求随机变量均值的常用方法
第六节 离散型随机变量的均值与方差
所以
mn=0.06;
D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.7-0.25=0.45.
答案:0.06 0.45
高频考点突破
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例1] 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分, 取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个 球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
考点二 与两点分布、二项分布有关的均值、方差 [例2] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分 布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量 低于50个的概率;
又因为 p= 1 ,所以 q= 5 .
4
12
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后
他们中至少有一人获利的概率大于 4 ,求 p 的取值范围; 5
解:(2)记事件 A 为“甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事
件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则 C=A B ∪ A B∪AB,且 A,B
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何 种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
解:(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数 为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计
得分的数学期望为 E(3X2).由已知可得,X1～B(2, 2 ),X2～B(2, 2 ),
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
均值、方差、正态分布__学生用
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为[10分]所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45. [12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (x <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A 组 专项基础训练一、选择题1．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定2．已知某一随机变量X( )A.5B ．6C ．7D ．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125D.754．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2X 个红球，则随机变量X 的分布列为7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝2k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。
高中数学选择性必修三 7 3 1 离散型随机变量的均值
P(Y≤6 | X≥300)=P(X<900 | X≥300)= ( ≤ < ) = . =
( ≥ )
.
故在降水量至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是
.
课堂练习
7．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.
（1）从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率；
例题讲解
例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为
0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到
小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
(3)写出分布列；
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
例题讲解
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球
命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2,
所以E(X)=0 x 0.2 + 1 x 0.8=0.8.
7.3.1 离散型随机变量的均值
人教A版（2019）
选择性必修第三册
新知导入
甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X
甲射中的环数
7
0.1
8
0.2
9
0.3
10
0.4
乙射中的环数
0.15
0.25
0.4
0.2
思考：如何比较甲、
乙两人射箭水平的高
低？
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量 X 的均值或 数学期望 ，它反映了离
散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 n
称
D(X)＝
∑
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的
方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ，其算术平方根 DX 为
2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说 明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的 取值越集中，由方差定义知，方差是建立 在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统 计中常用 DX来描述 X 的分散程度．
基础自测
1．随机变量 ξ 的分布列如下：
＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，
Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
探究提高 ξ 是随机变量，则 η＝f(ξ)一般仍是 随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用 均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算．
变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中 记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取 球的标号． (1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，
整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)” 为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ)．
12.5 离散型随机变量的均值与方差
考点1
考点2
考点3
-12-
参考公式:χ2=(������+������)(������������+(������������������)-(���������������+���)2������)(������+������),其中 n=a+b+c+d. 参考临界值:
P(χ2>k0) k0
0.05 3.841
考点1
考点2
考点3
-22-
思考如何求离散型随机变量X的均值与方差? 解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求EX. (5)由方差的定义求DX. 2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量 aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.
种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆
2.205
kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为
1 2
(假设种子之间及外部
条件一致,发芽相互没有影响).
(1)求恰好有3株成活的概率;
(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η(kg),求随机变量ξ的分布列及η
的均值Eη.
考点1
考点2
考点3
-17-
解 (1)设每株豆子成活的概率为 P0,
女
40
50
90
合计
120
80
200
又 χ2=20102×0(8×08×05×01-1300××9400)2≈16.498>6.635, 所以有 99%的把握认为性别与“为 A 类学生”有关.
随机变量的均值
离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题.知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案X＝5,6,7.思考2X取上述值时，对应的概率分别是多少？答案P(X＝5)＝412，P(X＝6)＝312，P(X＝7)＝512.思考3每个西瓜的平均重量如何求？答案5×4＋6×3＋7×512＝5×412＋6×312＋7×512.1.离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，①Y也是随机变量；②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.知识点二两点分布、二项分布的均值1.两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.2.二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.类型一 离散型随机变量的均值公式与性质的简单应用 例1 已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3.(1)求b ； (2)求a ；(3)若η＝2ξ－3，求E (η).解 (1)由随机变量的分布列的性质，得 0.5＋0.1＋b ＝1， 解得：b ＝0.4.(2)E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. 解得：a ＝7.(3)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b得：E (η)＝E (2η－3)＝2E (η)－3＝2×6.3－3＝9.6反思与感悟 离散型随机变量均值的公式与性质的计算往往与分布列性质，结合起来考虑. 跟踪训练1 已知随机变量X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2，求a 的值. 解 E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.类型二 两点分布及二项分布的均值 例2 某人投篮命中的概率为P ＝0.4.(1)求投篮一次，命中次数X的均值；(2)求重复10次投篮时命中次数Y的数学期望.解(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：则E(X)＝0.4.(2)由题意知，重复10次投篮，命中次数Y服从二项分布即Y～B(10,0.6)E(Y)＝np＝10×0.4＝4.反思与感悟 1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度.2.两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.跟踪训练2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值.解设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.(2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.∴X ～B (100,0.2)，∴E (X )＝100×0.2＝20. 所以X 的均值是20人. 类型三 超几何分布的均值例3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n －3)个白球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E (ξ).解 p ＝35，∴3n ＝35，∴n ＝5，∴5个球中有2个白球.方法一 白球的个数ξ可取0,1,2.P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.E (ξ)＝110×0＋35×1＋310×2＝65.方法二 取到白球个数ξ服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝3的超几何分布，则E (ξ)＝nM N ＝3×25＝65. 反思与感悟 1.超几何分布模型一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 2.超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X 的分布列服从超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X 表示取出次品的个数，求均值E (X ). 解 方法一 P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25.方法二 由题意可知，X 服从N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布. ∴E (X )＝Mn N ＝2×315＝25.1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为( ) A.43 B.83 C.133 D.89 答案 A解析 E (X )＝np ＝4×13＝43.2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：已知E (ξ)＝8.9，则y ＝答案 0.4解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得：y ＝0.4，x ＝0.2.3.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为________. 答案 3.5解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.4.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值；(2)若η＝aξ＋4，E (η)＝1，求a 的值. 解 (1)ξ的分布列为ξ的均值：E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(2)E (η)＝aE (ξ)＋4＝1，又E (ξ)＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.1.求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值.2.若X 、Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.一、选择题1.若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A.2×0.44 B.2×0.45 C.3×0.44 D.3×0.64答案 C解析 因为ξ～B (n,0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6， 故有0.6n ＝3，解得n ＝5，P (ξ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.2.设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E (η)等于( ) A.76 B.176 C.173 D.323 答案 D解析 E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.3.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( ) A.20 B.25 C.30 D.40 答案 B解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C 2525＝516.所以X ～⎝⎛⎭⎫80，516，故E (X )＝80×516＝25.4.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于( ) A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22答案 B解析 P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是( )A.43B.139C.53D.137 答案 B解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29，P (ξ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝27125×0＋54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 二、填空题7.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________. 答案 48解析 设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48.8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________. 答案 2解析 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1， ∴E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.9.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均________分. 答案 1.5解析 用X 表示所得分数，则X 也是取得红球数，X 服从超几何分布，于是E (X )＝n ·M N ＝5×310＝1.5.10.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫122＋23×⎝⎛⎭⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.三、解答题11.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现有无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值. 解 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.12.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X 1和X 2，则X 1～B (20,0.9)，X 2～B (20,0.25)，所以E (X 1)＝20×0.9＝18，E (X 2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X 1和5X 2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是： E (5X 1)＝5E (X 1)＝5×18＝90， E (5X 2)＝5E (X 2)＝5×5＝25.13.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是高中数学优质学案专题训练（附经典解析）随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.。
三种常用分布均值、方差公式的应用
三种常用分布均值、方差公式的应用摘要：高中数学选修2-3中，介绍了三种典型分布。
笔者通过已知分布特征，求其均值；求实际问题中特殊分布的均值；求实际问题中特殊分布的方差；求实际问题分布的方差。
并用知识点结合例析的方式进行研究。
关键词：两点分布二项分布超几何分布分布特征均值方差在高中数学选修2~3中，介绍了三种典型分布。
即两点分布。
超几何分布和二项分布，在高考中以选填题的考察为主，但在实际问题的处理过程中也会出现解答题，笔者现以例析的方式谈谈它们的应用：一、已知分布特征，求其均值欲求教学期望，首先要得到分布如果题中离散型随机变量符合两点分布。
二项分布，超几何分布，可直接代入公式求得期望。
常见的三种分布的均值，设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E（x）=P。
②二项分布E（x）=np ③超几何分布E（x）=例1：若随机变量X~B（100,0.1），则E（X）=解析. X~B(100,0.1) E(x)=100×0.1=10例2：若随机变量X服从n=2.M=3. N=6的超几何分布。
则E（x）=解析：由E（x）=知E（x）= =1二、求实际问题中特殊分布的均值在实际问题中要分清两点分布与二项分布，它们的相同点是在一次试验中要么发生要么不发生，它们的不同点是：a.随机变量的取值不同，两点分布中随机变量的取值为0.1，二项分布中随机变量的取值x=0，1，2……n.b.它们试验次数不同，两点分布一般只有一次试验，二项分布则进行几次试验。
在处理问题中先审清题意，确认分布类型，若是特殊分布，借助相应的均值公式求其均值。
例3：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为、、，且各人回答的正确与否相互之间不影响，（1）若用表示甲队的总得分，求的教学期望。
解析，由题得知的可能取值分别为0，1,2,3则服从二项分布，不是两点分布。
2019版数学(理)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第10章 第9讲离散型随机变量的均值 含答案
第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布板块一 知识梳理·自主学习［必备知识]考点1 离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X 的分布列为x p (1)均值称E (X ）＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2）方差称D (X )＝错误!x i －E （X ）]2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根错误!为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质(1）E (aX ＋b ）＝aE (X )＋b .（2)D (aX ＋b ）＝a 2D (X ）．（a ,b 为常数）(3）两点分布与二项分布的均值、方差考点2正态分布1．正态曲线的性质（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3）曲线在x＝μ处达到峰值错误!；(4)曲线与x轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；（6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高"，表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ〈X≤μ＋σ)＝0.6826;（2）P（μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0.9544；（3)P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0.9974.[必会结论]均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量,它不确定．（)(2）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．（)（3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（)（4）期望是算术平均数概念的推广,与概率无关．（）答案(1）√(2)√（3）√(4)×2．［2018·九江模拟］已知随机变量X服从正态分布N（5，4)，且P（ξ>k)＝P（ξ〈k－4)，则k的值为(）A．6 B．7C．8 D．9答案B解析∵错误!＝5，∴k＝7.故选B.3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X的概率分布列如下表：3 ？请小牛同学计算X 的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？"处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E （X )＝________.答案 2解析 令“？”为a ，“!”为b ,则2a ＋b ＝1。
离散型随机变量的均值(一)
【思路】 本题(1)可直接用古典概型求概率，也可从其对立 事件“2 张都不中奖”考虑，间接求解； (2)可以设中奖的奖品价值为随机变量 X，然后写出 X 的所有 可能的取值及 X 的分布列，进而求出 E(X)．
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第二章
2.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
【解析】
(1)方法一：设“该顾客中奖”为事件 A，
1 C2 1 C1 6 3C6 2 且 P(X＝0)＝C2 ＝ 3，P(X＝10)＝ C2 ＝5， 10 10 1 1 C2 1 C 2 3 1C6 P(X＝20)＝C2 ＝15，P(X＝50)＝ C2 ＝15， 10 10 1 C1 C 1 1 3 P(X＝60)＝ 2 ＝ .故 X 的分布列如下. C10 15
等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每 张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖．某顾客从这 10 张奖 券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列和均值 E(X)．
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第二章
2.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
(2)在 1,2,3，…，9 这 9 个自然数中，任取 3 个数． ①求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率； ②记 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为 1,2,3，则有两组相邻的数 1,2 和 2,3，此时 ξ 的值是 2)．求随机变 量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ)．
第二章
2.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
探究 1
求期望一般分为四步：
(1)确定 X 可能的取值； (2)计算 P(X＝k)； (3)写出分布列； (4)利用 E(X)的计算公式计算 E(X)．
离散型随机变量的均值
⎛ 1⎫若 X ～B 4， ⎪，则 E (X )的值为( )离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为XPx 1 p 1x 2 p 2…… x i p i……x n p n则称 E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．(2)意义：离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果 X 为离散型随机变量，则 Y ＝aX ＋b (其中 a ，b 为常数)也是随机变量，且 E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋B ．随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值．2．两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E (X )＝p (p 为成功概率)．(2)若 X ～B (n ，p )，则 E (X )＝np ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量 X 的数学期望 E (X )是个变量，其随 X 的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量 X 的数学期望 E (X )＝2，则 E (2X )＝4.(答案：(1)× (2)× (3)√⎝ 2⎭A ．4B ．2C ．1答案：BD.1 2随机变量 X 的分布列为3 C 25 5 C 25 10 C 255 C 25 10所以 E (ξ2)＝1.4××1＋ ×2＋ ×3＋ ×4⎪＝2.8.10 5 10 ⎭⎝53 1 1 XP10.2 20.5 3m则 X 的均值是()A ．2C ．2.3答案：B设 X 的分布列为B ．2.1D ．随 m 的变化而变化XP11 6 21 6 31 3 41 3，Y ＝2X ＋5，则 E (Y )＝________．32答案：探究点 1 求离散型随机变量的均值赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量 ξ1 和 ξ2 分别表 示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E (ξ1)－E (ξ2)＝________元．【解析】 赌金的分布列为ξ1P11 5 21 5 31 5 41 5 51 51所以 E (ξ1)＝5(1＋2＋3＋4＋5)＝3.奖金的分布列为ξ2P1.44 2＝ 2.83 3 ＝ 4.22 1＝ 5.61 1 ＝⎛2 ⎫解：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商店销售量为0 件)＋P (当天商店销售量为1 件)＝ ＋10(2)由题意知 X 的可能取值为 2，3，P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为 1 件)＝ ＝ ，20 20 20 4 E (ξ1)－E (ξ2)＝0.2.【答案】 0.2求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值．(2)求概率：求 X 取每个值的概率．(3)写分布列：写出 X 的分布列．(4)求均值：由均值的定义求出 E (X )，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．1. 已知某一随机变量 ξ 的分布列如下表所示，若 E (ξ)＝6.3，则 a 的值为()ξPab70.1 90.4A.4C ．6B ．5D ．7解析：选 A.根据随机变量 ξ 的分布列可知 b ＋0.1＋0.4＝1，所以 b ＝0.5.又 E (ξ)＝ab ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以 a ＝4.2．某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)频数1 15 29 35试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望．1 520 203 ＝ .5 120 4P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为 0 件)＋P (当天商品销售量为 2 件)＋P (当天商品销售量为 31 9 5 3件)＝ ＋ ＋ ＝ .所以 X 的数学期望为 E (X )＝2× ＋3× ＝ .＋ ＋ ＋m ＋ ＝1，解得 m ＝ ， 所以 E (X )＝(－2)× ＋(－1)× ＋0× ＋1× ＋2× ＝－ .＝2×(－ )－3＝－ .所以 E (Y )＝(－7)× ＋(－5)× ＋(－3)× ＋(－1)× ＋1× ＝－ .[变问法]本例条件不变，若 ξ＝aX ＋3，且 E (ξ)＝－ ，求 a 的值．解：E (ξ)＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－ a ＋3＝－ ，故 X 的分布列为XP21 4 33 41 3 114 4 4探究点 2 离散型随机变量均值的性质已知随机变量 X 的分布列为：X －2 －1 0 1 2P1 41 31 5m1 20(1)求 E (X )；(2)若 Y ＝2X －3，求 E (Y )．【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得1 1 1 1 1 4 3 5 20 61 1 1 1 1 17 4 3 5 6 20 30(2)法一：由公式 E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－317 6230 15法二：由于 Y ＝2X －3，所以 Y 的分布列如下：YP－71 4 －51 3 －31 5 －11 6 11 201 1 1 1 1 624 356 20 1511217 1130 2所以 a ＝15.若 η＝aξ＋3，E (η)＝ ，则 a ＝( )解析：选 B.由分布列的性质得 ＋ ＋m ＝1，所以 m ＝ ，所以 E (ξ)＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ ，＝－ a ＋3＝ .E (η)＝(－a ＋3)× ＋3× ＋(a ＋3)× ＝ .2与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX ＋b ，a ，b 为常数．一般思路是先求出 E (X )，再利用公式 E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求 E (ξ)．也可以利用 X 的分布列得到 ξ 的分布列，关键由 X的取值计算 ξ 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E (ξ)．已知随机变量 ξ 的分布列为ξP－11 2 01 31mA ．1C ．373B ．2D ．41 1 12 3 61 1 1 12 3 6 3法一：E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋31 73 3所以 a ＝2.法二：因为 η＝aξ＋3，所以 η 的分布列如下：ηP－a ＋31 2 31 3 a ＋31 61 1 1 72 3 6 3所以 a ＝2.探究点 3 两点分布与二项分布的均值某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费 500 元便得到抽奖券一张，1每张抽奖券的中奖概率为 ，若中奖，商场返还顾客现金 100 元．某顾客现购买价格为 2 300元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X ，求随机变量 X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 Y (元)，用 X 表示 Y ，并求随机变量 Y 的均值.⎛ 1⎫因此 X ～B 4， ⎪.所以 P (X ＝0)＝C 04× ⎪ ＝ ，P (X ＝1)＝C 14× ⎪ ＝ .P (X ＝2)＝C 24× ⎪ ＝ ，P (X ＝3)＝C 34× ⎪ ＝ ，P (X ＝4)＝C 44× ⎪ ＝ . ⎛ 1⎫1 (2)因为 X ～B 4， ⎪，所以 E (X )＝4× ＝2.红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ξ，当这 4 盏装4 4【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，⎝ 2⎭⎛1⎫4 1 ⎛1⎫4 1 ⎝2⎭ 16 ⎝2⎭ 4⎛1⎫4 3 ⎛1⎫4 1 ⎝2⎭ 8 ⎝2⎭ 4⎛1⎫4 1 ⎝2⎭ 16所以离散型随机变量 X 的分布列为XP1 16 11 4 23 8 31 4 41 16⎝ 2⎭ 2又由题意可知 Y ＝2 300－100X ，所以 E (Y )＝E (2 300－100X )＝2 300－100E (X )＝2 300－100×2＝2 100(元)．即所求随机变量 Y 的均值为 2 100 元．(1)如果随机变量 X 服从两点分布，则其期望值 E (X )＝p (p 为成功概率)．(2)如果随机变量 X 服从二项分布，即 X ～B (n ，p )，则 E (X )＝np .以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现2 13 3饰灯闪烁一次时：(1)求 ξ＝2 时的概率；(2)求 ξ 的数学期望．解：(1)依题意知：ξ＝2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有 2 盏灯出现红灯，而每盏灯出2 2 1 8现红灯的概率都是3，故 ξ＝2 时的概率 P ＝C 2(3)2×(3)2＝27.2 1(2)法一：ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，依题意知：P (ξ＝k )＝C k(3)k ·(3)4－k (k ＝0，1，2，3，4)．所以 ξ 的概率分布列为所以 E (ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .法二：因为 ξ 服从二项分布，即 ξ～B (4， )，所以 E (ξ)＝4× ＝ .nξP1 81 18 81 224 81 332 81 416 811 8 24 32 16 881 81 81 81 81 3232 83 3探究点 4 均值问题的实际应用(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数．(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P (X ≤n )≥0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ＝19 与 n ＝20 之中选其一，应选用哪个？【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每解：(1)由已知得小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，两人中奖与否互不影响，记“这因为 P (X ＝5)＝ × ＝ ，P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以 X 的分布列为XP160.04 170.16 180.24 190.24 200.2 210.08 220.04(2)由(1)知 P (X ≤18)＝0.44，P (X ≤19)＝0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当 n ＝19 时，E (Y ) ＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当 n ＝20 时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当 n ＝19 时所需费用的期望值小于当 n ＝20 时所需费用的期望值，故应选 n ＝19.(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．(2)概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中2 23 5人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X ≤3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？2 23 52 人的累计得分 X ≤3”为事件 A ，则事件 A 的对立事件为“X ＝5”，2 2 43 5 15所以 P (A )＝1－P (X ＝5)＝ .所以这两人的累计得分 X ≤3 的概率为 .由已知得 X 1～B 2， ⎪， X 2～B 2， ⎪，P (X ＝2)＝2＝ ， P (X ＝3)＝ 22＝ . 所以 E (X )＝ ×2＋ ×3＝2＋ ＝ .面试的概率为 ，得到 B 公司面试的概率为 p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记 ξ 为小王得到面试的公司个数．若 ξ＝0 时的概率 P (ξ＝0)＝ ，则随机变量 ξ 的数学期望 E (ξ)11151115(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期 望为 E (3X 2)．⎛ 2⎫ ⎝ 3⎭⎛ 2⎫ ⎝ 5⎭2 4 2 4所以 E (X 1)＝2×3＝3，E (X 2)＝2×5＝5，8 所以 E (2X 1)＝2E (X 1)＝3，12 E (3X 2)＝3E (X 2)＝ 5 .因为 E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．口袋中有编号分别为 1、2、3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取2 个，则取出的球的最大编号 X 的均值为()A.1 3B.2 3C ．2D.8 3解析：选 D.X 可能取值为 2，3.1 1 C 3 3C 1 2 C 3 31 2 2 83 3 3 32．毕业生小王参加人才招聘会，分别向 A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到 A 公司1312解析：由题意，得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝，由＋＋p＝1，得p＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝.得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.如果以⎛9⎫99解：设该选手在A区投篮的进球数为X，则X～B 2，⎪，故E(X)＝2×＝.则该选手在A区投篮得分的期望为2×＝3.6，⎛1⎫设该选手在B区投篮的进球数为Y，则Y～B 3，⎪，故E(Y)＝3×＝1，则该选手在B区投篮得分的期望为3×1＝3，(2)由于离散型随机变量X的每一种可能取值的概率满足∑pi ＝＝________．1121＋p3333ξ的分布列为ξ012P 121＋p313p11＋p11233411＋p1723312答案：7 123．某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，91103投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由．⎝10⎭10595⎝3⎭13因为3.6>3，所以该选手应选择在A区投篮．知识结构深化拓展对离散型随机变量的均值的理解(1)均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的，分布列中随机变量X的一切可能值xi 与对应的概率P(X＝xi)的乘积的和就叫做随机变量X的均值．ni＝11．已知ξ～B(n，)，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()解析：选B.因为E(ξ)＝n＝15，所以n＝30，所以η～B(30，)，所以E(η)＝30×＝10.解析：选D.E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是()3B.131，因而离散型随机变量X的均值E(X)是以概率p i为权数的加权平均．(3)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的，但二者大有不同．分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值建立在分布列的基础之上，它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置.[A基础达标]1123A．5C．15121133 2．设ξ的分布列为B．10 D．20ξP 116216313413又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A. C.76173B.D.176323111117663361732633．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验323A.49D. 13则 P (ξ＝1)＝ ，P (ξ＝2)＝ × ＝ ，P (ξ＝3)＝ × ×( ＋ )＝ .所以 E (ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＝ .1C 12C 12 4 4件数 X 的概率 P (X ＝2)＝ 2＝ ，P (X ＝1)＝ ＝ ，所以 P (X ＝0)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝1)＝ .所以 E (X )＝0＋1× ＋2× ＝ .故选 B.C.5 37解析：选 B.试验次数 ξ 的可能取值为 1，2，3，231 2 23 3 91 12 1 13 3 3 3 9所以 ξ 的分布列为ξP12 3 22 9 31 92 2 1 133 9 9 94．两封信随机投入 A ，B ，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E (X )＝()A.C.1 31 2B.D.2 33 4解析：选 B.两封信随机投入 A ，B ，C 三个空邮箱，共有 32＝9(种)情况．则投入 A 邮箱的信C 2 9 9 9 9 9所以离散型随机变量 X 的分布列为XP4 9 14 9 21 94 1 29 9 35．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用 X 1，X 2 表示)的分布列如下：甲得分：X 1 P10.4 20.1 30.5乙得分：解得 p > 或 p < ，又由 p ∈(0，1)，可得 p ∈(0， )．2X 2 P10.1 20.6 30.3则甲、乙两人的射击技术是()A ．甲更好C ．甲、乙一样好B ．乙更好D ．不可比较解析：选 B.因为 E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3 ＝2.2，所以 E (X 2)>E (X 1)，故乙更好些．6．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答 30 个选择题，每个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得 5 分，选错或不选得 0 分，满分 150 分，规定满 100 分拿三等奖，满 120 分拿二等奖，满 140 分拿一等奖．有一个选手选对任一题的概率都是0.8，则该选手可能拿到________等奖．解析：选对题的个数 X 服从二项分布，即 X ～B (30，0.8)，所以 E (X )＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可能拿到二等奖．答案：二7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 p (p ≠0)，发球次数为 X ，若 X的数学期望 E (X )>1.75，则 p 的取值范围是________．解析：由已知条件可得 P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则 E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，5 1 12 2 21答案：(0， )8．某日 A 、B 两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知 A 市或 B 市受台风袭击的概率为 0.36，若用 X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则 E (X )＝________．解析：设 A 、B 两市受台风袭击的概率均为 p ，则 A 市和 B 市均不受台风袭击的概率为(1－p )2＝1－0.36，解得 p ＝0.2 或 p ＝1.8(舍去 )，则 P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64，P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以 E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.答案：0.49．已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A ，P (A )＝ 2 2 3＝ .P (X ＝200)＝ 22＝ ，A33＋C 12C 13A 22 3P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－ － ＝ .5E (X )＝200× ＋300× ＋400× ＝350.(1)设 B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则 P (B )＝ .P (X ＝0)＝ ，P (X ＝1)＝ ，P (X ＝2)＝ .(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)．A 1A 1 3 A 5 10(2)X 的可能取值为 200，300，400.A 2 1 A 5 10P (X ＝300)＝ ＝ ，A 3 101 3 610 10 10故 X 的分布列为XP2001 10 3003 10 4006 101 3 610 10 1010．(2018·陕西西安长安一中高二下学期期中)如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与均值．解：设 A i 表示事件“此人于 5 月 i 日到达该地”(i ＝1，2，…，13)．1依据题意 P (A i )＝13.613(2)离散型随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2.5 4 413 13 13所以随机变量 X 的均值为 E (X )＝0× ＋1× ＋2× ＝ .解：(1)这 3 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率 P ＝1－ 5 153 20＝.C 25＋C 215＋C 220 61C 15C 115＋C 115C 120 25C 15C 12052 2 2 所以 X 的数学期望 E (X )＝0× ＋1× ＋2× ＝ .2 所以随机变量 X 的分布列为XP5 13 14 13 24 135 4 4 1213 13 13 13[B 能力提升]11．某中学选派 40 名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数参加人数15 215 320(1)从这 40 名学生中任选 3 名，求这 3 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这 40 名学生中任选 2 名，用 X 表示这 2 人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列及数学期望 E (X )．C 1C 1 C 1 419 C 40 494 (2)由题意知 X ＝0，1，2，P (X ＝0)＝ ＝ ，C 40 156P (X ＝1)＝ ＝ ，C 40 52 P (X ＝2)＝ ＝ ，C 4039 则随机变量 X 的分布列为XP61 156 125 52 25 3961 25 5 115156 52 39 15612．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5 发子弹；②5 发全部命中奖励 40 元，命中 4 发不1奖励，也不必付款，命中 3 发或 3 发以下，应付款 2 元．现有一游客，其命中率为 .解：(1)设 5 发子弹命中 X (X ＝0，1，2，3，4，5)发，由题意知 X ～B (5， )，则由题意有 P (XE (Y )＝(－2)× ＋0× ＋40× ＝－ .则 P (A )＝C 03× ⎪ ＋C 13× × ⎪ ＝ . ⎛3⎫ ⎛ 3⎫ 1 P (X ＝0)＝ 1－ ⎪× 1－ ⎪＝ ，(1)求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．121 1 ＝5)＝C 5(2)5＝32.(2)X 的分布列为XP1 32 15 32 210 32 310 32 45 32 51 32设游客在一次游戏中获得资金为 Y 元，于是 Y 的分布列为YP－213 16 05 32 401 32故该游客在一次游戏中获得资金的均值为13 5 1 316 32 32 813．(选做题)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入后，有 L 1，1L 2 两条巷道通往作业区(如图)．L 1 巷道有 A 1，A 2，A 3 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是2；3 3 L 2 巷道有 B 1，B 2 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为4，5.(1)求 L 1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若 L 2 巷道堵塞点的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 E (X )，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，同时说明理由．解：(1)设“L 1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件 A ，⎛1⎫3 1 ⎛1⎫2 1 ⎝2⎭ 2 ⎝2⎭ 2(2)根据题意，知 X 的可能取值为 0，1，2.⎝ 4⎭ ⎝ 5⎭ 103 ⎛ 3⎫ ⎛ 3⎫ 3 9P (X ＝1)＝ × 1－ ⎪＋ 1－ ⎪× ＝ ，P (X ＝2)＝ × ＝ .E (X )＝0× ＋1× ＋2× ＝ .P (Y ＝0)＝C 03× ⎪ ＝ ，P (Y ＝1)＝C 13× × ⎪ ＝，2 ⎝2⎭P (Y ＝2)＝C 23× ⎪ × ＝ ， P (Y ＝3)＝C 33× ⎪ ＝ . E (Y )＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .法二：设 L 1 巷道中堵塞点个数为 Y ，则随机变量 Y ～B 3， ⎪，所以 E (Y )＝3× ＝ .2 2⎝2⎭4 ⎝ 5⎭ ⎝ 4⎭5 203 3 94 5 20所以随机变量 X 的分布列为XP1 10 19 20 29 201 9 9 2710 20 20 20法一：设 L 1 巷道中堵塞点个数为 Y ，则 Y 的可能取值为 0，1，2，3.⎛1⎫3 1 ⎝2⎭ 81 ⎛1⎫23 8⎛1⎫2 1 3 ⎝2⎭ 2 8⎛1⎫3 1 ⎝2⎭ 8所以随机变量 Y 的分布列为YP1 8 13 8 23 8 31 81 3 3 1 38 8 8 8 2因为 E (X )<E (Y )，所以选择 L 2 巷道为抢险路线较好．⎛ 1⎫ 1 3因为 E (X )<E (Y )，所以选择 L 2 巷道为抢险路线较好．。
072随机变量的均值与方差
§16.1 随机变量的均值与方差1.所示，则称n n 2211为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)=n n p x p x p x +++ 2211，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p性质：①E(C)=C ；②E(aX)=aE(X)；③E(aX+b)=aE(X)+b ；④超几何分布X ～H(n,M,N)的数学期望为NnM X E =)(，二项分布X ～B(n ，p)的数学期望为np X E =)(。
2.X 的概率分布如表所示，则称n n p x p x p x 22211)()()(μ-++-+- 为离散型随机变量X 的方差，记为V(X)或2σ，即V(X)= n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- （其中)(X E =μ，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p ），方差也可用公式212)(μ-=∑=i ni i p x X V ，即22)()()(X E X E X V -=，V(X)的算术平方根称为X 的标准差，即)(X V =σ。
性质：①0)(=C V ；②)()(2X V a b aX V =+；③超几何分布X ～H(n,M,N)的方差为)1())(()(2---=N N n N M N nM X V ，二项分布X ～B(n ，p)的方差为)1()(p np X V -=。
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。
方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
三、典型例题例1：有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求E(ξ)、V(ξ)例2：假定某射手每次射击命中目标的概率为32，且只有3发子弹。
二项分布随机变量的均值(说课稿)
二项分布随机变量的均值（说课稿）1本节课是人教版高中数学选修2-3第二章第3节的第2课时，是在学生学习了离散型随机变量的均值定义和简单的线性性质，会计算两点分布随机变量的均值之后所进行的内容。
它既是离散型随机变量均值定义的具体应用，也是前面二项分布内容的延伸。
同时，它还为后面学习二项分布随机变量的方差做铺垫。
由于二项分布是实际应用当中一种常见和重要的离散型随机变量分布模型，因此理解好二项分布随机变量均值的含义、掌握好其计算公式在解决市场预测，经济统计，风险与决策等领域的实际问题中有着重要的作用。
2[1]通过对实际问题的背景分析，理解二项分布随机变量均值的含义；[2]通过二项分布随机变量均值计算公式的推导与应用，掌握二项分布随机变量均值的计算公式。
[1]通过对二项分布随机变量均值计算公式的探究、推导，提高学生抽象概括、推理论证的能力，体会数学建模、先猜后证、化归等数学基本思想；[2]通过对实际问题的解答，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
[1]通过对本课题中难点的解决，培养学生锲而不舍的钻研精神和科学态度；[2]通过对问题的解决，增强学生对于“一般与特殊”，“主要矛盾与次要矛盾在一定条件下可以互相转化”等辩证唯物主义思想的领悟。
3【教学重点】[1]二项分布随机变量均值计算公式的推导及应用；[2]数学建模、先猜后证、化归等数学思想方法的渗透。
【教学难点】二项分布随机变量均值计算公式的推导。
第 1 页共 9 页以高中数学新课程基本理念和建构主义理论为指导，以问题为载体、以学生为中心进行教学设计。
第一环节的目的是导入新知；第二环节的目的是获取新知；第三环节的目的是迁移应用；第四环节的目的是认知提升；第五环节的目的是拓展创新。
1【1】在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。
假设姚明罚球命中的概率为0.9，问题1.1：他罚球1次的得分的均值是多少？问题1.2：他罚球2次和罚球3次的得分的均值分别是多少？问题1.3：如果他在一场比赛中共罚球10次，那么他罚球得分的均值是多少？问题1.4：如果他在一个赛季中共罚球439次，那么他罚球得分的均值是多少？[1]建构主义认为，学习环境中的情境必须有利于学习者对所学内容的意义建构。
离散型随机变量的均值
变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望 随机变 （Mathematical expectation）.
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
•随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量； •对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的平 均值。
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 (2) E( X ) 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C32 0.72 0.3 3 0.73
2 .1
3 0.7
求证： 若X~B(n，p)， 则E(X)= np
练习：
人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内， 每个被保险人需缴纳保险费a元，被保险人意外死 亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡，则赔付 1万元，经统计，此年龄段一年内意外死亡的概率 是p1 ,非意外死亡的概率为p2 ,则a满足什么条件，保 险公司2 p2 xi pi xn pn
aE ( X ) b
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P (1)则E（ξ）= 1 0.5 2.4 3 0.3 5 0.2 . 5.8
(2)若η=2ξ+1，则E(η)=
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1
9 b
10 0.2
(学习指导) 离散型随机变量的均值Word版含解析
2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1．通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2．应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X的分布列为X －101p 121613则E (X )＝( )A ．0B ．－1C ．－16D ．－12 C [E (X )＝∑i ＝13x i p i ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16.]2．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________.35[E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35.]3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________． 43[E (X )＝np ＝4×13＝43.]求离散型随机变量的均值有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．[解] X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X 1234P 0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X 123P 35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值公式及性质X －2－1012(1)求m 的值；(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )． [解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：(公式法)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：(直接法)由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下： 所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[跟进训练]2．已知随机变量X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2．－3[E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2.解得a＝－3.]两点分布与二项分布的均值(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．[思路点拨](1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．[解](1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X 01P 0.40.6则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．[解]E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．[解]设投篮得分为变量η，则η＝3Y.所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．离散型随机变量均值的实际应用1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路点拨]根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值E(X)→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[跟进训练]3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解] (1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知得X 1～B 2，23，X 2～B 2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45.所以E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)－3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( )(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( )(4)随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x n n.( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知随机变量X 的分布列为则X 的均值是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化B [由0.2＋0.5＋m ＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.]3．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________. 103[E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.]4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：(1)X的分布列；(2)X的均值．[解](1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.。
2.3.1离散型随机变量的均值
7070% 6030% 67
加
权
平
均
权数
问题: 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 233 4 2
10
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
权数 加
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
算术平均数
如果你期中考试各门成绩分别为： 91，85，80，80，75，59 那你的平均成绩是多少？
x 90 85 80 80 75 59 80 5
先介绍两种平均数：
的数权值是.加秤权加锤平权，均权平是数指均是在数起计权算衡若轻干重个作数用
量的平均数时，考虑到每个数量在总量 如果你中期所中具考有试的数重学要成性绩不为同7，0，分平别时给表予现不成同绩为60，学 校规定：在的你权学数分. 记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩 占70%，平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？
一.填空
补充练习
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每 次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ 的数学期望是_____2_._3_7_6__ .
（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞 行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数 为ξ，则E(ξ)=_____1_._7_5___ .
（3）设离散性随机变量 可能取的值为1，2，3，4 ， P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望E(ξ)=3，则
1
a+b= _____1_0_．
二.选择
（1）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5， 从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ= ( )
随机变量的均值
18× 24× 36× 18 6 6 ×6 + 24×6m + 36×6
3 2 1 =18× + 24× +36× 6 6 6 E ( X )=18×P（ X=18）+24×P（ X=24）+36×P（ X=36） ＝ 3元 ２ kg
18
24
36
一般地,若离散型随机变量的概率分布为 一般地 若离散型随机变量的概率分布为
大型设备
试比较哪一种方案好？ 试比较哪一种方案好？
例2
各次抽查结果可以认为是相互独立的
有一批数量很大的产品，其次品率 有一批数量很大的产品，其次品率15℅ 。对这 批产品进行抽查，每次抽出 件 如果抽出次品， 批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品， 则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品， 则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但 抽查次数最多不超过10次 的期望。 抽查次数最多不超过 次。求抽查次 数 ξ 的期望。
P(ξ = k) = 0.85k−1 ×0.15
k = 1,2,3,...,9 P(ξ =10) = 0.859 ×1
归纳求离散型随机变量的均值的步骤： 归纳求离散型随机变量的均值的步骤： 确定离散型随机变量可能的取值。 ①、确定离散型随机变量可能的取值。 写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 求出x的均值 的均值。 ③、求出 的均值。
p m
n n , p应满足什么关系 保险公司方可盈利 应满足什么关系,保险公司方可盈利 保险公司方可盈利?
表示盈利数， 解：设 X表示盈利数，则随机变量的分布列为
X m m−n P 1− p p
m n< 时 可 利 即 方 盈 p
2.3.1_离散型随机变量的均值(2课时)
pi
…
pn
pn )
离散型随机变量均值的线性性质
E (aX b) aE ( X ) b
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P
(1)则Eξ=
1 0.5
2.4
.
3 0.3
5.8 .
5 0.2
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是
ξ P
Eξ=7.5,则a=
4 0.3
0.1
b=
7 a
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
能力展现
遇大洪水损失60000元 遇小洪水损失10000元 有大洪水的概率为0.01 有小洪水的概率为0.25
大型设备
方案1：运走设备运费为3800；
方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能 防小洪水； 方案3：不采取措施.
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数 X的期望. 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
所以随机变量X的均值为E(X)=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式：将所得点数的2倍加1作为得分数， 即 Y=2X+1，试求Y的期望？
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np