判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置横峰中学
2017-2018年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）对于直线m，n与平面α，下列推理正确的是（）A．m∥n，n⊂α⇒m∥αB．m⊥n，n⊂α⇒m⊥αC．m∥α，n⊂α⇒m∥n D．m⊥α，n⊂α⇒m⊥n3．（5分）圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）A．x2+y2＝25B．x2+y2＝5C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y+4）2＝254．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是半径为1的半圆形，俯视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．5B．3C．﹣1D．6．（5分）在正三棱锥P﹣ABC中（底面为正三角形，顶点P在底面内的射影是△ABC的中心），底面边长为2，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则此三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知下列命题：①（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）；②若a＞b，c＞d，则ac＞bd；③不等式x2﹣x+2＞0的解集为（﹣∞，+∞）；④函数f（x）＝（x＞0）的最小值为．其中，正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）已知直线x﹣y+1＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+＝0相交于点A，B，则△ABC 的面积为（）A．B．1C．D．9．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在这个正方体中，MN与PQ所成的角为（）A．0°B．60°C．90°D．120°10．（5分）已知点P为直线y＝x+1上一动点，点A（2，0），当|P A|+|PO|取得最小值时（O 为坐标原点），直线OP的斜率为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．311．（5分）已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．B．或k＞﹣1C．或k＞D．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥平面ABD，AD＝BC＝1，BD ＝，若该四面体的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．4π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）已知圆C1：x2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2﹣4x﹣1＝0相交于两点A，B，则直线AB的方程为．14．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，且2a1，a3，a2成等差数列，则a10＝．15．（5分）要测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为km．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知点A（﹣1，2），直线l：x+2y﹣2＝0．求：（1）过点A且与直线l平行的直线方程；（2）过点A且与直线l垂直的直线方程．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（b﹣c）．（1）求角A；（2）设a＝，△ABC的面积为S，求S+cos B cos C的最大值及此时角B的值．20．（12分）在平面四边形ADBC（如图（1））中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图（2）所示的三棱锥C'﹣ABD．（1）当C'D＝时，求证：平面C'AB⊥平面DAB；（2）当AC'⊥BD时，求AD与平面BC'D所成角的正切值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，S n+3＝2a n+n恒成立．（1）设b n＝a n﹣1，求证：数列{b n}为等比数列；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n＜2．22．（12分）已知直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线x﹣y+1＝0互为斜截式，得y＝x+∴直线x﹣y+1＝0d的斜率为，设倾斜角为θ则tanθ＝，∴θ＝故选：A．2．（5分）对于直线m，n与平面α，下列推理正确的是（）A．m∥n，n⊂α⇒m∥αB．m⊥n，n⊂α⇒m⊥αC．m∥α，n⊂α⇒m∥n D．m⊥α，n⊂α⇒m⊥n【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在A中，m∥n，n⊂α⇒m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，m∥α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故C错误；在D中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．3．（5分）圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）A．x2+y2＝25B．x2+y2＝5C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y+4）2＝25【考点】J1：圆的标准方程．【解答】解：由题意，设圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，∵过点（0，0）∴r2＝25∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25故选：C．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是半径为1的半圆形，俯视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，如图：其底面为半径为1，圆锥的高为：，故其体积V＝＝；故选：B．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．5B．3C．﹣1D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过C（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最大．∴z＝2×2+1＝5．故选：A．6．（5分）在正三棱锥P﹣ABC中（底面为正三角形，顶点P在底面内的射影是△ABC的中心），底面边长为2，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则此三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：由已知得底面△ABC是边长为2的等边三角形，作PO⊥面ABC，交面ABC于点O，连结AO并延长，交BC于D，连结PD，由正三棱锥的性质得AD⊥BC，由三垂线定理得PD⊥BC，∵侧面与底面所成的二面角为∠PDO，∴cos∠PDO＝，可得，PD＝3OD＝．∴三棱锥的表面积为S＝3S△PBC+S△ABC＝3×＝4．故选：A．7．（5分）已知下列命题：①（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）；②若a＞b，c＞d，则ac＞bd；③不等式x2﹣x+2＞0的解集为（﹣∞，+∞）；④函数f（x）＝（x＞0）的最小值为．其中，正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：①（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）；可得x2﹣6x+9＞x2﹣6x+8．即9＞8，所以①正确；②若a＞b，c＞d，则ac＞bd；不满足不等式的基本性质，所以②不正确；③不等式x2﹣x+2＞0可得△＝1﹣8＝﹣7＜0，所以不等式的解集为（﹣∞，+∞）；③正确；④函数f（x）＝（x＞0）可得f（x）＝＝x+，函数的最小值为．当且仅当x＝时取等号．所以④正确；正确命题的个数为3．故选：C．8．（5分）已知直线x﹣y+1＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+＝0相交于点A，B，则△ABC 的面积为（）A．B．1C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+＝0可化为（x﹣2）2+（y+2）2＝，∴圆心C（2，2），半径r＝，圆心到直线的距离为：＝，弦长AB为：＝2．∵△ABC的面积S＝＝1．故选：B．9．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在这个正方体中，MN与PQ所成的角为（）A．0°B．60°C．90°D．120°【考点】%N：表面展开图．【解答】解：正方体的平面展开图还原成如下的正方体，∵PQ∥GN，∴∠MNG是MN与PQ所成的角，∵NG＝MN＝MG，∴∠MNG＝60°．∴在这个正方体中，MN与PQ所成的角为60°．故选：B．10．（5分）已知点P为直线y＝x+1上一动点，点A（2，0），当|P A|+|PO|取得最小值时（O 为坐标原点），直线OP的斜率为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】I3：直线的斜率．【解答】解：当|P A|+|PO|取得最小值时，直线AP的方程与直线y＝x+1垂直，则过点A（2，0）与直线y＝x+1垂直的直线方程为y＝﹣x+2，由，解得x＝﹣，y＝，∴P（﹣，）∴k OP＝﹣3，故选：A．11．（5分）已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．B．或k＞﹣1C．或k＞D．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【解答】解：联立，解得：x＝，y＝（k≠﹣2）．∵直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，∴＞0，＞0．解得：﹣＜．则实数k的取值范围是．故选：D．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥平面ABD，AD＝BC＝1，BD ＝，若该四面体的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．4π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【解答】解：由四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，故三棱锥A﹣BDC是一个以AD＝1为高，以平面BCD为底面的棱锥，因BC⊥平面ABD，AD＝BC＝1，BD＝，故BC⊥BD，CD＝故球心到底面的距离d＝AD＝，底面外接圆半径r＝CD＝，故三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积S＝4π（d2+r2）＝4π，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）已知圆C1：x2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2﹣4x﹣1＝0相交于两点A，B，则直线AB的方程为4x﹣2y+1＝0．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2﹣4x﹣1＝0相交于两点A，B，那么直线AB的方程为：C1﹣C2：得：4x﹣2y+1＝0．故答案为：4x﹣2y+1＝0．14．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，且2a1，a3，a2成等差数列，则a10＝1024．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，且2a1，a3，a2成等差数列，可知a3＝2a1+a2，∴a1q2＝2a1+a1q，整理求得q＝2或﹣1（舍去），则a10＝a1q9＝210＝1024．故答案为：1024．15．（5分）要测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为km．【考点】HU：解三角形．【解答】解：在△ACD中，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，在△BCD中，∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，∴由正弦定理可得：，即＝，∴BC＝，在△ABC中，由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB，∴AB2＝3+﹣2＝5，∴AB＝．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【解答】解：设点M（x，y），由MA＝2MO，知：＝2，化简得：x2+（y+1）2＝4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知点A（﹣1，2），直线l：x+2y﹣2＝0．求：（1）过点A且与直线l平行的直线方程；（2）过点A且与直线l垂直的直线方程．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）直线l′经过点A（﹣1，2），且与直线x+2y﹣2＝0平行，则直线l′的斜率为﹣；所以直线l′的方程为：y﹣2＝﹣（x+1），即x+2y﹣3＝0；（2）直线l″经过点A（﹣1，2），且与直线x+2y﹣2＝0垂直，则直线l″的斜率为2；所以直线l″的方程为：y﹣2＝2（x+1），即2x﹣y+4＝0．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG＝F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（b﹣c）．（1）求角A；（2）设a＝，△ABC的面积为S，求S+cos B cos C的最大值及此时角B的值．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）△ABC中，（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（b﹣c），∴（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），∴a2﹣c2＝b2﹣bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝＝，A∈（0，π），∴A＝；（2）由（1）得sin A＝，由正弦定理得：b＝，c sin A＝a sin C，且a＝，∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝••a sin C＝sin B sin C，∴S+cos B cos C＝（sin B sin C+cos B cos C）＝cos（B﹣C），当B﹣C＝0，即B＝C＝＝时，S+cos B cos C取最大值为，此时B＝．20．（12分）在平面四边形ADBC（如图（1））中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图（2）所示的三棱锥C'﹣ABD．（1）当C'D＝时，求证：平面C'AB⊥平面DAB；（2）当AC'⊥BD时，求AD与平面BC'D所成角的正切值．【考点】L Y：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连C'O，DO，∵△ABC′，△ABD是直角三角形，∠AC′B＝∠ADB＝90°，AB＝2，∴C′O＝DO＝AB＝1，又C′D＝，∴C′O2+DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，∵∠BAC′＝45°，∴AC′＝BC′，∵O是AB中点，∴OC′⊥AB，又∵AB∩OD＝O，AB⊂平面ABD，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵OC′⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB．（2）解：∵AC′⊥BD，AC′⊥BC′，BD⊂平面BC′D，BC′⊂平面BC′D，∴AC′⊥平面BDC′，又C′D⊂平面BDC'，∴AC′⊥C′D，且∠ADC′为AD与平面BC'D所成角．在Rt△AC′B中，∵AB＝2，∠BAC′＝45°，∴AC′＝BC′＝，在Rt△ADB中，∵∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，AB＝2，∴AD＝，在Rt△AC′D中，由，，可得C′D＝1，∴tan∠ADC′＝．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，S n+3＝2a n+n恒成立．（1）设b n＝a n﹣1，求证：数列{b n}为等比数列；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n＜2．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】证明：（1）任意的n∈N*，S n+3＝2a n+n恒成立，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1+1﹣3，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，由S n+3＝2a n+n，可得S n﹣1+3＝2a n﹣1+n﹣1，两式相减可得a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，即a n＝2a n﹣1﹣1，可得a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），则b n＝2b n﹣1，可得数列{b n}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得b n＝2n﹣1，则a n＝1+2n﹣1，即有＝＝n•（）n，数列{c n}的前n项和为T n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，相减可得T n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化简可得T n＝2﹣（n+2）•（）n，显然T n＜2；由T n+1＝2﹣（n+3）•（）n+1，T n+1﹣T n＝（n+1）•（）n+1，可得{T n}为递增数列，可得T n≥T1＝；则T n＜2．22．（12分）已知直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）直线l：4x+3y+10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．设圆心C（a，0），则，解得a＝0或a＝﹣5（舍）．所以圆C：x2+y2＝4．（2）如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝．②若x轴平分∠ANB，k AN＝﹣k BN，所以：，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，解得：t＝4．所以当点N为（4，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。
三棱锥顶点射影与底面三角形的心
三棱锥顶点射影与底面三角形的心
编辑整理：乔明
设有三棱锥P-ABC，P在平面ABC上的射影为O。
外心
1当三棱锥的三条侧棱相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
2当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
内心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，那么射影是内心。
垂心
1当三棱锥的三条侧棱两两垂直(或每条侧棱都与所对的侧面垂直)时，顶
点在底面的射影是底面三角形的垂心。
2当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
重心
当三棱锥的三个侧面在底面上的射影面积相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的重心。
旁心
1当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
2当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。
江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高一下学期5月联考试题 数学含答案
2023-2024学年度高一年级第二学期第二次数学学科学情调研（答案在最后）一、单选题1．已知向量()2,m λ= ，()2,4n λ=-- ，若m 与n共线且反向，则实数λ的值为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或42．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A ．12πB ．10πC ．8πD ．4π3．在正三棱锥A -OBC 中，顶点A 在底面OBC 的射影为点D ，1OA OB ==，则AD =（）A ．2B ．2C ．3D ．34．如图，正方形OABC 边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A ．24B ．22C ．D ．5．在△ABC 中，已知π4B =，c =3b =，则C =（）A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．2π36．已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为6，顶点P 到底面ABC ，则这个正三棱锥的侧面积为（）A ．27B ．C ．D ．7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB 和1DD 的中点，过点1B ，E ，F 的平面α交AD 于点G ，则AG =（）A ．13B ．23C ．34D ．438．已知π1tan 42θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则22sin sin 21sin 2θθθ+=+（）A ．12-B ．0C ．12D ．13二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．一个棱锥至少5个面B ．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C ．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形10．已知m ，n ，l 为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若m αβ= ，m γ⊥，则αγ⊥，βγ⊥B ．若m α⊂，n α⊄，则m 与n 为异面直线C ．若l αβ= ，m βγ= ，n γα= ，且l m P = ，则P n ∈D ．若m α⊥，m β⊥，αγ∥，则βγ∥11．函数()2sin 3cos x x x f x =+，则（）A ．()f x 的一条对称轴方程为π3x =B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的最小值是12D ．()f x 的最大值是32三、填空题12．方程2460x x ++=在复数范围内的解是．13．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若4MN BC ==，3PA =，则异面直线PA 与MN 所成角大小是．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0c b C -=，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1b =，3a =则△ABC 的面积为.四、解答题15．已知z 是复数，2i z +与2iz-均为实数.（1）求2z ；（2）若复数z 是方程20x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个解，求m n -的值.16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A a c -=--.（1）求B ；（2）若2a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BD 的长.17．已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面CDP ；（2）若4DP =，求直线PB 与平面PCD 所成的角大小.18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥于点N ．（1）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D −AC −M 的正切值．19．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系就称为斜坐标系．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy 中的坐标．（1）设1232OP e e =+，求OP ；（2）若()2,4m = ，()6,3n =- ，m 与n的夹角为θ，求θ的余弦值．参考答案：1．A【分析】利用向量共线的坐标表示求出λ，再结合反向共线即可得解.【详解】由向量()2,m λ= ，()2,4n λ=--共线，得()28λλ-=-，解得2λ=-或4λ=，当2λ=-时，()2,2m =- ，()4,4n =- ，m 与n同向，不符合题意，当4λ=时，()2,4m = ，()2,4n =-- ，m 与n反向，符合题意，所以实数λ的值为4.故选：A 2．A【分析】借助圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得底面半径，再利用圆锥表面积公式计算即可得.【详解】圆锥的底面半径为r ，由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得21π4π48π2r ⨯=⨯⨯=，即圆锥的底面半径2r =，则2π4π8π4π12πS r r =⨯+=+=表.故选：A .3．D【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高.【详解】正三棱锥A -OBC 中，点A 在平面OBC 的射影是点D ，即为等边△OBC 的中心，已知1OA OB ==，可得2π31sin 333OD =⨯⨯=，由AD ⊥底面OBC ，OD ⊂底面OBC ，可得AD OD ⊥，则由勾股定理可得高63AD ==.故选：D .4．D【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积.【详解】由斜二测画法知：对应原图OA ＇B ＇C ＇中1OA OA'==，12OB OB'==OB'OA'⊥，且OA ＇B ＇C ＇为平行四边形，如下图示，所以原图形OA ＇B ＇C ＇的面积为12222S =⨯=.故选：D 5．C【分析】由三角形角的范围以及大边对大角原理并结合正弦定理计算即可求解.【详解】由正弦定理可得3223πsin sin 4C =，所以3sin 2C =，又()0,πC ∈，且c b >，所以π3C =或2π3C =，故选：C .6．A【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积．【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：136332⨯⨯=633+=，所以这个正三棱锥的侧面积为：1363272⨯⨯⨯=.故选：A .7．D【分析】通过平行得到平面与11C D 的交点H ，从而得到与面1111A B C D 的交线，再由平行得到与平面ABCD 的交线，从而确定点G 的位置，根据H 为11C D 的四等分点得到G 为AD 的三等分点，从而得到AG 的长.【详解】如图，平面1B EF 与平面11CC D D 的交线与1B E 平行，即过点F 作1B E 的平行线，交11C D 于点H ，连接1B H ，因为E ，F 分别为棱AB 和1DD 的中点，所以H 为11C D 的四等分点，过点E 作1EG B H ∥，交AD 于点G .从而G 为AD 的三等分点，故24233AG =⨯=.故选：D .8．C【分析】利用两角差的正切公式计算可得1tan 3θ=，结合切弦互化即可求解.【详解】由π1tan 42θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得tan 111tan 2θθ-=-+，解得1tan 3θ=，所以2222222sin sin 22sin 2sin cos 2tan 2tan 11sin 2cos sin 2sin cos tan 12tan 2θθθθθθθθθθθθθθ+++===+++++.故选：C 9．BCD【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断.【详解】对于A ，三棱锥只有4个面，故A 错误；对于B ，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B 正确；对于C ，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C 正确；对于D ，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D 正确.故选：BCD .10．ACD【分析】利用面面垂直的判定判断A ；确定线线位置关系判断B ；利用平面基本事实判断C ；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D .【详解】对于A ，显然m α⊂，m β⊂，又m γ⊥，则αγ⊥，βγ⊥，A 正确；对于B ，由m α⊂，n α⊂/，得m 与n 可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B 错误；对于C ，由l αβ= ，m βγ= ，l m P = ，知点P 在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而n γα= ，因此P n ∈，C 正确；对于D ，由m α⊥，m β⊥，得αβ∥，而αγ∥，因此βγ∥，D 正确.故选：ACD 11．AD【分析】先化简()f x ，令ππ2π62x k -=+，k ∈Z 求出()f x 的对称轴可判断A ；令π2π6x k -=，k ∈Z 求出()f x 的对称中心可判断B ；当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或1-求出()f x 的最大值和最小值可判断C ，D .【详解】()21cos 2π1sin cos 2sin 22262f x x x x x x x -⎛⎫=+=+=-+⎪⎝⎭对于A ，令ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，所以ππ32k x =+，k ∈Z ，令0k =，所以()f x 的一条对称轴方程为π3x =，故A 正确；对于B ，令π2π6x k -=，k ∈Z ，则ππ122k x =+，k ∈Z ，令0k =，所以()f x 的一个对称中心为π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，当πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值是11122-+=-，故C 错误；对于D ，当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 的最大值是13122+=，故D 正确.故选：AD .12．{22-+--【分析】利用配方法和复数的运算性质结合虚数单位，求解即可.【详解】由2460x x ++=，得()222x +=-，所以2x +=，即2x =-±，则解集为{}22-+--.故答案为：{22-+--.13．π6【分析】取PD 的中点E ，证明AE MN ∥，得到∠PAE 是异面直线PA 与MN 所成的角或其补角，结合题设条件在△PAE 中，求∠PAE 即得.【详解】如图，取PD 的中点E ，连接AE ，EN ，因M ，N 分别是AB ，PC 的中点，底面ABCD 是平行四边形，故EN DC ∥且12EN DC =，又AM CD ∥且12AM CD =，故得AMNE □，即AE MN ∥，故∠PAE 是异面直线PA 与MN 所成的角或其补角.由()12AE AP AD =+ ，两边取平方，()222124AE AP AD AP AD =++⋅ ，设AP ，AD 的夹角为θ，因PA =，4AE MN AD ===，代入上式，整理可得，cos 0θ=，即90θ=︒，故8PD ==，则4PE =，在△PAE 中，设PAE α∠=，3cos2α==，因0πα<<，故π6PAE ∠=.故答案为：π614．2或4【分析】根据题意利用正弦定理可得π6B =，结合余弦定理可得2c =或1c =，代入面积公式即可得结果.【详解】因为2sin 0c bC -=，由正弦定理可得sin 2sin sin 0C B C -=，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得12sin 0B -=，即1sin 2B =，且π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π6B =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2133c c =+-，解得2c =或1c =，所以△ABC 的面积为111sin 22222ABC S ac B ∆==⨯=或111sin 12224ABC S ac B ∆==⨯⨯=.故答案为：32或34.15．（1）21216i z =-（2）28-【分析】（1）由复数的运算结合复数的几何意义即可求解；（2）将复数42i z =-代入方程，再由几何意义求出m ，n ，求出最后结果即可.【详解】（1）设i z a b =+（a ，b ∈R ），则()2i 2i z a b +=++为实数，所以2b =-，()()()()()()2i 2i 224i 2i 2i 2i 5a a a z-+++-==--+为实数，所以4a =，所以42i z =-，所以()2242i 1616i 41216i z =-=--=-.（2）因为复数z 是方程20x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个解，代入可得()()242i 42i 0m n -+-+=，整理可得12401620m n m ++=⎧⎨--=⎩，解得8m =-，20n =所以28m n -=-.16．（1）2π3B =（2．【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；（2）根据余弦定理求出c 边，再根据向量运算求BD.【详解】（1）因为cos cos a B b A a c -=--，根据正弦定理，得()sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B A C A A B A B -=--=--+，化简得2sin cos sin A B A =-，因为sin 0A >，所以1cos 2B =-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =.（2）在△ABC 中，由余弦定理得(2222π222cos3c c =+-⨯，所以22240c c +-=，解得4c =．因为BD 为△ABC 的中线，所以2BD BA BC =+ ，所以2222π42cos 3BD c a ac =++⋅ ，因为2a =，4c =，所以2412BD = ，解得BD = .17．（1）证明见解析（2）3arctan5【分析】（1）欲证线面垂直，需证线线垂直.根据条件，先证直线BC 垂直于平面CDP 内的两条相交直线即可；（2）先确定所求的线面角，再在三角形中求解.【详解】（1）如图：因为底面ABCD 是正方形BC DC ⇒⊥；又因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD PD BC ⇒⊥；又PD ，CD ⊂平面PCD ，且PD CD D = ；所以BC ⊥平面CDP .（2）因为BC ⊥平面CDP ，所以∠BPC 即为直线PB 与平面PCD 所成的角.在直角△PCB 中：π2PCB ∠=，3BC =，5PC ===.所以33tan arctan 55BC BPC BPC PC ∠==⇒∠=.即为所求.18．（1）证明见解析（2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面SAC ⊥平面AMN ；（2）先根据条件作出二面角D -AC -M 的平面角∠FQM ，假设边长后利用Rt △MFQ 即可求出结果.【详解】（1）证明：由条件有DC SA ⊥，DC DA ⊥，且SA ，DA ⊂平面SAD ，SA DA A = ，∴DC ⊥平面SAD ，又AM ⊂平面SAD ，∴AM DC ⊥；又∵SA AD =，M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥；又DC ，SD ⊂平面SDC ，DC SD D = ，∴AM ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC ，∴SC AM ⊥．由已知SC AN ⊥，且AM ，AN ⊂平面AMN ，AM AN A = ，∴SC ⊥平面AMN ．又SC ⊂平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面AMN ．（2）取AD 中点F ，则MF SA ∥，作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ．∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ．∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影，∵FQ AC ⊥，∴MQ AC ⊥，∴∠FQM 为二面角D -AC -M 的平面角．设SA AB a ==，在Rt △MFQ 中，122a MF SA ==，1244FQ BD ==，∴2tan 24a FQM ∠==；∴二面角D -AC -M．19．（1（2）14-【分析】（1）由题意计算12e e ⋅ ，再代入向量模的公式1232OP e e =+=（2）首先求m n ⋅ ，m 和n ，再代入向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，121e e == ，12121cos602e e e e ⋅=︒= ，所以1232OP e e =+===；（2）()2,4m = ，()6,3n =- ，根据（2）的结果可知，()()1126432346922m n ⋅=⨯-+⨯+⨯⨯+⨯⨯-=-；2m == ；3n =则cos 14m n m n θ⋅===- .。
高考数学(人教A版理科)一轮复习课件94第四节直线平面垂直的判定及其性质
【素养立意】 本题要求证的结论是线段BM与EN的大小关系及位置关系,我们可以假定相交, 那么需要找到它们所确定的平面,进而通过已知条件进行逻辑推理论证.
【解析】选B.连接BD,则点N在BD上且为BD中点. 因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设 正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,D2 N= a,D2 B=2 a,根据 余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BD2E=9a2-4 a2cos∠BDE,EN2 DE2+DN2- 2DE·DNcos∠BDE=62 a2-4 a2cos∠BDE,所以BM≠EN.
所以n⊥l.
3.(必修2 P69 探究改编)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图中直角三角 形的个数是________.
【解析】因为∠ABC=90°,故△ABC是直角三角形;因为PA⊥平面ABC,所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面 PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形. 答案:4
4.平面与平面垂直 垂线 交线
5.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 _垂__直__于__棱__的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ( ) (3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( ) (4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α. ( ) (5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.( )
正三棱锥
正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。
正四棱锥：四个面都是正方形，是特殊的正三棱锥；顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的三倍，即外切球球心是内切球球心的半径的三倍长。
正三棱柱：底面是等边三角形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
正四棱柱：底面为正方形，侧棱相等、平行,且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
面面垂直的判定习题课
AA1=1,E,F分别在AD和BC上，EF∥AB，二
面角C1-EF-C=45°，BF=-------.
D1
C1
A1
CF⊥EF
B1
C1F⊥EF
D
C
AE
F
∠C1FC为.二面角B的平面角． 6
3.如图所示，四棱锥 PABCD
的底面 ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD ，PA 3
.
12
解：(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 OD， ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴DO⊥AB，且 DO＝ 22AD. 连接 OC，同理得 CO⊥AB， 且 CO＝ 22AC，
.
13
∵AD＝AC，∴DO＝CO＝ 22AC. ∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2， ∴△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO， 又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC. 又∵DO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.
B
O
C
.
1
两个平面互相垂直 平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作: α β
.
2
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直。
β
a
a 面
a
α
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
.
10
(2)解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连 接AD，设CO＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.
又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD. 而AD⊂平面AOD， ∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角． 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC. ∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
三棱锥射影归纳总结
三棱锥射影归纳总结在几何学中，三棱锥是一个特殊的多面体，它有四个面，其中三个是三角形，一个是三角形的侧面。
三棱锥在投影学中也有重要的应用，本文将对三棱锥的射影进行归纳总结。
一、三棱锥的射影定义和基本概念三棱锥的射影是指三维空间中的实体三棱锥在一个平面上的投影。
投影是通过从三棱锥的每个顶点向目标平面上的某个点引一条线段，并将该线段的终点连接起来构成的多边形。
射影可以帮助我们理解三棱锥的形状和特性。
二、三棱锥的射影方法1. 平行投影平行投影是最简单的一种方法，它只需要从每个顶点引一条平行于目标平面的线段，然后将线段的终点连接起来即可得到射影。
平行投影尽可能保留了三棱锥的形状和比例关系。
2. 透视投影透视投影是一种更真实、更符合人眼观察的方法。
在透视投影中，我们需要确定一个视点，然后从每个顶点引一条线段连接到视点，并与目标平面相交，将交点连接起来形成射影。
透视投影更能反映出视觉上的空间距离和比例。
三、三棱锥射影的性质1. 三棱锥的射影形状三棱锥的射影形状取决于目标平面的位置和方向。
当目标平面与三棱锥的底面平行时，射影是一个与底面相似的三角形。
当目标平面与三棱锥的底面不平行时，射影是一个与底面不相似的三角形。
2. 射影与三棱锥的关系三棱锥与其射影之间存在一些有趣的关系。
射影的面积是底面积的一半，且在透视投影中，射影在底面上的投影线段长度也是底面线段长度的一半。
此外，通过对射影的分析，我们还可以推导出三棱锥的高、斜高等相关性质。
四、三棱锥射影的应用三棱锥的射影在现实生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，利用三棱锥的射影可以推断出建筑物在不同角度和视点下的外观。
在计算机图形学中，三棱锥的射影可以用来生成三维场景的二维图像，实现图像的渲染和显示。
综上所述，三棱锥射影是一项重要的几何学知识，通过射影我们可以更好地理解和描述三棱锥的形状和性质。
同时，三棱锥射影也有广泛的应用领域，对于建筑设计、计算机图形学等都具有重要的意义。
探究三棱锥的顶点到底面射影问题
1三棱锥的顶点到底面的射影问题三棱锥的顶点到底面的射影落在底面的什么位置，对解决三棱锥问题有很大帮助，记住以下结论，是学好三棱锥的重要环节。
1、如果三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA=PB=PC ，P 在底面ABC 上的射影为O求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，∵P 在底面ABC 上的射影为O∴PO ⊥平面ABC ∵PA=PB=PC,∴AO=BO=CO(斜线段相等,射影相等)∴O 为△ABC 的外心。
注：外心为三角形外接圆的圆心，即三角形三条边的垂直平分线的交点。
2、如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
下面简要证明。
已知：三棱锥P —ABC ，PA ，PB ，PC 与底面所成的角相等，P 在底面ABC 上的射 影为O 求证：O 为△ABC 的外心。
证明：连结AO ，BO ，CO ，∵P 在底面ABC 上的射影为O ∴PO ⊥平面ABC∴∠PAO ，∠PBO ，∠PCO 为PA ，PB ，PC 与底面所成的角∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ∴AO=BO=CO ∴O 为△ABC 的外心。
P ABCO 图1PABCO图213、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
注：三角形的内心为三条角平分线的交点 即到三角形三边距离相等的点。
如图3所示 ∠PDO 、∠PEO 、∠PFO 是三个侧面与底面所成的二面角的平面角， 它们都相等，则△PDO 、△PEO 、△PFO 全等，OD=OE=OF ， 所以O 为底面的内心4. 如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
（若射影点在多边形的内部）。
证明过程同上。
如图35.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
空间几何体的截面图形(学生版)
空间几何体的截面图形一、单选题1.(2022·浙江·高三阶段练习)如图，在四棱锥Q -EFGH 中，底面是边长为22的正方形，QE =QF =QG =QH =4，M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 1V2的最小值为( )A.12 B.13 C.14 D.152.(2022·浙江·高三专题练习)在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面的射影为△ABC 的垂心O (O 在△ABC 内部)，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为θ1，θ2，若∠PAM =∠PBM =θ，则下列说法错误的是( )A.若θ1=θ2，则AC =BCB.若θ1≠θ2，则tan θ1⋅tan θ2=12C.θ可能值为π6D.当θ取值最大时，θ1=θ23.(2022·全国·高三专题练习(文))正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为( )A.2+25B.25+2313C.25+13D.25+1324.(2022·全国·高三专题练习(理))已知正方体ABCD -A B C D 的棱长为4，E ，F 分别为BB ，C D 的中点，点P 在平面ABB A 中，PF =25，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是( )①点P 的轨迹长度为2π；②线段FP 的轨迹与平面A B CD 的交线为圆弧；③NP 的最小值为65-105；④过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103+4313+25A.4 B.3 C.2 D.15.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为S 1,S 2，若S 1=25π8，则S 2=( )A.2 B.5 C.6 D.226.(2022·江西萍乡·三模(文))正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 在侧面CDD 1C 1上运动，且满足B1F ∥平面A 1BE .以下命题中，正确的个数为( )①侧面CDD 1C 1上存在点F ，使得B 1F ⊥CD 1；②直线B 1F 与直线BC 所成角可能为30°；③设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为52.A.0 B.1 C.2 D.37.(2022·全国·高一单元测试)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4、BC =3，M 、N 分别为棱AB 、BB 1的中点，点P 在对角线A 1C 1上，且A 1P =3，过点M 、N 、P 作一个截面，该截面的形状为( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.(2022·全国·高一单元测试)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P -ABCD ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥，某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分別交PB 、PC 、PD 于点E 、F 、G ，得到四棱锥P -AEFG ；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若PE PB =35、PF PC =12，则PG PD的值为( )A.18B.14C.12D.349.(2022·广西·南宁二中高三阶段练习(理))已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题：①平面α⊥平面A 1B 1E ；②平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；③当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118π；④存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3．则正确的命题个数为( )．A.1B.2C.3D.410.(2022·四川成都·高二期中(理))在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q =λD 1A 1 ，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题：①CN 与QM 共面；②三棱锥A -DMN 的体积跟λ的取值无关；③当λ=14时，AM ⊥QM ；④当λ=13时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为42+2133．其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④11.(2022·全国·高三专题练习(文))已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =AA 1=4，BC =3，M 为AA 1的中点，N 为C 1D 1的中点，过B 1的平面α与DM ，A 1N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为( )A.322B.311C.422D.51112.(2022·浙江台州·高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的一个三等分点(靠近B 点)，F ,G 分别为棱BC ，CC 1的中点，过E ,F ,G 三点作正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面，则下列说法正确的是( )A.所得截面是六边形B.截面过棱D 1C 1的中点C.截面不经过点A 1D.截面与线段B 1D 1相交，且交点是线段B 1D 1的一个五等分点二、多选题13.(2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)如下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是( )A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为33,22B.点M 与点C 1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为CC 1的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为DD 1中点，当AM +MN 的和最小时，M 为CC 1的三等分点14.(2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则( )A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π315.(2022·海南华侨中学模拟预测)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π416.(2022·山东山东·高一期中)在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =2，且AD =BC =6，若用平面α去截四面体ABCD ，则下列结论正确的为( )A.α截四面体ABCD 所得截面形状可以为菱形B.当BC ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状不可能为直角三角形C.当AB ⎳α，CD ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状的周长为定值D.四面体ABCD 的外接球表面积为7π17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高一期中)在圆锥SO 中，C 是母线SA 上靠近点S 的三等分点，SA =l ，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则( )A.当r =1时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为13B.当r =32时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C.当l =3时，圆锥SO 的外接球表面积为8l π8D.当l =3时，棱长为233的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动18.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)已知点E 、F 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点，过EF 的平面α截正方体，AB =4，下列说法正确的是( )A.若α与地面ABCD 所成角的正切值为2，则截面为正六边形或正三角形B.α与地面ABCD 所成角为45∘则截面不可能为六边形C.若截面为正三角形EFG 时，三棱锥D 1-EFG 的外接球的半径为925D.若截面为四边形，则截面与平面B 1EF 所成角的余弦值的最小值为7919.(2022·全国·华中师大一附中模拟预测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =2．点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法正确的是( )A.AG ⊥平面PBDB.直线FG 和直线AC 所成的角为π3C.过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P -ABCD 所得的截面为五边形D.当点T 在平面ABCD 内运动，且满足△AGT 的面积为12时，动点T 的轨迹是圆20.(2022·广东实验中学高一期中)已知正四面体ABCD 的棱长为3，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC 、CD 、DA 相交于点F 、G 、H ，则( )A.四边形EFGH 的周长为定值6B.当λ=12时，四边形EFGH 为正方形C.当λ=13时，α截球O 所得截面的周长为13πD.∃λ∈0,1 ，使得四边形EFGH 为等腰梯形21.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r =2，则( )A.球与圆柱的表面积之比为1：2B.平面DEF 截得球的截面面积最小值为165πC.四面体CDEF 的体积的取值范围为0，323D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE +PF 的取值范围为2+25，43 22.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2(如图所示)，点M 为线段CC 1(含端点)上的动点，由点A ，D1，M 确定的平面为α，则下列说法正确的是( )A.平面α截正方体的截面始终为四边形B.点M 运动过程中，三棱锥A 1-AD 1M 的体积为定值C.平面α截正方体的截面面积的最大值为42D.三棱锥A 1-AD 1M 的外接球表面积的取值范围为414π,12π 23.(2022·山东滨州·二模)在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把△AEB ，△AFD 和△EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P -AEF ，如图2所示，则下列结论中正确的是( )A.PA ⊥EFB.三棱锥M -AEF 的体积为4C.三棱锥P -AEF 外接球的表面积为24πD.过点M 的平面截三棱锥P -AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]24.(2022·重庆巴蜀中学高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ,CC 1,C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A.AC 1∥MNB.直线PQ ∥平面A 1BC 1C.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为2π25.(2022·湖北宜昌·高一期中)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为2，则下列结论正确的是( )A.若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值是2B.勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是π-3C.勒洛四面体ABCD 内切球的半径是2-62D.勒洛四面体ABCD 的体积是6π26.(2022·全国·模拟预测)如图，已知圆柱OO 1的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，P 为上底面内一个动点(不包含边界)，E 为底面圆弧AB 上一个动点，则下列说法正确的有( )A.若点P 与O 重合，则圆锥PO 1的侧面积为5πB.若点P 与D 重合，E 为圆弧AB 的中点，则点A 到平面PBE 的距离为233C.三棱锥P -ABE 的体积的最大值为23D.三棱锥P -ABE 的外接球的表面积的最小值为5π427.(2022·全国·高一专题练习)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是AD ，CC1的中点，P 是线段AB 上的动点，则下列说法正确的是( )A.当点P 与A ，B 两点不重合时，平面PMN 截正方体所得的截面是五边形B.平面PMN 截正方体所得的截面可能是三角形C.△MPN 一定是锐角三角形D.△MPN 面积的最大值是21228.(2022·湖北·荆门市龙泉中学一模)已知正四面体ABCD 的棱长为22，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，CF =μCD 0<μ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则( )A.四边形EMGH 的周长为定值B.当λ=14时，平面α截球O 所得截面的周长为472πC.四棱锥A -EMGH 的体积的最大值为6481D.当λ=μ=12时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后与原四面体的公共部分体积为43三、双空题29.(2022·重庆南开中学模拟预测)正方体ABCD -A B C D 的棱长为2，动点P 在对角线BD 上，过点P 作垂直于BD 的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y =f x ，设BP =x ，x ∈0，23 .(1)下列说法中，正确的编号为__________.①截面多边形可能为四边形；②f 33=32；③函数f x 的图象关于x =3对称.(2)当x =3时，三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为__________.30.(2022·广东汕头·三模)如图，DE 是边长为23的正三角形ABC 的一条中位线，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE ，当三棱锥C -A 1BE 的体积最大时，四棱锥A 1-BCDE 外接球O 的表面积为__________；过EC 的中点M 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．31.(2022·湖南·长沙市明德中学二模)如图，在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥AB ，SB ⊥BC ，AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，O 为三棱锥S -ABC 外接球的球心，则球O 的体积为________；平面SPQ 截球O 所得截面的周长为________．32.(2022·新疆·三模(文))四棱锥P -ABCD 各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形．PA =AD =4，AB =42，则球O 的半径是__________；设M 、N 分别是PD 、CD 的中点，则平面AMN 截球O 所得截面的面积为__________．33.(2022·山东潍坊·二模)根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB 是圆锥底面圆O 的直径，圆锥的母线PA =2，AB =22，E 是其母线PB 的中点．若平面α过点E ，且PB ⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离为______；截面α把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面α的上方作一个半径最大的球M ，在截面α下方作一个半径最大的球N ，则球M 与球N 的半径的比值为______．四、填空题34.(2022·安徽·安庆一中高一期中)为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：①经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4②异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58③直线AD 与平面DEF 所成的角为π3④球离球托底面DEF 的最小距离为3+63-1其中正确的命题是__________.(请将正确命题的序号都填上)35.(2022·四川·成都七中高三阶段练习(理))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱B 1C 1的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN ⊥AC ；②当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面A 1MN 平行；③当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则过A 1，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形；④直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为22；⑤若正方体的棱长为2，点D 1到平面A 1MN 的距离最大值为2．36.(2022·北京二中高一阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点，Q 为棱CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是___________.(请写出所有正确命题的编号)①当CQ =12时，S 为等腰梯形；②当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R =13；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ =1时，S 的面积为62.37.(2022·江西抚州·高二阶段练习(理))勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是___________．①勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是8(π-3)②勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4-6③勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-23④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-6238.(2022·北京市陈经纶中学高一期中)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P -ABCD 所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于46；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．39.(2022·浙江·绍兴一中模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是BC ,B 1C 1的中点，点P 是截面AB 1C 1D (包括边界)上的动点，D 1P =343,2ME =EN ，则EP 与平面AB 1C 1D 所成最大角的正切值为_______．40.(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(文))在正四棱锥P -ABCD 中，AB =4,PA =26，则平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积是__________.41.(2022·北京·二模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，中，E ，F ，G 分别为棱A 1A ,A 1B 1,A 1D 1上的点(与正方体顶点不重合)，过A 1作A 1H ⊥平面EFG ，垂足为H ．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则A 1H =36；②若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则用平行于平面EFG 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面图形一定是等边三角形；③△EFG 可能为直角三角形；④1A 1E 2+1A 1F 2+1A 1G 2=1A 1H 2．其中所有正确结论的序号是________．42.(2022·全国·模拟预测)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AC =2AB =2AD =4，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，G 为PC 的中点，过AG 的平面α与棱PB 、PD 分别交于点E 、F ．若EF ∥平面ABCD ，则截面AEGF 的面积为______．43.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =5，AD =BC =32，E ､F 分别是AD ､BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.①EF ⊥AD ，EF ⊥BC②四面体外接球的表面积为34π.③异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为725④多边形截面面积的最大值为92.44.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模(理))如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1=3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中正确的序号是___________.①平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形②平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732③二面角D -EF -D 1的正切值为2④点B 到平面α的距离与点D 到平面α的距离之比为1∶345.(2022·全国·高二课时练习)如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.。
浙江省职高数学学案：棱锥
棱锥学案一.知识点整理1.棱锥的特征：（1）；（2）；如右图：①顶点：；②底面：；③侧面：；④高：；2.正棱锥的定义：底面是，其余各面是的棱锥叫做正棱锥.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；S=正棱锥侧；S=正棱锥全；V=正棱锥；二.题组训练1.若正三棱锥P﹣ABC2，侧棱长为1，求此正三棱锥的侧面积和体积.2．已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积和体积．3．如图，已知正三棱锥P﹣ABC中，底面是正三角形，P在底面内的射影是正三角形的中心．若AB＝1，侧面和底面所成的角是60°，求此正三棱锥的表面积和体积．1．对于棱锥，下列叙述正确的是（）A．四棱锥共有四条棱B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个D．任何棱锥都只有一个底面2．已知高为3的直棱柱ABC﹣A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′﹣ABC的体积为（）A．14B．12C．36D．343．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1﹣ABC的体积为（）A．26B．22C．16D．124．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，O为D1C与DC1的交点，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．5B．10C．15D．305．侧棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为（）A3B．2C．3D336．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为（）A．32B．48C．64D．32 37．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则四棱锥B﹣A1ACC1的体积为．8．已知正三棱锥的体积为93cm3，高为3cm．求它的全面积．9．已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直，且BC＝2，求三棱锥A﹣BCD 的体积.10．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM ＝11，求：（1）求侧棱长；（2）求一个侧面的面积；（3）求底面的面积．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧棱P A⊥平面PBC，P A＝1，底面是边长为2的正三角形，求此三棱锥的表面积．12．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使△ABD为正三角形，求此三棱锥A﹣BCD的体积．。
(完整版)三棱锥顶点射影问题
A
B O
C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC
的 垂心 .
P
A
B
E
OF C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是 △ABC的_外__心__.
P
A
B
OF
E
C
例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
对棱两两垂直
O是 ABC的垂心
若三棱锥有两组对边互相垂直，则 另一组对边必然垂直
综合练习：
关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影. (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 外心 .
P
A
B
O
C
综合练习： 关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的__中___点.
P
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
B
O
D
C
PA BC PO BC BC 平面PAD BC AD PA PO P
A
O为三角形ABC的垂心
例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
点线面位置关系
【每日一练3】 1．已知三棱锥P-ABC ，且点P 到△ ABC 的三边距离相等，则P 点在平面ABC 上的射影是△ ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，O 为正方形ABCD 中心，则O A 1与平面11B BCC 所成角的正切值为 （ ）A ．．3．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==,过A 作与,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面∆ADE 的周长的最小值是( )A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 4、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若αα//,,b a b a 则⊥⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a 其中正确的命题的个数是（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 6．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,90BAC ∠= ,PA AB =,则直线PB 与平面ABC 所成的角是 （ ） A ． 90 B ．60 C ．45 D ．30 7．．在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________． 8．如图，空间中两个有一条公共边AD 的正方形ABCD 和ADEF ．设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么 ①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、以上4个命题中正确的是 9．在60°二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离 。
2023-2024学年湖北省天门市高中数学苏教版 必修二立体几何初步专项提升-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省天门市高中数学苏教版 必修二立体几何初步专项提升(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知直三棱柱的侧棱和底面边长均为分别是棱 上的点， 且， 当平面时，的值为（ ）A.B. C.D.232. 在四面体中，平面，且，．若四面体 外接球的半径为 ，则 与平面所成角的正切值为（ ）A. B.C. D.若，则 若，则∥若 ∥，则 若∥ ，则3. 已知二面角 是直二面角， 为直线， 为平面，则下列命题中真命题为（ ）A. B. C. D. 若 ，则 若m ，则若 ，则 若 ，则4. 已知是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 内心垂心重心外心5. 在三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=PC ，则顶点P 在底面ABC 上的射影O 必为△ABC 的( )A. B. C. D.3A. B. C. D. 五面体六面体七面体八面体7. 一个正四棱锥和一个正四面体的所有棱长都相等，将它们的一个三角形重合在一起，组成一个新的几何体，则新几何体是（ ）A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.若，则若，则若，则若，则9. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）A. B. C. D. 若，，，，则若，，，则若，，则若，，则10. 已，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列结论正确的是（ ）．A. B. C. D. 11. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（）平面平面A. B. C. D.12. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（）A. B. C. D.阅卷人二、填空得分13. 平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A= .14. 在三棱锥中，平面，，，，是线段上一点且 .三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则三棱锥的体积为 .15. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥内接正方体的棱长为．16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵中，，且 .下述四个结论正确结论的编号是 .①四棱锥为“阳马”②四面体为“鳖臑”③过点分别作于点，于点，则④四棱锥体积最大为阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，分别为，的中点，且平面平面．(1) 求证：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值．18. A是平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若，，求EF与BD所成的角．19. 如图，三棱柱中，侧面是菱形， .（I）证明：；（II）若，求直线与平面所成角的余弦值.20. 如图，在直角梯形中，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图中的位置，得到四棱锥 .（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若平面平面，四棱锥的体积为，求的值.21. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱， BC上，平面，点M在棱上，．(1) 证明：；(2) 若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．答案及解析部分1.2.3.4.6.7.8.10.11.12.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.20.21.(1)(2)。
50直线、平面垂直的判定(基础)-巩固练习_直线、平面垂直的判定_基础
【巩固练习】1．下列表述正确的个数为（）①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内两条直线，则a⊥α。
A．0B．1C．2D．32．若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（）A．1B．2C．3D．无数3．对于平面α的共面的直线m，n，下列命题中是真命题的为（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m，n与α所成角相等，则m∥n4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．设有直线m、n与平面α、β，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥β6．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如右图，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则二面角B—PA—C的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°9．设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC ，则H 是△ABC 的外心。
完整版三棱锥顶点射影问题
三角形的“ 心” 1 、重心 :三条中线的交点 2 、垂心 :三条高的交点 3 、外心 :三条边垂直平分线的交点（或 说△外接圆的圆心） 4 、内心 :三个角平分线的交点（或说△ 内接圆圆心） 5、中心（正△ 特有）正△的重心、垂 心、内心、外心重合的点
例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC 的顶点P在平面上的射影为 O
(1)P到三顶点距离相等
O是 ABC的外心
(2)侧棱两两垂直
O是 ABC的垂心
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的内心
例：四面体 P-ABC中，PA ? BC, PB ? AC
求证：PC ? AB
求证：PD⊥平面ABC.
P
证明：PA=PB ，D为AB 中点
C
∴ PD⊥AB ，连接CD，
∵D为Rt△ABC 斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD A
D
B
∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB
∴ PD⊥CD, CD∩AB = D
∴PD⊥平面ABC
例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB
?
BC
? ?
?
BC? 面SHAB
SA I AH ? A??
? BC? SH ?
同理AB ?
SH
? ?
?
SH ? 面ABC
BC I AB ? B ??
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且 MA=MC 求证： AC ⊥平面 BDM
立体几何之三棱锥知识要点
三棱锥定义几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。
底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。
三棱锥有六条棱长，四个顶点，四个面。
相关计算h为底高（法线长度），A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有：三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则：(其中Si,i= 1,2为第i个侧面的面积）S全=S棱锥侧+S底S正三棱锥=1/2CL+S底V=S(底面积)·H(高)÷3三棱锥体积公式一个三棱柱中的三个等体积的三棱锥：h为底高（法线长度），A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长三棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个三棱柱乘以高h,就是三棱锥体积：V=1/2（S+0）h=1/2ShS面积三角形AC乘h'除以2三棱锥公式海伦秦九韶体积公式任意一个三棱锥或者说四面体，其棱为a，b，c，d，e，f，其中a与d，b与e，c 与f互为对边，那么有三棱锥（四面体）的体积公式为内切球心正三棱锥内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处相关计算：因为正三棱锥底面为正三角形，所以高线位于任意顶点与底边中点连线，又三线合一，所以重心位于高线距顶点2/3处，即可算出顶点与重心的距离，又知正三棱锥边长，即可根据勾股定理算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即可算出底面与球心的距离（即内切球半径）。
一般的三棱锥内切球心在四个面上的射影与四个面的重心重合，据此可确定球心位置。
外接球心正三棱锥外接球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处相关计算：和计算内切球心一样算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即可算出顶点与球心的距离（即外接球半径）。
一般的三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合，据此可确定球心位置。
吉林省延边朝鲜族自治州(新版)2024高考数学统编版(五四制)考试(评估卷)完整试卷
吉林省延边朝鲜族自治州（新版）2024高考数学统编版（五四制）考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设全集，集合，那么是（）A．B．C．D．第(2)题在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（）A．B．C．D．第(3)题已知，则（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．第(5)题在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（）A．2B．C．D．1第(6)题已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: x、y R, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosy x+y=其中假命题的是A．，B．，C．，D．，第(8)题已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（），（，，）A．B．C．D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则第(2)题在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法正确的是（）A．若，则三棱锥的外接球的表面积为B．若，则C．若，则D．的值可能为第(3)题投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（）A．和互为对立事件B．事件和不互斥C．事件和相互独立D．事件和相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题方程的解为______．第(2)题已知三个数，，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三项，则能使不等式成立的自然数的最大值为__________．第(3)题如图，在底面为正三角形的直三棱柱的平面展开图中，，则原直三棱柱的外接球的表面积为______；若是线段上的动点，则在直三棱柱中，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标平面内，已知两点，，动点M到点的距离为，线段的垂直平分线交于点N．(1)求动点N的轨迹方程；(2)设（1）中的动点的轨迹为C，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与轨迹C交于P、Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，求直线l的方程．第(2)题已知点在椭圆G：（a＞b＞0）上，且点M到两焦点距离之和为4．（1）求椭圆G的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．第(3)题已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.第(4)题设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.第(5)题为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.(1)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差S分别作为，的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；(2)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.参考数据：若，则，，.。