 动 系 统 对 任 意 激 励 响 应 的 仿 真 分 析
图三 ４ 图二 任意激励时间函数 ｆ（ｔ） 对于线性系统， 在时间ｔ，系统的响应就是在这一时间内 所有单个冲量 Ｆ（τ）ｄ τ的总和，即： （８） 结束语
系统对任意激励 ｆ（ｔ）的响应
对于不同的系统或不同的激励力， 只要直接在程序中改 变系统参数以及激励力的时间函数表达式， 就可以迅速得出 系统的响应，而不需要进行烦琐的计算。 由图三可以看出， 利用Ｍａｔｌａｂ对振动系统对任意激励的 响应进行仿真， 简单直观， 是理论研究及工程实践工作中有 力的工具。 参考文献
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｉｍｐｕｌｓｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ－ｆｒｅｅｄｏｍ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｄｕｈａｍｅｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌ ｂｙ ｅｍｕｌａｔｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｏｏｌ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ； Ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ； Ｒｅｓｐｏｎｓｅ； Ｅｍｕｌａｔｅ ０ 引言 从线性系统振动理论可知， 当机械系统受到简谐激励作 系统的等效集中质量为 ｍ， 刚度为 ｋ，粘性阻尼系数为 ｃ，振动位移 ｘ，受外力 ｆ（ｔ）作用。 其运动微分方程为： （１） ２ 系统对激励响应的求解 当系统受到任意激励ｆ（ｔ）时， 可以把它分割成无限多个
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版知识精讲
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第九章 机械振动第一节 简谐振动 第二节振幅、周期和频率 第三节 简谐运动的图象二. 知识要点： 〔一〕简谐振动1. 机械振动的定义：物体在某一中心位置两侧所做的往复运动。
2. 回复力的概念：使物体回到平衡位置的力。
注意：回复力是根据力的效果来命名的，可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
3. 简谐运动概念：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。
特征是：kx F -=；m kx a /-=。
〔特例：弹簧振子〕4. 简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
〔参看课本〕〔1〕振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零。
〔2〕加速度a 的变化与回F 的变化是一致的，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
〔3〕速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点〞为零，在平衡位置最大。
除两个“端点〞外任一个位置的速度方向都有两种可能。
〔二〕振幅、周期、频率1. 振幅A 的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
2. 周期和频率的概念：振动的物体完成一次全振动所需的时间称为振动周期，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
注意：全振动是指物体先后两次运动状态．．．．．．．．〔位移和速度〕完全一样．．．．所经历的过程。
振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅。
3. 周期和频率的关系：fT 1=4. 固有频率和固有周期：物体的振动频率，是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以叫固有频率。
振动周期也叫固有周期。
〔三〕简谐运动的图象 1. 简谐运动的图象：〔1〕作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点。
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
动力学中的机械振动与周期
动力学中的机械振动与周期在动力学中，机械振动是一个重要的研究领域。
机械振动是指物体在受到外力作用时，由于其固有特性而产生的周期性运动。
周期性运动是指物体在相同时间间隔内重复出现的运动状态。
本文将介绍机械振动的基本概念、周期性运动的特征以及机械振动的应用。
一、机械振动的基本概念机械振动的基本概念包括质点振动和刚体振动。
质点振动是指物体在自由运动过程中保持形状不变，只发生位置移动的振动。
刚体振动是指在振动过程中，固体保持形状不变，整体发生平移或者旋转的振动。
机械振动的产生离不开弹性力和阻尼力的作用。
弹性力是物体受到形变作用时产生的恢复力，它使得物体回到其平衡位置。
阻尼力则是摩擦力等外力对物体振动过程中的能量损失。
二、周期性运动的特征周期性运动的特征是指物体在振动过程中重复出现的特定运动状态。
基本的周期性运动包括简谐振动和非简谐振动。
简谐振动是指物体在恢复力和质量之间满足线性关系时产生的振动。
简谐振动具有周期恒定、频率恒定和振幅恒定的特点。
非简谐振动是指物体在恢复力和质量之间不满足线性关系时产生的振动。
非简谐振动的振幅和周期会随着时间的推移而变化。
三、机械振动的应用机械振动在工程和科学领域具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 结构物的振动分析: 在工程领域中，机械振动的分析可用于评估建筑物、桥梁等结构物的耐久性和安全性。
通过对结构物的振动特性进行测量和分析，可以判断结构物是否存在疲劳、共振等问题，从而进行相应的维修和改善措施。
2. 振动传感器: 振动传感器是一种常用的测量设备，可以用于检测和监测机械设备的振动情况。
通过对设备振动的监测，可以及时发现设备的故障和损坏，从而提前采取维修和保养措施，减少停机时间和生产损失。
3. 振动控制技术: 振动控制技术是通过对振动系统施加控制力来减小或消除振动的技术手段。
该技术广泛应用于航空航天、汽车制造、机械加工等领域。
通过振动控制技术可以提高系统的稳定性和工作效率，减少振动对设备和人体的损伤。
高二物理 (人教大纲版)第二册 第九章 机械振动 二、振幅、周期和频率(第一课时)
二、振幅、周期和频率从容说课本节课讲述描述简谐运动的振幅、周期和频率等几个物理量.它是上节课对简谐运动研究的延续,在上节课的基础上引进振幅用来直接反映简谐运动中的最大位移,间接反映简谐运动的能量,引进周期和频率用来反映简谐振动重复运动的快慢.只有切实理解了本节所学的几个物理量,才能更好地、更全面地反映出简谐运动的运动特征.尤其对以后的学习会起到很重要的作用.例如：对交变电流、电磁振荡等知识的学习.结合本节内容的特点,对本节教学的目标定位于：1.知道周期、振幅、频率三个物理量的定义,并理解其物理意义.2.理解周期与频率的关系，并能对二者进行换算．3.知道物体振动固有周期和固有频率．本节课的教学重点在于对周期、频率、振幅的认识和理解．本节课的教学难点是理解振幅与简谐运动能量的定性关系.以及振幅与位移的区别.为了突出重点、突破难点。
使学生能更好地接受知识，本节课采用先学后教、实验演示、讨论总结等方法。
以加深学生的理解,同时采用多媒体辅助教学,以激发学生的学习兴趣，达到圆满完成教学任务的目的．本节课的教学顺序确定如下：复习提问→新课导人→指导自学→归纳总结→强化练习→小结．一、知识目标 _1.知道描述简谐运动的周期、振幅、频率三个物理量．2.理解周期与频率的关系,并能进行两者间的换算．3.了解物体振动的固有周期和固有频率．二、能力目标1.培养学生对知识的归纳、总结能力.2.提高学生对实验的观察、分析能力.三、德育目标通过对简谐运动周期性的学习,使学生理解社会新旧更替.螺旋前进的道理。
教学重点对简谐运动周期、频率、振幅的认识和理解．教学难点1.理解振幅间接反映振动能量的理论依据．2.区分振幅与位移两个物理量．教学方法指导性自学、实验演示、多媒体辅助相结合的综合教学法．教学用具投影片、弹簧振子、秒表、CAI课件课时安排l课时教学过程一、新课导入1.复习提问①什么叫机械振动?②什么叫简谐运动?2.导人通过上节的学习,我们知道了什么是简谐运动,但如何对简谐运动来进行定性的描述和定量的计算呢?这就需要我们引进一些能反映简谐运动特性的物理量——周期、频率和振幅，本节我们就共同来学习这些物理量．二、新课教学(一)振幅、周期和频率．基础知识请学生阅读课文第一部分，同时思考下列问题：[投影片出示]1.什么叫振幅?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?2.什么叫周期?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?3.什么叫频率?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?学生阅读后,得出以上问题的结论：1.a.振动物体离开平衡位置的最大位移叫振幅．b.振幅用来反映振动物体振动的强弱．c.振幅的单位是：米(m)．d.振幅的符号是：A．2.a.做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期．b.周期是用来反映物体振动快慢的物理量．c.周期的单位是：秒(s)．d.周期常用符号：T．3.a.做简谐运动的物体，在单位时间内完成全振动的次数叫频率．b.频率是用来反映物体振动快慢的物理量．c.频率的单位是：赫兹(Hz)．d.频率的常用符号：f．深入探究请同学们结合前面所学，考虑以下问题：[投影出示]1.振幅与位移有何区别，有何联系?2.周期与频率有何区别，有何联系?3.试以弹簧振子为例描述一次全振动．学生经过思考、讨论、归纳总结后得出上述问题的结论：1.振幅与位移的区别：a.物理意义不同．振幅是用来反映振动强弱的物理量；位移是用来反映位置变化的物理量．b.矢量性不同.振幅是一标量,只有大小,没有方向；位移是一矢量,既有大小又有方向．振幅与位移的相同点：a.都是反映长度的物理量.振幅是偏离平衡位置的最大距离；位移是偏离平衡位置的距离．其单位都是长度单位．b.位移的最大值就是振幅．2.周期与频率的区别：a.物理意义不同.周期是完成一次全振动所需要的时间；频率是单位时间内完成的全振动的次数．b.单位不同.周期的国际单位是秒；频率的国际单位是赫兹．周期与频率的联系：a.都是用来反映振动快慢的物理量.周期越大,振动得越慢；频率越大,振动得越快.b.周期与频率互成倒数关系．即：T=1．f①O→A→O→A′→O②A→O→ A′→O→A③A′→O→A→O→A′④O→A′→O→A→O教师总结通过上面的学习，我们对描述简谐运动的三个物理量：振幅、周期、频率，已有了一定的认识.下面我们简单应用一下．基础知识应用1.弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，B→C运动时间为1 s，如图所示.则 ( )A．从O→C→O振子做了一次全振动B.振动周期为1s,振幅是10cmC.经过两次全振动．通过的路程是 20cmD.从B开始经3s，振子通过路程是30cm2.一个弹簧振子.第一次把弹簧压缩x后开始振动.第二次把弹簧压缩2x后开始振动,则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比为（）A.1：2，1：2B.1:1,1:1C.1:2,1:2D.1:2,1:13.一个做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s.如图所示,经过B点后再经过t=0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速一次通过B点．则质点振动的周期是( )A.0.5 s，B.10sC.2.O sD.4.0s[参考答案]1.解析：振子从0→C→0时位移虽然相同,但速度的方向不同,振动只是半次全振动故A错.振子从B→c是半次全振动，故周期T=2 s，振幅A=OB=BC =52cm．故B错．由全振动的定义知：振子由B→C→B为一次全振动,振子路程s=4 A＝4× 5＝20 cm,所以两个全振动的路程中2×20cm=40cm,故C错。
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
机械振动题目
一、填空题1. 确定系统在随机激励下的振动响应为 响应；在实际解决振动问题的过程中，在激励与响应均为已知的情形下确定系统的特性一般称为 。
2. 简谐激励作用下，有阻尼的单自由度系统的响应包括 振动和 振动两部分。
3. 单自由度无阻尼振动系统的固有频率为： ，周期为： ，它们只与 ，与 均无关。
4. 一般来说，两自由度系统有两个 及 ，在任意初始条件下的自由振动一般由 ，只有在特殊的初始条件下系统才按 作固有振动。
5. 机械振动是指： 往复运动。
是常见的振动现象。
6. 单自由度系统的振动，按照系统阻尼比的不同，一般按三种情况来讨论系统的响应，即 、 、 。
7. 简谐振动的位移为sin()n x A t ωϕ=+，则,x x&&&也是 ，具有与位移相同的固有频率。
速度和加速度的幅值分别为： ，相位与位移相位的关系为： 。
8. 振幅有规律地 的现象称为拍。
拍是一种比较普遍的现象，凡是由两个 的简谐振动合成的振动，都可能产生拍。
9. 两自由度系统强迫简谐振动的频率与 相同。
除系统参数外及激励的振幅之外，响应振幅还和 有密切关系。
当激励频率接近于系统的任一固有频率时，就会发生 。
10. 振动微分方程通过刚度项来耦合，称为 ；振动微分方程通过质量项来耦合，称为 。
如果恰当的选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为 。
11. 随机系统在确定激励下的振动响应为 响应；确定系统在随机激励下的响应为 响应。
12. 在振动问题中，在激励条件与系特性已知的情形下求系统的响应，称为 。
13. 两自由度无阻尼系统有两个固有频率及固有振型，如果给定的初始条件满足第一阶固有振型，则系统响应中含有的频率成分为 ，如果给定的初始条件满足第二阶固有振型，则系统响应中含有的频率成分为 ，对于任意的初始条件，系统响应中含有的频率成分为 。
14. 调整固有振型的元素使其成为单值的过程称为 ，而所得到的向量称为 。
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt
例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例 2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
机械振动
第一章绪论§1-1 引言机械振动是机械运动的一种特殊形式，是指物体在其平衡位置附近所作的往复运动。
年没课程的一些名着，如Thomson和Meirovitch的着作，在份量和叙述方式上都不尽合适。
针对少学时（约30～36学时）的工科本科生的需要，在1983～1996年期间对本科生和工程师短训班的十五次讲授中，博采国内外一些较好着作的内容，较好的叙述方式，曾三次编写“机械振动”讲义，试图使读者在学习中能做到：学习振动分析的基本理论和方法，掌握现代数学和电子计算机这一强有力工具的初步应用；随机振动入门，着重于基本概念及其数学方法的工程应用实例；噪声的基本概念和测试方法；…为今后进一步学习应用打下基础，但内容又不过多、过深，略去定量的证明和公式繁琐的推导。
“机械振动”讲义注重实用性、实例的重点阐述，计算机例题的上机操作求解等基本技能的训练。
第二章叙述常系数线性微分方程的基本解法。
在给工科专业高年级学生讲授振动课程第七章“随机振动入门”，介绍随机振动的数学应用，阶跃激励、脉冲激励和任意激励的响应—卷积积分（杜哈美积分）。
随机激励下响应的付利叶积分法。
随机振动理论的初步应用。
振动对人体的影响，ISO2631标准。
机车车辆工程和汽车工程的应用实例。
第八章“噪声的测量”，介绍声学及噪声的基础知识，噪声测量仪表，测量方法，并附有噪声测量实验指导书。
本讲义自1983年开始教学实践以来，经1987、1990、1997年三次修订而成。
由陈石华教授（第一至六章）、刘永明博士、副教授（第七章）、施绍祺高级工程师（第八章）编写，全书由刘永明制图、电脑排版。
由于时间仓促、水平有限，书中不妥之处，热诚地欢迎读者指正。
杂的控制系统。
由于振动，机器在使用过程中往往产生巨大的反复变动的载荷，这将导致机器使用寿命的降低，甚至酿成灾难性的破坏事故。
如大桥因共振而毁坏；烟囱因风振而倒坍；飞机因颤振而坠落等等，文献均有记载。
为了防止这些事故的发生，若不针对事故的原因作正确的分析和研究，设计人员往往传统方式地加大结构断面尺寸，导致机器重量增加和材料的浪费。
第三章机械振动
x 2 Xsin（t - ）
F0 eit F （ t isint） 0 cos
（3-3）
为了求出振幅X和相位角 ，将激励力和响应均表示为复数形式
（3-4）
Xe i（t -） X（cos（t - ） isin（t - ））（3-5）
可得采用复数表示的振动方程为
（ X 1 ） max X0 2 1 - 2 2
(3-17)
在振动测试时，若测得了响应的最大幅值，则系统的阻尼比可通过式(3-17) 来确定。
(5)从式（3-16）可知，若 2 2 ，则 rmax =0 ，即振幅最大值发生在 =0 处，即静止时位移最大。由此可以得到以下结论：当 2 2 时，不论r为 何值，X/X。≤1；当 < 2 2时，对于很小或很大的r值，阻尼对响应的影 响可以忽略。 对图3-1所示的系统，若粘性阻尼力为0，则运动方程式(3-1)简化为
X F0
2 2 （k - m 2） （c）
arctan
c k - m 2
于是式(3-1)的非齐次方程的特解可以表示为
x2 F0 sin（t - ）
2 2 （k - m 2） （c）
从而得到式(3-1)的完整解为
x x 1 x 2 e （Acosd t Bsind t）
可见，两种情况求出的A和B是不一样的。 对于一特定系统，X和 是外力F0 和激励频率 的
函数，只要 F0 和 保持不变，则X和 是常值。稳态
响应的位移与各力之间的关系可以用图3-3所示的矢量 表示：物体的惯性力- m 2 X 、弹性力kX 、阻尼力 ic X
F0
ic X
kX 3-3 单自由度有阻尼系 统的强迫振动矢量图
振动力学-激励及响应的有关概念
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例
2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
2025版新教材高中物理第二章机械振动微点9单摆周期公式的理解课时作业教科版选择性必修第一册
微点9 单摆周期公式的理解过基础1．某单摆由1 m 长的摆线连接一个直径为2 cm 的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是( )A ．用大球替代小球，单摆的周期不变B ．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C ．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D ．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大2．自从“玉兔二号”探测器到达月球工作并拍回一系列宝贵的月球表面照片以后，人们对月球的憧憬又进一步加深了，希望能够早日登上月球，假设宇航员胜利登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面．已知月球表面的重力加速度约为地球表面的16，现在要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列措施可行的是( )A ．将摆球的质量增大为原来的6倍B ．将摆球的质量减小为原来的16C ．将摆长减小为原来的16D ．将摆长增大为原来的6倍3．两个质量相等的弹性小球分别挂在l 1＝1.00 m ，l 2＝0.25 m 的细绳上，两球重心等高，如图所示．现将B 球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B 球起先运动计算，经过4 s 两球相碰的次数为(取π2≈10)( )A.3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次4．单摆做简谐运动，当铁质摆球到达最高点时，将一块小磁铁轻轻吸附在摆球上，该单摆( )A ．振幅将增大B ．振动能量增大C ．通过最低点时的速率增大D ．周期将增大5．在一些古典家居装饰中，会看到大摆钟．某大摆钟如图甲所示，可看成单摆，摆的振动图像如图乙所示，则大摆钟的摆长约为( )A ．0.64 mB ．1.28 mC ．1.5 mD ．2.25 m6．(多选)图甲中O 点为单摆的固定悬点，现将质量为m 的小摆球(可视为质点)拉至A 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A 、C 之间来回摇摆，其中B 点为运动中的最低位置．∠AOB ＝∠COB ＝α(α小于5°且是未知量)，细线对摆球的拉力大小F 随时间t 改变的曲线如图乙所示，且图中t ＝0时刻为摆球从A 点起先运动的时刻．g取10 m/s 2.以下说法正确的是( )A ．细线对摆球的拉力和摆球受到重力的合力就是单摆的回复力B ．摆球的质最m ＝0.08 kgC ．此单摆的周期为0.4π sD ．此单摆的摆长为0.4 m微点9 单摆周期公式的理解1．答案：C解析：用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T ＝2π lg可知，单摆的周期变大，故A 错误；由单摆周期公式T ＝2πlg可知，在小摆角状况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B 错误；用等大铜球替代，单摆摆长不变，由单摆周期公式T ＝2πlg可知，单摆的周期不变，故C 正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g 变大，由单摆周期公式T ＝2π lg可知，单摆周期变小，故D 错误．2．答案：C解析：已知月球表面的重力加速度约为地球表面的16，依据单摆的周期公式T ＝2πL g可知，要使该摆钟在月球上的周期与在地球上的周期相同，必需将摆长减小为原来的16，单摆的周期与摆球的质量无关，故C 正确．3．答案：C解析：先计算两球运动的周期，T 1＝2πl 1g＝2 s ，T 2＝2π l 2g＝1 s ，从B 起先运动经T 24，即0.25 s 第一次相碰，并经T 12，即1 s 其次次相碰；再经T 22；即0.5 s 第三次相碰，可推证到第5次相碰共用时3.25 s ，到第六次相碰共用时4.25 s ．故经过4 s 两球相碰的次数为5次，故C 正确．4．答案：B解析：当铁质摆球到达最高点时，将一块小磁铁轻轻地吸附在摆球上，由机械能守恒定律可知，摆球还是摆回到原来的位置，所以振幅不变，摆球到达最低点时的速度设为v ，则有mgh ＝12mv 2，得v ＝2gh ，h 不变，可知v 不变，单摆通过最低点时的速率不变；由E k ＝12mv 2可知，摆球的质量增大，则经过平衡位置时的动能增大，因此振动能量增大，故B 正确，A 、C 错误．由单摆的周期公式T ＝2π Lg可知，单摆摆长不变，则振动的周期不变，故D 错误．5．答案：D解析：由题图乙可知，单摆的周期T ＝3 s ，由单摆的周期公式有T ＝2πlg，解得摆长为l ＝gT 24π2≈2.25 m，故选D.6．答案：CD解析：当单摆的摆角较小时，摆球的回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力供应，即摆球所受细线的拉力与重力的合力沿轨迹切线方向的分力，故A 错误；摆球在一个周期内两次经过最低点，由图可知，周期T ＝0.4π s，由单摆周期公式T ＝2πLg，解得L ＝0.4 m ，故C 、D 正确；在最高点A ，有F min ＝mg cos α＝0.495 N ，在最低点B ，有F max ＝mg ＋m v 2L＝0.510 N ，从A 到B ，由机械能守恒定律得mgL (1－cos α)＝12mv 2，联立解得m ＝0.05 kg ，故B 错误．。
机械振动的频率和周期间的关系
机械振动的频率和周期间的关系一、频率和周期的定义1.频率：单位时间内完成全振动的次数，用符号 f 表示，单位为赫兹（Hz），1Hz 表示每秒完成一次全振动。
2.周期：完成一次全振动所需的时间，用符号T 表示，单位为秒（s）。
二、频率和周期的关系1.频率与周期的关系式：f = 1/T，即频率等于周期的倒数。
2.周期与频率的关系式：T = 1/f，即周期等于频率的倒数。
三、机械振动的频率和周期的实际应用1.弹簧振子：弹簧振子的振动周期与弹簧的劲度系数和振子质量有关，频率与周期的关系遵循上述公式。
2.单摆：单摆的振动周期与摆长和重力加速度有关，频率与周期的关系同样遵循上述公式。
3.音调：声音的音调与声波的频率有关，频率越高，音调越高。
四、频率和周期的单位1.频率的单位：赫兹（Hz），表示每秒完成一次全振动。
2.周期的单位：秒（s），表示完成一次全振动所需的时间。
五、知识点拓展1.振动：物体围绕其平衡位置做周期性的往复运动。
2.全振动：物体完成一次往返运动，称为完成了一次全振动。
3.机械波：机械振动在介质中传播形成的现象，如声波、水波等。
4.共振：当外力频率与物体固有频率相等时，物体的振动幅度最大，称为共振现象。
5.固有频率：物体在没有外力作用下，自然产生的振动频率。
机械振动的频率和周期是描述振动运动的基本参数，它们之间存在倒数关系。
频率和周期在物理学、工程学、音乐等领域有广泛的应用，掌握它们的关系对于理解振动现象具有重要意义。
习题及方法：1.习题：一个弹簧振子在静止状态下被拉长5cm后释放，振子完成一次全振动需要4秒。
求该振子的频率和周期。
根据周期与频率的关系式：T = 1/f，将已知的周期T = 4s代入公式，得到频率f = 1/4s = 0.25Hz。
2.习题：一个单摆的摆长为1米，重力加速度为9.8m/s²。
求该单摆的振动周期和频率。
根据单摆的振动周期公式：T = 2π√(L/g)，将摆长L = 1m和重力加速度g =9.8m/s²代入公式，得到周期T = 2π√(1/9.8) ≈ 2π/3.14 ≈ 2s。
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如果系统在 t=τ时刻受到冲量为 I0 的任意脉冲力作用，则系 统暂态响应可用脉冲响应函数表示为 ： x(t ) I 0 h(t τ ), tτ n x0 x 0t x(t ) e ( x0 cos d t 0 sin d t ) 14
d
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傅立叶级数展开：
2 a 0 T 2 a n T 2 b n T
T
F ( t ) dt
T
a F (t ) 0 (a n cos n1t bn sin n1t ) 2 n 1 a 0 cn sin( n1t n ) 2 n 1
对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应 单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t) 表示
系统运动方程 ： 则有： 其中： n
cx kx F (t ) m x
x 4 F0 k
1
n 1,3,5
n sin(n1t n )
2n n tan 1 1 n 22
1
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F (t ) bn sin n1t
n 1
bn
2 T F (t ) sin n1tdt T
F (t )
F0
T 4
F (t ) bn sin n1t
n 1
bn
2 T F (t ) sin n1tdt T
0 t t0 t t0
Q0
0
F (t ) t0
t
Q0 , F (t ) 0,
求： 系统响应
0 t t0 t t0
Q0 0
F (t ) t0
t
（1） 0 t t0 时 t Q 1 t x(t ) F ( )sin n (t ) d 0 0 sin n (t )d mn mn 0
若阻尼为零，则：
1 md
t 0
F ( )e n (t ) sin d (t ) d
由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统 在时间区间 0 t 内各个脉冲响应的总和 t 1 t F ( )en (t ) sin d (t )d 得： x(t ) F ( )h(t )d 0 md 0 1 n ( t ) sin d (t ) 杜哈梅(Duhamel)积分15 h(t τ ) e md
12
2
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(t )dt 动量定理： mdx
两边在区间 0 t 0 - 内对时间积分：
0 0
dt (t )dt m x
0
0
( 0 ) mx (0 ) 1 mx
(0 ) x
1 m
在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间，位移则来不及有改变，即有：x(0+) = x(0-) 又当 t > 0+ 时，脉冲力作用已经结束，所以 t > 0+ 时，有：
周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的 简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法
k
3m 4
n
1 (1 n 2 2 ) 2 (2 n) 2
n tan 1
2n 1 n 1 n22
n
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例： 单自由度质量－弹簧系统受到周期方波激励
且
(t )dt 1
t
(t ) 的图象用位于时刻τ、长度为 1 的有向线段表示
9 10
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δ函数： (t )
0
(t ) (t )
1
(t )dt 1
(t )
1 nt e sin d t md 1 sin nt 无阻尼系统： x(t ) h(t ) mn
h(t τ )
mx cx kx 0 1 x(0 ) 0, x (0 ) m 解为： x(t ) h(t )
n 2,4,6
区间 [0,
T ]内 2 T F (t ) 关于 为对称 4
bn 0
当 n 取奇数时
T /2 T
2 T 8 F (t ) sin n1tdt T 0 T
T 4 0
sin n1t 关于 而n取偶数时，
T 区间 [ , T ] 内 2 3T F (t ) 关于 为对称 4
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任意周期激励
前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实 际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：
F (t ) F (t T )
T 为周期
第九讲 任意周期激励的响应 非周期激励的响应
记基频：
2 1 T
1δ 函数的性质: Nhomakorabea
f (t ) (t )dt f ( )
(t ) 是一个广义函数
可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度ε趋于零时的极限 即： (t ) lim (t )
0
(t )
特别地，当时刻 τ= 0 时，有 ： f (t ) (t )dt f (0) 实际应用时，通常 f (t) 在 0时才有意义
F (t )
T F, 0t 0 2 F (t ) F , T t T 0 2
解：
激励的周期： T
2
F (t )
F0
0
n
T /2
1 系统固有频率
12
F0 0
n
6
n
T /2
F0
T
t
1 1 n 6
1 1 n 6
激励力的基频 ：1
a0 an cos(n1t n ) bn sin(n1t n ) 2k n 1 k (1 n 2 2 )2 (2 n) 2
a0 2k 代表着平衡位置
当
a0 2
作用于系统上所产生的静变形
a0 cn 1 sin(n1t n n ) 2k n 1 (1 n 2 2 )2 (2 n) 2 k
系统的单位脉冲响应即初始位移为 零，而初始速度为 1/m 的自由振动 记为 h(t)
若单位脉冲力不是作用在时刻 t = 0，而是作用在 t =τ时刻：
1 n ( t ) sin d (t ) e md
(0 ) 越小 质量越大，x (0 ) 越大 质量越小，x
mx cx kx 0 1 x(0 ) 0, x (0 ) m
因此
bn 0
n 2,4,6
7
4 F0
1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5
8
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F (t )
4 F0
1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5
非周期激励的响应
0
反对称
F0
t
bn
F0 sin n1tdt
4 F0 n
n 1,3,5
于是，周期性激励 F(t) 可写为：
3T 关于 4 反对称
sin n1t 而n取偶数时，
F (t ) bn sin n1t
n 1
4 F0
n 1, 3, 5
1 sin n1t n
F ( t ) cos n 1 tdt F ( t ) sin n 1 tdt
T
记： 2 2 cn an bn
n tan 1
an bn
2
为任一时刻
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F (t )
a a0 (a n cos n1t bn sin n1t ) 0 cn sin( n1t n ) 2 n 1 2 n 1
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当处于零初始条件的系统受到任意激振力时， 可以将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加 对于时刻 t =τ的脉冲力 其冲量为： F ( ) d
F ( ) d m
F (t )
x(t ) F ( )h(t )d
0
t
1 md
t 0
F ( )e 0 (t ) sin d (t )d
t
0
t
0
因而有：
t 0
f (t ) (t )dt f ( )
1 t 其中： (t ) 量纲：1/秒 其他 0 (t ) 也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲
11
冲量为 I 0 的脉冲力可借助δ函数表示为： F (t ) I 0 (t ) 当 I0 =1 时，为单位脉冲力
x(t ) ( x0 cos ωnt
0 x 1 t sin ωnt ) F ( )sin ωn (t τ )d ωn mωn 0
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例：无阻尼弹簧－质量系统
在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用