第5章 循环码

C(x)=m(x)x n-k+r(x)≡0 (mod g(x))
式中
(5.1.5)
m(x)=mk-1x k-1+m k-2 x k-2+…+m1x+m0
第5章 循环码
是信息多项式， (mk-1， …， m1， m0)是信息位，
而
r(x)=rn-k-1 x n-k-1+rn-k-2 x n-k-2+…+r1x+r0
第5章 循环码
初等变换得：
1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 H 0 1 1 1 0 0 1
得生成矩阵：
1 0 G 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 1
1 1 1 0
0 1 1 1
第5章 循环码
(Review)定义3.3.1 GF(2)上汉明码的H矩 阵的列， 是由不全为0， 且互不相同的二进制 m重组成。 该码有如下参数： n =2m-1， k =2m1-m， R=(2m-1-m)／(2m-1)， d=3。
第5章 循环码
(Review)例3.3 构造GF(2)上的［7， 4， 3］ 汉明码。 这时取m =3， 所有23=8个三重为：
0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 H 1 0 1 0 1 0 1
第5章 循环码
由第二章可知，交换H矩阵各列，并不会 影响码的纠错能力。把上述H矩阵的列进行交
换后变为
1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 H 0 0 1 0 1 1 1
第5章 循环码
由此矩阵H可明显看出， 第二行是第一行 循环右移一位得到， 第三行是第二行循环右移
一位。 由此矩阵编出的16个码字为：1000110，
0100011， 1010001， 1101000， 0110100， 0011010， 0001101； 1001011， 1100101， 1110010， 0111001， 1011100， 0101110， 0010111； 1111111； 0000000。
第5章 循环码
g(x)=g n-k x n-k+g n-k-1 x n-k-1+…+g1x+g0 xg(x)=g n-k x n-k+1+g n-k-1 x n-k+…+g1x2+g0x
………………
xk-1g(x)=g n-k x n-1+g n-k-1 x n-2+…+g0x k-1
第5章 循环码
一定生成一个 ［n，k］循环码。
第5章 循环码
例 5.1 在GF(2)上， x7-1= (x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)， 求［7， 4］循环码。
解：找一个能除尽x7-1的n-k=3次首一多项式
g(x)， 可在x3+x+1与x3+x2+1中任选一个， 现在 选g(x)=x3+x2+1， 则 {xg(x)}： xg(x)=x4+x3+x {x2g(x)}： x2g(x)=x5+x4+x2 {x3g(x)}： x3g(x)=x6+x5+x3
第5章 循环码
由这些码字看出， 若C1∈CH， 则它的右(左)移 循环移位所得到的n重也是一个码字， 具有这
种特性的［n， k］分组码称为循环码。 由于
［n， k］线性分组码是n维线性空间Vn中的一 个k维子空间， 因此［n， k］循环码是n维线 性空间中的一个k维循环子空间。
第5章 循环码
定义 5.1.1 一个n重子空间Vn,kVn， 若对任何 一个V=(a n-1， a n-2， …， a0)∈Vn,k， 恒有v1=(a n-2，
循环移位一次后所得码字为(an-2, …, a1, an-1)，相
第5章 循环码
(Review)二、 理想 理想是很重要的一类子环。 定义4.1.2 设R是交换环，I是R的非空子集， 若 (1) 对任意两个元素a,b∈I，恒有a-b∈I； (2) 对任意a∈I，r∈R，恒有ar=ra∈I，则称 I是R中的一个理想。
即 f(x)∈{an-1 xn-1+an-2 x n-2+…+a1x+a0}(mod F(x))
第5章 循环码
因此， Vn中每一个n重都与GF(p)上的次数
低于n次的一个多项式相对应， 并必在模F(x)
的某一剩余类中。 第四章中已证明， 在模F(x)
运算下， 模F(x)的剩余类构成一多项式剩余类 环Fp［x］／F(x)， 若在该环中再定义一个数乘， 即 ca(x)={ca n-1 x n-1+ca n-2 x n-2+…+ca0} c∈GF(p)
第5章 循环码
定理 5.1.4 令C1和C2分别由g1(x)和g2(x)生
成的两个不同的循环码， 则当且仅当g2(x)｜g1(x)
时， C1C2。
第5章 循环码
四、 系统码的构成 用式(5.1.1)矩阵生成的循环码， 并不是系 统码。 系统码的G矩阵为 G=［Ikp］ 左边是k×k阶单位方阵。 这相当于码字多 项式的第n-1次至n-k次的系数是信息位， 而其 余的为校验位， 这相当于
则可以证明模F(x)的剩余类构成一个n维线
性空间， 称为剩余类线性结合代数。
第5章 循环码
在[n, k]循环码中，码字(an-1, an-2, …, a1, a0) 的 多项式：a(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0， 对应的码多项式表示为 a1(x)=an-2xn-1+…+a0x+an-1 相当于 xa(x)=an-2xn-1+…+a0x+an-1(mod xn-1) 从而循环码可用mod xn-1的多项式表示。 它的
所以
g0 0 0 gn k gn k 1 g1 0 g n k g 2 g1 g0 0 0 G 0 0 gn k gn k 1 g1 g0 0
xn-1=g(x)h(x)
=(g n-k x n-k+…+g1x+g0)(hkxk+…+h1x+h0)
n-k+g n-k-1x n-k-1+…+g 1x+g0，
每一码多项式C(x)都是g(x)
的倍式， 且每一个≤(n-1)次的g(x)倍式一定是码多项 式。
第5章 循环码பைடு நூலகம்
定理 5.1.3 GF(q)上［n，k］循环码的生成 多项式g(x)一定是xn-1的因式：xn-1=g(x)h(x)。 反
之， 若g(x)为n-k次， 且g(x)｜(xn-1)， 则该g(x)
Ctr. (1957)
第5章 循环码
问题 如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
第5章 循环码
二、 码的多项式描述 从第二章可知，GF(p)上的所有n重构成一
个 线 性 空 间Vn ， 其 中 每 个 矢 量 是 分 量 取 自
GF(p)上n重， 若将每个n重和系数取自GF(p)上
低的次数排列。
第5章 循环码
如例5.1中［7， 4］码的校验多项式
x7 1 x7 1 h( x ) 3 x4 x3 x2 1 g ( x) x x 2 1 h ( x ) x 4 x 2 x 1
相应的H矩阵为
1 0 1 1 1 0 0 H 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
a n-3， …， a0， a n-1)∈V n，k， 则称V n，k为循环子
空间或循环码。 普朗基（Prange）于1957年提出了循环码的概念。
Prange, E.: Cyclic Error-Correcting Codes in Two Symbols. Electronics Research Directorate, Air Force Cambridge Res.
第5章 循环码
三、 循环码的生成矩阵、 校验矩阵
由前知， xn-1=g(x)h(x)。 若g(x)为n-k次，
则h(x)为k次多项式。 以g(x)作为生成多项式所
组成的［n，k］循环码中g(x)， xg(x)， …， xk-1 g(x)等k个码多项式必是线性无关的， 设可以由 这些码多项式所对应的码字， 构成循环码的生 成矩阵G， 则
第5章 循环码
第5章 循环码 Cyclic Codes
5.1 循环码与理想
5.2 由生成多项式的根定义循环码
5.3 幂等多项式和最小循环码
5.4 缩短循环码与准循环码
第5章 循环码
循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，具
有如下性质：
严谨代数结构，性能易于分析；大部分线性码
是循环码； 其循环结构有利于编译码实现； 实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几 乎都是循环码。
成一个理想（循环码），则称此多项式为该码的生
成多项式，所有码多项式必是它的倍式。
第5章 循环码
定义 5.1.2 生成多项式g(x)是模xn-1剩余类代数 中，一个理想的次数最低的非零首一多项式， 它是
理想或循环码的生成元。
定理 5.1.2 GF(q)(q为素数或素数的幂)上的［n，
k］循环码中， 存在有唯一的n-k次首一多项式 g(x)=x
第5章 循环码
它们相应的n重为：(0001101)， (0011010)，
(0110100)， (1101000)， 把它们作为生成矩阵 的行， 就得到了［７， 4］码的生成矩阵。
1 0 G 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
第5章 循环码
由此可知等式右边的x n-1， x n-2， …， x的 系数均为0， 即
g0h0=-1
g0h1+g1h0=0 ………… g0hi+g1h i-1+…+g n-k h i-(n-k)=0 ………… g0h n-1+g1h n-2+…+g n-k h k-1=0 g n-k hk=1 (5.1.2)
000， 100， 010， 001， 011， 101， 110，
111。 挑出其中7个非0 的三重构成
0 0 0 1 1 1 1 H 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
第5章 循环码
5.1 循环码与理想
一、 基本概念
［7， 4］汉明码CH的H矩阵为
第5章 循环码
定理 5.1.1 以多项式xn-1为模的剩余类线性
结合代数中， 其一个子空间V n，k是一个循环子空
间(循环码)的充要条件是：V n，k是一个理想。
第5章 循环码
结论：一个循环码是模xn-1多项式剩余类线性结合
代数中的一个理想；反之，其中的一个理想必是一
个循环码。 (Review)引理4.2.2 多项式环Fp[x]中的一切理想均是主 理想。 定义：从理想的定义可知，理想必是由某一个元素 的倍数构成。因此，至少可以在理想中找到一个次 数最低的非零首一多项式g(x)，由它的一切倍式生
第5章 循环码
上式可简写成
g0hi+g1h i-1+…+g n-k h i-(n-k)=0 i=1， 2， …， n-1
g0h0+g n-k hk=0
因此［n，k］循环码的一致校验矩阵
h0 0 H 0
h1 hk h0 0 0
0 h0
0 h1
h1 hk
是校验位多项式， 相应的系数是码元的校验位。 由上式可得 -r(x)=C(x)+m(x)xn-k≡m(x)xn-k (mod g(x)) (5.1.6)
0 0 (5.1.3) hk
第5章 循环码
容易验证
G·HT= 0 (5.1.4)
所以， 我们称h(x)=(xn-1)／g(x)为码的校验
多项式， 由式(5.1.3)可以看出， H矩阵的行完 全由h(x)的系数决定。 为了使H矩阵的系数由高次向低次排列，可以作 h(x)的互反多项式h*(x)，H的系数按h*(x)由高到
的多项式相对应：
n 重： (a n-1， a n-2， …， a1， a0) ai∈GF(p) 多项式：(a n-1 x n-1+a n-2 x n-2+…+a1x+a0)=f(x)
第5章 循环码
则它们之间建立了一一对应关系。 在第四 章中已指出， 所有次数小于n次的多项式一定
在模n次多项式F(x)∈Fp ［x］的不同剩余类中，